人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 24.6 垂直于弦的直徑-垂徑定理（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

專題24.6垂直于弦的直徑-垂徑定理（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，的面積是（

）A．3 B． C． D．2．已知⊙O的直徑CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝96cm，則AC的長為（

）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm3．如圖，在半圓中，直徑，是半圓上一點(diǎn)，將弧沿弦折疊交于，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，點(diǎn)在弦上移動(dòng)，連接過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若則的最大值是（

）A． B． C． D．5．如圖，一圓與y軸相交于點(diǎn)B（0，1），C兩點(diǎn)，與x軸相切于點(diǎn)A（3，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．（0，5） B．（0，） C．（0，9） D．（0，）6．已知銳角，如圖，（1）在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作，交射線于點(diǎn)，連接；（2）分別以點(diǎn)，為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)，；（3）連接．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為的（

）①；②若．則；③；④；⑤；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3 D．4個(gè)7．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，延長DE交⊙OO于點(diǎn)F，若AC=12，AE=3，則⊙O的直徑長為（）A．10 B．13 C．15 D．168．如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，過A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過B作BD⊥MN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，則PA+PB的最小值是（）．A．20 B． C．14 D．9．⊙O中，弦AB所對的弧為120°，圓的半徑為2，則圓心到弦AB的距離OC為（

）A． B．1 C． D．10．一張圓形紙片，小芳進(jìn)行了如下連續(xù)操作：將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖．將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB相交于M，如圖．將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB相交于N，如圖．連結(jié)AE、AF、BE、BF，如圖．經(jīng)過以上操作，小芳得到了以下結(jié)論：；四邊形MEBF是菱形；為等邊三角形；：：．以上結(jié)論正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，連接CO，AD，∠BAD＝20°，下列結(jié)論中正確的有（）①CE＝OE②∠C＝50°

③＝④AD＝2OEA．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題12．如圖，已知A為半徑為3的上的一個(gè)定點(diǎn)，B為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)B與A不重合），連接AB，以AB為邊作正三角形ABC．當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之變化，則O、C兩點(diǎn)之間的距離的最大值是______．13．如圖，半圓O的直徑AB＝4cm，，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，G重合），CD⊥OG于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，連接DE、DF，則△DEF面積的最大值為__________cm214．如圖，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，點(diǎn)E為弧AB的中點(diǎn)，C為半徑OA上一點(diǎn)，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，若點(diǎn)E′恰好落在半徑OB上，則OE′＝_____．15．如圖，在半徑為3的中，B是劣弧AC的中點(diǎn)，連接AB并延長到D，使，連接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．16．如圖，C、D是以AB為直徑的圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C、D不與A、B重合），M是弦CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P．若CD＝3，AB＝5，則PM的范圍是__________________．17．如圖，為半圓弧的中點(diǎn)，為弧上任意一點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，連接．若，則的最小值為_________18．如圖所示，在內(nèi)有折線，其中，則的長為__________．19．如圖，已知是半圓O的直徑，，點(diǎn)C，D在半圓上，，，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______．20．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，半徑OB＝5cm，圓心O到BC的距離為3cm，則AB的長為_____cm．21．如圖，是的直徑，四邊形內(nèi)接于，若，則的周長為_____________（結(jié)果保留）．22．如圖，半圓O的半徑為2，E是半圓上的一點(diǎn)，將E點(diǎn)對折到直徑AB上(EE′⊥AB)，當(dāng)被折的圓弧與直徑AB至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則折痕CD的長度取值范圍是_________________．23．