三角形的內(nèi)角和八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬科版】專題三角形的內(nèi)角和姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021?寧波模擬〕△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，那么∠C＝〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，然后把∠A＝70°，∠B＝60°代入計算即可．【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°．應(yīng)選：A．2．〔2021秋?吳興區(qū)期末〕假設(shè)三角形三個內(nèi)角度數(shù)比為2：3：4，那么這個三角形一定是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定【分析】設(shè)三個內(nèi)角度數(shù)為2x、3x、4x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，解方程即可．【解析】設(shè)三個內(nèi)角度數(shù)為2x、3x、4x，由三角形內(nèi)角和定理得，2x+3x+4x＝180°，解得，x＝20°，那么三個內(nèi)角度數(shù)為40°、60°、80°，那么這個三角形一定是銳角三角形，應(yīng)選：A．3．〔2021春?常州期中〕如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應(yīng)點為A′，假設(shè)∠B＝60°，∠C＝80°，那么∠1+∠2等于〔〕A．40°B．60°C．80°D．140°【分析】證明∠1+∠2＝2∠A即可解決問題．【解析】連接AA′．∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠A＝40°∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，應(yīng)選：C．4．〔2021春?大東區(qū)期末〕如圖，AE是△ABC的角平分線，AD⊥BC于點D，假設(shè)∠BAC＝76°，∠C＝64°，那么∠DAE的度數(shù)是〔〕A．10°B．12°C．15°D．18°【分析】根據(jù)∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD，求出∠EAC，∠CAD即可．【解析】∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠CAB=12∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣64°＝26°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝38°﹣26°＝12°，應(yīng)選：B．5．〔2021春?新蔡縣期末〕在以下條件中，能確定△ABC是直角三角形的條件有〔〕①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，A．1個B．2個C．3個D．4個【分析】結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°逐個分析4個條件，可得出①②③中∠C＝90°，④能確定△ABC為等邊三角形，從而得出結(jié)論．【解析】①∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠C＝180°，即∠C＝90°，此時△ABC為直角三角形，①符合題意；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠A+∠B＝∠C，同①，此時△ABC為直角三角形，②符合題意；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，③符合題意；④∵∠A＝∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴ABC為等邊三角形，④不符合題意；綜上可知：①②③能確定△ABC為直角三角形．應(yīng)選：C．6．〔2021秋?松滋市期末〕如圖，三角形ABC，∠BAC＝90°，AD是三角形ABC的高，圖中相等的是〔〕A．∠B＝∠CB．∠BAD＝∠BC．∠C＝∠BADD．∠DAC＝∠C【分析】由三角形高的定義可得∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠BAC，由三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的性質(zhì)可求解．【解析】∵AD是三角形ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠BAC，∴∠B+∠C＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD，應(yīng)選：C．7．〔2021秋?連山區(qū)期末〕具備以下條件的△ABC，不是直角三角形的是〔〕A．∠A+∠B＝∠CB．∠A=12∠B=C．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A：∠B：∠C＝1：3：4【分析】分別求出各個選項中，三角形的最大的內(nèi)角，即可判斷．【解析】A、由∠A+∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，本選項不符合題意．B、由∠A=12∠B=13∠C，可以推出∠C、由∠A＝2∠B＝3∠C，推出∠A＝〔108011〕°，△ABCD、由∠A：∠B：∠C＝1：3：4，可以推出∠C＝90°，本選項不符合題意，應(yīng)選：C．8．〔2021秋?溫州期末〕如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度數(shù)是〔〕A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠DBC+∠DCB即可解決問題．【解析】∴∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，∴∠BDC＝180°﹣〔∠DBC+∠DCB〕＝120°，應(yīng)選：B．9．〔2021秋?渝北區(qū)校級月考〕如圖，將△ABC沿著DE翻折，使B點與B′點重合，假設(shè)∠1+∠2＝80°，那么∠B的度數(shù)為〔〕A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，結(jié)合平角的定義可求解∠BED+∠BDE的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠B的度數(shù)．【解析】由翻折可知：∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，∵∠1+∠BED+∠B'ED＝180°，∠2+∠BDE+∠B'DE＝180°，∴∠1+2∠BED+∠2+2∠BDE＝360°，∵∠1+∠2＝80°，∴2∠BED+2∠BDE＝280°，∴∠BED+∠BDE＝140°，∵∠BED+∠BDE+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣140°＝40°．