2023屆高三年級下冊第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷集（含解析）

2023屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(l-i)z=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則5的實部為()

A.1B.-1C.0D.-i

2.中國明代商人程大位對文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時完成杰作《直指算法統(tǒng)

宗》.這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令

三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文為:

今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道

甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？請你計算甲應(yīng)該分得()

A.76石B.77石C.78石D.79石

3.cos50cos160-cos40sin160=()

A.3B.IC.--D.

2222

4.已知三棱錐P-ASC的四個頂點都在球。的球面上，?8=PC=26,AB=AC=4,

PA=BC=2,則球。的表面積為()

,316?79°158,、79

A.-----itB.—兀C.-----itD.—71

151555

5.2020年雙十二這一天，某實體店新進兩款棉服，統(tǒng)計如表所示，現(xiàn)用分層隨機抽樣

的方法從新進的商品中抽取6件，再從這6件中任抽2件檢測，則抽到的2件均為甲款

的概率為()

棉服甲款乙款

進貨數(shù)量2010

6.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)的圖象與丫=?、?的圖象關(guān)于直線y=x對稱，若

f(ni)=-l,則加的值是()

A.—eB.—C.eD.一

ee

7.記S“為數(shù)列｛4｝的前"項和，滿足q=1,-當(dāng)也，貝I]

1111

-----F------1--------F4----------=()

S[S2S3S2022

,2022.4044八2023八4043

A.----B.----C.----D.----

2023202320222022

8.已知尸為拋物線尸=4x的焦點，P為拋物線上任意一點，。為坐標(biāo)原點，若IP用=3,

貝”。()

A.2夜B.3C.2x/3D.如

9.關(guān)于x的方程序了="+4有唯一解，則實數(shù)&的取值范圍是()

A.k<-2^k>2

B.心-2或*2或k=±石

C.左<-2或&>2或4=±6

D.左<—2或&>2

二、多選題

10.下列命題為真命題的有()

A.過直線/外一點R存在唯一平面a與直線，垂直

B.過直線/外一點只存在唯一平面a與直線/平行

C.過平面a外一點只存在唯一平面用與平面。垂直

D.過平面a外一點只存在唯一平面/與平面a平行

11.下列函數(shù)的最小值為4的是()

4

A.y=x+-B.y=sinx+----(0<x<7C)

xsinx

4

r

c.^=e-+—D.y=log3x+41ogv3(x>l)

e

12.已知f(x)的定義域是R,/(x)既是奇函數(shù)又是減函數(shù).若a,bcR,且a+0<0,

則()

A.f(a+b)>0B.f(a)+f(b)<0

C.f(a+b)<0D.f(a)+f(b)>0

三、填空題

13.己知集合4={2,3},B={x|ax=l},若AB=B,則實數(shù)”的所有可能的取值組成

的集合為______.

14.已知函數(shù)〃x)=x—31nr在點(1J0))處的切線經(jīng)過點(a/),a>0,A>0,貝U萼^的

最小值為,

15.若x">—X、=4+q(x—1)+-1)-+…+4o(x—1)'”,則%=—

丁-2

16.已知產(chǎn)是雙曲線C：75」(?>0,Z?>0)的左焦點，4為右頂點,P是雙

曲線C上的點，PFLx軸，若|PF|=；|4F|,則雙曲線C的兩條漸近線的夾角的正弦值

為—

四、解答題

17.在等差數(shù)列｛%｝中，%+%=24,a17=66.

⑴求出022的值;

(2)2023是否為數(shù)列｛%｝中的項？若是，則為第幾項，若不是，請說明理由.

18.如圖，四邊形458為正方形，E,尸分別為AO,3c的中點，以O(shè)F為折痕把

折起.使點C到達(dá)點P的位置，且

P

⑵求QP與平面ABFD所成角的余弦值.

19.在‘A3C中，角A,8,C所對的邊分別為a,。,c,已知a=4,6=5^/5,C=45.

⑴求c；

⑵求sin2A.