如圖，是的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)是圓心，點(diǎn)，分別在邊，上，若，則的度數(shù)是____度．三、解答題24．如圖，是的直徑，平分，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接，，，．填空：①當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時(shí)，四邊形為菱形；②若，，則．25．如圖，⊙O的直徑AB＝26，P是AB上(不與點(diǎn)A、B重合)的任一點(diǎn)，點(diǎn)C、D為⊙O上的兩點(diǎn)，若∠APD＝∠BPC，則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”．(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，則∠CPD是直徑AB的“回旋角”嗎？并說明理由；(2)若的長為π，求“回旋角”∠CPD的度數(shù)；(3)若直徑AB的“回旋角”為120°，且△PCD的周長為24+13，直接寫出AP的長．26．如圖所示，的半徑是2，直線與相交于、兩點(diǎn)，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線的異側(cè)，若，求四邊形面積的最大值.27．已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．（1）點(diǎn)O到弦AB的距離為；．（2）若點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），設(shè)∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點(diǎn)的對稱點(diǎn)為A′；①若∠α=30°，試判斷點(diǎn)A′與⊙O的位置關(guān)系；②若BA′與⊙O相切于B點(diǎn)，求BP的長；③若線段BA′與優(yōu)弧APB只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出α的取值范圍．28．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過延長、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；（3）如圖3，，組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出證明過程．

參考答案1．D【分析】由題意知，又長度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以中點(diǎn)O為圓心，長為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的長，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長度即可得到是等邊三角形，利用特殊三邊關(guān)系即可求解．解：取中點(diǎn)O，并以O(shè)為圓心，長為半徑畫圓由題意知：當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)在中，是等邊三角形在中，．【點(diǎn)撥】本題主要考察動(dòng)點(diǎn)的線段最值問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓．2．B【分析】分兩種情況討論，根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)垂徑定理求出AM的長，連接OA，由勾股定理求出OM的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：連接AC，AO，∵⊙O的直徑CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），如圖1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝14（cm），∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），∴AC＝＝＝80（cm）；如圖2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；綜上所述，AC的長為80cm或60cm，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形、利用垂徑定理和勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．3．D【分析】把弧AEC的圓補(bǔ)全為⊙F，可知點(diǎn)F與點(diǎn)O關(guān)于AC對稱，求出∠F=90°，CE長，OE的最小值為EC-OC．解：把弧AEC的圓補(bǔ)全為⊙F，可知點(diǎn)F與點(diǎn)O關(guān)于AC對稱，半徑為2，∴∠FCA=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FCA=∠CAO，∴CF∥AB，∵是弧的中點(diǎn)，∴FE⊥AB，∴∠F=∠BGE=90°，∵FC=FE=2，∴EC=，∵OE≥EC-OC即OE≥-2，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱、垂徑定理、勾股定理和圓的有關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是通過作輔助線,根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定OE的取值范圍．4．D【分析】連接OD，如圖，利用勾股定理得CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最小，再求出CD即可．解：連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=，當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，而OC⊥AB時(shí)，OC最小，此時(shí)D.

