初中數(shù)學(xué)幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題分類專題匯總?cè)珪?shū)

初中數(shù)學(xué)幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題分類專題匯總?cè)珪?shū)近幾年有關(guān)“線段最值”的中考試題層出不窮，形式多樣，往往綜合了幾何變換、函數(shù)等方面的知識(shí)，具有一定的難度，具有很強(qiáng)的探索性，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，這些問(wèn)題盡管形式多樣、背景復(fù)雜、變化不斷，但都可以通過(guò)幾何變換轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的基本問(wèn)題．最值題目類型多：作圖、計(jì)算；有求差最大，求和最小；求周長(zhǎng)最小、求時(shí)間最短；求最值、已知最值求待定系數(shù)等；對(duì)稱載體多：幾乎涉及到初中全部的軸對(duì)稱圖形（角、線段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、拋物線、圓、坐標(biāo)軸）.我們知道“對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)”是三種保形變換。通過(guò)這三種幾何變換可以實(shí)現(xiàn)圖形在保持形狀、大小不變的前提下而使其位置發(fā)生變化，具有更緊湊的位置關(guān)系或組合成新的有利論證的基本圖形．通過(guò)幾何變換移動(dòng)線段的位置是解決最值問(wèn)題的有效手段，題目是千變?nèi)f化的，但是運(yùn)用幾何變換把最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題卻是不變的。數(shù)學(xué)問(wèn)題是千變?nèi)f化的，幾何變換的應(yīng)用也不是單一的，有些問(wèn)題需要多種變換的組合才能解決，看看以下策略對(duì)解決問(wèn)題能否奏效。（1）去偽存真。刨去不變的線段，看清楚究竟是幾段和的最小值問(wèn)題，必須仔細(xì)研究題目的背景，搞清楚哪些是動(dòng)點(diǎn)、哪些是定點(diǎn)、哪些是定長(zhǎng)。（2）科學(xué)選擇。捕捉題目的信號(hào)，探索變換的基礎(chǔ)，選擇變換的手段．平移把不“連”的線段“接”起來(lái)，旋轉(zhuǎn)把“碰頭”的線段“展”開(kāi)來(lái)重“接”，對(duì)稱把在同側(cè)的線段翻折過(guò)去重組，因此“不連——平移、碰頭——旋轉(zhuǎn)、同側(cè)——對(duì)稱”是一般的思路；對(duì)稱變換的基礎(chǔ)是軸對(duì)稱圖形，平移變換的基礎(chǔ)是平行線，旋轉(zhuǎn)變換的基礎(chǔ)是等線段，所以選擇哪種幾何變換還要看題目中具備何種變換的基礎(chǔ)信息。（3）怎么變換？對(duì)稱變換一般以動(dòng)點(diǎn)所在直線為對(duì)稱軸，構(gòu)建定點(diǎn)（直線）的對(duì)稱點(diǎn)（直線），如有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)就必須作多次變換；平移一般是移動(dòng)沒(méi)有公共端點(diǎn)的兩條線段中的某一條，與另一條對(duì)“接”；旋轉(zhuǎn)變換一般以定點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60°或90°。（4）怎么求值？幾何變換成了“兩折線”或“三折線”后，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”把“折線”轉(zhuǎn)“直”，找出最短位置，求出最小值。目錄一、一條線段最值1單動(dòng)點(diǎn)型1.1動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡——直線型1.2動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡——圓或圓弧型1.2.1定點(diǎn)定長(zhǎng)1.2.2定弦定角1.3動(dòng)點(diǎn)軌跡為其他曲線，構(gòu)造三角形2雙動(dòng)點(diǎn)型2.1利用等量代換實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化2.2利用和差關(guān)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化2.3利用勾股定理實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化2.4利用三角形邊角關(guān)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化二、兩條線段最值1PA+PB型1.1兩定一動(dòng)（將軍飲馬）1.2兩定兩動(dòng)過(guò)河拆橋四邊形周長(zhǎng)最小；1.3一定兩動(dòng)兩動(dòng)點(diǎn)不隨動(dòng)1.4三動(dòng)點(diǎn)2PA+K·PB型2.1“胡不歸模型”2.2阿氏圓三、“費(fèi)馬點(diǎn)”模型線段極值解題方略一、一條線段最值1單動(dòng)點(diǎn)型所謂的單動(dòng)點(diǎn)型指：所求線段兩端點(diǎn)中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題．通常解決這類問(wèn)題的思考步驟為三步：(一)分析“源動(dòng)點(diǎn)”的不變量。(二)分析“從動(dòng)點(diǎn)”與“源動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)關(guān)系。(三)分析“從動(dòng)點(diǎn)”的不變量。1.1動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡——直線型動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線，利用“垂線段最短”例1、如圖1，在中，,BC=1，D為AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，AED為等邊三角形，過(guò)D點(diǎn)作DE的垂線，F(xiàn)為垂線上任一點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，則線段CG長(zhǎng)的最小值是_________。方法指導(dǎo)：1．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線(射線、線段)時(shí)，可運(yùn)用“垂線段最短”性質(zhì)求線段最值．2．有時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡不容易確定，如例1，建議看到“中點(diǎn)”聯(lián)想“三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線”等性質(zhì)．3．試著觀察“動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到一些特殊位置時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)與其他定點(diǎn)連結(jié)的線段是否與已知邊有一‘定角’產(chǎn)生”，若成立，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線。如何在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中找尋“不變量”特征是突破這類問(wèn)題的關(guān)鍵。①當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡是直線；1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M的坐標(biāo)為(其中m為實(shí)數(shù))，當(dāng)PM的長(zhǎng)最小時(shí)，m的值為_(kāi)_________．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四邊形OACB的面積，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．②當(dāng)某一動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；1.如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE:ED＝1:3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為_(kāi)________.【變式1】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E在BC邊上，且BE:EC＝1:3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交邊AD或CD于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為_(kāi)__________.