20.2022年“中國航天日”線上啟動儀式在4月24日上午舉行，為普及航天知識，某

校開展了“航天知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該競賽的學(xué)生中隨機抽取了60名，統(tǒng)計他

們的成績(滿分100分)，其中成績不低于80分的學(xué)生被評為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整

理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

顏率

0.030

0.020F--------------\-Y—

0.015p---T—

0.010卜--------卜卜----

0005r；'nIIIII.

O405060708090100成績/分

(1)若該中學(xué)參加這次競賽的共有2000名學(xué)生，試估計全校這次競賽中“航天達(dá)人”的

人數(shù)；

(2)估計參加這次競賽的學(xué)生成績的80%分位數(shù)；

(3)若在抽取的60名學(xué)生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨

機抽取6人,則從成績在[70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了多少

人？

22

21.已知橢圓,+方=l(a>h>0),A、8兩點分別為橢圓的左頂點、下頂點，尸是

橢圓的右焦點，NFAB=J,直線/與橢圓相切與P(P在第一象限)，與>軸相交于Q(Q

異于P),記。為坐標(biāo)原點，若△OPQ是等邊三角形，且△OPQ的面積為且，

2

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)C、。兩點均在直線機：x=a,且C在第一象限，設(shè)直線A。、8c分別交橢圓于

點S,點7,若S、7關(guān)于原點對稱，求|CD|的最小值

22.已知定義在(0,+巧上的函數(shù)"力=4€".

⑴若“eR,討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若。>0,且當(dāng)xe(0,y)時，不等式±12之恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

(xJax

參考答案:

1.c

【分析】求出Z,即得解.

【詳解】解：（l-i）z=l+i,

1+i(l+i)(l+>)2i

所rr|1以1

.?萬的實部為0.

故選：C

2.C

【分析】設(shè)出未知數(shù)，列出方程組，求出答案.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙分得的米數(shù)為盧4x,『4則（》+"）—（X—4）=36,解得：0M8,

(x+d)+x+(x-4)=180,解得：A=60,所以廣片60+18=78(石)

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦的和角公式求解即可.

【詳解】解：cos50cos160-cos40sin160=cos50cos160-sin50sin160

=cos（50+160）=cos（180+30）=-cos30=-—

故選：D

4.A

【分析】根據(jù)給定條件，證明24,平面ABC,再確定球心。的位置，求出球半徑作答.

【詳解】在三棱錐P—ABC中，如圖，AB2+PT=20=尸4，則%同理小，AC,

而ABAC=A,ABC,因此24_L平面ABC,

1BC

在等腰U1BC中，AB=AC=4,BC=2,則」，

AB4

sinZABC=-Jl-cos2ZABC=—,

試卷第5頁，共16頁

令的外接圓圓心為°一則°。一平面A-?嬴轟=落

有OOJ/P4,取上4中點〃，連接0D,則有OD_LPA,又QAu平面A3C,即Q4J.P4,

從而。A//OD,四邊形為平行四邊形，00I=40=1,又OO、LO,A,

22

因此球。的半徑店=。矛=O,A+0｝0

所以球。的表面積5=471代=當(dāng)7t.

故選：A

5.B

【分析】由題可得抽取的6件新進產(chǎn)品中，乙款有2件，甲款有4件，然后利用列舉法

及古典概型概率公式即得.

【詳解】根據(jù)題意得抽取的6件新進產(chǎn)品中，乙款有2件，記為力，反甲款有4件，

記為a,b,c,d,

從這6件中任意選取2件，所有可能的情況有a，，ac,ad,aA,aB,be,bd,bA,bB,

cd,cA,cB,dA,dB,AB,共15種，

其中抽到的2件均為甲款的有a。，ac,ad,be,bd,cd,共6種,

故所求概率p=s=l.

故選：B.

6.D

［分析］由題得fM=Inx,根據(jù)，(m)=-1即得解.