應(yīng)選：C．10．〔2021秋?芝罘區(qū)期中〕如圖，BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，BF與CE交于G，假設(shè)∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，那么∠A的度數(shù)為〔〕A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角形角平分線的定義可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，從而不難求得∠A的度數(shù)．【解析】連接BC．∵∠BDC＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣130°＝50°，∵∠BGC＝100°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣100°＝80°，∵BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，∴∠GBD+∠GCD=12∠ABD+12∠∴∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠A＝180°﹣110°＝70°．應(yīng)選：B．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021秋?江津區(qū)月考〕如圖，∠1＝20°，∠2＝24°，∠A＝36°，∠BDC＝80度．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BDC的度數(shù)．【解析】∵∠DBC+∠DCB+∠1+∠2+∠A＝180°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣20°﹣24°﹣36°＝100°，∴∠BDC＝180°﹣〔∠DBC+∠DCB〕＝80°．故答案為：80．12．在△ABC中，三個內(nèi)角∠A，∠B，∠C滿足∠A＝3∠B﹣∠C，那么∠B＝45°．【分析】先整理得到∠A+∠C＝3∠B，再利用三角形的內(nèi)角和等于180°列出方程求解即可．【解析】∵∠A＝3∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝3∠B，又∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°．故答案為：45°．13．〔2021春?鹽城期末〕在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，那么∠C的補角為80°．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和解答即可．【解析】∵在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣35°﹣45°＝100°，∴∠C的補角＝180°﹣100°＝80°，故答案為：80°．14．〔2021春?南京期中〕如圖，AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，那么∠ADC的度數(shù)80°．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B，利用角平分線的定義求出∠BAD，再利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【解析】∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°﹣40°＝50°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+30°＝80°，故答案為80．15．〔2021春?姑蘇區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D點，AE平分∠BAC交BC于點E．假設(shè)∠C＝26°，那么∠DAE的度數(shù)為14°．【分析】利用垂直的定義得到∠ADC＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠CAD＝64°，接著利用角平分線的定義得到∠CAE＝50°，然后計算∠CAD﹣∠CAE即可．【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．故答案為14°．16．〔2021春?姑蘇區(qū)期中〕如圖，△EFG的三個頂點E，G和F分別在平行線AB，CD上，F(xiàn)H平分∠EFG，交線段EG于點H，假設(shè)∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，那么∠EHF的大小為75°．【分析】首先根據(jù)∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，求出∠FEH的大??；然后根據(jù)AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根據(jù)FH平分∠EFG，求出∠EFH的大??；最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠EHF的大小為多少即可．【解析】∵∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，∴∠FEH＝180°﹣36°﹣57°＝87°；∵AB∥CD，∴∠EFG＝∠AEF＝36°，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=12∠EFG=12∴∠EHF＝180°﹣∠FEH﹣∠EFH＝180°﹣87°﹣18°＝75°．故答案為：75°．17．〔2021春?鐵西區(qū)期末〕如果一個三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形“．假設(shè)△ABC是“準(zhǔn)互余三角形〞，∠C＞90°，∠A＝20°，那么∠B＝35°或50°．【分析】根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形〞的定義構(gòu)建方程即可解決問題．【解析】∵△ABC是“準(zhǔn)互余三角形〞，∠C＞90°，∠A＝20°，∴2∠B+∠A＝90°或2∠A+∠B＝90°，解得，∠B＝35°或50，故答案為：35°或50°．18．〔2021秋?單縣期末〕如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，∠ABC的平分線BE分別交CD、CA于點F、E，那么以下結(jié)論正確的①③④〔只填序號〕①∠CFE＝∠CEF；②∠FCB＝∠FBC；③∠A＝∠DCB；④∠CFE與∠CBF互余．