23《冪函數(shù)》1（新人教A版必修1）

冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握冪函數(shù)的概念。2熟悉時(shí)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。3能利用冪函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。我們先來(lái)看看幾個(gè)具體的問(wèn)題:

(1)如果張紅買(mǎi)了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付__________P=W元(2)如果正方形的邊長(zhǎng)為a,那么正方形的面積

_____(3)如果立方體的邊長(zhǎng)為a,那么立方體的體積___________

(5）如果某人ts內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)1km,那么他騎車(chē)平均速度p是w的函數(shù)S=a2

S是a的函數(shù)V=a3

V是a的函數(shù)V=t?1km/s

V是t的函數(shù)一、引入(4)如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a=S1/2a是S的函數(shù)若將它們的自變量全部用x來(lái)表示，函數(shù)值用y來(lái)表示，則它們的函數(shù)關(guān)系式分別是:以上問(wèn)題中的函數(shù)有什么共同特征？（1）都是函數(shù)；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數(shù)為常數(shù)；（4）自變量前的系數(shù)為1;

上述問(wèn)題中涉及的函數(shù)，都是形如的函數(shù)。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-1一.冪函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)（powerfunction），其中x是自變量，是常數(shù).幾點(diǎn)說(shuō)明：1)中前面系數(shù)是1,并且后面也沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；2)要確定一個(gè)冪函數(shù)，需要一個(gè)條件就可以，即把常數(shù)確定下來(lái);

3)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的異同：兩者都具有冪的形式，但指數(shù)函數(shù)的自變量位于指數(shù)上，底數(shù)是常數(shù)；冪函數(shù)的自變量是底數(shù)，指數(shù)是常數(shù).4）冪函數(shù)中

的可以為任意實(shí)數(shù).判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù).(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2

考點(diǎn)突破考點(diǎn)一冪函數(shù)的概念主要考查冪函數(shù)的解析式的特征．1、B2、課堂互動(dòng)講練主要考查冪函數(shù)的解析式的特征．

若函數(shù)y＝(m2－m－1)x－5m－3為冪函數(shù)，則m＝________.【思路點(diǎn)撥】只要使m2－m－1＝1，就成為冪函數(shù)．【解析】

令m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)y＝x－13，當(dāng)m＝－1時(shí)，函數(shù)y＝x2，都是冪函數(shù)．【答案】

2或－1【名師點(diǎn)撥】

y＝xα其特征底數(shù)為自變量x，指數(shù)α為常數(shù)，且系數(shù)為1.五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象:y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)函數(shù)y=x3的圖像1、列表x…-3-2-10123…y…-27-8-101827…2、描點(diǎn)3、連線o12-1-212-1234610120描點(diǎn)法作圖五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象:y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)y=x-12.冪函數(shù)y＝xα的圖象在第一象限內(nèi)(1)______，圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)，下凸遞增，(2)________，圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)，上凸遞增，(3)_____，圖象過(guò)點(diǎn)(1,1)，以兩坐標(biāo)軸為漸近線．α＞10＜α＜1α＜03．冪函數(shù)圖象能過(guò)第四象限嗎？提示：不能．對(duì)冪函數(shù)y＝xα而言，當(dāng)x>0時(shí)，必有y>0，故冪函數(shù)圖象不過(guò)第四象限.

關(guān)于冪函數(shù)的圖象1.曲線類(lèi)型：分“直線型”“拋物線型”“雙曲線型”和“拐線型”等情況.4．對(duì)于冪函數(shù)的圖象，在直線x＝1的右側(cè)，若圖象越高，則的值就越大定義域：值域：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：函數(shù)y=x3的圖象和性質(zhì)定義域：值域：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：函數(shù)y=的圖象和性質(zhì)定義域：值域：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：函數(shù)y=x－1的圖象和性質(zhì)名稱(chēng)圖象定義域