【詳解】解：因為函數(shù)/*)的圖象與丁=靖的圖象關(guān)于直線y=x對稱,

所以/(x)=lnx,

因為/(M=T,所以Inm=-1,."7='.

e

故選：D

7.B

【分析】先由S“與4的關(guān)系可得｛為｝是以1為公差的等差數(shù)列，進而可得S〃,(，再利

用裂項相消法求和即可

【詳解】由得手+〃=2q+1,即2s.+/=2〃“"+”①，

當(dāng)”N2時，2sl+(〃一I)?=2(〃-1)4_1-1)②，

2

①-②得，25“+/_2Sn_i-(n-1)=2nalt+〃-2(〃-1)%-(九-1),

試卷第6頁，共16頁

即2a“+2M-1=“一2(〃-1)。,1+1,

即2(“-1)%-2(〃-1)加=2(〃-1),

所以a"-““-I=1,〃22且“eN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列，

又4=1,

所以4,=〃，

貝”“=〃+〃-1++3+2+1=(，+「",”=1時也符合，

2

則S」向)〃1.2「1]

用2，S,,一(〃+1)〃[〃〃+J'

,1111^<,111111c(1、4044

7S,S2S3S2022I22320222023J(2023)2023

故選：B.

8.C

【分析】根據(jù)拋物線定義結(jié)合I尸產(chǎn)1=3,求得點月的坐標(biāo)，即可求得答案.

【詳解】由題意尸為拋物線y2=4x的焦點，則尸(1,0),且準(zhǔn)線方程為尸-1,

設(shè)「鬲,井)，由|PF|=3可得％+1=3,；.與=2,代入V=4x得y；=8,

即P(2,±2VI),故|OP|="x：+W=疝=26

故選：C

9.C

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為曲線y=與丫=入+4有唯一交點，采用數(shù)形結(jié)合的方式

可確定臨界狀態(tài)，結(jié)合圓的切線方程的求解方法可求得臨界值，結(jié)合圖形可得結(jié)果.

【詳解】方程有唯一解等價于曲線產(chǎn)“^7與〉="+4有唯一交點，

由丫="^7得：x2+y2=4(y>0),則其圖形為以(0,0)為圓心，2為半徑的圓的上半

部分；

丫=丘+4為恒過定點(0,4)的直線：

作出y=(4-爐與。=履+4圖象如下圖所示,

試卷第7頁，共16頁

由圖象可知：當(dāng)/=右或&=/或*＞匕或時，曲線y=j4-f與（=履+4有唯一

交點;

4

當(dāng)直線丫=履+4與圓x?+y2=4（y20）相切時，-^==2,解得：k=±拒，

即匕=6,匕=；

4-04-0

又用=土上=2,Jt,=-=-2

10+2-0-2

方程，4一3=七+4有唯一解時,實數(shù)4的取值范圍為4＜-2或火＞2或&=±g.

故選：C.

10.AD

【分析】對AD,利用反證法推出矛盾判斷即可；對BC,舉反例判斷即可;

【詳解】對A,假設(shè)過直線，外一點只存在另一平面￡與直線/垂直，又垂直于同一

直線的兩平面平行,

這與Peac6矛盾，所以不存在另一平面￡與直線/垂直，所以A正確;

假設(shè)過平面a外一點P,存在不同于￡的平面丫也與平面。平行,則///月，這與2e7/3

矛盾,

試卷第8頁，共16頁

所以不存在不同于尸的平面/也與平面。平行，所以D正確.

故選：AD

11.CD

【分析】A選項，當(dāng)x<0時不成立；B選項，利用基本不等式，但等號取不到，故錯誤；

CD選項，利用基本不等式可求出最小值為4.

【詳解】當(dāng)XV。時，y=%+二無最小值，故A錯誤；

x

當(dāng)Ovxv兀時，sinx>0,由基本不等式可得：y=sinx+—^―>2./sinx--=4,

sinxVsinA:

4

當(dāng)且僅當(dāng)sinx=----,即sinx=2時，等號成立，顯然-IKsinxWl,

sinx

所以等號取不到，故B選項錯誤；

e、>0,由基本不等式得：y=ex+->2jex--=4,當(dāng)且僅當(dāng)e，=j即x=ln2時,

eVee

等號成立，故C正確；

因為x>l,所以log3》>0,由基本不等式得：y=log3X+4log、.322J410g3x?log、.3=4,

當(dāng)且僅當(dāng)log3X=41og,3,

即k>g3X=2,x=9時，等號成立，故D正確.