B兩點(diǎn)重合，∴CD=CB=AB=×2=1．即CD的最大值為1．故答案為：D．【點(diǎn)撥】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，求出點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．．5．C【分析】設(shè)圓心為M，連接CM，由圓M與x軸相切，得到M的縱坐標(biāo)等于半徑也等于ON，在中，設(shè)BC=x利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解，即可得到結(jié)果．解：過點(diǎn)M作MN⊥y軸，連接CM，∵圓M與x軸相切于點(diǎn)A（3，0），BC=x，∴MN=3，ON=1+，MC=ON在中，由勾股定理得：x=8又∵B（0，1），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，9）故答案為：C．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、以及垂徑定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】由作圖知，OM=OC=OD，再利用對稱的性質(zhì)逐一判斷可得．解：由作圖知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故①正確；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等邊三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故②正確；∵所對的圓心角是，所對的圓周角是∴，故③不正確；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，∴∠OCD=∠OCM=∴∠MCD=180°-∠COD，又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故④正確；∵M(jìn)C+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故⑤錯(cuò)誤；①②④正確故選C【點(diǎn)撥】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，弧、圓心角和弦之間的關(guān)系，平行線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．7．C【分析】連接OF，根據(jù)DE⊥AB，AB為⊙O的直徑，推出，由D是弧AC的中點(diǎn)，推出，得到AC=DF=12，求出EF=6，設(shè)OA=x，利用勾股定理求出x=7.5，即可得到答案.解：如圖，連接OF，∵DE⊥AB，AB為⊙O的直徑，∴.∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴，∴，∴AC=DF=12，∴EF=6，設(shè)OA=x，∵OF2=OE2+EF2，∴x2=（x-3）2+62，解得：x=7.5，∴⊙O的直徑長為15，故選：C.【點(diǎn)撥】此題考查圓的垂徑定理，弧、弦、圓心角定理，勾股定理，將求直徑長轉(zhuǎn)化為求半徑長由此利用勾股定理解答是解題的關(guān)鍵.8．B【分析】連接OA、OB，根據(jù)AC⊥MN，BD⊥MN，經(jīng)勾股定理計(jì)算得到OC、OD；延長BD與⊙O相交于點(diǎn)G，推導(dǎo)得當(dāng)點(diǎn)P在直線AG上時(shí)，取最小值；過G作GH⊥AC于點(diǎn)H，經(jīng)證明四邊形是矩形，并經(jīng)勾股定理計(jì)算即可得到AG的值，即可完成求解．解：如圖，連接OA、OB∵AC⊥MN，BD⊥MN∴，∵M(jìn)N＝20，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)∴∴，∴，∴延長BD與⊙O相交于點(diǎn)G∵M(jìn)N為⊙O的直徑，BD⊥MN∴，∴當(dāng)點(diǎn)P在直線AG上時(shí)，取最小值，且最小值過G作GH⊥AC于點(diǎn)H又∵AC⊥MN，BD⊥MN∴，，∴四邊形是矩形∴，∴∴∴PA+PB的最小值是：故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理、圓的垂徑定理、矩形、兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、垂徑定理、矩形、兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，從而完成求解．9．B【分析】根據(jù)弧的度數(shù)求得弧所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得∠A的度數(shù)，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．解：∵弦AB所對的劣弧為120°，∴∠AOB=120°，∵OA=OB，∴∠A=∠B=30°，又OC⊥AB，∴OC=OA=1；故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查垂徑定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行可得CD∥EF，從而判定①正確；根據(jù)垂徑定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，從而得到BM、EF互相垂直平分，然后根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形求出四邊形MEBF是菱形，從而得到②正確；根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根據(jù)等邊對等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AEM=30°，從而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠EAF=60°，從而判定△AEF是等邊三角形，③正確；設(shè)圓的半徑為r，求出EN=，則可得EF=2EN=，即可得S四邊形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正確．解：∵紙片上下折疊A、B兩點(diǎn)重合，∴∠BMD=90°，∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合，∴∠BNF=90°，∴∠BMD=∠BNF=90°，∴CD∥EF，故①正確；根據(jù)垂徑定理，BM垂直平分EF，又∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合，∴BN=MN，∴BM、EF互相垂直平分，∴四邊形MEBF是菱形，故②正確；∵M(jìn)E=MB=2MN，∴∠MEN=30°，∴∠EMN=90°-30°=60°，又∵AM=ME（都是半徑），∴∠AEM=∠EAM，∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，同理可求∠AFE=60°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，故③正確；設(shè)圓的半徑為r，則EN=，∴EF=2EN=，∴S四邊形AEBF：S扇形BEMF=故④正確，綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)撥】本題圓的綜合題型，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，平行線的判定，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵．11．