【變式2】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB＝2，AP＝1，E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)P作PE的垂線，交BC于點(diǎn)F，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑的長(zhǎng)是_____.【變式3】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，EP的延長(zhǎng)線交射線CD于F點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥EF，與射線BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C時(shí)，試求AE的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)G為FQ的中點(diǎn)，連結(jié)PG．①當(dāng)AE＝1時(shí)，求PG的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，試直接寫(xiě)出線段PG掃過(guò)的面積．2．如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，且AC＝BD＝AB＝1，點(diǎn)P是線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊△PAE和等邊△PBF，M為線段EF的中點(diǎn).在點(diǎn)P從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為_(kāi)_________．【變式1】已知AB＝10，點(diǎn)C、D在線段AB上且AC＝DB＝2；P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形APEF和正方形PBGH，點(diǎn)O1和O2是這兩個(gè)正方形的中心，連接O1O2，設(shè)O1O2的中點(diǎn)為Q；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)Q移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是______．【變式2】等邊三角形ABC中，BC＝6，D、E是邊BC上兩點(diǎn)，且BD＝CE＝1，點(diǎn)P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AC、AB的平行線交AB、AC于點(diǎn)M、N，連接MN、AP交于點(diǎn)G，則點(diǎn)P由點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)E的過(guò)程中，線段BG掃過(guò)的區(qū)域面積為_(kāi)_____．【變式3】如圖，四邊形ABHK是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)C、D在邊AB上，且AC＝DB＝1，點(diǎn)P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分別為MN、QR的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．3.如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得PD∶PE＝1∶3，以PE，PC為邊作平行四邊形PEFC，連接PF，則PF的最小值為_(kāi)_________.【延伸】在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在BC上取點(diǎn)P（P與B、C不重合），連接PA延長(zhǎng)至E，使PE∶PA＝x∶1，連接PD并延長(zhǎng)到F，使PF∶PD＝y(tǒng)∶1（x，y＞1），以PE、PF為邊作平行四邊形，另一個(gè)頂點(diǎn)為G，求PG長(zhǎng)度的最小值（用x，y表示）.【同型練】如圖，已知□OABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x＝1和x＝4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．③當(dāng)某一動(dòng)點(diǎn)與定線段一個(gè)端點(diǎn)連接后成的角度不變，則該動(dòng)點(diǎn)軌跡是直線。1．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OE的最小值是為_(kāi)_________.【變式】1.如圖，邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是________．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M為AB的中點(diǎn)．D是射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接ED，N為ED的中點(diǎn)，連接AN，MN．（1）如圖1，當(dāng)BD＝2時(shí)，AN＝______，NM與AB的位置關(guān)系是_________；（2）當(dāng)4＜BD＜8時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖2；②判斷（1）中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論；（3）連接ME，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求ME的長(zhǎng)的最小值？3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，線段BC上一動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)停止，以AP為邊在AC的右側(cè)做等邊△APQ，則Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)__________．【秒殺訓(xùn)練】1.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【】A.B.C.D.2.如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為【】A．B．C．3D．23.如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點(diǎn)。（1）求證：△MDC是等邊三角形；（2）將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即）與AB交于一點(diǎn)E，MC（即）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)A構(gòu)成△AEF．試探究△AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出△AEF周長(zhǎng)的最小值。1.2動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡——圓或圓弧型動(dòng)點(diǎn)軌跡為定圓，利用三點(diǎn)共線方法指導(dǎo)：1．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是定圓時(shí)，可利用“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑差”性質(zhì)求解．2．試著觀察“動(dòng)點(diǎn)與其他定點(diǎn)連結(jié)的線段長(zhǎng)是否為‘定值’或動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成的角是否為直角”，這是常見(jiàn)判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓的條件。1.2.1定點(diǎn)定長(zhǎng)Ⅰ動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或圓??；1.如圖1，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上任意一點(diǎn)，將△BEF沿EF所在直線折疊得到△PEF，連接AP，則CP的最小值________，AP的最小值是_________.1．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將長(zhǎng)為2的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)．如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動(dòng)到點(diǎn)A為止，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A→B滑動(dòng)到點(diǎn)B為止，那么在這個(gè)過(guò)程中，線段QF的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形的面積為_(kāi)____________．