大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料

高等數(shù)學(xué)函數(shù)與極限函數(shù)●函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識(shí)）（▲▲▲）●鄰域（去心鄰域）（▲）數(shù)列的極限●數(shù)列極限的證明（▲）〖題型〗已知數(shù)列，證明〖證明〗語(yǔ)言1．由化簡(jiǎn)得，∴2．即對(duì)，，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，∴函數(shù)的極限●時(shí)函數(shù)極限的證明（▲）〖題型〗已知函數(shù)，證明〖證明〗語(yǔ)言1．由化簡(jiǎn)得，∴2．即對(duì)，，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，∴●時(shí)函數(shù)極限的證明（▲）〖題型〗已知函數(shù)，證明〖證明〗語(yǔ)言1．由化簡(jiǎn)得，∴2．即對(duì)，，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，∴無(wú)窮小與無(wú)窮大●無(wú)窮小與無(wú)窮大的本質(zhì)（▲）函數(shù)無(wú)窮小函數(shù)無(wú)窮大●無(wú)窮小與無(wú)窮大的相關(guān)定理與推論（▲▲）（定理三）假設(shè)為有界函數(shù)，為無(wú)窮小，則（定理四）在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，若為無(wú)窮大，則為無(wú)窮??；反之，若為無(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大〖題型〗計(jì)算：（或）1．∵≤∴函數(shù)在的任一去心鄰域內(nèi)是有界的；（∵≤，∴函數(shù)在上有界；）2．即函數(shù)是時(shí)的無(wú)窮?。唬春瘮?shù)是時(shí)的無(wú)窮??；）3．由定理可知（）極限運(yùn)算法則●極限的四則運(yùn)算法則（▲▲）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關(guān)于多項(xiàng)式、商式的極限運(yùn)算設(shè)：則有（特別地，當(dāng)（不定型）時(shí)，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點(diǎn)便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解）〖題型〗求值〖求解示例〗解：因?yàn)?，從而可得，所以原式其中為函?shù)的可去間斷點(diǎn)倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解（詳見(jiàn)第三章第二節(jié)）：解：●連續(xù)函數(shù)穿越定理（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（▲▲）（定理五）若函數(shù)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，〖題型〗求值：〖求解示例〗極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限●夾迫準(zhǔn)則（P53）（▲▲▲）第一個(gè)重要極限：∵，∴（特別地，）●單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57）（▲▲▲）第二個(gè)重要極限：（一般地，，其中）〖題型〗求值：〖求解示例〗無(wú)窮小量的階（無(wú)窮小的比較）●等價(jià)無(wú)窮小（▲▲）1．2．（乘除可替，加減不行）〖題型〗求值：〖求解示例〗函數(shù)的連續(xù)性●函數(shù)連續(xù)的定義（▲）●間斷點(diǎn)的分類(lèi)（P67）（▲）（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式）〖題型〗設(shè)函數(shù)，應(yīng)該怎樣選擇數(shù)，使得成為在上的連續(xù)函數(shù)？〖求解示例〗1．∵2．由連續(xù)函數(shù)定義∴閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)●零點(diǎn)定理（▲）〖題型〗證明：方程至少有一個(gè)根介于與之間〖證明〗1．（建立輔助函數(shù)）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；2．∵（端點(diǎn)異號(hào)）3．∴由零點(diǎn)定理，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得，即（）4．這等式說(shuō)明方程在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)概念●高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83）（▲▲）〖題型〗已知函數(shù)，在處可導(dǎo)，求，〖求解示例〗1．∵，2．由函數(shù)可導(dǎo)定義∴〖題型〗求在處的切線(xiàn)與法線(xiàn)方程（或：過(guò)圖像上點(diǎn)處的切線(xiàn)與法線(xiàn)方程）〖求解示例〗1．，2．切線(xiàn)方程：法線(xiàn)方程：函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)法則●函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（▲▲▲）1．線(xiàn)性組合（定理一）：特別地，當(dāng)時(shí)，有2．函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：3．