平面直角坐標(biāo)系

.1.2平面直角坐標(biāo)系教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容結(jié)合豐富實(shí)例，理解平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念，能用平面直角坐標(biāo)系解決簡單問題．2．內(nèi)容解析本節(jié)課突破課時的界限，從整體上把握教學(xué)要求，安排教學(xué)內(nèi)容，整合“7.1平面直角坐標(biāo)系”二個課時的內(nèi)容，構(gòu)建學(xué)科縱向整合的教學(xué)模式．教學(xué)中，采用螺旋上升的方式編排教學(xué)內(nèi)容，借鑒數(shù)軸學(xué)習(xí)的一般方法，讓學(xué)生體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．因?yàn)檎n堂時間的局限性，平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)內(nèi)容后續(xù)還需要深化學(xué)習(xí)．本節(jié)課結(jié)合學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷用數(shù)對表示物體位置的過程，并觀察數(shù)對的特點(diǎn)，使學(xué)生感受有序的必要性，加深對有序的理解，進(jìn)一步感受用有序數(shù)對確定平面內(nèi)物體的位置，為建立平面直角坐標(biāo)系以及在平面直角坐標(biāo)系中利用坐標(biāo)來確定一個點(diǎn)的位置作鋪墊．“平面直角坐標(biāo)系”是“數(shù)軸”的發(fā)展，使點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系順利實(shí)現(xiàn)了從一維到二維的過渡．“平面直角坐標(biāo)系”的建立使有序數(shù)對與平面內(nèi)的點(diǎn)產(chǎn)生了一一對應(yīng)，提供了用代數(shù)方法來研究幾何問題的重要數(shù)學(xué)工具．本節(jié)課，先在具體情境中學(xué)習(xí)用有序數(shù)對表示物體的位置，然后再介紹數(shù)軸上點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對應(yīng)，在此基礎(chǔ)上說明建立平面直角坐標(biāo)系的必要性以及合理性，同時引入相關(guān)的概念，以及平面內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的結(jié)論．坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征本節(jié)課不進(jìn)行研究和學(xué)習(xí)，對于平面直角坐標(biāo)系中象限的概念，本節(jié)課也只作簡單介紹，下節(jié)課再進(jìn)一步細(xì)化學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系中的相關(guān)概念．一般地，在平面內(nèi)互相垂直且原點(diǎn)重合，分別位于水平位置與鉛直位置的兩條數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系，習(xí)慣取向右、向上為正方向．建立了平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)都可以用一個坐標(biāo)來表示，反過來，任何一個坐標(biāo)都可以在坐標(biāo)平面內(nèi)找到唯一確定的點(diǎn)，從而建立坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)（有序數(shù)對）的一一對應(yīng)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．最后，以定義為依據(jù)，探討如何在坐標(biāo)平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，體會坐標(biāo)表示的多樣性．同時，在平面內(nèi)建立不同的平面直角坐標(biāo)系，不改變點(diǎn)之間的位置關(guān)系，圖形的大小和形狀特征。理解坐標(biāo)不僅具有定位功能，還能通過數(shù)量關(guān)系刻畫圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，從而刻畫圖形的位置、大小和形狀特征．由以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)(1)會用有序數(shù)對表示物體的位置．(2)理解平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念．(3)掌握平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的．