【變式1】在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，現(xiàn)有一根長(zhǎng)為2cm的木棒EF緊貼著矩形的邊（即兩個(gè)端點(diǎn)始終落在矩形的邊上），按逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng)一周，則木棒EF的中點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所圍成的圖形的面積_______cm2.【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PG的最小值為_(kāi)_______．【變式3】如圖，一根木棒AB長(zhǎng)為2a，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直線NO下滑，且B端沿直線OM向右滑行，則木棒中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，已知A端下滑到A′時(shí)，AA′＝()a，則木棒中點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)到P′所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)_______________．2．如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3．當(dāng)∠B最大時(shí)，BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長(zhǎng)度的最小值是________．4．如圖，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝33，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是________．5．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，則∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．6．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________．7．如圖，矩形ABCD中，AB＝2AB＝4，長(zhǎng)度為2的動(dòng)線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接EC，取EC的中點(diǎn)F，連接DF，則DF的取值范圍為_(kāi)_______。例2．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為_(kāi)________．變式：如圖，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)________．例3．如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝70°，點(diǎn)P在△ABC的外部，且與C點(diǎn)均在AB的同側(cè)，如果PC＝BC，那么∠APB＝_________．例4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E為AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)．將△EFB沿EF所在的直線折疊得到△EB'F，連接B'D，則B'D的最小值為_(kāi)________Ⅱ．定邊對(duì)定角模型1.2.2定弦定角II當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓?。?jiàn)直角→找斜邊（定長(zhǎng)）→想直徑→定外心→現(xiàn)“圓”形；見(jiàn)定角→找對(duì)邊（定長(zhǎng)）→想周角→轉(zhuǎn)心角→現(xiàn)“圓”形；【一般解題步驟】①讓主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)一下，觀察從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段弧。②尋找不變的張角（這個(gè)時(shí)候一般是找出張角的補(bǔ)角，這個(gè)補(bǔ)角一般為45°、60°或者一個(gè)確定的三角函數(shù)的對(duì)角等）③找張角所對(duì)的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓。④確定圓心位置，計(jì)算隱形圓半徑。⑤求出隱形圓圓心至所求線段定點(diǎn)的距離。⑥計(jì)算最值：在此基礎(chǔ)上，根據(jù)點(diǎn)到圓的距離求最值（最大值或最小值）。1．如圖，以G(0，1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_________.2．如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(7，3)，點(diǎn)E在邊AB上，且AE＝1，若點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，過(guò)點(diǎn)O作直線EP的垂線段，垂足為點(diǎn)H，在點(diǎn)P從F(0，)運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O的過(guò)程中，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．3．在正方形ABCD中，AD＝2，點(diǎn)E從D出發(fā)向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從C出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且始終保持DE＝CF，連接AE和DF交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________．4．等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于H，連接AH，則AH的最小值為_(kāi)_____．5．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．6．如圖，在邊長(zhǎng)為23的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D從C向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E以相同的速度從A出發(fā)向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接BE、AD相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．7．如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是____________.8.如圖，已拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(1，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0，2)，連結(jié)AC、BC．（1）求拋物線解析式；（2）BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，求直線DE的解析式；（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．9．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，則線段DP的最小值為_(kāi)_________。變式：直線y＝x＋4分別與x軸、y軸相交與點(diǎn)M、N，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC一個(gè)頂點(diǎn)O在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線AN與MC相交與點(diǎn)P，若正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)長(zhǎng)度的最小值是__________．10．如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C點(diǎn)D在第一象限，點(diǎn)E為正方形ABCD的對(duì)稱中心，連結(jié)OE，則OE的長(zhǎng)的最大值是____________．變式：如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(a，3a)（a＞0）．線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸與直線y＝kx上（B、C均與原點(diǎn)O不重合）滑動(dòng)，且BC＝2，分別作BP⊥x軸，CP⊥直線y＝kx，交點(diǎn)為P，經(jīng)探究在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中，P、O兩點(diǎn)間的距離為定值．11.如圖，開(kāi)口向下的拋物線交x軸于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，過(guò)頂點(diǎn)P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為M,N，連結(jié)CP,CM，∠CPM=45°，tan∠CMP=0.8.