B【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及直角三角形邊的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．解：∵AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，∴CE＝DE，，，∴∠BOC＝2∠A＝40°，，即，故③正確；∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°，∴∠C＝50°，故②正確；∵∠C≠∠BOC，∴CE≠OE，故①錯(cuò)誤；作OP∥CD，交AD于P，∵AB⊥CD，∴AE＜AD，∠AOP＝90°，∴OA＜PA，OE＜PD，∴PA+PD＞OA+OE∵OE＜OA，∴AD＞2OE，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查圓的垂徑定理，圓心角、弧、弦的定理，直角三角形兩銳角互余及邊的關(guān)系，平行線的性質(zhì).12．【分析】連接OB，OC，OA，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)N，使得AN=AO．證明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得結(jié)論．解：如圖，連接OB，OC，OA，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等邊三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值為6，故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓的相關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，利用兩地之間線段最短是本題的解題關(guān)鍵．13．2【分析】連接OC，設(shè)OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．根據(jù)S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，當(dāng)xy的值最大時(shí)，△DEF的面積最大；根據(jù)矩形的性質(zhì)，通過判定四邊形ODCE是矩形，得；根據(jù)勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)分析，可得結(jié)論．解：連接OC，設(shè)OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．∵∴OG⊥AB，∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，∴xy的值最大時(shí)，△DEF的面積最大，∵CD⊥OG于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，∵（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy，∴2xy≤4，∴xy≤2，∴xy的最大值為2，∴△DEF的面積的最大值為2cm2故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了圓、勾股定理、中心對稱、矩形、完全平方公式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．14．【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，如圖，設(shè)，利用得到，，再利用點(diǎn)為弧的中點(diǎn)得到，所以，，接著證明△，則，，則可列方程，然后解方程求出，從而得到的長．解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，如圖，設(shè)，，，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，，，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，在和△中，△，，，，，解得，．故答案為4．【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．15．【分析】如圖，連OA，OB．利用垂徑定理和勾股定理求BE，利用中位線定理求CD．解：如圖，連OA，OB，∵B是弧AC的中點(diǎn)，AB＝BC＝BD，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，由垂徑定理知，OB⊥AC，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，設(shè),則,由勾股定理知，，，∴,∵AB＝2，AO＝BO=3，∴,解得，，即∵∠AEB＝∠ACD＝90°，∴BE∥CD，∵點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，所以BE是△ACD的中位線，所以CD＝2BE＝．故答案為：【點(diǎn)撥】本題利用了垂徑定理，勾股定理求解16．【分析】延長CP交⊙O于N，連接DN，易證PM＝DN，所以當(dāng)DN為直徑時(shí)，PM的值最大，當(dāng)DN＝AC時(shí)，PM最小，即可求得PM的取值.解：如圖：延長CP交⊙O于N，連接DN．∵AB⊥CN，∴CP＝PN，∵CM＝DM，∴PM＝DN，∴當(dāng)DN為直徑時(shí)，PM的值最大，最大值為，當(dāng)DN＝NC時(shí)，PM最小，最小值為0，∴PM的范圍是≤PM≤．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是圓的綜合題，垂徑定理，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題.17．【分析】設(shè)半圓弧所在圓的圓心為，連接，分別過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，連接，先根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，然后判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且所在圓的圓心為點(diǎn)，由此可得，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短求出最小值即可得．解：如圖，設(shè)半圓弧所在圓的圓心為，連接，分別過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，連接，為半圓弧的中點(diǎn)，，又，四邊形是正方形，，在中，，，，是等腰直角三角形，，由圓周角定理得：，，即，，，又，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且所在圓的圓心為點(diǎn)，，由三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓心角定理等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造出點(diǎn)四點(diǎn)共圓是解題關(guān)鍵．