故選：CD

12.AD

【分析】根據(jù)/(x)定義域為R,且其既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，可知"0)=0,結(jié)合

a+b<0即可判斷A,C選項，a+b<O,^\a<-b,結(jié)合其單調(diào)性和奇偶性得到

/(?)>-/(/7),即可判斷B,D選項.

【詳解】/(x)的定義域為R，且Ax)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，

則"0)=0，a+b<0,.-./(a+&)>/(0)=0,故A正確，C錯誤，

。+力<0,則4<一/7,

又/")是在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，

BP./■(?)>-/(&),

.-.f(a)+f(b)>0,故D正確,B錯誤.

故選：AD.

試卷第9頁，共16頁

【分析】由條件可知3。A,則3=0或8={2}或8={3},然后再求解。的值.

【詳解】由AB=B得BqA,則8=0或3={2}或3={3}

當(dāng)3=0時，a=0,當(dāng)3={2}時，—=2,得a=g或工=3,得a=；,

所以實數(shù)”的所有可能的取值組成的集合為1o，；，；}.

故答案為：10,\）

14.6

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義求出切線方程，得到為+6=3,再利用基本不等式“1”

的妙用求出最小值.

【詳解】/（i）=i,則切點為（1」），又「（》）=1-；，切線斜率為r⑴=-2,

切線方程為了=-2》+3,又點（。力）在切線上，2a+b=3,

Sa+h81

則-H—=6,

ahha

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=2,即6=2時等號成立.

ba2

故答案為：6.

15.251

【詳解】令X—l=r,則。+1-一（/+1）5=%+卬+”2*+.......+《。嚴(yán)，％為廣的系數(shù),

其中Q+1廠展開式中尸的系數(shù)為小,“+1）5展開式中戶的系數(shù)為穹，則

4=C『C；=252-1=251.

【點睛】解決二項式定理問題，第一常利用通項公式，求出展開式的某些指定項，第二

要熟悉二項式系數(shù)及性質(zhì)，弄清楚二項式系數(shù)和項的系數(shù)，第三要掌握賦值法求系數(shù)和，

第四要學(xué)會利用換元法轉(zhuǎn)化問題.

24

16.—##0.96

25

【分析】由雙曲線的定義及性質(zhì)構(gòu)建齊次方程求得雙曲線離心率，即可求出漸進線的斜

率，由兩直線的夾角公式及切弦互換即可求兩漸進線的夾角的正弦值.

【詳解】由題可得|Aq=a+c,設(shè)P（xy）,????，工軸，則戶-J代入雙曲線方程

可得歸尸|=3=?,

由|PF|=；|A目得\=；（4+c）,即

試卷第10頁，共16頁

=—(?+<?)=>4c2-5tz2-^c=0=>4e2-e-5=0,解得e=2或-1(舍).

?1\，A

故漸近線斜率&=±2=

=±，寧=±內(nèi)=±i

A\4I24

由兩直線的夾角公式得兩漸進線的夾角。滿足tan0=-3、飛=T，故兩條漸進線

l+-x

4

sin?。tan2<924

的夾角的正弦值為sin0=

sin20+cos2@tan26>+l25

24

故答案為：—

17.(1)8086

⑵不是，理由見解析

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項為q,公差為%由4+%=24,%=66求解;

(2)令?！?4〃-2=2023求解.

【詳解】(1)解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛q｝的首項為q，公差為&

由。2+%=24,%=66,

所以數(shù)列也｝的通項公式為4=2+4(幾-1)=4〃-2.

所以限=4x2022-2=8086.

(2)令?！?4〃-2=2023,

解得力=「—任N,

4

所以2023不是數(shù)列｛4｝中的項.