(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)D為射線PC上動(dòng)點(diǎn)，BD交△PMD的外接圓于點(diǎn)Q，求PQ的最小值.【強(qiáng)化訓(xùn)練】【例1】如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△ACD的外接圓，直線BD交⊙O于P點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，弧AE＝CP，則AD的最小值為_(kāi)______【例2】如圖，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE，則CE的最小值為_(kāi)______【練】如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)，連BP交△APC的外接圓于D，則AD的最小值為_(kāi)______【例3】如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長(zhǎng)為，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的面積的最大值是_________.【練】如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是（）【例4】如圖，邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，AD、BE交于P點(diǎn)，則CP的最小值為_(kāi)________【例5】如圖，A(1，0)、B(3，0)，以AB為直徑作⊙M，射線OF交⊙M于E、F兩點(diǎn)，C為弧AB的中點(diǎn)，D為EF的中點(diǎn)．當(dāng)射線繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，CD的最小值為_(kāi)_________【練】如圖8，AB是⊙O的直徑，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一動(dòng)點(diǎn)，D是AP的中點(diǎn)，連接CD，則CD的最小值為_(kāi)_________針對(duì)練習(xí)：1．如圖，在動(dòng)點(diǎn)C與定長(zhǎng)線段AB組成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，連接DE．當(dāng)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有，則點(diǎn)C到AB的距離的最大值是_________2．如圖，已知以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點(diǎn)，P為弧AC上任意一點(diǎn)，AD⊥AP交BP于D，連CD．若BC＝8，則CD的最小值為_(kāi)__________.1.3動(dòng)點(diǎn)軌跡為其他曲線，構(gòu)造三角形方法指導(dǎo)：1．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不是“定線”或“定圓”時(shí)，不妨將此線段轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形中，其中在該三角形中其他兩條邊位置不定但長(zhǎng)度確定，則所求線段的最大值為其他兩線段長(zhǎng)之和，最小值為其他兩線段長(zhǎng)之差．2．在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。例1、如圖,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON上,當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng),矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離.變式訓(xùn)練：1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，tan∠BAC=，點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，求線段CF長(zhǎng)度的最大值．2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離為_(kāi)__________。提示：取AC中點(diǎn)D，由BO≤OD＋BD＝1＋，知BO的最大值為1＋3.如圖，∠MON=90°，線段AB兩端點(diǎn)分別在邊OM，ON上，當(dāng)A在邊OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，B隨之在邊ON上運(yùn)動(dòng)，AB=2保持不變，以AB為邊向外作等邊△ABC，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形AOBC的面積的最大值是___________.4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm.（1）若OB=6cm．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值=___________cm．2雙動(dòng)點(diǎn)型解決雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，接著再用單動(dòng)點(diǎn)的方法解決線段最值問(wèn)題。有這樣一類雙動(dòng)點(diǎn)，它是由某一動(dòng)點(diǎn)所產(chǎn)生的，同樣就可用“源動(dòng)點(diǎn)”和“從動(dòng)點(diǎn)”的分析方法來(lái)處理，現(xiàn)總結(jié)思考前三個(gè)步驟：(一)分析“源動(dòng)點(diǎn)”的不變量．(二)分析“雙動(dòng)點(diǎn)”與“源動(dòng)點(diǎn)”間關(guān)系．(三)轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。顯然確定“雙動(dòng)點(diǎn)”與“源動(dòng)點(diǎn)”間關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。2.1利用等量代換實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化例1.△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,AC=4,BC=3,P是AB上一動(dòng)點(diǎn),且PE⊥AC于E,PF⊥BF于F,求EF的最小值.分析：點(diǎn)P帶動(dòng)點(diǎn)E、F，顯然點(diǎn)P是雙動(dòng)點(diǎn)E、F的“源動(dòng)點(diǎn)”。第一步，“源動(dòng)點(diǎn)”P(pán)在定邊AB上運(yùn)動(dòng)．第二步，由條件可知四邊形PECF為矩形，所以雙動(dòng)點(diǎn)EF與“源動(dòng)點(diǎn)”P(pán)存在等量關(guān)系EF=CP．第三步，C是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)且在一邊上運(yùn)動(dòng)，可轉(zhuǎn)化為“動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線的單動(dòng)點(diǎn)型”。提示：雙動(dòng)點(diǎn)線段能否等于圖中“源動(dòng)點(diǎn)”與某一定點(diǎn)連結(jié)的線段?2.2利用和差關(guān)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化例2、如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA，CB分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是___________．分析：本題的雙動(dòng)點(diǎn)P、D可看成由“源動(dòng)點(diǎn)”E產(chǎn)生．第一步，“源動(dòng)點(diǎn)”E在定邊上運(yùn)動(dòng)，且保持OE⊥AB,第二步，雙動(dòng)點(diǎn)PD是圓上的動(dòng)弦且所對(duì)圓周角為直角，因此PD為圓O直徑．源動(dòng)點(diǎn)與雙動(dòng)點(diǎn)滿足PD=CO+OE．第三步，PD長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為△COE三邊關(guān)系，當(dāng)C、O、E三點(diǎn)共線時(shí)CE最短，可轉(zhuǎn)化為“動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線的單動(dòng)點(diǎn)型”．當(dāng)CE上AB時(shí)PD長(zhǎng)度最小。提示：雙動(dòng)點(diǎn)線段能否表示成與“源動(dòng)點(diǎn)”相關(guān)線段的和(差)?2.3利用勾股定理實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化例3、如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=，圓O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的一條切線PQ(點(diǎn)Q為切點(diǎn))，則切線PQ的最小值為_(kāi)_____．