18．【分析】過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D、E，延長DO交BC于點(diǎn)H，連接OB，然后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求OD的長，進(jìn)而可得BD，然后利用勾股定理及垂徑定理可求解問題．解：過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D、E，延長DO交BC于點(diǎn)H，如圖所示：∴BE=CE，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴OH=4，∵∠HDB=90°，∴∠HOE=30°，∴，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查垂徑定理及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．【分析】如圖，連接AD，PA，OD．先證明PA＝PB，再根據(jù)PD+PB＝PD+PA≥AD，求出AD即可解決問題．解：如圖，連接AD，PA，OD．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴PA＝PB，∠COB＝90°，∵2，∴∠DOB90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB?cos∠ABD＝3，∵PB+PD＝PA+PD≥AD，∴PD+PB≥3，∴PD+PB的最小值為3，故答案為：3【點(diǎn)撥】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，三角函數(shù)等知識(shí)，根據(jù)OC為AB的垂直平分線得到AD為的最小值是解題的關(guān)鍵．20．或【分析】根據(jù)A點(diǎn)所在的位置分類討論：①若等腰三角形的頂點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上時(shí)，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，利用A、O都在BC中垂線上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，從而求出AB；②若等腰三角形的頂點(diǎn)A在劣弧BC上時(shí)，連接AO交BC于點(diǎn)D，原理同上．解：①若等腰三角形的頂點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上時(shí)，如圖，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，連接OB，∵AB=AC∴點(diǎn)A在BC的中垂線上∵圓心O也在BC中垂線上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線∴AO垂直平分BC∵⊙O的半徑為5cm,點(diǎn)O到BC的距離為3cm∴OA=OB=5，OD=3∴AD=8根據(jù)勾股定理：∴再根據(jù)勾股定理：；②若等腰三角形的頂點(diǎn)A在劣弧BC上時(shí)，連接AO交BC于點(diǎn)D，連接OB，∵AB=AC∴點(diǎn)A在BC的中垂線上∵圓心O也在BC中垂線上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線∴AO垂直平分BC∵⊙O的半徑為6cm,點(diǎn)O到BC的距離為2cm∴OA=OB=5，OD=3∴AD=2根據(jù)勾股定理：∴再根據(jù)勾股定理：；綜上所述：或．【點(diǎn)撥】此題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，利用等腰三角形的頂點(diǎn)在圓上的不同位置分類討論是解決此題的關(guān)鍵．21．【分析】連接OD、OC，求出∠AOD=∠COD=∠BOC=，證得△AOD、△COD、△BOC都是等邊三角形，得到OA=OB=BC=4cm，利用圓的周長公式求出答案.解：如圖，連接OD、OC，∵，是的直徑，∴∠AOD=∠COD=∠BOC=,∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD、△COD、△BOC都是等邊三角形，∴OA=OB=BC=4cm，∴的周長=（cm），故答案為：.【點(diǎn)撥】此題考查了弧、弦、圓心角定理：等弦所對的圓心角相等，等邊三角形的判定定理及性質(zhì)定理，圓的周長計(jì)算公式.22．【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值時(shí)，點(diǎn)E的位置，再利用折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理求解即可得．解：由題意，有以下兩個(gè)臨界位置：（1）如圖，當(dāng)被折的圓弧與直徑AB相切時(shí)，折痕CD的長度最短，此時(shí)點(diǎn)與圓心O重合，連接OD，由折疊的性質(zhì)得：，，在中，，由垂徑定理得：；（2）當(dāng)CD和直徑AB重合時(shí)，折痕CD的長度最長，此時(shí)，又要使被折的圓弧與直徑AB至少有一個(gè)交點(diǎn)，；綜上，折痕CD的長度取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)臨界位置是解題關(guān)鍵．23．120【分析】本題可通過構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理證明角等，繼而利用SAS定理證明三角形全等，最后根據(jù)角的互換結(jié)合同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解本題．解：連接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下圖所示：因?yàn)榈冗吶切蜛BC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂徑定理得：AH=AM，又因?yàn)镺A=OA，故△OAH△OAM（HL）．∴∠OAH=∠OAM．又∵OA=OB,AD=EB,∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,∴△ODA△OEB（SAS）,∴∠DOA=∠EOB,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．又∵∠C=60°以及同弧，∴∠AOB=∠DOE=120°．故本題答案為：120．【點(diǎn)撥】本題考查圓與等邊三角形的綜合，本題目需要根據(jù)等角的互換將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造輔助線是本題難點(diǎn)，全等以及垂徑定理的應(yīng)用在圓綜合題目極為常見，圓心角、弧、圓周角的關(guān)系需熟練掌握．