值域奇偶性單調(diào)性

Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1RRR[0，+∞）奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)(0,+∞)↑(-∞,0)↓(-∞,+∞)↑(-∞,+∞)↑[0,+∞)↑(-∞,0)↓(0,+∞)↓Oxy11-1-1(-∞,0)∪(0,+∞)R[0，+∞）[0，+∞）(-∞,0)∪(0,+∞)RXy110y=x2y=x3y=x1/2Xy110y=x-1y=x-2y=x-1/2a>0a<0（1）圖象都過(guò)（0，0）點(diǎn)（1，1）點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的

增大而增大，即在（0，+∞)上是增函數(shù)。

（1）圖象都過(guò)（1，1）點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，即在（0，+∞）上是減函數(shù)。

（3）在第一象限，圖象向上與y軸無(wú)限接近，向下與x軸無(wú)限接近。（3）當(dāng)x>1時(shí)，a越大越靠近y軸。（4）當(dāng)0<x<1時(shí)，a越大越靠近y軸。(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1);(2)如果α＞０，則冪函數(shù)圖象通過(guò)（0，0），并且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)；(3)如果α＜０，則冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸，當(dāng)x趨于+∞時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限逼近x軸。冪函數(shù)的性質(zhì)例4.如圖，冪函數(shù)在第一象限對(duì)應(yīng)的圖像分別是C1,C2

,

C3

,

C4,C5

，則大小如何排列?對(duì)于冪函數(shù)y＝xa的圖象，在直線x＝1的右側(cè)，若圖象越高，則a的值就越大問(wèn)題探究例：若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，冪函數(shù)y＝(m2－m－1)x－5m－3為減函數(shù)，m取何值？解：令m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)y＝，當(dāng)m＝－1時(shí)，函數(shù)y＝x2，都是冪函數(shù)．已知冪函數(shù)f(x)=(k∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)，求函數(shù)f(x)的解析式.由已知

>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又∵k∈Z,∴k=0,1,2.當(dāng)k=0時(shí),f(x)=不是偶函數(shù)；當(dāng)k=1時(shí)，f(x)=x2是偶函數(shù)；當(dāng)k=2時(shí)，f(x)=不是偶函數(shù),∴f(x)=x2.f(x)=x4q>-2x2+8x+1∵函數(shù)在(0,+∞)上遞增，∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.又∵m∈N*,∴m=1,2.又∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴m2-2m-3為偶數(shù)，故m=1,考點(diǎn)突破考點(diǎn)一比較冪值的大小利用冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)“冪”的大?。舅悸伏c(diǎn)撥】

(1)(2)要用冪函數(shù)的單調(diào)性；(3)既要用冪函數(shù)的單調(diào)性，又要用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．例1比較冪值的大小例2比較下列兩個(gè)代數(shù)式值的大小：

解：（1）考察冪函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)增函數(shù).

因?yàn)?/p>

所以

（2）考察冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).

因?yàn)?/p>

所以(1)若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)

性比較兩個(gè)數(shù)的大??；(2)若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大?。?3)當(dāng)不能直接進(jìn)行比較時(shí)，可在兩個(gè)數(shù)中間插入一個(gè)中間數(shù)，間接比較上述兩個(gè)數(shù)的大小.利用冪函數(shù)的增減性比較兩個(gè)數(shù)的大小.根據(jù)冪函數(shù)圖象的特征，待定解析式，利用圖象解決問(wèn)題．考點(diǎn)二冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2【思路點(diǎn)撥】用待定系數(shù)法求解析式；結(jié)合圖形解決x的取值問(wèn)題．(2)在同一坐標(biāo)系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖象如圖所示．由圖象可知：①當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)>g(x)；②當(dāng)x＝1或x＝－1時(shí)，f(x)＝g(x)；③當(dāng)－1<x<1且x≠0時(shí)，f(x)<g(x)．【名師點(diǎn)撥】