分析：PQ為圓O切線，PQ⊥OQ，雙動(dòng)點(diǎn)PQ與“源動(dòng)點(diǎn)”P(pán)滿足勾股定理PQ2=OP2–OQ2，而0Q為定值1，因此要PQ最小只需OP取最?。畣?wèn)題可轉(zhuǎn)化為“動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線的單動(dòng)點(diǎn)型”提示：雙動(dòng)點(diǎn)的線段出現(xiàn)“垂直”信息時(shí)能否與“源動(dòng)點(diǎn)”構(gòu)成“直角三角形”，從而利用勾股定理實(shí)現(xiàn)單一動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化。2.4利用三角形邊角關(guān)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化例4、如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)O分別交于AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_________．分析：本題的難點(diǎn)就在于確定雙動(dòng)點(diǎn)EF與“源動(dòng)點(diǎn)”D的關(guān)系，即EF與AD之間的數(shù)量關(guān)系．連半徑構(gòu)造等腰△OEF，達(dá)到定角圓周角么EAF轉(zhuǎn)化為圓心角∠EOF，直徑AD轉(zhuǎn)化為半徑OE、0F，使EF與AD共存于一個(gè)三角形中，解三角形得EF=．因A是定點(diǎn)，D在線段BC上動(dòng)，問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為“動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線的單動(dòng)點(diǎn)型”。二、兩條線段最值1PA+PB型1.1兩定一動(dòng)（將軍飲馬）出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的解題方法這類試題的解決方法主要是通過(guò)軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，映射到直線的另一側(cè)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由“兩點(diǎn)之問(wèn)線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長(zhǎng)。引：如圖在直線l上找一點(diǎn)P使AP＋BP最短。解：（1）如果兩點(diǎn)在直線異側(cè)，如圖（1），連接AB交直線l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所示作的點(diǎn)；（2）如果兩點(diǎn)在直線同側(cè)，如圖（2），可通過(guò)軸對(duì)稱把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)在直線異側(cè)的情況。證明：如下圖所示，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在BD的延長(zhǎng)線上，取B關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連結(jié)AB'，與河岸線相交于P，則P點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)，只要從A出發(fā)，沿直線到P,再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的。如果在河邊的另外任一點(diǎn)C,則CB=CB’，但是，AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB?？梢?jiàn)，在P點(diǎn)外任何一點(diǎn)C，它與A、B兩點(diǎn)的距離和都比AP＋PB都長(zhǎng)。本質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短?！拘〗Y(jié)】通過(guò)“對(duì)稱”及構(gòu)建“兩點(diǎn)間的線段”基本圖形，將動(dòng)態(tài)變化中的線段通過(guò)轉(zhuǎn)換，達(dá)到變化過(guò)程中的極限狀態(tài)，得到最小值即“兩點(diǎn)間的距離”。路徑最短問(wèn)題，基本上運(yùn)用軸對(duì)稱，將分散的線段集中到兩點(diǎn)之間，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短，來(lái)實(shí)現(xiàn)最短路徑的求解，所以最短路徑問(wèn)題需要考慮軸對(duì)稱。兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（１）找準(zhǔn)對(duì)稱軸。動(dòng)點(diǎn)所在的直線即為對(duì)稱軸。（２）同側(cè)化異側(cè)。同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，通過(guò)作對(duì)稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，連線即與對(duì)稱軸相交，交點(diǎn)即是所求。將軍飲馬口訣：“和最小，對(duì)稱找”例1如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A(－1，0)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DCM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．例題2定義一種變換：平移拋物線得到拋物線，使經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)A．設(shè)的對(duì)稱軸分別交、于點(diǎn)D、B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)。如圖1，若，經(jīng)過(guò)變換后，，點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值．分析：如何找對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行變換是本題的難點(diǎn)，注意到點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，所以直線AC就是對(duì)稱軸，從而運(yùn)用對(duì)稱變換把線段PD轉(zhuǎn)化為線段PB進(jìn)行求解．解題策略：在不改變線段長(zhǎng)度的前提下，運(yùn)用對(duì)稱變換把對(duì)稱軸同側(cè)的兩條線段放在了對(duì)稱軸的兩側(cè)，把復(fù)雜的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”把“兩折線”轉(zhuǎn)“直”，找出最小位置，并求出最小值。變換的奧秘是：動(dòng)點(diǎn)在哪條直線上，就以這條直線為對(duì)稱軸，構(gòu)建某一定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．對(duì)稱變換是轉(zhuǎn)化的手段，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【牛刀小試】1．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．則PB＋PE的最小值是____________．2．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE的和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)_________．3．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為_(kāi)________．4．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)．若MN＝1，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P點(diǎn)在x軸上，若PA＋PB長(zhǎng)度最小，則最小值為_(kāi)___________．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，CD＝1，將△ABC沿直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)的最小值是__________。7．如圖，有一圓形透明玻璃容器，高15cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在容器內(nèi)壁柜上邊緣4cm的A處，停著一只小飛蟲(chóng)，一只蜘蛛從容器底部外向上爬了3cm的B處時(shí)（B處與A處恰好相對(duì)），發(fā)現(xiàn)了小飛蟲(chóng)，問(wèn)蜘蛛怎樣爬去吃小飛蟲(chóng)最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不計(jì)）．