新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題3　微重點(diǎn)9　數(shù)列的遞推關(guān)系（含解析）

微重點(diǎn)9數(shù)列的遞推關(guān)系專題三

數(shù)列

數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列，可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再利用公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用.考點(diǎn)一構(gòu)造輔助數(shù)列考點(diǎn)二利用an與Sn的關(guān)系專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引構(gòu)造輔助數(shù)列考點(diǎn)一(1)(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是√例1√√因?yàn)閍n－3an＋1＝2anan＋1，兩邊同除anan＋1，所以{an}為遞減數(shù)列，故B正確，C錯(cuò)誤；Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2×(30＋31＋…＋3n－1)－n(2)(2022·呂梁模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，則S100等于A.2100－3 B.2100－2C.2101－3 D.2101－2√由an＋1＋an＝3×2n得，an＋1－2n＋1＝－(an－2n).又a1－21＝－1，所以{an－2n}是首項(xiàng)為－1，公比為－1的等比數(shù)列，所以an－2n＝(－1)n，即an＝2n＋(－1)n，所以S100＝21＋22＋…＋299＋2100＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)99＋(－1)100(1)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，構(gòu)造an＋1＋λ＝p(an＋λ).(2)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，構(gòu)造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)].規(guī)律方法

(1)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，若an>980，則n的最小值是A.8 B.9 C.10 D.11跟蹤演練1√因?yàn)閍n＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，所以an－n＝2[an－1－(n－1)](n≥2，n∈N*).因?yàn)閍1＝3，所以a1－1＝2，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，則an－n＝2n，即an＝2n＋n，因?yàn)閍n－an－1＝2n－1＋1>0，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，因?yàn)閍9＝521<980，a10＝1034>980，所以滿足an>980的n的最小值是10.√…累加得利用an與Sn的關(guān)系考點(diǎn)二例2(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；方法一

由題意知當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＋Sn－1＝nan，∴Sn＋Sn－1＝n(Sn－Sn－1)，由S1＝a1＝3，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1a1＝3也滿足an＝3n，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n.方法二

由題意知當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＋Sn－1＝nan，∴當(dāng)n≥3時(shí)，Sn－1＋Sn－2＝(n－1)an－1，兩式相減得an＋an－1＝nan－(n－1)an－1(n≥3)，即(n－1)an＝nan－1，又由S2＋S1＝2a2得a2＝6，同理可得a3＝9，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n.在處理Sn，an的式子時(shí)，一般情況下，如果要證明f(an)為等差(等比)數(shù)列，就消去Sn，如果要證明f(Sn)為等差(等比)數(shù)列，就消去an；但有些題目要求求{an}的通項(xiàng)公式，表面上看應(yīng)該消去Sn，但這會(huì)導(dǎo)致解題陷入死胡同，這時(shí)需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1求出an.規(guī)律方法√跟蹤演練2所以當(dāng)n≥2時(shí)，又a1＝2也適合該式，故an＝2n.所以{an}為等比數(shù)列，√√√當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，即2(Sn－Sn－1)Sn＝1＋(Sn－Sn－1)2，當(dāng)n＝1時(shí)，解得S1＝1，又S1＝a1＝1，即an＋1<an，故B不正確；所以原不等式為ex≥x＋1(x≥0)，即ex－x－1≥0(x≥0)，令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，所以f′(x)＝ex－1，當(dāng)x≥0時(shí)，ex－1≥0恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)＝0，所以Sn≤

成立，故C正確；所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn化簡整理得n2＋3n－126≥0，當(dāng)n＝9時(shí)，92＋3×9－126＝－18<0，當(dāng)n＝10時(shí)，102＋3×10－126＝4>0，所以滿足Tn≥3的n的最小正整數(shù)解為10，故D正確.專題強(qiáng)化練√123456712345672.已知數(shù)列{an}滿足nan＋1＝(n＋1)an＋2(n∈N*)，且a1＝1，則a2023等于A.6065 B.6067

C.4044 D.4043√1234567因?yàn)閚an＋1＝(n＋1)an＋2，…12345671234567即an＝3n－2，當(dāng)n＝1時(shí)也成立，則a2023＝6067.1234567√1234567故S100＝S101－a101＝0.4.在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝3an＋2n＋1，則an等于√12345671234567∵an＋1＝3an＋2n＋1，1234567∴an＝bn·2n＝2·3n－2n＋1.5.(2022·洛陽模擬)若數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝0,2an＋1＝3an＋bn＋2,2bn＋1＝an＋3bn－2，則a2022＋b2022＝______.1234567220221234567因?yàn)?an＋1＝3an＋bn＋2，2bn＋1＝an＋3bn－2，所以2an＋1＋2bn＋1＝an＋3bn－2＋3an＋bn＋2＝4(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以{an＋bn}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋bn＝2n，所以a2022＋b2022＝22022.12345675根據(jù)題意，(n＋1)an－2(n＋1)an＋1＝an＋2an＋1，…1234567運(yùn)用累乘法計(jì)算得1234567當(dāng)n＝5時(shí)，2n·n(n＋1)＝960<1000，當(dāng)n＝6時(shí)，2