18.(1)證明見解析；

⑵姮

4

【分析】(1)先證明8尸，平面抬尸，再由面面垂直的判定定理得結(jié)論：

(2)作PH1.EF,垂足為〃，得PH_L平面ABFD,以〃為坐標(biāo)原點，建立如圖所示

試卷第11頁，共16頁

的空間直角坐標(biāo)系〃-町2,由線面垂直的性質(zhì)定理得線線垂直，求得圖形中的線段長

得出P點坐標(biāo)，然后用空間向量法求線面角.

【詳解】(1)由已知可得，BFYPF,BFVEF,

又PFEF=F,PF,EFu平面PEF,

所以平面PEF,又8尸u平面AB")，

所以平面PEF_L平面ABFD;

(2)作PH_LEF,垂足為〃,又平面「￡7」平面AB/D，平面「EF1平面A3/X)=E尸，

P”u平面PEF,所以P〃_L平面MFD，

以〃為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”-個2,

不妨設(shè)|BF|=1,

因為DE//BF,8尸_1平面「后產(chǎn)，所以QE1平面正戶，PEu平面PER,

所以DELPE,又DP=2,DE=\,所以PE=G，又PF=1,EF=2,

故可得PH=~~~,EH=一,

22

則“(0,0,0),P(0,0,—),D(-l,--,0),則DP=(l；,g],

221221

易知平面ABED的一個法向量為〃=(0,0,1),

0+0+—

所以cos(〃,OP)=n-DP_______2_

2

設(shè)OP與平面ABFD所成角為6,則sin。=|cos('DP^=，,

???cos"叵,即DP與平面ABED所成角的余弦值為叵.

44

19.(1)726

試卷第12頁，共16頁

【分析】（1）根據(jù)已知條件及余弦定理即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及正弦定理，利用大邊對大角及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合

二倍角的正弦公式即可求解.

【詳解】(1)因為<?="+從-2aZ?cosC,且a=4,b=5&,C=45,

所以c?=16+50-2x4x5&x立=26,

2

所以c=A/26.

(2)由(1)知，c=>/26,

因為就=浣且。=4,c=^26，

所以3必=四吆2>/13

13

因為。<〃，所以A為銳角，

所以cosA=Vl-sin2A=,

13

12

故sin2A=2sinAcosA=—?.

20.(1)600人;

⑵85；

（3）3人，2人，1人.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求成績在［80,100］內(nèi)的頻率，從而可求“航天達(dá)

人”的人數(shù).

（2）根據(jù)頻率和可確定成績的80%分位數(shù)在［80,90）內(nèi)，根據(jù)公式可求80%分位數(shù)；

（3）根據(jù)成績在［70,80）,［80,90）,根0,100］的頻率比值可求各自抽取人數(shù).

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，成績在［80,100］內(nèi)的頻率為0.020X10+0.010

X10=0.3,

則估計全校這次競賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)約為2000X0.3=600人.

（2）由頻率分布直方圖可知，成績在［40,50）內(nèi)的頻率為0.005X10=0.05,

成績在［50,60）內(nèi)的頻率為0.015X的=0.15,

成績在［60,70）內(nèi)的頻率為0.020X10=0.2,

成績在［70,80）內(nèi)的頻率為0.030X10=0.3,

成績在［80,90）內(nèi)的頻率為0.020X的=0率,

所以成績在80分以下的學(xué)生所占的比例為70%,成績在90分以下的學(xué)生所占的比例為

試卷第13頁，共16頁

90%,

08_Q7

所以成績的80%分位數(shù)一定在［80,90)內(nèi)，而80+10xJ二=80+5=85,

0.9-0.7

因此估計參加這次競賽的學(xué)生成績的80%分位數(shù)約為85.

0.3

(3)因為6x6x____________.=26x

0.3+0.2+0.10.3+0.2+0.1-'0.3+0.2+0.1

所以從成績在[70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了3人，2人，1人.

21.(1)—+/=1

3

⑵6

JT

【分析】(1)由4弘8=￡可得。=屜，再根據(jù)△。尸。是等邊三角形，求出點P

6

代入橢圓方程即可求解；

⑵結(jié)合(1)可得3(0,-1),設(shè)T(瓜。s/sin。)，0<^<|,寫出直線87的方程，求出

點C的坐標(biāo)，同理求出點O,利用兩點間距離公式和不等式即可求解.