(1)求冪函數(shù)解析式的步驟：①設(shè)出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝xα(α為常數(shù))；②根據(jù)已知條件求出α的值；③寫(xiě)出冪函數(shù)的解析式．解：(1)g(x)＝x－1.(2)分別作出它們的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)<g(x)．利用冪函數(shù)圖象解題時(shí)，要抓住冪函數(shù)圖象的交叉點(diǎn)(分界點(diǎn))在第一象限為(1,1)，在第二象限為(－1,1)，第三象限為(－1，－1)．對(duì)于冪函數(shù)、根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)的解析式形式求定義域、值域．考點(diǎn)三冪函數(shù)的定義域、值域利用“還原根式”求冪函數(shù)定義域及奇偶性的方法；偶性【思路點(diǎn)撥】先將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為根式，然后根據(jù)根式有意義求解．是偶函數(shù)（1）y==,∴x≥0,∴定義域［0,+∞)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),為非奇非偶函數(shù).（2）y=,∴x>0,∴定義域(0,+∞)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為非奇非偶函數(shù).（3）y=,∴x∈R,∴滿足f(-x)=f(x),f(x)為R上的偶函數(shù).冪函數(shù)的奇偶性研究?jī)绾瘮?shù)的奇偶性與單調(diào)性，要十分注意其定義域．【名師點(diǎn)撥】

冪指數(shù)為正整數(shù)的可以利用定義驗(yàn)證，為負(fù)指數(shù)冪的先化為正指數(shù)冪再判斷．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的先化為根式再判斷．自我挑戰(zhàn)已知冪函數(shù)f(x)＝x3－m，其中m＞－1，且m∈Z，若f(x)是偶函數(shù)，且f(3)＜f(5)，求m的值．解：∵f(3)＜f(5)，∴3－m＞0，∴m＜3.再由題意，－1＜m，且m∈Z，∴m＝0,1,2.當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x3不是偶函數(shù)；當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x2是偶函數(shù)；當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x不是偶函數(shù)．∴m＝1符合題意．【名師點(diǎn)撥】

冪函數(shù)的定義域要根據(jù)解析式來(lái)確定，當(dāng)冪函數(shù)的指數(shù)為分?jǐn)?shù)形式時(shí)，需將其轉(zhuǎn)化為熟悉的根式形式，利用根式的有關(guān)要求求出自變量的取值范圍．是非奇非偶函數(shù)已知冪函數(shù)y=(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(0,+∞)上,函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足的a的取值范圍.根據(jù)條件確定m的值，再利用冪函數(shù)的增減性求a的取值范圍.∵函數(shù)在(0,+∞)上遞減，∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.又∵m∈N*,∴m=1,2.又∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴m2-2m-3為偶數(shù)，故m=1?！嘤?a+1)<(3-2a).形如aα＞bα的不等關(guān)系，既要看冪函數(shù)y＝xα的單調(diào)性，還要討論a、b的正負(fù)或0的取值．解有關(guān)冪函數(shù)的不等式時(shí)，若冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間，可以不討論底數(shù)，若單調(diào)區(qū)間是間斷開(kāi)的，則要討論每個(gè)區(qū)間底數(shù)含參數(shù)的冪函數(shù)，要注意對(duì)底數(shù)的討論學(xué)點(diǎn)五冪函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用（1）已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求m的取值范圍；（2）已知x>x，求x的取值范圍.【分析】根據(jù)冪函數(shù)圖象、單調(diào)性比較大小.【解析】（1）∵根據(jù)冪函數(shù)y=x1.3的圖象知當(dāng)0<x<1時(shí)，0<y<1,∴0<0.71.3<1，又∵根據(jù)冪函數(shù)y=x0.7的圖象知當(dāng)x>1時(shí),y>1，∴1.30.7>1,于是有0.71.3<1.30.7,考查冪函數(shù)y=xm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,當(dāng)x>0時(shí)，隨著x增大，函數(shù)值也增大，∴m>0.（2）∵函數(shù)y=x與y=x的定義域都是R，y=x的圖象分布在第一、二象限；y=x的圖象分布在第一、三象限.∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)