函數(shù)圖像與變換

函數(shù)圖像與變換一、目標(biāo)定位1掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點法和圖象變換法2會利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題3用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題4掌握知識之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力二、知識梳理1．描繪函數(shù)圖象的基本方法有兩種：描點法與圖象變換法。2．描點法：通過、、三步，畫出函數(shù)的圖象，有時可利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性）以利于更簡便的畫出函數(shù)的圖象。3．函數(shù)圖象變換：①平移變換：⑴水平平移：如，把函數(shù)的圖象，沿軸方向向()或向()平移個單位，就得到的函數(shù)圖象。⑵豎直平移：如，把函數(shù)的圖象沿軸方向向()或向()平移個單位，就得到的函數(shù)圖象。②對稱變換：⑴如，其函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；⑵如，其函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；⑶如，其函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；⑷如，其函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于對稱。③翻折變換：⑴形如，將函數(shù)的圖象在軸下方沿x軸翻到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留在軸以上部分，為函數(shù)的圖象；⑵形如，將函數(shù)的圖象在軸右邊沿軸翻到軸左邊部分替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分，為函數(shù))的圖象。④伸縮變換：⑴形如()，將函數(shù)的圖象得到。⑵形如()，將函數(shù)的圖象得到。三、課堂互動知識點1：函數(shù)的圖象變換函數(shù)的圖象變換這一節(jié)的知識點是高考考查的重要方面，一些復(fù)雜的函數(shù)是可以通過一些較為簡單的函數(shù)由相應(yīng)的變換得到，從而我們可以利用之研究函數(shù)的性質(zhì)?！纠}1】（1）設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移1個單位得到，則為__________（2）要得到的圖像，只需作關(guān)于_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到（3）將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為_____鞏固練習(xí)（1）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_______（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于____對稱【例題2】已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函數(shù)f(x)的最小值為____．鞏固練習(xí)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為Ｒ，則函數(shù)y=f(x-1)與y=(1-x)的圖象關(guān)系為()Ａ、直線y=0對稱Ｂ、直線x=0對稱Ｃ、直線y=1對稱Ｄ、直線x=1對稱知識點2函數(shù)圖象的畫法以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，運(yùn)用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線．要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處．這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究．而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段。用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換。【例題3】畫出下列函數(shù)的圖象（1）（2）（3）鞏固練習(xí)=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵【例題4】作出下列函數(shù)的圖象（1）y=|x-2|(x＋1)（2）鞏固練習(xí)畫出下列函數(shù)的圖象知識點3函數(shù)圖象的識別通過對函數(shù)解析式的形式了解函數(shù)的圖象的特點，在識別上可以采用特殊的原則，去尋找特殊點和特殊位置等方法；在圖象變換的問題上，需要依據(jù)變換的方法對函數(shù)的圖象進(jìn)行變換，而得到函數(shù)的圖象；現(xiàn)在有一類很常見的的題型是和實際的生活相聯(lián)系的問題，比如例題6，對于這樣的問題首先需要我們把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題去進(jìn)行思考【例題5】已知y=f(x)的圖象如圖(A)，則y=f(-x)的圖象是_______；y=-f(x)的圖象是_______；y=f(x)的圖象是______；y=f(x)的圖象是_______。鞏固練習(xí)方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲線是() 【例題6】如下圖所示，向高為的水瓶同時以等速注水，注滿為止；（1）若水深與注水時間的函數(shù)圖象是下圖中的，則水瓶的形狀是；（2）若水量與水深的函數(shù)圖像是下圖中的，則水瓶的形狀是；（3）若水深與注水時間的函數(shù)圖象是下圖中的，則水瓶的形狀是；（4）若注水時間與水深的函數(shù)圖象是下圖中的，則水瓶的形狀是鞏固練習(xí)：某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中y軸表示離學(xué)校的距離，x軸表示出發(fā)后的時間，則適合題意的圖形是()知識點4函數(shù)圖象的應(yīng)用有關(guān)函數(shù)圖象的應(yīng)用在前面的幾個知識點當(dāng)中有適當(dāng)?shù)纳婕?，函?shù)的圖象在我們函數(shù)有關(guān)問題的解決中是有著相當(dāng)重要的作用，起著直觀，簡潔，化繁為簡的作用?！纠}7】方程的實根共有幾個？鞏固練習(xí)方程的實根共有幾個？四、小試身手【考題再現(xiàn)】1．(2006年重慶卷)如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是()2．（2006年江西卷）某地一年的氣溫Q（t）（單位：oc）與時間t（月份）之間的關(guān)系如圖（1）所示，已知該年的平均氣溫為10oc，令G（t）表示時間段〔0,t〕的平均氣溫，G（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應(yīng)該是（）10ocG(t)10ocG(t)G(t)10oc10ocG(t)10ocG(t)G(t)10octttt1266O12tt1266O12612OO圖（1）612OO圖（1）BABAD10ocG(t)O612CG(t)10oc612tOD10ocG(t)O612CG(t)10oc612tOtt3．