第十章-點估計課件

前言所謂統(tǒng)計推斷，就是根據(jù)從總體中抽取得的一個簡單隨機樣本對總體進行分析和推斷。即由樣本來推斷總體，或者由部分推斷總體?！@就是數(shù)理統(tǒng)計學的核心內(nèi)容。它的基本問題包括兩大類問題，一類是估計理論；另一類是假設檢驗。而估計理論又分為參數(shù)估計與非參數(shù)估計，參數(shù)估計又分為點估計和區(qū)間估計兩種。對一些并不關心其分布類型的統(tǒng)計推斷問題，只關心總體的某些數(shù)字特征，如期望、方差等，通常把這些數(shù)字特征稱為參數(shù)。這時，抽樣的目的就是為了解出這些未知的參數(shù)。2023/12/61皖西學院數(shù)理系第一節(jié)點估計問題2023/12/62皖西學院數(shù)理系2023/12/63皖西學院數(shù)理系例某種同型號的產(chǎn)品N個，其合格率θ未知，對該批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗,從中隨機抽取n個(n<<N).當?shù)趇次抽到的產(chǎn)品合格時，記Xi=1，反之記Xi=0.如何估計參數(shù)θ的取值。分析：研究對象是總體〔產(chǎn)品〕的合格率θ.總體X可以看作是服從參數(shù)為θ的0－1分布，由樣本分布與總體分布的關系，可以確定樣本X1,X2,…，Xn的的聯(lián)合分布。如果樣本X1,X2,…，Xn的觀測值記為則樣本的聯(lián)合分布為2023/12/64皖西學院數(shù)理系怎樣確定θ的取值呢？方法一：利用樣本的函數(shù)和總體參數(shù)的關系。如：其期望方法二：分析出現(xiàn)樣本觀測值的原因。出現(xiàn)該樣本觀測值的可能性〔概率〕應該較大。2023/12/65皖西學院數(shù)理系第二節(jié)估計方法2023/12/66皖西學院數(shù)理系一、替換原理與矩法估計所謂替換原理就是用樣本矩替換總體矩，也稱為矩法。1、基本思想：2023/12/67皖西學院數(shù)理系2、具體做法：【樣本矩替代總體矩】2023/12/68皖西學院數(shù)理系例1設有一批同型號的燈管，其壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機抽取其中的11只，測得其壽命如下：110，184，145，122，165，143，78，129，52，130，168.用矩法估計求λ的值。解:總體的期望EX=μ1=樣本均值=130.55.2023/12/69皖西學院數(shù)理系例2設總體有均值μ及方差σ2，今有6個樣本觀測值為-1.20，0.82，0.12，0.45，-0.85，-0.30.求μ和σ2的矩估計。解:2023/12/610皖西學院數(shù)理系例3設是來自上均勻分布樣本。，未知，求的矩估計。解：注：①矩估計不唯一（矩估計的缺陷）；

②一般盡可能用低階矩來估計。2023/12/611皖西學院數(shù)理系二、最大似然估計例4設有外形相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和99個黑球，現(xiàn)隨機取一箱，并從中取出一球，結果取得白球，問這只球是從哪個箱子取出的？【“最像”即是“最大似然”的意思】解：記B-取得白球，A1－取到甲箱，A2－取到乙箱.2023/12/612皖西學院數(shù)理系則這批觀測值出現(xiàn)的概率是

2023/12/613皖西學院數(shù)理系樣本的聯(lián)合分布2023/12/614皖西學院數(shù)理系2023/12/615皖西學院數(shù)理系2023/12/616皖西學院數(shù)理系所以似然函數(shù)為：2023/12/617皖西學院數(shù)理系2023/12/618皖西學院數(shù)理系2023/12/619皖西學院數(shù)理系最大似然估計的不變性2023/12/620皖西學院數(shù)理系第三節(jié)點估計的優(yōu)良性2023/12/621皖西學院數(shù)理系一、無偏性2023/12/622皖西學院數(shù)理系2023/12/623皖西學院數(shù)理系其中所以2023/12/624皖西學院數(shù)理系例2設總體服從R(0,θ)上的均勻分布，則θ的最大似然估計不具有無偏性。解：由上節(jié)知，θ的最大似然估計是總體X的密度為總體X的分布函數(shù)為2023/12/625皖西學院數(shù)理系所以的密度函數(shù)為注：θ的矩估計則是θ的無偏估計。即θ的最大似然估計不是θ的無偏估計。2023/12/626皖西學院數(shù)理系補充說明2023/12/627皖西學院數(shù)理系二、有效性無偏估計只涉及到一階矩（均值），雖然計算簡便，但是往往會出現(xiàn)一個參數(shù)的無偏估計有多個，而無法確定哪個估計量好。那么，究竟哪個無偏估計更好、更合理，這就看哪個估計量的觀察值更集中地接近在真實值的附近，即估計量的觀察值更密集的分布在真實值的附近。而方差是反映隨機變量取值的分散程度，所以無偏估計以方差最小者為最好、最合理。2023/12/628皖西學院數(shù)理系2023/12/629皖西學院數(shù)理系一般地，最大似然估計量比矩法估計量更優(yōu)良。2023/12/630皖西學院數(shù)理系三、相合性隨樣本容量的增大，估計值能穩(wěn)定于待估參數(shù)的真值，即是相合性。2023/12/631皖西學院數(shù)理系注：一般的估計量都具有相合性。2023/12/632皖西學院數(shù)理系2023/12/633皖西學院數(shù)理系四、均方誤差〔補充內(nèi)容〕2023/12/634皖西學院數(shù)理系均方誤差＝點估計的方差+偏差的平方