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)M在BC上，且BM＝1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則BN＋MN的最小值為_(kāi)_________。9．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE＋DE的最小值為_(kāi)______________．10.如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（,0）和（0,2），點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________。11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8，P是CD上的一點(diǎn)，且PD的長(zhǎng)為2，M是其對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DM＋MP的最小值是_____．12.菱形ABCO在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)，∠AOC=60°，點(diǎn)P是對(duì)角線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E(0，-1),問(wèn)：EP+AP最短是_____，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________.13.如圖，已知點(diǎn)A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________．14.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為【】A．130°B．120°C．110°D．100°15.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問(wèn)題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水。經(jīng)實(shí)地勘查后，工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）。兩村的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（12，7）。(1)若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短？(2)水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方，可使它到張村、李村的距離相等？1.2兩定兩動(dòng)過(guò)河拆橋【解決方法】平移變換平移變換的特征是：對(duì)應(yīng)線段平行且相等，它可以改變線段的位置卻不改變其方向和長(zhǎng)度。平移變換是把復(fù)雜的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題的重要手段?！締?wèn)題再現(xiàn)】（人教版七年級(jí)（下）第五章造橋選址問(wèn)題）如圖3，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，造橋在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋MN要與河岸垂直）在解決這道題題目前，我們先看以下模型：圖3【模型抽象】動(dòng)手操作一：如果把直線l1和點(diǎn)A向上運(yùn)動(dòng)，而直線l2和點(diǎn)B不動(dòng)，你會(huì)畫(huà)嗎？（平移要注意什么？）問(wèn)題：A、B為兩村莊之間隔著河流，河流兩岸為直線l1、l2，若在兩岸建橋CD，橋與河流兩岸垂直，橋建在何處，可使AC+CD+DB最短。策略：平移回去，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線上找一點(diǎn)D，使A’D+DB最短動(dòng)手操作二：如果P不動(dòng)，Q平移a個(gè)單位，你會(huì)畫(huà)嗎？（平移要注意什么？）問(wèn)題：如圖，若A、B為定點(diǎn)，而線段PQ長(zhǎng)為定值，當(dāng)P在何處，AP+PQ+QB最短?！拘〗Y(jié)】?jī)蓜?dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)(一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng))，并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型來(lái)解。（處理方法：當(dāng)兩點(diǎn)間有一段固定的距離時(shí)，利用平移可將這距離“壓縮為零”，再連接構(gòu)建“兩點(diǎn)間的線段”這一圖形。）例1如圖3，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，造橋在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋MN要與河岸垂直）分析：假設(shè)河的兩岸為直線．這個(gè)問(wèn)題要求“路徑AMNB最短”實(shí)際上就是“AM+BN”最短（因?yàn)椤皹蛞c河垂直”，橋長(zhǎng)是定值，也就是河兩岸的距離）．怎樣保證“AM+BN”最短呢？如圖4（1），把BN沿與河岸垂直的方向平移河的寬度到B′M（B為定點(diǎn)，則點(diǎn)B′為定點(diǎn)），則AM+BN=AM+B′M，點(diǎn)A、B′為定點(diǎn)，點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)A、M、B′三點(diǎn)在一直線上時(shí)，AM+B′M最?。忸}策略：運(yùn)用平移變換，在保持平移后的線段與原來(lái)的線段平行且相等的特性下，把無(wú)公共端點(diǎn)的兩條線段移到新的位置并“接起來(lái)”，變換成更簡(jiǎn)單的基本圖形．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”把“兩折線”轉(zhuǎn)“直”，找出最小位置．平移是轉(zhuǎn)化的手段，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【牛刀小試】1.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)．（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。四邊形周長(zhǎng)最??；兩定兩動(dòng)求四邊形周長(zhǎng)最小，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，那么動(dòng)點(diǎn)所在的兩條直線就為兩條對(duì)稱軸，再將兩定點(diǎn)作關(guān)于兩對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，分置于對(duì)稱軸兩側(cè)，再連接，構(gòu)建“兩點(diǎn)間的線段”這一基本圖形，通過(guò)對(duì)稱轉(zhuǎn)換，將三條動(dòng)態(tài)線段重新拼接在一起，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”實(shí)現(xiàn)“化折為直”，即得最短路線。例題、如圖8，已知拋物線與y軸交于A(0，3),與x軸分別交于B（1，0）和C（5，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式（2）若點(diǎn)D為線段OA的三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E）,再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路徑的長(zhǎng)．提示：本題的特征是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上運(yùn)動(dòng)，在兩條直線上各找一個(gè)點(diǎn)使之與兩個(gè)定點(diǎn)相連構(gòu)成的四邊形周長(zhǎng)實(shí)際還是三線段和，AM為定值）最?。虼朔謩e構(gòu)建兩個(gè)定點(diǎn)關(guān)于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，把“三折線”轉(zhuǎn)“直”，從而可求周長(zhǎng)的最小值．【牛刀小試】如圖，正比例函數(shù)的圖像有一點(diǎn)B，OB=1，點(diǎn)A在x軸上，A(3，0),點(diǎn)P,Q分別在射線OA，OB上，則BP+PQ+QA的最小值是_________.1.3一定兩動(dòng)一定兩動(dòng)型可轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”＋“垂線段最短”在這個(gè)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換中，關(guān)鍵是作定點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）關(guān)于動(dòng)折點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。