TTrM

【詳解】(1)VZFAB=~,v

6

立

???△OPQ是等邊三角形，；=2今OP。,則0尸=血,

夜

兀71瓜

?：ZQOP=~,APOF=-,=2

36斗二'

2261

將P代入A與j4+^=11

a~b~

a—y/3b

a=百

gi,解得，

4+2=ib=\

a2b2

試卷第14頁，共16頁

(2)因為8(0,-1),設(shè)T(Gcos9,sin，)，0<6?<p

則直線87：》=岌篝x—所以sin，+l

------------1

cos。

因為人一6,0),S(—6cosa-sin。)，則直線AS：y=sin，(x+6),

Geos"6

2sin<9

所以

cos0-l

2sin紇。sg+sin^+cos"4sin"

sinO+12sin0

所以|CD|=--------j--------222222-1

cos。COS0-1cos^-sin^-2sin^

222

0

設(shè)tan,=/(O<f<

114114

+當(dāng)且僅當(dāng)。=b時取等，???；+上2丁二一=4,

aba+b\-ttl-t+t

當(dāng)且僅當(dāng)，=g,等號成立，所以|。力26,即|cq的最小值為6.

22.(1)分類討論，答案見解析；

⑵[[,+<?).

e

【分析】(1)求出函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)((X),再分類討論解/Kx)>0和r(x)<0作答.

(2)當(dāng)0<x41時，可得〃為任意正數(shù)，當(dāng)x>l時，變形給定不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用

單調(diào)性建立不等式，分離參數(shù)求解作答.

【詳解】(1)函數(shù)=x>0,求導(dǎo)得：=二[+a&-e"=一;;l1.e"',

當(dāng)時，/'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)”<。時，由f'(x)>0得由r(x)<0得則在(o,_1)上遞

增，在(-J,+8)上遞減，

2a

所以當(dāng)時，函數(shù)“X)的遞增區(qū)間是(0,+8)；

當(dāng)。<0時，函數(shù)“X)的遞增區(qū)間是(0,-1)，遞減區(qū)間是(-!-,+◎.

2a2a

axi

(2)因為a>0,且當(dāng)xe(0,田)時，不等式(J產(chǎn)2厘恒成立，

xax

e"Inr

當(dāng)0<xWl時，V?>0,亙成立，因此。>0,

xax

e"]nx.

當(dāng)x>1時，(——產(chǎn)>02aIneat-2a\nx>ln(lnx)-ln(ar)

xax

試卷第15頁，共16頁

<=>2〃Inear+ln(lneav)>2a\nx+ln(lnx),

令g(x)=2ar+lnx,原不等式等價于g(lne)>g(lnx)恒成立，

而g'(x)=24+,>0,即函數(shù)g(x)在(1,丑功上單調(diào)遞增,因此Vx>eav>lnx,

x

i、[、lnx,Inx1-lnx

HK|nJVwx>1,ar>InxO>---,令/z(x)=----,x>1,nf(x)=m—,

XXX"

當(dāng)l<x<e時，〃'(x)>0,當(dāng)X>e時，”(幻<0,函數(shù)/2(x)在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,+a))

上單調(diào)遞減，

〃(X)max=〃侄)=L因此。之L

ee

綜上得“2J,

e

所以實數(shù)。的取值范圍是A,E).

e

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用

導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.