函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）：反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則●反函數(shù)的求導(dǎo)法則（▲）〖題型〗求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〖求解示例〗由題可得為直接函數(shù)，其在定于域上單調(diào)、可導(dǎo)，且；∴●復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（▲▲▲）〖題型〗設(shè)，求〖求解示例〗高階導(dǎo)數(shù)●（或）（▲）〖題型〗求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)〖求解示例〗，，……隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)●隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對(duì)求導(dǎo)）（▲▲▲）〖題型〗試求：方程所給定的曲線(xiàn)：在點(diǎn)的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程〖求解示例〗由兩邊對(duì)求導(dǎo)即化簡(jiǎn)得∴∴切線(xiàn)方程：法線(xiàn)方程：●參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)〖題型〗設(shè)參數(shù)方程，求〖求解示例〗1.2.變化率問(wèn)題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）函數(shù)的微分●基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則（▲▲▲）中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理●引理（費(fèi)馬引理）（▲）●羅爾定理（▲▲▲）〖題型〗現(xiàn)假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，試證明：，使得成立〖證明〗1．（建立輔助函數(shù)）令顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)；2．又∵即3．∴由羅爾定理知，使得成立●拉格朗日中值定理（▲）〖題型〗證明不等式：當(dāng)時(shí)，〖證明〗1．（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對(duì)，顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又∵，∴，化簡(jiǎn)得，即證得：當(dāng)時(shí)，〖題型〗證明不等式：當(dāng)時(shí)，〖證明〗1．（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對(duì)，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化簡(jiǎn)得，又∵，∴，∴，即證得：當(dāng)時(shí)，羅比達(dá)法則●運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（▲▲）1．☆等價(jià)無(wú)窮小的替換（以簡(jiǎn)化運(yùn)算）2．判斷極限不定型的所屬類(lèi)型及是否滿(mǎn)足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件A．屬于兩大基本不定型（）且滿(mǎn)足條件，則進(jìn)行運(yùn)算：（再進(jìn)行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出）B．☆不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）⑴型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）〖題型〗求值：〖求解示例〗（一般地，，其中）⑵型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）〖題型〗求值：〖求解示例〗⑶型（對(duì)數(shù)求極限法）〖題型〗求值：〖求解示例〗⑷型（對(duì)數(shù)求極限法）〖題型〗求值：〖求解示例〗⑸型（對(duì)數(shù)求極限法）〖題型〗求值：〖求解示例〗●運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路（▲▲）⑴通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無(wú)窮小的替換）⑵取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）⑶取對(duì)數(shù)獲得乘積式（通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前）泰勒中值定理（不作要求）函數(shù)的單調(diào)性和曲線(xiàn)的凹凸性●連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（▲▲▲）〖題型〗試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〖求解示例〗1．∵函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導(dǎo)∴2．令，解得：3．（三行表）極大值極小值4．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為〖題型〗證明：當(dāng)時(shí)，〖證明〗1．（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)，（）2．，（）∴3．既證：當(dāng)時(shí)，〖題型〗證明：當(dāng)時(shí)，〖證明〗1．（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)，（）2．，（）∴3．既證：當(dāng)時(shí)，●連續(xù)函數(shù)凹凸性（▲▲▲）〖題型〗試討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)〖證明〗1．2．令解得：3．（四行表）4．