2022年黑龍江省省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題試題（含答案+解析）

黑龍江省龍東地區(qū)2022年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（每題3分，滿分30分）

1.下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）

A.—-b2—a2B.3a-2a—6a

C.D.a6^a2=a3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)完全平方公式、同底數(shù)幕相乘除，積的乘方進(jìn)行計(jì)算，即可判斷.

【詳解】?jī)H—4=〃+。2_2"，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

3a?2a=6/,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

（―父）2=/，故c選項(xiàng)正確，符合題意；

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、同底數(shù)幕相乘除，積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2.下列圖形是汽車的標(biāo)識(shí)，其中是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（)

A.B.C.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義判斷即可.

【詳解】解：；是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形,

...不符合題意;

是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形

不符合題意;

不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形

；?符合題意;

軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形

不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了了軸對(duì)稱圖形即沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分完全重合、中心對(duì)稱圖形即將圖

形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原圖形完全重合，準(zhǔn)確理解定義是解題的關(guān)鍵.

3.學(xué)校舉辦跳繩比賽，九年（2）班參加比賽的6名同學(xué)每分鐘跳繩次數(shù)分別是172,169,180,182,175,

176,這6個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.181B.175C.176D.175.5

【答案】D

【解析】

【分析】先將這6個(gè)數(shù)從小到大進(jìn)行排序，找出排在中間的兩個(gè)數(shù)，求出這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù).

【詳解】解：將172,169,180,182,175,176從小到大進(jìn)行排序?yàn)椋?69,172,175,176,180,182,

排在中間的兩個(gè)數(shù)為175,176,

.?.這6個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)為175+176=175.5,故D正確.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是將這組數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序，找出排在中

間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)，注意偶數(shù)個(gè)數(shù)是求中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).

4.如圖是由若干個(gè)相同的小正方體搭成的一個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個(gè)數(shù)最多是

（）

ffi□由

VHI?用

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】這個(gè)幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層小正方體的個(gè)數(shù)，由左視圖可得第二層小正方體的最

多個(gè)數(shù)，再相加即可.

【詳解】由俯視圖可知最底層有5個(gè)小正方體，由左視圖可知這個(gè)幾何體有兩層，其中第二層最多有3個(gè),

那么搭成這個(gè)幾何體所需小正方體最多有5+3=8個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考

查.

5.2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少

支隊(duì)伍參加比賽？（）

A.8B.10C.7D.9

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意，得：x（x-l）=45,解方程即可.

【詳解】設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意，得：x（x-l）=45,

2

解方程，得M=10,X2--9（舍去），

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

6.已知關(guān)于x的分式方程--------乙=1的解是正數(shù)，則，”的取值范圍是（）

X—11-X

A.機(jī)>4B.<4C.zn>4且〃2H5D.〃？<4且加工1

【答案】C

【解析】

【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)得到加-4>0

且m-4—1/0,即可求解.

【詳解】方程兩邊同時(shí)乘以（x—l）,得2x-〃z+3=x—l,

解得x=，篦—4,

?.?關(guān)于X的分式方程上二"一-3—=1的解是正數(shù)，

X—11—X

了.x>0,且工一1。0,

即"2—4>0且加一4一1。0,

.二加>4且加w5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不為0,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.國家“雙減”政策實(shí)施后，某校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng).某班同學(xué)報(bào)名參加書法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，

班長(zhǎng)為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場(chǎng)購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費(fèi)360元.其中毛筆每支15元，圍棋每

副20元，共有多少種購買方案？（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)設(shè)購買毛筆X支，圍棋y副，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程，結(jié)合

X,y均為正整數(shù)即可得出購買方案的數(shù)量.

【詳解】解：設(shè)購買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)題意得，

15x+20_y=360,即3x+4y=72,

又?.”，y均為正整數(shù),

x=4x=8x=\2x=16-=20

或＜或,"9或或＜

、y=15一y=12y=6y=3'

...班長(zhǎng)有5種購買方案.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系“共花費(fèi)360元”，列出二元一次方程是解題的

關(guān)鍵.

3

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形。區(qū)4。的頂點(diǎn)8在反比例函數(shù)丁=一的圖象

x

上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=A的圖象上，頂點(diǎn)。在x軸的負(fù)半軸上.若平行四邊形。的面積是5,

X

則女的值是（）

【答案】D

【解析】

【分析】連接。4設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S-AB//OD,再

根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C,

???四邊形OBAD是平行四邊形，平行四邊形OBAD的面積是5,

C1c5

??S——SOBADAB//OD,

A()[i2~—2?

軸，

ak.

???點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=士的圖象上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=一的圖象上,

xx

C__Ck

COBmA

3-2'2

3k5

?q—qaq—————

,?UAAOB-LCOBT

222

解得：k=a

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性

質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的兒何意義是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，AABC中，AB^AC,AO平分N84c與BC相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是。C的中

點(diǎn)，連接EF交于點(diǎn)P.若AABC的面積是24,PD=1.5,則PE的長(zhǎng)是()

【答案】A

【解析】

【分析】連接。區(qū)取的中點(diǎn)G,連接EG,先由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，證得AOLBC,BD=CD,

再由E是AB的中點(diǎn)，G是A。的中點(diǎn)，求出SAEGD=3,然后證AEG尸也△FCP(AAS),得GP=CP=1.5,從

而得Z)G=3,即可由三角形面積公式求出EG長(zhǎng)，由勾股定理即可求出PE長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，連接。E,取AO的中點(diǎn)G,連接EG,

：AB=AC,AO平分N&4C與8c相交于點(diǎn)。,

\AD±BC,BD=CD,

AAM；BC1c,

,?S=L=-x24=i2,

2

.,E是AB的中點(diǎn),

??S”所;S.ABD=—x12=6,

2

.?G是的中點(diǎn),

.1o1/

?SAEGD=-SAAED=-X6=3

.?E是AB的中點(diǎn)，G是A。的中點(diǎn),

,.EG//BC,EG=3BD=；CD,

NEGP=NFDP=90°,

.?尸是CO的中點(diǎn),

DF=gcD,

\EG=DF,

：NEPG=/FPD,

,.叢EGP芻叢FDP(AAS),

GP=PD=L5,

\GD=3,

SA￡GD=—GD-EG-3,即‘EGx3=3,

22

\EG=2,

在用△EGP中，由勾股定理，得

22225

PE=VEG+GP2=V2+I.5=-，

故選：A.