通過(guò)等量代換將問(wèn)題化為兩定一動(dòng)（將軍飲馬問(wèn)題）兩動(dòng)點(diǎn)不隨動(dòng)一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)兩線段和最小值。方法：讓一個(gè)動(dòng)點(diǎn)保持不動(dòng)，尋找定點(diǎn)到定直線（動(dòng)點(diǎn)所在的直線）的最短距離，最后利用折大于直，斜大于垂。1．如圖△ABC中，AC＝6，∠BAC＝22.5°，點(diǎn)M、N分別是射線AB和AC上動(dòng)點(diǎn)，則CM＋MN的最小值是_________．2．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，N為線段AB上的任意一點(diǎn)，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM、MN，則BM＋MN的最小值是_______．3．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，那么CM＋MN的最小值是_________．4．如圖，鈍角△ABC的面積為18，最長(zhǎng)邊AB＝12，BD平分∠ABC，點(diǎn)M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM＋MN的最小值為_(kāi)_________．5．如圖，在銳角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是____．【變式1】菱形ABCD中，∠BAC＝45°，BC＝42，M、N、E分別在BD、BC、CD上運(yùn)動(dòng)，則MN＋ME的最小值為_(kāi)___．【變式2】點(diǎn)E是菱形ABCD邊BC的中點(diǎn)，∠ABC＝60°，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足PC＋PE＝15，則菱形ABCD面積的最大值為_(kāi)______．7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若點(diǎn)M、N分別是線段AC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值為_(kāi)______．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(0，0)、(20，0)、(20，10)．在線段AC、AB上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N，則當(dāng)BM＋MN為最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是_________．【小結(jié)】此類問(wèn)題處理方法是將雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為單動(dòng)點(diǎn)，然后利用將軍飲馬模型。對(duì)于兩動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以讓其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)暫時(shí)保持不動(dòng)，作此動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，從而將雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為單動(dòng)點(diǎn)，然后利用將軍飲馬模型，化折為直，最后利用定點(diǎn)到定直線之間垂線段最短找到最小值。1.4三動(dòng)點(diǎn)例題如圖11-4所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的點(diǎn)，則DE+EF+FD的最小值為_(kāi)_______.【練習(xí)】如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，P、M、N分別是BC，CA、AB邊上動(dòng)點(diǎn)，則PM＋MN的最小值是_______．總之，解決這一類動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，關(guān)鍵在于善于作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，或動(dòng)點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，這對(duì)于解決動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題有著事中功倍的作用。出現(xiàn)垂直找對(duì)稱；角平分線找對(duì)稱；正方形對(duì)角線找對(duì)稱；菱形對(duì)角線找對(duì)稱；拋物線對(duì)稱軸找對(duì)稱；圓中找對(duì)稱2PA+k·PB型2.1“胡不歸模型”【問(wèn)題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點(diǎn)D，船速為a，再乘汽車(chē)，車(chē)速為船速的n倍，點(diǎn)D選在何處時(shí)，所用時(shí)間最短？【特例分析】若n＝2，則時(shí)間t＝，當(dāng)a為定值時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點(diǎn)D，使得AD＋的值最?。鐖D②，過(guò)點(diǎn)C做射線CM，使得∠BCM＝30°．（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CM，垂足為E，試說(shuō)明：DE＝；（2）請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)D′，并說(shuō)明理由．【問(wèn)題解決】（3）請(qǐng)你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問(wèn)題（寫(xiě)出具體方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）．【模型運(yùn)用】（4）如圖③，海面上一標(biāo)志A到海岸BC的距離AB＝300m，BC＝300m．救生員在C點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)標(biāo)志A處有人求救，立刻前去營(yíng)救，若救生員在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生員從C點(diǎn)出發(fā)到達(dá)A處的最短時(shí)間．【套路歸納】①將所求線段和改寫(xiě)為“PA＋”的形式（＜1）；②在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度，使得；③過(guò)A作第②步所構(gòu)造的角的一邊垂線，該垂線段即為所求最小值．例題解析：例1、如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B的直線交拋物線于E，且tan∠EBA=，有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)處覓食，則螞蟻從A到E的最短時(shí)間是_______s．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線，再過(guò)D點(diǎn)作y軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)H，如圖，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA=，設(shè)DH=4m，EH=3m，則DE=5m，∴螞蟻從D爬到E點(diǎn)的時(shí)間==4（s）若設(shè)螞蟻從D爬到H點(diǎn)的速度為1單位/s，則螞蟻從D爬到H點(diǎn)的時(shí)間==4（s），∴螞蟻從D爬到E點(diǎn)所用的時(shí)間等于從D爬到H點(diǎn)所用的時(shí)間相等，∴螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)所用時(shí)間等于它從A以1單位/s的速度爬到D點(diǎn)，再?gòu)腄點(diǎn)以1單位/s速度爬到H點(diǎn)的時(shí)間，作AG⊥EH于G，則AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值為AQ的長(zhǎng)，當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0），直線BE交y軸于C點(diǎn)，如圖，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO=，∴OC=4，則C（0，4），設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直線BE的解析式為y=x+4，解方程組得或，則E點(diǎn)坐標(biāo)為，∴AQ=，∴螞蟻從A爬到G點(diǎn)的時(shí)間==（s），即螞蟻從A到E的最短時(shí)間為s．故答案為．例2、如圖，已知拋物線(k為常數(shù)，且k>0),與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止。