2022年山東濟南、濟南高三沖刺模擬數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

Z,

1.復數(shù)4=2+"若復數(shù)馬",在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，則」等于（）

Z2

3+4i3+4zc-3+4z

A.---------B.-------C.-3+4/D.---------

555

2.已知復數(shù)z,滿足z(3-4i)=5i,則目=()

A.1B.75C.73D.5

3.將函數(shù)/（X）=sin（2x-?）（XGR）的圖象分別向右平移9個單位長度與向左平移，?（〃>0）個單位長度，若所得到

的兩個圖象重合，則〃的最小值為（）

D.兀

4.某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)e的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點A（l,0）作x軸的垂線與曲線

y=e'相交于點3,過B作N軸的垂線與N軸相交于點C（如圖），然后向矩形。鉆C內(nèi)投入M粒豆子，并統(tǒng)計出

這些豆子在曲線>=，上方的有N粒（N<M）,則無理數(shù)。的估計值是（）

NMM-NM

C.

M-NM-NNN

5+3,則不等式/(lgx)>3的解集為(

5.已知函數(shù)f(x)=log)

-8t)510,+8)

C.(1,10)D.歷』5】』。)

6.某中學有高中生1500人，初中生1000人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中

抽取一個容量為〃的樣本.若樣本中高中生恰有3()人，則”的值為()

A.20B.50C.40D.60

71-1的圖象上各點橫坐標縮短到原來的;(縱坐標不變)得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說

7,若將函數(shù)〃x)=2sinX+—

法正確的是()

A.函數(shù)g(x)在(0，。［上單調(diào)遞增B.函數(shù)g(x)的周期是T

C.函數(shù)g(x)的圖象關于點［4，()］對稱D.函數(shù)g(x)在卜，力上最大值是1

8.設曲線y=a(x—l)-Inx在點(1,0)處的切線方程為y=3x-3,則。=()

A.1B.2C.3D.4

9.已知點A(x”yJ,8伍,必)是函數(shù)/(》)=々6+加的函數(shù)圖像上的任意兩點，且y=/(x)在點

(土孕處的切線與直線A5平行，貝!!()

I2\L))

A.。=0,人為任意非零實數(shù)B.b=0,。為任意非零實數(shù)

C.a、b均為任意實數(shù)D.不存在滿足條件的實數(shù)a,b

10.若i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z='±L在復平面上對應的點位于()

1+2;

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.已知過點P(U)且與曲線y=相切的直線的條數(shù)有().

A.0B.1C.2D.3

12.已知集合U={L2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則(物)0(一)=()

A.{3,5,6}B.{1,5,6}C.{2,3,4}D.{1,2,3,5,6)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知{4}是等比數(shù)列，若汗=(4,2),6=(。3,3),且公〃石,則京言=.

14.已知函數(shù)2：二,若對于任意正實數(shù)玉，々，當，均存在以/(王),/伍)，/(不)為三邊邊長的三角形，

則實數(shù)k的取值范圍是.

15.已知/(%)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)=e-x-x,貝!J/(ln2)=.

16.函數(shù)y=gsinxcosx+cos?x在區(qū)間^0,-yJ上的值域為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)一張邊長為2帆的正方形薄鋁板ABC。(圖甲)，點E,尸分別在AB,上，且AE=CE=x(單

位：加).現(xiàn)將該薄鋁板沿所裁開，再將拉ME沿。E折疊，ADCE沿。尸折疊，使ZM,。。重合，且AC重合

于點M，制作成一個無蓋的三棱錐形容器。-MEE(圖乙)，記該容器的容積為V(單位：〃?D,(注：薄鋁板的厚

度忽略不計)

(1)若裁開的三角形薄鋁板目有恰好是該容器的蓋，求x,V的值;

(2)試確定x的值，使得無蓋三棱錐容器。-MEF的容積V最大.

18.(12分)在/A3C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2ccos8=2a—0,

(I)求NC的大小：

(ID若CA--CB=2,求A4BC面積的最大值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=x|x+a|,awR.

(1)若/(1)+/(-1)>1,求。的取值范圍;

(2)若“<0,對,不等式/(x)4y+日3+y+￡CL恒成立，求"的取值范圍.

20.(12分)已知C(x)=|av+2|.

(1)當。=2時，求不等式/(x)>3x的解集；

2

(2)若/⑴,，M,/(2)?M,證明：

21.(12分)AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c已知+c?+6ac=b?，石sinA+cosB=().

⑴求cosC；

(2)若A4BC的面積S=2,求近

2

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=lnx+/l(：—x}/leR).

(1)當x>l時，不等式/(x)<0恒成立，求丸的最小值；

(2)設數(shù)列N*),其前"項和為S,,,證明：S,,—S“+%>ln2.

nv74

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

Z.

