(詳細(xì)解析)2000年高考數(shù)學(xué)試題(全國(guó)舊課程)理科

2000年高考數(shù)學(xué)試題（全國(guó)舊課程）理科PAGEPAGE42000年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁(yè)．第II卷3至9頁(yè)．共150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)集合和都是自然數(shù)集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，則在映射下，象20的原象是A．2B．3C．4【答案】C【解析】，解得．2．在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A．B．C．D．【答案】B【解析】所求復(fù)數(shù)為．3．一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是A．B．C．6D．【答案】D【解析】設(shè)長(zhǎng)、寬和高分別為，則，∴，∴，∴對(duì)角線長(zhǎng)．4．已知，那么下列命題成立的是A．若是第一象限角，則B．若是第二象限角，則C．若是第三象限角，則D．若是第四象限角，則【答案】D【解析】用特殊值法：取，A不正確；取，B不正確；取，C不正確；D正確．5．函數(shù)的部分圖像是【答案】D【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，A、C錯(cuò)誤；且當(dāng)時(shí)，．6．《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過(guò)800元的部分不必納稅，超過(guò)800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于A．800~900元B．900~1200元C．1200~1500元D．1500~2800元【答案】C【解析】當(dāng)月工資為1300元時(shí)，所得稅為25元；1500元時(shí)，所得稅為元，所以選C．11．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段與的長(zhǎng)分別是，則等于A．B．C．D．【答案】C【解析】特殊值法．作軸，即將代入拋物線方程得，∴．【編者注】此題用一般方法比較復(fù)雜，并要注意原方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程．12．如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，上半部分由共底的兩個(gè)圓錐構(gòu)成，過(guò)向軸作垂線，垂足為，，∴，原圓錐的體積為，解得，∴．第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線．13．乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名參加比賽．3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有種（用數(shù)字作答）．【答案】252【解析】不同的出場(chǎng)安排共有．14．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是．【答案】【解析】方法一：（向量法）設(shè)，由題設(shè)，即，，又由得，代入并化簡(jiǎn)得，解得．方法二：（圓錐曲線性質(zhì)）設(shè)，∵，∴，又，，當(dāng)為鈍角時(shí)，，解得．15．設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則它的通項(xiàng)公式是．【答案】【解析】條件化為，∵∴，即，累成得．16．如圖，分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是．（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下兩個(gè)面上的射影是圖形②；投到左右兩個(gè)面上的射影是圖形③．三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)．（I）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，求自變量的集合；（II）該函數(shù)的圖像可由的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？【解】本小題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力．滿(mǎn)分12分．（Ⅰ）．——6分取得最大值必須且只需，即．所以當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，自變量的集合為——8分（Ⅱ）將函數(shù)依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)的圖像向左平移，得到函數(shù)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像；（iv）把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像；綜上得到函數(shù)的圖像．——12分18．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，且．（I）證明：；（II）假定，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；（Ⅲ）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？請(qǐng)給出證明．【解】本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系，邏輯推理能力，滿(mǎn)分12分．（Ⅰ）證明：連結(jié)，和交于，連結(jié)．∵四邊形是菱形，∴．又∵，∴，∴，∵，∴，——2分但，∴平面，又平面，∴．——4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴是二面角的平面角．在中，，∴．——6分∵，∴．∴，∴，即．作，垂足為．∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，所以．——8分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，能使平面證明一：∵，∴，又，由此可推得．∴三棱錐是正三棱錐．——10分設(shè)與相交于．∵，且，∴．又是正三角形的邊上的高和中線，∴點(diǎn)是正三角形的中心，∴平面．即平面．——12分證明二：由（Ⅰ）知，平面，∵平面，∴．——10分當(dāng)時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，同的證法可得，又，∴平面．——12分19．（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù)，其中．（I）解不等式；（II）求的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．【解】本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算、推理能力．滿(mǎn)分12分．（Ⅰ）不等式即，由此得，即，其中常數(shù)．所以，原不等式等價(jià)于即——3分所以，當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為．——6分（Ⅱ）在區(qū)間上任取，使得．．——8分（?。┊?dāng)時(shí)，∵，∴，又，∴，即．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)．——10分（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，，即，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．——12分20．（本小題滿(mǎn)分12分）（I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；（II）設(shè)是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列．【解】本小題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力，滿(mǎn)分12分．（Ⅰ）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故有，將代入上式，得，——3分即，整理得，解得或．——6分（Ⅱ）設(shè)的公比分別為，．為證不是等比數(shù)列，只需證．事實(shí)上，，．由于，又不為零，因此，故不是等比數(shù)列．——12分21．（本小題滿(mǎn)分12分）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．（Ⅰ）寫(xiě)出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；寫(xiě)出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿收益最大？（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/kg，時(shí)間單位：天）【解】本小題主要考查由函數(shù)圖像建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問(wèn)題，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿(mǎn)分12分．（Ⅰ）由圖一可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為——2分由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為．——4分（Ⅱ）設(shè)時(shí)刻的純收益為，則由題意得即——6分當(dāng)時(shí)，配方整理得，所以，當(dāng)時(shí)，取得區(qū)間上的最大值100；當(dāng)時(shí)，配方整理得所以，當(dāng)時(shí)，取得區(qū)間上的最大值．——10分綜上，由可知，在區(qū)間上可以取得最大值100，此時(shí)，即從二月一日開(kāi)始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大．——12分22．（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，已知梯形中，點(diǎn)分有向線段所成的比為，雙曲線過(guò)三點(diǎn)，且以為焦點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍．【解】本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，滿(mǎn)分14分．如圖，以的垂直平分線為軸，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則軸．因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．——2分依題意，記，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高．由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得．設(shè)雙曲線的方程為，則離心率．由點(diǎn)