當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？【套路練習(xí)】1．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在y軸上．一只電子蟲(chóng)從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲(chóng)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲(chóng)走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【變式】如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB＝AC，A(0，22)，C(1，0)，D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為_(kāi)___．2．如圖，一條筆直的公路l穿過(guò)草原，公路邊有一消防站A，距離公路5千米的地方有一居民點(diǎn)B，A、B的直線距離是13千米．一天，居民點(diǎn)B著火，消防員受命欲前往救火，若消防車(chē)在公路上的最快速度是80千米/小時(shí)，而在草地上的最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車(chē)在出發(fā)后最快經(jīng)過(guò)小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)B．（友情提醒：消防車(chē)可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛．）3．如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）試說(shuō)明CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD＋OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的直徑AB的長(zhǎng)．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B(4，0)、C(0，3)，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，AM⊥BC于點(diǎn)M交y軸于點(diǎn)N，滿足4CN＝5ON．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接AC，點(diǎn)D在線段BC上方的拋物線上，連接DC、DB，若△BCD和△ABC面積滿足S△BCD＝S△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，E為OB中點(diǎn)，設(shè)F為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接EF．一動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿著線段FC以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止．若點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少，請(qǐng)直接寫(xiě)出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．5．如圖，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC已知A(0，3)，C(3，0)．（1）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；（2）在（1）條件下，設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、已知在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0)、B(0,3)、C(3,0)，設(shè)D是線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AD，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，再沿線段DB以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到B后停止，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少時(shí)，當(dāng)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？2、已知在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0)、B(5,)、C(4,0)，設(shè)D為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AD，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，再沿線段DB以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到B后停止，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(,0)、B(0,4)、C(2,0)，設(shè)D為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AD，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，再沿線段DB以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到B后停止，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（—6,0），B（6,0），C（0,），延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使CD﹦AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F，分別連結(jié)DF、EF，若過(guò)B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.（要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D。（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則的最小值為_(kāi)____。（3）M（s，t）為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有________個(gè)；②連接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍。6、如圖，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？2.2阿氏圓【題目類型】求圓上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離最小值（系數(shù)不為1的兩線段和最值問(wèn)題）。例如，點(diǎn)P為圓O動(dòng)點(diǎn)，C、D為兩定點(diǎn)，求PC+k?PD最小值。【解題原理】?jī)删€段和最值問(wèn)題一般需要轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短。求線段和的最值問(wèn)題，一般依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的兩邊之和大于第三邊，垂線段最短，同圓或等圓中直徑是最長(zhǎng)的弦等四條公理貨定理。此題中的“PC+k?PD”是兩條線段的線性組合，那么最迫切需要解決的問(wèn)題是系數(shù)k的處理，也就是說(shuō)能否將k?PD轉(zhuǎn)化為一條以P為一個(gè)端點(diǎn)的線段，如果能，則可將問(wèn)題“PC+k?PD”轉(zhuǎn)化為兩條共頂點(diǎn)的線段和求最值問(wèn)題，即可利用最值四定理解決?！疽话憬忸}步驟】1.連接動(dòng)點(diǎn)至圓心O（將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接），則連接OP、OD；2.計(jì)算出所連接的這兩條線段OP、OD長(zhǎng)度；3.計(jì)算這兩條線段長(zhǎng)度的比OP/OD=m；4.觀察m值是否為等于所求線段和中的系數(shù)k；①如果m=k在這個(gè)三角形（△POD）中構(gòu)造母子三角形相似；OP、OD長(zhǎng)度已知且OP與OD夾角已知，利用SAS構(gòu)造相似(△MOP∽△POD)；構(gòu)造做法是過(guò)動(dòng)點(diǎn)P在另一條固定長(zhǎng)度的線段OD上找出一點(diǎn)M，這時(shí)候使得點(diǎn)M、圓心O、動(dòng)點(diǎn)P構(gòu)成的三角形△MOP與三角形相△POD似(△MOP∽△POD)；如果系數(shù)k小于1，在OD上找點(diǎn)M；如果系數(shù)k大于1，點(diǎn)M在OD的延長(zhǎng)線上。根據(jù)相似求出點(diǎn)M坐標(biāo)；②如果m≠k如果m≠k,一般需要對(duì)所求式子PC+k×PD進(jìn)行轉(zhuǎn)化；例如PC+2PD或PC+PD將2