【分析】①利用外角的性質(zhì)可得∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，由角平分線的性質(zhì)可得：∠5＝∠6，由同角的余角相等可得：∠A＝∠4，進而可得∠1＝∠2，即∠CFE＝∠CEF；②采用分析法，假設(shè)∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，由〔1〕可知：∠A＝∠4，進而∠A＝∠5＝∠6，然后由直角三角形兩銳角互余可得∠A＝30°，即只有當(dāng)∠A＝30°時，∠FCB＝∠FBC而沒有這個條件；③由同角的余角相等可得：∠A＝∠4，即∠A＝∠DCB；④由∠1＝∠2，∠1與∠5互余，可得∠2與∠5互余，即：∠CFE與∠CBF互余．【解析】如下圖，①∵BE平分∠ABC，∴∠5＝∠6，∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，∴∠A＝∠4，∵∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，∠1＝∠2，故∠CFE＝∠CEF，所以①正確；②假設(shè)∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，由〔1〕可知：∠A＝∠4，∴∠A＝∠5＝∠6，∵∠A+∠5+∠6＝180°，∴∠A＝30°，即只有當(dāng)∠A＝30°時，∠FCB＝∠FBC而沒有這個條件，故②錯誤；③∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，∴∠A＝∠4，即∠A＝∠DCB，故③正確；④∵∠1＝∠2，∠1+∠5＝90°，∴∠2+∠5＝90°，即：∠CFE與∠CBF互余，故④正確．故答案為：①③④．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021秋?禪城區(qū)期末〕：如圖在△ABC中，BD是角平分線，DE∥BC，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】根據(jù)∠A＝60°，∠BDC＝80°，可以得到∠ABD的度數(shù)，再根據(jù)BD是角平分線，DE∥BC，即可得到∠BDE的度數(shù)．【解析】∵∠A＝60°，∠BDC＝80°，∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝20°，∵BD是角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝20°，即∠BDE的度數(shù)是20°．20．〔2021秋?泉州期末〕如圖，點D是三角形ABC的邊BC延長線上一點，CE∥AB，求證：∠A+∠B+∠ACB＝180°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，再根據(jù)平角的意義得出結(jié)論．【解答】證明：∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE∠B＝∠DCE，∵∠ACE+∠DCE+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．21．〔2021春?射洪市期末〕如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠AEB的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】∵BE∥AD，∴∠ABE＝∠BAD＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝20°，∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠C+∠CBE＝90°+20°＝110°．22．〔2021秋?諸暨市校級月考〕如圖，△ABC中，高BD、CE相交于點H，假設(shè)∠A：∠ABC：∠ACB＝3：2：4，那么∠BHC為多少度？【分析】先設(shè)∠A＝3x，∠ABC＝4x，∠ACB＝5x，再結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°，可得關(guān)于x的一元一次方程，求出x，從而可分別求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性質(zhì)，可求出∠BHC．【解析】∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：2：4，故設(shè)∠A＝3x，∠ABC＝2x，∠ACB＝4x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴3x+2x+4x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝3x＝60°．∵BD，CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，∴在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝30°+90°＝120°．23．〔2021春?下城區(qū)期末〕如圖，BE是∠ABC的平分線，AE⊥AD，點C和點D在直線AB的同側(cè)，設(shè)∠ABE＝α，∠BAE＝β．〔1〕假設(shè)AD∥BC，探索α，β滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔2〕假設(shè)BE⊥AE，且β＝2α，求∠ABC的度數(shù)．〔3〕設(shè)γ＝∠DAB+∠ABC﹣180°，假設(shè)γ＝17°，且α+3β＝125°，求3α+4β的度數(shù)．【分析】〔1〕如圖1中，延長AE交BC于F．利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．〔2〕在Rt△ABE中，利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．〔3〕構(gòu)建方程組，利用整體代入的思想解決問題即可．【解析】〔1〕如圖1中，延長AE交BC于F．∵AD∥BC，AE⊥AD，∴AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝2α，∴∠ABF+∠BAF＝90°，∴2α+β＝90°．〔2〕如圖2中，∵AE⊥BE，∴∠E＝90°，∴α+β＝90°，∵β＝2α，∴α＝30°，∴∠ABC＝2α＝60°．〔3〕由題意：90°+β+2α＝180°+17°①α+3β＝125°②，①+②可得3α+4β＝232°．24．〔2021秋?文登區(qū)期末〕：△ABC中，AE是△ABC的角平分線，AD是△ABC的BC邊上的高，過點B做BF∥AE，交直線AD于點F．〔1〕如圖1，假設(shè)∠ABC＝70°，∠C＝30°，那么∠AFB＝20°；〔2〕假設(shè)〔1〕中的∠ABC＝α，∠ACB＝β，那么∠AFB＝α-β2；〔用α〔3〕如圖2，〔2〕中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，說明理由；假設(shè)不成立，請求出∠AFB．〔用α，β表示〕【分析】〔1〕由三角形的個內(nèi)角和定理可求解∠BA