先通過復數(shù)Z1,Z2在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，得到Z,=-2+『，再利用復數(shù)的除法求解」.

Z2

【詳解】

因為復數(shù)Z1,Z2在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，且復數(shù)4=2+i,

所以Z2=-2+i

斫以A=2+i=2+i(_2-i)=_3_4

所以z2-2+i(-2+z)(-2-z)55

故選:A

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的基本運算和幾何意義，屬于基礎題.

2.A

【解析】

首先根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出2,求出Z的模即可.

【詳解】

故選：A

【點睛】

本題考查了復數(shù)求模問題，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.

3.B

【解析】

首先根據(jù)函數(shù)."X）的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后，所得的兩個圖像重合,

那么〃?+〃=上7，利用/（X）的最小正周期為不，從而求得結果.

【詳解】

的最小正周期為萬，

__*TC..

那么§+〃=左不（&GZ）,

于是〃=左萬一鼻，

于是當攵=1時，〃最小值為g,

故選B.

【點睛】

該題考查的是有關三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關系，屬于簡單題目.

4.D

【解析】

利用定積分計算出矩形OABC中位于曲線y=e，上方區(qū)域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于e的等式,

解出e的表達式即可.

【詳解】

在函數(shù)y=e'的解析式中，令x=l,可得y=e,則點8（l,e）,直線8c的方程為了=0,

1

矩形OABC中位于曲線y=e'上方區(qū)域的面積為S=\（e-ex）dx=（ex-ex^=\,

0

矩形。48C的面積為lxe=e,

N1M

由幾何概型的概率公式得一=一，所以，e=—.

MeN

故選：D.

【點睛】

本題考查利用隨機模擬的思想估算e的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域

的面積，考查計算能力，屬于中等題.

5.D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到且IgxwO,解不等式得解.

【詳解】

由題得函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,+8).

因為/(—x)=/(x),

所以fM為(-8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，

因為函數(shù)丁==+1,y=二都是在(0,+8)上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)fM在(0,+00)上單調(diào)遞減.

因為/⑴=3J(lgx)>3=〃l),

所以一l<lgx<l,且IgxwO,

解得卜(1,10).

故選：D

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌

握水平.

6.B

【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.

【詳解】

由題意，30=1500x---------------,解得“=50.

1500+1000

故選：B.

【點睛】

本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎題.

7.A

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到g(x)解析式；利用整體對應的方式可判斷出g(x)在［(),￡］上單調(diào)遞增，A正確;

關于點(一吉,-1］對稱，C錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知3錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求

解可判斷出最大值無法取得，。錯誤.

【詳解】

將/(x)橫坐標縮短到原來的g得：g(x)=2sin(2x+\-1

當儀°'旬時'2X+6€l?

?.?sinx在仁馬上單調(diào)遞增.?.g(x)在(。⑤上單調(diào)遞增，A正確；

g(x)的最小正周期為：T=§=".?.g不是g(x)的周期，8錯誤；

乙Z.

當尤=*時，2x+7=0,g5意=T

1ZOv'乙)

??e(月關于點［4，-1］對稱，C錯誤；

當xe［吟)時，2x+?e^?，l).?.g(x)€(ai)

此時g(x)沒有最大值，O錯誤.

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段

區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).

8.D

【解析】

利用導數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出”的方程即可求解

【詳解】

因為y'=a—J，且在點。，0)處的切線的斜率為3,所以。一1=3,即a=4.

故選：D

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎題

9.A

【解析】

求得/(x)的導函數(shù)，結合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得。=0,〃為任意非零實數(shù).

【詳解】

依題意.尸(刈=裊+2笈，y=/(x)在點七^,./［正產(chǎn)J處的切線與直線A3平行，即有

%；-ayjx^-hx^

X2-Xy

直一")+小+所以

12(\+.八=?+直，由于對任意為,占上式都成立，可得。=0,方為非

々一%

零實數(shù).

故選:A

【點睛】

本題考查導數(shù)的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題.

10.D

【解析】

31

根據(jù)復數(shù)的運算，化簡得到2，再結合復數(shù)的表示，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，根據(jù)復數(shù)的運算，可得z=［不=］<八<=丁=丁丁,

l+2z(l+2z)(l-2z)555

所對應的點為（I,-]卜立于第四象限.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則，準確化簡復數(shù)為代數(shù)形式是解

答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

11.C

【解析】

設切點為（xo，y0）,則yo=x03,由于直線1經(jīng)過點（1,1）,可得切線的斜率，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點x0處

的切線斜率，建立關于X。的方程，從而可求方程.