(4)對給定的長方形會選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出它的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，體會用坐標(biāo)刻畫圖形．2．目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)(1)的標(biāo)志是：學(xué)生在實(shí)際生活情境中，感受有序數(shù)對在確定物體位置過程中的作用，體會有序數(shù)對中兩個數(shù)的順序的重要性．達(dá)成目標(biāo)(2)的標(biāo)志是：學(xué)生理解平面直角坐標(biāo)系中兩條數(shù)軸一般具備的特征：互相垂直；原點(diǎn)重合；分別取向右、向上為正方向，能在平面直角坐標(biāo)系中理解x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、原點(diǎn)、坐標(biāo)、象限等相關(guān)概念．達(dá)成目標(biāo)(3)的標(biāo)志是：學(xué)生理解建立平面直角坐標(biāo)系的必要性，體會平面內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)的“一一對應(yīng)”，即在給定的平面直角坐標(biāo)系中，學(xué)生根據(jù)已知點(diǎn)的位置能寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)找到唯一確定的點(diǎn)．達(dá)成目標(biāo)(4)的標(biāo)志是：對給定的長方形學(xué)生可以依據(jù)平面直角坐標(biāo)系的定義，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出這個長方形各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)．體會不僅可以用坐標(biāo)來確定圖形的位置，而且可以通過數(shù)量關(guān)系來刻畫圖形的形狀特征和位置關(guān)系．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在小學(xué)階段對“用數(shù)對表示具體情境中物體的位置”有一定的了解，在具體情境中能夠認(rèn)識物體位置與有序數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系，但七年級學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上的不足，決定了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)思維對象的能力還有欠缺．平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的，平面內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系雖然與數(shù)軸上點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系類似，但學(xué)生畢竟在認(rèn)識上第一次從一維空間向二維空間過渡，因此理解建立平面直角坐標(biāo)系的必要性和體會其中蘊(yùn)含的點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系都比較困難．由以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：理解建立平面直角坐標(biāo)系的必要性，體會平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系．四、教學(xué)媒體支持分析本節(jié)課使用《幾何畫板》軟件，結(jié)合網(wǎng)格圖，動態(tài)演示在坐標(biāo)平面內(nèi)，不同的平面直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生變化，但是點(diǎn)之間的相對位置和圖形的大小、形狀特征不變．通過教學(xué)平臺的投屏功能展示學(xué)生的活動過程．五、教學(xué)過程設(shè)計1．情境引入，激發(fā)興趣問題1在慶祝建國70周年的聯(lián)歡活動中，天安門廣場上的這些巨幅圖案，它們是怎么組成的？師生活動：教師播放視頻，引導(dǎo)學(xué)生描述：每位演員用列數(shù)、排數(shù)確定自己的位置，組成巨幅圖案．設(shè)計意圖：通過觀看70周年國慶聯(lián)歡活動的視頻，讓學(xué)生感受在具體情景中利用列數(shù)、排數(shù)能夠確定位置，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性．問題2你能再舉出這樣的例子嗎？師生活動：學(xué)生舉出生活中利用有序數(shù)對確定平面內(nèi)物體位置的例子，教師引導(dǎo)學(xué)生分析所舉事例．設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會用兩個數(shù)能夠描述平面內(nèi)物體的位置，使學(xué)生感受有序的必要性，加深對有序的理解．問題3

