基于Z變換的離散系統(tǒng)分析的設(shè)計(jì)說(shuō)明書(理論部分)

TOC\o"1-3"\p""\h\z\u目錄1摘要2關(guān)鍵詞：z變換定義；收斂域；系統(tǒng)的穩(wěn)定性；系統(tǒng)的因果性；零、極點(diǎn)分布2第一章序列的傅里葉變換31、將序列x(n)分成實(shí)部與虛部，32、將序列分成共軛對(duì)稱局部和共軛反對(duì)稱局部，x(n)=+4第二章Z變換的定義與收斂域51、Z變換的定義52、Z變換的收斂域53、有限長(zhǎng)序列Z變換的收斂域64、右邊序列Z變換的收斂域65、左邊序列Z變換的收斂域66、雙邊序列Z變換的收斂域7第三章利用Z變換解差分方程71、求及7第四章離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)81、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)82、用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性83、利用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性9結(jié)論11參考文獻(xiàn)11致謝11摘要介紹了z變換及其逆變換的根本概念，論述了利用極點(diǎn)判斷方法判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的原理和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)。任何系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下都會(huì)偏離原平衡狀態(tài)，開始產(chǎn)生偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才值得分析與研究。利用極點(diǎn)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該方法最有效，其計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，而matlab又能利用其工具箱快速計(jì)算出一個(gè)系統(tǒng)的零極點(diǎn)坐標(biāo)并能繪制出系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖，用戶可以直觀的判定一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，簡(jiǎn)便快捷。利用matlab分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，具有運(yùn)算簡(jiǎn)單、操作方便、處理速度快、分析結(jié)果可靠等優(yōu)點(diǎn)。由此可見，matlab為工程技術(shù)人員分析、設(shè)計(jì)較優(yōu)的控制系統(tǒng)提供了強(qiáng)有力的工具。關(guān)鍵詞：z變換定義；收斂域；系統(tǒng)的穩(wěn)定性；系統(tǒng)的因果性；零、極點(diǎn)分布第一章序列的傅里葉變換對(duì)于頻域函數(shù)，也可分解成共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和：式中，是共軛對(duì)稱分量，是共軛反對(duì)稱分量，它們滿足：=，=且：：共軛對(duì)稱分量，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；：共軛反對(duì)稱分量，它的實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。下面研究DTFT的對(duì)稱性，按下面兩局部進(jìn)行分析1、將序列x(n)分成實(shí)部與虛部=+j〔、都是實(shí)數(shù)序列〕那么：式中：=DTFT[]=，=DTFT[j]=j。結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)删植?，?shí)部對(duì)應(yīng)于中的，虛部和j一起對(duì)應(yīng)于中的。2、將序列分成共軛對(duì)稱局部和共軛反對(duì)稱局部x(n)=+∵=(+)=(－)將上面兩式分別進(jìn)行DTFT，得到：

DTFT[]=(+)=Re[]=

DTFT[]=()=jIm[]=j∴=+j

x(n)=+結(jié)論：序列的共軛對(duì)稱局部對(duì)應(yīng)于的實(shí)部，而序列的共軛反對(duì)稱局部對(duì)應(yīng)于的虛部加j。應(yīng)用：利用DTFT的對(duì)稱性討論當(dāng)h(n)是實(shí)序列時(shí)，其DTFT的特性?！遠(yuǎn)(n)是實(shí)序列，所以它所對(duì)應(yīng)的DTFT：=，具有共軛對(duì)稱性，的實(shí)部偶對(duì)稱，虛部奇對(duì)稱。第二章Z變換的定義與收斂域1、Z變換的定義假設(shè)序列為x(n)，那么冪級(jí)數(shù)〔〕稱為序列x(n)的Z變換，也稱為雙邊Z變換。式中z為復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。亦可將x(n)的Z變換表示為ZT[x(n)]=X(z)2、Z變換的收斂域我們知道，是一冪級(jí)數(shù)，只有收斂時(shí)Z變換才有意義。X(z)收斂的條件是：