【詳解】

若直線與曲線切于點（x（）,）（x（）H0）,則k==3==x/X。+1,

x。-1x0-l

又?.,y'=3x2,工y[x=Xo=3xo2,2xJ-X。一1=0,解得x0=l,x0

???過點P（l,l）與曲線C:y=x，相切的直線方程為3x-y-2=0或3x-4y+l=0,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數(shù)的幾何

意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

12.B

【解析】

按補集、交集定義，即可求解.

【詳解】

”={1,3,5,6},a8={1,2,5,6）,

所以（疫A）n（4）={1,5,6}.

故選：B.

【點睛】

本題考查集合間的運算，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

3

【解析】

若少=(%,2),5=(6,3),且&〃石,則3a2=2%,由{%}是等比數(shù)列，可知公比為q=^=T.

a2+a4_1_2

%+Q5q3*

2

故答案為

-1/

14.-2,4

【解析】

根據(jù)三角形三邊關系可知/(%,)+/(x2)>/(x,)對任意的X,々，工恒成立，將/(X)的解析式用分離常數(shù)法變形，由均

值不等式可得分母的取值范圍，則整個式子的取值范圍由％-1的符號決定，故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)

值域,再討論3轉化為f(x1)+/(W)的最小值與/(X,)的最大值的不等式，進而求出k的取值范圍.

【詳解】

因為對任意正實數(shù)玉,馬，受，都存在以/(玉)，/(W)，/(芻)為三邊長的三角形，

故/(玉)+/(々)>/(七)對任意的工|,々,毛恒成立，

(+依+i(左一1)無_k-1

八卜x2+x+l~x2+x+r?,令UX+L1N3,

X+1+—X

X

貝！Jy=l+B(tN3),

當％-1>0,即左>1時，該函數(shù)在［3,欣)上單調(diào)遞減，則yq1,—；

當左=1,即左=1時,yw{l},

當％—1<0,即2<1時，該函數(shù)在［3,+co)上單調(diào)遞增，則ye-,11,

2"+44+2

所以，當人>1時，因為2</(%1)+/(/)<——,1</(七)4亍，

所以號*42,解得1〈人<4；

當人=1時,〃芯)=/優(yōu))=/(玉)=1,滿足條件；

當上<1時,^-</(%)+/(%)<2,且^^/(王)<1,

2A-+41

所以丁一Nl,解得—彳<女<1,

32

綜上,—V%<4,

2

故答案為：一；,4

【點睛】

本題考查參數(shù)范圍，考查三角形的構成條件，考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，考查分類討論思想與轉化思想.

15.2+ln2

【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可

【詳解】

/(ln2)=/(-In2)=eln2-(-ln2)=2+ln2.

故答案為2+In2

【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運算，考查運算求解能力

16.(0,|_

【解析】

由二倍角公式降幕，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，結合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域.

【詳解】

/T.2G?c1+COS2X6.11.1/(n乃)

y=V3sinxcos+cosx=——sin2xd-------------=——sin2x+—cos2x+—=sin2x+—+—GU,—

-22222I6j2I2；

c71(n7萬、.(-乃)(11

2x+—G—,則nlsin]2x+—e——,1,

6Vo6yI6J12_

./吟1七3-

..sin2XH—H—G0,—.

I6)2I2」

3

故答案為：(0,]].

【點睛】

本題考查三角恒等變換(二倍角公式、兩角和的正弦公式)，考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值.求解三角函數(shù)的性質(zhì)的

性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結論.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)x=l,V=|；(2)當x值為6—1時，無蓋三棱錐容器。—Affi廠的容積丫最大.

【解析】

(1)由已知求得x=l,求得三角形EM的面積，再由已知得到平面EA",代入三棱錐體積公式求V的值;

(2)由題意知，在等腰三角形ME戶中，ME=MF=x,則EF=&(2-x),cosZEMF=v,寫出三角形面積,

x

求其平方導數(shù)的最值，則答案可求.

【詳解】

解：(1)由題意，AEF8為等腰直角三角形，又AE=CF=x,

BE=BF=2-x(O<x<2),

?.??/話恰好是該零件的蓋，；.》=1,則

由圖甲知，ADYAE,CD±AF,

則在圖乙中，MDVME,MDVMF,

又ME,平面EME,.?.用。，平面目0/，

==麗麗=gx；x2=；；

(2)由題意知，在等腰三角形/中，ME=MF=x,

則EF=72(2-x),cosNEMF='一「),

廠

???S：=；fsinNEMF=了?/.

令f(x)=(S.F)2=^[X4-16(X-1)2J,

/.f\x)=x3-8(x-l)=(x-2)(x2+2x-4),

*/0<x<2,x=^-1.

可得：當XE(0,逐—1)時，r(x)>0,當xw(布-1,2)時，/Xx)<0,

二當X=逐-1時，SAEMF有最大值.