⑴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,；⑵函數(shù)的極小值在時(shí)取到，為，極大值在時(shí)取到，為；⑶函數(shù)在區(qū)間,上凹，在區(qū)間,上凸；⑷函數(shù)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為函數(shù)的極值和最大、最小值●函數(shù)的極值與最值的關(guān)系（▲▲▲）⑴設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻哪硞€(gè)鄰域，使得對(duì)，都適合不等式，我們則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處有極大值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值滿(mǎn)足：；⑵設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果的某個(gè)鄰域，使得對(duì)，都適合不等式，我們則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處有極小值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值滿(mǎn)足：；〖題型〗求函數(shù)在上的最值〖求解示例〗1．∵函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導(dǎo)∴2．令，解得：3．（三行表）極小值極大值4．又∵∴函數(shù)圖形的描繪（不作要求）曲率（不作要求）方程的近似解（不作要求）不定積分不定積分的概念與性質(zhì)●原函數(shù)與不定積分的概念（▲▲）⑴原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即當(dāng)自變量時(shí)，有或成立，則稱(chēng)為的一個(gè)原函數(shù)⑵原函數(shù)存在定理：（▲▲）如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，則在上必存在可導(dǎo)函數(shù)使得，也就是說(shuō)：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導(dǎo)必連續(xù)）⑶不定積分的概念（▲▲）在定義區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為在定義區(qū)間上的不定積分，即表示為：（稱(chēng)為積分號(hào)，稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為積分表達(dá)式，則稱(chēng)為積分變量）●基本積分表（▲▲▲）●不定積分的線(xiàn)性性質(zhì)（分項(xiàng)積分公式）（▲▲▲）換元積分法●第一類(lèi)換元法（湊微分）（▲▲▲）（的逆向應(yīng)用）〖題型〗求〖求解示例〗〖題型〗求〖求解示例〗●第二類(lèi)換元法（去根式）（▲▲）（的正向應(yīng)用）⑴對(duì)于一次根式（）：：令，于是，則原式可化為⑵對(duì)于根號(hào)下平方和的形式（）：：令（），于是，則原式可化為；⑶對(duì)于根號(hào)下平方差的形式（）：a．：令（），于是，則原式可化為；b．：令（），于是，則原式可化為；〖題型〗求（一次根式）〖求解示例〗〖題型〗求（三角換元）〖求解示例〗分部積分法●分部積分法（▲▲）⑴設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：⑵分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對(duì)、冪、三、指”●運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分的基本步驟：⑴遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；⑵就近湊微分：（）⑶使用分部積分公式：⑷展開(kāi)尾項(xiàng)，判斷a．若是容易求解的不定積分，則直接計(jì)算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）；b．若依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無(wú)法通過(guò)a中方法求解的不定積分，則重復(fù)⑵、⑶，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過(guò)程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)〖題型〗求〖求解示例〗〖題型〗求〖求解示例〗∴有理函數(shù)的不定積分●有理函數(shù)（▲）設(shè)：對(duì)于有理函數(shù)，當(dāng)?shù)拇螖?shù)小于的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是真分式；當(dāng)?shù)拇螖?shù)大于的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是假分式●有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（▲）⑴將有理函數(shù)的分母分拆成兩個(gè)沒(méi)有公因式的多項(xiàng)式的乘積：其中一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為一次因式；而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為二次質(zhì)因式，（）；即：一般地：，則參數(shù)則參數(shù)⑵則設(shè)有理函數(shù)的分拆和式為：其中參數(shù)由待定系數(shù)法（比較法）求出⑶得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解〖題型〗求（構(gòu)造法）〖求解示例〗積分表的使用（不作要求）定積分極其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)●定積分的定義（▲）（稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為被積表達(dá)式，則稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為積分下限，稱(chēng)為積分上限，稱(chēng)為積分區(qū)間）●定積分的性質(zhì)（▲▲▲）⑴⑵⑶⑷（線(xiàn)性性質(zhì)）⑸（積分區(qū)間的可加性）⑹若函數(shù)在積分區(qū)間上滿(mǎn)足，則；（推論一）若函數(shù)、函數(shù)在積分區(qū)間上滿(mǎn)足，則；（推論二）●積分中值定理（不作要求）微積分基本公式●牛頓-萊布尼茲公式（▲▲▲）（定理三）若果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則●變限積分的導(dǎo)數(shù)公式（▲▲▲）（上上導(dǎo)―下下導(dǎo)）〖題型〗求〖求解示例〗定積分的換元法及分部積分法●定積分的換元法（▲▲▲）⑴（第一換元法）〖題型