2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：—姓名：—班級：

一、單選題

1.集合4={#2-》-2<0},8=卜卜=/,彳€4},則AB=()

A.(1,4)B.[1,4)C.(0,2)D.[0,2)

2.已知z=4-i,且oz+歷=4+3i,其中"，b為實數(shù)，則|。+〃|=()

A.1B.3C.>/5D.5

3.已知p:(x+2)(x—3)<0,qx—l|<2,則。是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.在△46C中，/4力為鈍角，AC=BC=1,CO=xCA+yCB,且x+y=l.若函數(shù)/'(血

=\CA-加珥(左R)的最小值為與,則因的最小值為()

A.1B.-C.；D.—

422

5.已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點

試卷第16頁，共16頁

尸(sinl38,cosl38),貝ljtan(cr+18)=()

A.73B.立C.-73D.-且

33

6.函數(shù)/(x)=——；的圖象大致是()

x-lnx-1

7.在數(shù)列｛4｝中，q=1,%=2,%=；，。/“+3=2,則log滔+log2%++log2a2022=()

A.260B.860C.1011D.2022

8.雙曲線C的左、右焦點分別為不心，以C的實軸為直徑的圓記為。，過寫作。的

切線分別交雙曲線的左、右兩支于”,N兩點，且|M/V|=2|M用，則C的離心率為()

A.叢B.2C.75I).瓜

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.命題“函數(shù)y=tan(x+：］的定義域為卜+卜是真命題

B.“a=〃”是“sinc=sin〃”為成立的充要條件

C.是“函數(shù)〃x)=以2+2x7只有一個零點”的充分不必要條件

D.命題x2-x>0”的否定是“叫41,片-/40”

10.已知函數(shù)f(x)=xln(l+x),則()

A./(x)在(0,+8)單調(diào)遞增

B."X)有兩個零點

C.曲線y=/(x)在點1-3，/卜；1處切線的斜率為T—出2

D.“X)是奇函數(shù)

試卷第17頁，共16頁

11.已知函數(shù)f(x)=sin(@x-g),0>O,且/")與f'(x)的值域相同；將/")圖象上各點

的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移各個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖

象，則()

A.a)=\B.g(x)為偶函數(shù)

C.Ax)的單調(diào)增區(qū)間為-￡+2航，等+2航，ZeZD./(x)與g(x)的圖象在區(qū)間

66

TT

內(nèi)有2個交點

12.如圖是一個正方體的側(cè)面展開圖，A,C,E,F是頂點，仇。是所在棱的中點，則在

這個正方體中，下列結(jié)論正確的是()

A.BF與AE異面

B.3尸〃平面ACZ)

C.平面8尸_1_平面A8￡)

2

D.DE與平面所成的角的正弦值是§

三、填空題

13.已知(x+lXx-D'uao+qx+ajf+qY+qx'+asx'+aexG,則4+4的值為

14.已知函數(shù)/(x)=alnx,g(x)=Z?r,若直線丫=履(左>0)與函數(shù)/(x),g(x)的圖象都

相切，則4。+：的最小值為

b

15.已知數(shù)列｛《,｝中,a?=-4n+5,等比數(shù)列的｝的公比0滿足9=%..如且

bt=a2,則|4|+也1+…+121=.

四、雙空題

16.如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬4&cm,杯深8cm,稱

試卷第18頁，共16頁

為拋物線酒杯.①在杯口放一個表面積為364病的玻璃球，則球面上的點到杯底的最

小距離為cm；②在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球

的半徑的取值范圍為.（單位：cm）.

五、解答題

17.已知,ABC的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為a,b,c,GacosB=〃sinA><4=,b=\f2■

⑴求角6;

（2）求_ABC的面積.

18.已知函數(shù)y=l-七的圖象按向量〃=（2,1）平移后得到了（x）的圖象，數(shù)列｛?！埃凉M

足?！?/（〃”_］）（〃eN*且〃22）.

3,1,、

⑴若且a=1口，證明：色｝是等差數(shù)列；

⑵若6=（試判斷｛%｝中是否存在最大項與最小項，若存在，求出最大項與最小項；

若不存在，請說明理由.

19.如圖，五棱錐P—ABCDE中，AB=CB=5,AC=6,AE//BC,ABCD,AC//ED,

515Q

AE^CD=~,PE^PD=—,ED=~,0,〃分別是線段AC,DE的中點，P0=M.

442

試卷第19頁，共16頁

p

(1)證明：P//_L平面ABCDE;

(2)求二面角B-AP—C的正弦值.