(2006年山東卷）函數(shù)y=1+ax(0<a<1)的反函數(shù)的圖象大致是()（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）4．（2006年全國卷II）函數(shù)y＝f(x)的圖像與函數(shù)g(x)＝log2x(x＞0)的圖像關(guān)于原點對稱，則f(x)的表達(dá)式為()(A)f(x)＝EQ\f(1,log\S\do(2)x)(x＞0)(B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)(C)f(x)＝－log2x(x＞0)(D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)5．（2006年天津卷）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，記．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．6.（2006年上海春卷）設(shè)函數(shù).（1）在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；（2）設(shè)集合.試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；（3）當(dāng)時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.7．(2005年全國)設(shè)b＞0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖像為下列之一則a的值為(A)1 (B)1 (C) (D)8．[05山東，理2]函數(shù)的反函數(shù)圖像大致是（）（A）（B）（C）（D）【模擬訓(xùn)練】1．（北京市東城區(qū)2005—2006學(xué)年度綜合練習(xí)（二））已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,令,則關(guān)于有下列命題：（1）的圖象關(guān)于原點對稱； （2）為偶函數(shù)；（3）的最小值為0；（4）在（0，1）上為減函數(shù).。其中正確命題的序號為.2.（2006年北京市朝陽區(qū)綜合練習(xí)（一））如下圖，正方形ABCD的頂點A（0，），B（，0），頂點C、D位于第一象限，直線將正方形ABCD分成兩部分，記位于直線l左側(cè)陰影部分的面積為f(t)，則函數(shù)的圖象大致是（）3．（連云港市2006屆高三第二次調(diào)研考試）OxxxxyyyyOOxxxxyyyyOOOA．B．C．D．4．（北京市海淀區(qū)2005年11月高三數(shù)學(xué)期中考試）若函數(shù)則y=f(1－x)的圖象可以是（）（A）（B）（C）（D）5.（2006年南京市高三第一次模擬考試）函數(shù)的圖像大致是()6（湖北省黃岡中學(xué)2005—2006學(xué)年度上學(xué)期高三年級檢測題）若函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則一定有 （） A． B． C． D．五、參考答案：知識梳理2．列表、描點、連結(jié)3．（,左，右），（,上，下），（軸），（軸），（原點中心），（直線），（縱坐標(biāo)（橫坐標(biāo)不變）伸長()或壓縮()到倍），（橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)不變）壓縮()或伸長()到倍）課堂互動【例題1】（1）（2）答案為；右。在此要注意平移變換時，不是向左，這是很容易出錯的。（3）鞏固練習(xí)：（1）函數(shù)是偶函數(shù)，所以它的對稱軸為x=0，向左平移個單位得到函數(shù)，所以函數(shù)的對稱軸也將x=0向左平移個單位得到（2），函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱【例題2】f(x＋199)和f(x)這兩個函數(shù)的最小值是相同的，所以，得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2【例題2】鞏固練習(xí)：解：函數(shù)y=f(x)與y=f(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱，y=(1-x)=y=[-(x-1)],把y=f(x)與y=f(－x)的圖象同時都向右平移一個單位，就得到y(tǒng)=f(x-1)與y=(1-x)的圖象，對稱軸y軸向右平移一個單位得直線x=1，故選Ｄ?！纠}3】→關(guān)于軸對稱.→→x=1x=-1→關(guān)于軸對稱.x=1x=-1【例題3】鞏固練習(xí):從復(fù)合函數(shù)認(rèn)識，“先外層，后內(nèi)層，由基本的初等函數(shù)經(jīng)過復(fù)合（變換）作圖X=1=1\*GB2⑴，先對稱后平移再翻折；X=1=2\*GB2⑵，先平移后對稱再翻折,如圖.【例題4】(1)當(dāng)x≥2時，即x-2≥0時，當(dāng)x＜2時，即x-2＜0時，這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出（2）∵，∴為奇函數(shù)，從而可以作出時的圖像，又∵時，，∴時，的最小值為2，圖像最低點為，又∵在上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)，同時即以為漸近線，于是時，函數(shù)的圖像應(yīng)為下圖①，圖象為圖②：【例題4】鞏固練習(xí)形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對稱中心是點定義域（圖略）【例題5】【答案】y=f(-x)的圖象關(guān)于f(x)的圖象y軸對稱，y=-f(x)的圖象是關(guān)于f(x)的圖象x軸對稱所以答案分別為C，E，D，B鞏固練習(xí)：先作出f(x,y)=0關(guān)于軸對稱的函數(shù)的圖象，即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象，又f(2－x,y)=0即為，即由f(-x,y)=0向右平移2個單位。故選C?！纠}6】【答案】通過圖象觀察，隨著時間的，瓶的高度的增加是穩(wěn)定的，答案C隨著時間的增加，越在后段，瓶的高度增加越慢，答案A隨著時間的增加，瓶的高度先增加的較快，在后段則增加的較慢，答案D隨著時間的增加，越在后段，瓶的高度增加越快，答案B【例題6】鞏固練習(xí)：由題意可知，當(dāng)x=0時，y最大，所以排除A、C.又一開始跑步，所以直線隨著x的增大而急劇下降.答案：D【例題7】解：看成函數(shù)與函數(shù)的圖象相交，∵兩個曲線有一個交點，∴方程有一個解【例題7】鞏固練習(xí)解：畫圖得2個小試身手【考題再現(xiàn)】1.面積的增加速度是先逐漸增快然后減慢。答案D2.A；3.A；4.D；5.D6.[解]（1）（2）方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此由于.（3）[解法一]當(dāng)時，.，.又，①當(dāng)，即時，取，.，則.②當(dāng)，即時，取，＝.由①、②可知，當(dāng)時，，.因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.7.由題意知，所以可以排除前面的兩個圖，所以圖象經(jīng)過