()X(z)能夠收斂的z取值集合稱為X(z)的收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示。即：∴Z變換的公式〔〕常見的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，表示為：分子多項(xiàng)式的根是的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根是的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在。因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。3、有限長(zhǎng)序列Z變換的收斂域有限長(zhǎng)序列是指在有限區(qū)間n1≤n≤n2之間序列具有非零的有限值，在此區(qū)間外，序列值皆為零。有限長(zhǎng)序列Z變換為，所以收斂域?yàn)?<|z|<∞。如n1≥0，收斂域?yàn)?<|z|≤∞。如n2≤0，收斂域?yàn)?≤|z|<∞。4、右邊序列Z變換的收斂域右邊序列是指在n≥n1時(shí)，x(n)有值，在n＜n1時(shí)，x(n)=0。其Z變換為此式右端第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列的Z變換，它的收斂域?yàn)?≤|z|<∞，而第二項(xiàng)是z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，它的收斂域?yàn)?。綜合此兩項(xiàng)，只有兩項(xiàng)都收斂時(shí)級(jí)數(shù)才收斂。所以右邊序列Z變換的收斂域?yàn)椤Ｒ蚬蛄惺亲钪匾囊环N右邊序列，即n1=0的右邊序列。收斂域?yàn)椤惨部梢詫懗伞?，所以，|z|=∞處Z變換收斂是因果序列的特征。5、左邊序列Z變換的收斂域左邊序列是指在n≤n2時(shí)，x(n)有值，n＞n2時(shí)，x(n)=0。其Z變換為此式第二項(xiàng)是有限長(zhǎng)序列的Z變換，收斂域?yàn)?<|z|≤∞，第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)正冪級(jí)數(shù)，收斂域?yàn)?≤|z|<Rx+。綜合此兩項(xiàng)，只有兩項(xiàng)都收斂時(shí)級(jí)數(shù)才收斂，所以左邊序列Z變換的收斂域?yàn)?<|z|<Rx+。6、雙邊序列Z變換的收斂域這類序列是指n為任意值時(shí)x(n)皆有值的序列。雙邊序列的收斂域?yàn)榈谌吕肸變換解差分方程在第一章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過(guò)程簡(jiǎn)單設(shè)N階線性常系數(shù)差分方程為

()1、求及對(duì)()求雙邊Z變換：==/=，

h(n)=ZT-1[]=，

y(n)=ZT-1[]第四章離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對(duì)輸入為單位抽樣序列(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)。對(duì)h(n)進(jìn)行傅立葉變換得到：=，一般稱為為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。將h(n)進(jìn)行Z變換，得到，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。如系統(tǒng)的N階線性常系數(shù)差分方程，進(jìn)行雙邊Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式：如果的收斂域包含單位圓|z|=1那么，與的關(guān)系：=。即單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)2、用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果〔可實(shí)現(xiàn)〕系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足：當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定包含點(diǎn)。系統(tǒng)穩(wěn)定要求，對(duì)照Z(yǔ)T定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。所以系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含點(diǎn)和單位圓，那么收斂域表示為：r<|z|≤∞，0<r<1。也就是說(shuō)系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。3、利用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性=將上式因式分解，得到：=A式中，是的零點(diǎn)，是其極點(diǎn)。A參數(shù)影響傳輸函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布。下面采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。=A設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=代入，得：=A在z平面上，-用一根由零點(diǎn)指向單位圓上點(diǎn)B的向量表示。同樣-用由極點(diǎn)指向點(diǎn)B的向量表示，如圖。將向量用極坐標(biāo)表示：=，=，得到：=A==|A|

()=〔N=M〕

()當(dāng)頻率從零變化到2時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，按照()和(2.6.9)分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。按照()知道零極點(diǎn)的分布后，可以很容易地確定零極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)特性的影響。當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到極點(diǎn)附近時(shí)，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短因而幅度特性可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn)愈靠近單位圓，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度愈短，峰值愈高愈鋒利。如果極點(diǎn)在單位圓上，那么幅度特性為，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于零點(diǎn)，情況相反，當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到零點(diǎn)附近，零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值，零點(diǎn)愈靠近單位圓，谷值愈接近零。當(dāng)零點(diǎn)處在單位圓上時(shí)，谷值為零?？偨Y(jié)以上結(jié)論：極點(diǎn)位置主要影響頻響的峰值位置及鋒利程度，零點(diǎn)位置主要影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。結(jié)論：以上設(shè)計(jì)就是我和組員的這幾天的工作總結(jié)以及說(shuō)明，我負(fù)責(zé)理論局部伙伴負(fù)責(zé)程序局部，我們分工明確，認(rèn)真負(fù)責(zé)。最后寫出了這個(gè)總結(jié)，可能會(huì)有些錯(cuò)誤或不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤较Ｍ蠋熌芙o出點(diǎn)評(píng)和指點(diǎn)。以后我們還會(huì)在此根底上更加認(rèn)真地完成我們的工作。科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈龉ぷ?。參考文獻(xiàn)