20.2022年“五一”期間，為推動消費市場復(fù)蘇，補貼市民，深圳市各區(qū)政府發(fā)放各

類消費券，其中某區(qū)政府發(fā)放了市內(nèi)旅游消費券，該消費券包含A,B,C,D,E,

產(chǎn)六個旅游項目，甲、乙、丙、丁四人每人計劃從中任選兩個不同的項目參加，且他們

的選擇互不影響.

(1)求甲、乙、丙、丁這四個人中至少有一人選擇項目A的概率；

(2)記X為這四個人中選擇項目A的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)如果將甲、乙、丙、丁四個人改為“個人(〃>4),其他要求相同，問：這〃個人中選

擇項目A的人數(shù)最有可能是多少人？

21.已知橢圓E：!+￡=1(。>6>0)的離心率為圓。：/+產(chǎn)=產(chǎn)(廠>0)與王軸

交于點以N,P為橢圓右上的動點，\PM\+\PN\=2a,_PMN面積最大值為G.

(1)求圓0與橢圓的方程；

(2)圓。的兩條平行的切線《4分別與橢圓交于點從B、C,D,求四邊形ABC。的面積

的取值范圍.

22.設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)e，，已知直線y=2x+l是曲線y=/(x)的一條切線.

⑴求。的值，并討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

(2)若再)=/(馬)，其中玉<七，證明：X,>4.

試卷第20頁，共16頁

參考答案：

1.D

【分析】先求出集合兒B,再求出AC8.

【詳解】因為A={H-1<X<2},3={y|04”4},所以AcB=卜|04x<2}.

故選：D

2.C

【分析】先利用z算出），則能通過az+反=4+3i得到關(guān)于。，b的方程組，解出。，b,

即可求出答案

【詳解】因為z=4-i,所以）=4+i，

所以az+龍=a（4-i）+b（4+i）=（4a+4Z?）+（/?-a）i,

~,f4a+4b=4fa=-l

所以由az+歷=4+3i可得人’,解得,。,

[b-a=3[h=2

所以,+bi|=|—i+2i|=,

故選：c

3.B

【分析】分別求出命題PM,再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

【詳解】因為〃：（x+2）（x-3）<0——2cxv3；1|<2=>-l<x<3,

所以4=p,〃推不出心所以〃是q的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】由題意可得ICOI的最小值為加邊上的高，由函數(shù)f（而=\CA-incBI的最小

值為41,即點{到8c邊的距離為且，可求出//毋=120°,即可求出COl的最小

22

值.

【詳解】法一：由CO=xC4+yC8，且x+y=l,可知40,8三點共線，

所以ICOl的最小值為力夕邊上的高，又AC=BC=1,即〃為四的中點，

且函數(shù)Kni）=|CA-incBI的最小值為正，即點A到交邊的距離為史.

22

又〃'=1,所以//綣=120°,在"BC中，「。|=|AC卜in3（）0=g,

從而可得IcOI的最小值為/.

故選：C.

試卷第21頁，共23頁

法二：由CO=xC4+yC6，且x+y=l,可知40,8三點共線，

所以ICOI的最小值為邊上的高.

設(shè)CAC3的夾角為。，所以

|CA-/??CB|=CA+nrCB-2mCA-CB=1+/w2-2/wcos0=^tn-cos+sin%

依題，可得siMe=3,sine=且，因為。是鈍角，所以。=4.

423

在“/WC中，卜。|.而=147卜桁30°=g,

從而可得ICOl的最小值為3.

故選：C.

5.D

【分析】利用三角函數(shù)定義和誘導(dǎo)公式六得出點尸與角a的關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式一即

可計算出結(jié)果.

【詳解】因為cosl380<0,sinl38°>0,得到點尸在第四象限，即a為第四象限角，

&一人,皿…、，，0cosl38cos(90+48)_sin48sin(-48)

由二角函數(shù)定乂得tana=——=,；——y=------=―(、=tan(-48),

sinl38sin(90+48)cos48cos(-48)'7

所以a=-48+&,360,kwZ,

所以tan(a+18=tan(-48+k?360+18