由(1)知，〃。_1平面￡20~，

??.該三棱錐容積的最大值為V=且仞0=2.

:?當x=時，./'(x)取得最大值，無蓋三棱錐容器的容積V最大.

答：當x值為石-1時，無蓋三棱錐容器D-MEF的容積V最大.

【點睛】

本題考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用導數(shù)求最值，屬于中檔題.

18.(1)C=-(2)2G

3

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及誘導公式與和角公式，結合特殊角的三角函數(shù)值，求得角C；

(2)運用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數(shù)量積的定義，結合基本不等式，求得出?的最大值，再由三角形的

面積公式計算即可得到所求的值.

詳解：(1)2ccosB=2a-b,

2sinCcosB=2sinA-sinB，.二2sinCcosB=2sin(fi+C)-sinB,

..171

2sinBcosC=sinB,/.cosC=—,..C=—

23

(ID取BC中點。，則畫一；麗|=2=|9，在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC)

____1____/\2,

(注：也可將文-q函1=2=19兩邊平方)即4=〃+￡—竺

232

所以勿?48,當且僅當。=4力=2時取等號.

V422

此時5?品=(。戾皿0=乎。8，其最大值為

點睛：該題考查的是有關三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，誘導公式，和角公式，向量的平方即為向量模

的平方，基本不等式，三角形的面積公式，在解題的過程中，需要正確使用相關的公式進行運算即可求得結果.

19.(1)?+；(2)[—3,0),

【解析】

(1)分類討論1,-l<a<l,a>l,即可得出結果；

(2)先由題意，將問題轉化為/。),四《(了+1+y+m%,,即可，再求出/(幻頻.，y+.+y+m的最小值，解

不等式即可得出結果.

【詳解】

(1)由/(1)+/(_1)>1得|。+1|一|。_1|>1,

若aW-1,則-l-a+a-1>1,顯然不成立;

若一則l+a+a—l>l,a>-,即^VaVl；

22

若aNl,則l+a-a+l>l,即2>1,顯然成立，

綜上所述,a的取值范圍是8

(2)由題意知，要使得不等式恒成立，只需/(X).<(y+丁+y+

4

當-a］時，/(x)=-x(x+a),所以/⑺…=/'［一句=］；

因為y+-■+y+~————,

4-242

2o

所以幺<士一0,解得一3WaWl,結合。<0,

442

所以a的取值范圍是［—3,0).

【點睛】

本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記分類討論的思想、以及絕對值不等式

的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

20.(1)(-8,2)(2)見證明

【解析】

(1)利用零點分段法討論去掉絕對值求解；

(2)利用絕對值不等式的性質(zhì)進行證明.

【詳解】

(1)解：當a=2時，不等式/(x)<x可化為|2x+2|>3x.

2

當xW—1時，—2x—2>3x,x<--,所以x￡—l；

當工>一1時，2x+2>3%,-l<x<2.

所以不等式/(x)>3x的解集是(-8,2).

（2）證明：由f（2）<M,得知可。+2|,M>\2a+2\,

3M=2M+M>2\a+2\+\2a+2\,

又2|a+2|+|2a+2|2|4-2|=2,

2

所以3M22,即MN—.

3

【點睛】

本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解，含有絕對值不等式的解法一般是使用零點分段討論法.

21.（1）cosA=,cosC=2占.；（2）b=5

105

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出siM,利用同角三角函數(shù)關系求其余弦，再利用兩角差的余弦定理

即可求出；（2）根據(jù)（1）及面積公式可得無，利用正弦定理即可求出.

試題解析：（1）由/+/+血比=。2,得aX—b'—gac，

???cosi+i_-yjlac__V2

2ac2ac2

34

■:b<B<兀，：.B

由石sinA+cos5=0,#sinA=-^-cosB

----------X

5

3710

'cosA=Jl-sin2A

10

="c°sA+也sinAV23710&廂2石

cosC=cos—~A-------X---------------1---------X----------=-----------?

(2)由(1),得sinC=Jl-cos2c=叵

1125

由S=—acsinB及題設條件，得一acsin3=ac=5\/2-

2242

ab

abc

由,得Vio一正一方,

sinAsinBsinC

1025

.??*￥"=孚x50=25,

h=5.

點睛：解決三角形中的角邊問題時，要根據(jù)條件選擇正余弦定理，將問題轉化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題，利用三角

中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運用，涉及三角形面積最值問題時，注意均值不等式的利用，特別求

角的時候，要注意分析角的范圍，才能寫出角的大小.

22.(1)(2)證明見解析.

【解析】

(1)=分/izL4V0三種情況推理即可；

v'%222

/II

(2)由(1)可得_*J，」.=_2：+1即in(〃+l)-ln〃〈針+引一萬，利用累

加法即可得到證明.

【詳解】

(1)由/(