結(jié)合教室的平面圖，圖1．你能根據(jù)以下座位，找到對應(yīng)的同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組嗎？(2，4)，

(3，2)，(4，

2)，(2，

1)，師生活動：學(xué)生思考，回答．教師關(guān)注學(xué)生描述前是否標(biāo)記列數(shù)和排數(shù)，是否約定表示的順序，否則不能確定參加數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)的位置．追問(1)：假設(shè)在問題3中約定“列數(shù)在前，排數(shù)在后”，你能在圖中標(biāo)出這些同學(xué)的座位嗎？師生活動：學(xué)生用彩筆標(biāo)記參加數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)的座位．追問(2)：由上面可知，“第2列第4排”簡記為(2，4)(約定列數(shù)在前，排數(shù)在后)．那么“第5列第6排”能簡記做什么？

(3,5)表示的含義是什么？(2，4)和(4，2)在同一個位置嗎？師生活動：學(xué)生根據(jù)問題教師提問回答．給出有序數(shù)對的概念：上面的活動是通過像“第2列第4排、第3列第2排”這樣含有兩個數(shù)的表達(dá)方式來表示一個確定的位置，其中兩個數(shù)各自表示不同的含義，例如前邊的數(shù)字表示列數(shù)，后邊的數(shù)字表示排數(shù)，我們把這種有順序的兩個數(shù)a與b所組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b)．設(shè)計意圖：讓學(xué)生再次經(jīng)歷用有序數(shù)對表示物體位置的過程，感受有序數(shù)對的“有序性”，體會有序的必要性，抽象出有序數(shù)對的概念．2．復(fù)習(xí)回顧，建立模型問題4提出問題：(1)怎樣畫出一條數(shù)軸？(2)如圖2，A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是什么？(3)數(shù)“5”表示的點(diǎn)是誰？師生活動：學(xué)生回答問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生得出數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的定義：數(shù)軸上每個點(diǎn)都可以用一個實(shí)數(shù)表示，這個實(shí)數(shù)叫做這個點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)．追問：在數(shù)軸上已知點(diǎn)能說出它的坐標(biāo)，由坐標(biāo)能在數(shù)軸上找到對應(yīng)點(diǎn)的位置．那么數(shù)軸上的點(diǎn)與坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？師生活動：學(xué)生回答，教師指出：數(shù)軸上的點(diǎn)與坐標(biāo)是“一一對應(yīng)”的．設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的數(shù)軸出發(fā)，給出數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的定義，建立點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系，為后面類比學(xué)習(xí)利用平面直角坐標(biāo)系確定平面上點(diǎn)的位置進(jìn)行鋪墊．3．類比學(xué)習(xí)，形成概念問題5類似于利用數(shù)軸確定直線上點(diǎn)的位置，結(jié)合學(xué)習(xí)的有序數(shù)對，回答問題．你能找到一種方法來確定平面內(nèi)點(diǎn)P的位置嗎？師生活動：以問題3為例，教師給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，梳理解決問題的過程：點(diǎn)P所在的平面內(nèi)有一些方格線，利用學(xué)習(xí)的有序數(shù)對，約定“列數(shù)在前，排數(shù)在后”，如圖3，點(diǎn)P在“第1列第2排”，記為（1，2）．受上述方法的啟發(fā)，為了確定平面內(nèi)點(diǎn)M，N的位置，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想數(shù)軸的表示，繼續(xù)標(biāo)記這些縱橫交錯的直線．我們把其中兩條作為基準(zhǔn)，一條看作橫向的數(shù)軸，另一條看作縱向的數(shù)軸．此時，列數(shù)對應(yīng)的是橫向數(shù)軸的坐標(biāo)，排數(shù)對應(yīng)的是縱向數(shù)軸的坐標(biāo)，這兩條數(shù)軸有公共原點(diǎn)且互相垂直．(圖4)追問（1）：在圖4中，點(diǎn)P記為（1，2）類比點(diǎn)P，你能寫出點(diǎn)M記作什么嗎？點(diǎn)N呢？師生活動：學(xué)生回答，教師適當(dāng)引導(dǎo)．（點(diǎn)M記為（-1，3），點(diǎn)N記為（-2，-2）．）引入平面直角坐標(biāo)系教師指出：平面直角坐標(biāo)系也叫平面笛卡兒直角坐標(biāo)系．它是法國數(shù)學(xué)家笛卡兒最先引入的，笛卡兒設(shè)想將幾何問題數(shù)量化，從而使其變成一個代數(shù)問題，用代數(shù)學(xué)的方法解決幾何問題．平面直角坐標(biāo)系架起了數(shù)與形的橋梁，它是解決數(shù)形結(jié)合等相關(guān)問題的重要工具．追問（2）：平面直角坐標(biāo)系兩條數(shù)軸有哪些特征？師生活動：描述平面直角坐標(biāo)系的特征：兩條數(shù)軸、互相垂直、原點(diǎn)重合．

追問（3）：在這個平面直角坐標(biāo)系中，怎么確定正方向？什么是橫軸？什么是縱軸？什么是坐標(biāo)原點(diǎn)？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生描述平面直角坐標(biāo)系．水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，一般取向右方向?yàn)檎较?；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，一般取向上方向?yàn)檎较颍?/p>

兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，記為點(diǎn)O．

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合有序數(shù)對的知識，類比利用數(shù)軸上確定直線上的點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)如何確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置，讓學(xué)生在解決具體問題的過程中，自然而然地建立平面直角坐標(biāo)系，并理解相關(guān)概念，培養(yǎng)學(xué)生在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)．問題6在平面直角坐標(biāo)系中，你能表示（圖5）點(diǎn)A的位置嗎？師生活動：由點(diǎn)A向x軸、y軸分別作垂線，垂足M在x軸上的坐標(biāo)是4，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)記為4，垂足N在y軸上的坐標(biāo)是2，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)記為2，有序數(shù)對（4，2）就叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A（4，2）．(注意：表示點(diǎn)的坐標(biāo)時，必須橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間用逗號隔開．)類似地，請寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．追問（1）：例在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B,C,D,E的坐標(biāo)分別是什么？師生活動：學(xué)生自主思考，說出坐標(biāo)，并說明理由.追問（2）：在上述平面直角坐標(biāo)系中，x軸和y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？原點(diǎn)坐標(biāo)是什么？師生活動：教師適當(dāng)引導(dǎo)：從上面聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)①x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，一般記為（x,0）;②y軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，一般記為（0,y）;③原點(diǎn)O的坐標(biāo)是（0,0）.設(shè)計意圖：在給出平面直角坐標(biāo)系的定義之后，及時安排用坐標(biāo)表示點(diǎn)的練習(xí).先表示一般點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生更容易理解和掌握所學(xué)的知識.追問（2）：建立平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面被兩條坐標(biāo)軸分成了哪幾個部分，分別對應(yīng)什么象限？師生活動：建立平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面被兩條坐標(biāo)軸分成了4個部分，每個部分稱為象限，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限(圖6)．設(shè)計意圖：類比數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的定義，學(xué)習(xí)坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的定義，引導(dǎo)學(xué)生用有序數(shù)對來表示平面上點(diǎn)的位置．平面直角坐標(biāo)系中象限的概念，本節(jié)課只作簡單介紹，下節(jié)課再進(jìn)一步細(xì)化學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念．例如果點(diǎn)（a，3）是第二象限的點(diǎn)，你能說出a的取值范圍嗎？（2，b）是第四象限的點(diǎn)，你能說出a的取值范圍嗎？設(shè)計意圖：設(shè)計含有參數(shù)的問題，蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。問題7數(shù)軸上點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，那么坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)又是什么關(guān)系？師生活動：用類比的方法可以得到坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對)也是一一對應(yīng)的．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)軸上的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系，歸納坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)之間的關(guān)系．應(yīng)用練習(xí)，拓展提升1.請在如下的網(wǎng)格圖以點(diǎn)O為原點(diǎn)畫出規(guī)范的平面直角坐標(biāo)系．1)請寫出點(diǎn)A,B,C,D,E的坐標(biāo)．2)請你說出以下點(diǎn)的位置在第幾象限，再在圖中描出點(diǎn)F（3,2）G（-2，3）H（0，-3）I（2，3）如果我們以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．你能說出A,B,O,D,E點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？設(shè)計意圖：能獨(dú)立繪制平面直角坐標(biāo)系，學(xué)生能在給定的直角坐標(biāo)系中，能根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)。學(xué)生加深對概念理解的同時，歸納平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與有序數(shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng)；2．①如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，描出下列各點(diǎn)：A（-3，2），B（-1，2），C（-1，-2），D（1，2），E（1，-2），F(xiàn)（3，-2），G（3，2）．連接AB，BC，再順次連接D，E，F(xiàn)，G四個點(diǎn)，描述平面內(nèi)的圖案．結(jié)合網(wǎng)格圖，觀察四邊形DEFG，探究線段DE，F(xiàn)G有什么位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？線段DE和EF的位置關(guān)系？觀察得到的圖形，描述它的形狀特征．師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成描點(diǎn)，在教師的引導(dǎo)下觀察并描述圖案．結(jié)合網(wǎng)格圖探究線段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并描述判斷的理由．以上述判斷為依據(jù)，描述圖形的形狀特征．設(shè)計意圖：在平面直角坐標(biāo)系中，教師引導(dǎo)學(xué)生首先描出“70”的圖案，與本課引例視頻中的國慶聯(lián)歡活動相呼應(yīng)，幫助感受利用平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)來確定關(guān)鍵點(diǎn)，描繪出豐富的圖案，從而進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．體會已知點(diǎn)的坐標(biāo)不僅能夠刻畫點(diǎn)的位置，還能刻畫圖形的位置、大小和形狀特征．②已知①中長方形DEFG，請另建立一個適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，這時圖形頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G的坐標(biāo)又分別是什么？①中得出的線段DE，F(xiàn)G之間的關(guān)系還是否成立？與同學(xué)們交流．師生活動：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合網(wǎng)格，以平面直角坐標(biāo)系的定義為依據(jù)，選定適當(dāng)?shù)脑c(diǎn)與坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系．描述不同坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)情況及DE，F(xiàn)G的關(guān)系．通過人人通教學(xué)平臺的投屏功能展示學(xué)生的活動過程，組內(nèi)交流，全班匯報．使用《幾何畫板》軟件，動態(tài)演示在坐標(biāo)平面內(nèi)，不同的平面直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生變化，但是點(diǎn)之間的相對位置和圖形的大小、形狀特征不變．設(shè)計意圖：學(xué)生學(xué)習(xí)如何在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．教師引導(dǎo)學(xué)生體會坐標(biāo)的表示是多樣的，即在不同坐標(biāo)系下，點(diǎn)的坐標(biāo)不同，但是不影響點(diǎn)之間的位置關(guān)系，不影響圖形的大小和形狀特征．5．小結(jié)歸納教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：(1)我們這節(jié)課學(xué)了什么？(2)我們是怎