24．（1）見分析；（2）①60°；②1【分析】（1）連接OD，則OD⊥ED，由OA=OD，得∠OAD=∠ODA，根據(jù)AD平分∠BAC，可推得OD∥AE，從而可得結(jié)論；（2）①當(dāng)四邊形OBDC為菱形時(shí)，則OB=BD，又OB=OD，則得△OBD是等邊三角形，從而易得∠BAC=60°；②連接BC交OD于點(diǎn)F，則可知∠ACB=90°，且由勾股定理可計(jì)算得BC=4；由AD平分∠BAC可得BD=CD，再由OB=OC，得OD垂直平分線段BC，從而得F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，得CF=2；易得四邊形CFDE為矩形，故可得DE=CF，且∠CDE=∠DCB，再由AD為角平分線，可得∠CDE=∠EAD，從而可得△DCE∽△ADE，有對應(yīng)邊成比例，設(shè)AE=x，則可得關(guān)于x的方程，解方程即可求得結(jié)果．解：（1）連接．是的切線，．平分，．，，，，．（2）①四邊形是菱形，，BD∥OC，∵OB=OD，是等邊三角形．∴∠B=60°，∵BD∥OC，∴∠AOC=∠B=60°，∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，故答案為：．②如圖，連接BC交OD于F．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AB=5，AC=3，∴由勾股定理得：．∵AD平分∠BAC，∴，∴BD=CD，∵OB=OC，∴OD垂直平分線段BC，∴CF=，∵∠E=∠ODE=∠ECF=90°,∴四邊形ECFD是矩形，∴DE=CF=2，DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB，∵∠DCB=∠BAD，∠EAD=∠BAD，∴∠CDE=∠EAD，∴△DCE∽△ADE，∴，即，設(shè)CE=x，則AE=AC+CE=3+x．∴x(3+x)=4，解方程得：x=1，或x=-4（舍去），∴CE=1．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了圓的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)；（2）中②的關(guān)鍵是得到OD垂直平分BC，從而得出四邊形CFDE是矩形．25．(1)∠CPD是直徑AB的“回旋角”，理由見分析；(2)“回旋角”∠CPD的度數(shù)為45°；(3)滿足條件的AP的長為3或23．【分析】（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直徑AB的“回旋角”；（2）利用CD弧長公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，連接PE，利用∠CPD為直徑AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即點(diǎn)D，P，E三點(diǎn)共線，∠CED＝∠COD＝22.5°，得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，則∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情況P在OA上或者OB上的情況，在OA上時(shí)，同理（2）的方法得到點(diǎn)D，P，F(xiàn)在同一條直線上，得到△PCF是等邊三角形，連接OC，OD，過點(diǎn)O作OG⊥CD于G，利用sin∠DOG，求得CD，利用周長求得DF，過O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，進(jìn)而得到AP；在OB上時(shí)，同理OA計(jì)算方法即可解：∠CPD是直徑AB的“回旋角”，理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直徑AB的“回旋角”；(2)如圖1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，設(shè)∠COD＝n°，∵的長為π，∴∴n＝45，∴∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，連接PE，∴∠BPC＝∠OPE，∵∠CPD為直徑AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴點(diǎn)D，P，E三點(diǎn)共線，∴∠CED＝∠COD＝22.5°，∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，即：“回旋角”∠CPD的度數(shù)為45°，(3)①當(dāng)點(diǎn)P在半徑OA上時(shí)，如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AB交⊙O于F，連接PF，∴PF＝PC，同(2)的方法得，點(diǎn)D，P，F(xiàn)在同一條直線上，∵直徑AB的“回旋角”為120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，連接OC，OD，∴∠COD＝120°，過點(diǎn)O作OG⊥CD于G，∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝∴CD＝，∵△PCD的周長為24+13，∴PD+PC＝24，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，過O作OH⊥DF于H，∴DH＝DF＝12，在Rt△OHD中，OH＝在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；②當(dāng)點(diǎn)P在半徑OB上時(shí)，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，即：滿足條件的AP的長為3或23．【點(diǎn)撥】本題是新定義問題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理、等邊三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度比較高，前兩問解題關(guān)鍵在于看懂題目給到的定義，第三問關(guān)鍵在于P點(diǎn)的分類討論26．四邊形面積最大，為.【分析】過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據(jù)圓周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，則△OAB為等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，而當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)