A

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，三角形面積，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形

中線分三角形兩部分的面積相等是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，正方形A8C。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)F是。上一點(diǎn)，OE上OF交BC于點(diǎn)、E,連

接AE,BF交于點(diǎn)、P,連接。P.則下列結(jié)論：①AE_L即:②NOQ4=45°：③AP-BP=皈OP；④

41

若BE:CE=2:3,則tanNC4E=-；⑤四邊形OEC尸的面積是正方形ABC。面積的一.其中正確的結(jié)

74

A.①②??B.①②?@C.??③④D.①③④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行證明后進(jìn)行判斷：

①通過證明MF且AC0￡（4SA）得至I]EC=FD,再證明AEACGAFEXSAS）得至|J/EAC=/F8Z）,從而證明

ZBPQ=ZAOQ=90°,即短_|_3/；

②通過等弦對(duì)等角可證明ZOPA=ZOBA=45°；

③通過正切定義得tan/BA石=三RF=不RP，利用合比性質(zhì)變形得到AP-BP=C±F.RPk，再通過證明

ABAPBE

OP.AEOP，AE.BP

△AOPS^AEC得到=代入前式得AP-BP=u1，最后根據(jù)三角形面積公式得到

AOAO-BE

AEBP=ABBE,整體代入即可證得結(jié)論正確;

FCFG

④作EGLAC于點(diǎn)G可得EG〃8O,根據(jù)tanNC4E=*=.;二,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為5a,分別求出EG、

AGAC-CG

3

AC、CG的長(zhǎng)，可求出tanNC4E=—,結(jié)論錯(cuò)誤；

7

⑤將四邊形。EC廠的面積分割成兩個(gè)三角形面積，利用AOOF0ACOE(ASA),可證明5四邊彩

OECF=S^COe+S^COF=SADOF+SACOF=SACOD即可證明結(jié)論正確.

【詳解】①???四邊形ABCQ是正方形，。是對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn)，

/.OC=OD,OCLOD,ZODF=ZOCE=45°

OELOF

：.ZDOF+ZFOC=ZFOC+ZEOC=90°

：.NDOF=/EOC

在4DOF與4COE中

ZODF=NOCE

<OC=OD

NDOF=NEOC

：.AOOF%COE(ASA)

：.EC=FD

EC=FD

在^EAC與^FBD中,ZECA=NFDB=45°

AC=BD

：.△￡4c也AF8￡>(SAS)

，ZEAC=ZFBD

^'：ZBQP=ZAQO

：.ZBPQ=ZAOQ^O°

：.AE±BF

所以①正確；

②：乙4OB=/AP8=90°

...點(diǎn)尸、。在以AB為直徑的圓上

???AO是該圓的弦

ZOPA^ZOBA=45°

所以②正確；

BEBP

③???tanNBAE

ABAP

.ABAP

.AB—BEAP-BP

*'-BE-BP

.AP—BPCE

一~BP~~BE

,AP-BP=N

BE

■:ZEAC=NOAP,Z.OPA=ZACE=45°

4Aop^AAEC

OPAO

~CE~~AE

OPAE

CE=

AO

OPAEBP

AP-BP=

AOBE

,/-AEBP^-ABBE=S

22

AEBP=ABBE

…一等普嚼?！?/p>

所以③正確;

④作EGJ_4c于點(diǎn)G,則EG〃80,

.EGCECG

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為5a，則BC=5a,OB=OC=^^a，

2

BE2

若BE:CE=2:3,則k二一，

CE3

.BE+CE2+3

CE一丁

CE_3

~BC~5

EG=、B=-a

BC522

VEG1AC,ZACB=45°,

ZGEC=45°

CG二EG二逑

2

3亞

EG2_3

tanZCAE====

AGAC-CG~~^―37F7

572a--------a

2

所以④錯(cuò)誤;

⑤ADOF=ACOE(T4SA),SWUIKOEO^S^COE+SACOF

SmumOECF=SADOF+SAC。產(chǎn)S^COD

,SACOD=aS正方暗BCO

S叫邊柩OECF=；5正方形ABC。

所以⑤正確；

綜上，①②③⑤正確，④錯(cuò)誤，

故選B

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了三角形、正方形、圓和三角函數(shù)，熟練運(yùn)用全等三角形、相似三角形、等弦對(duì)等角和三角

函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每題3分，滿分30分)

11.我國南水北調(diào)東線北延工程2021-2022年度供水任務(wù)順利完成，共向黃河以北調(diào)水1.89億立方米，將數(shù)

據(jù)1.89億用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】1.89x1()8

【解析】

【分析】把億寫成10,最后統(tǒng)一寫成ax10"的形式即可.

【詳解】解：由題意得：1.89億=L89X1()8,

故答案為：L89X10'.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，熟記科學(xué)記數(shù)法的表示形式是解題的關(guān)鍵.

12.函數(shù)丁=四二5中自變量x的取值范圍是.

【答案】x>1.5

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0,即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，

2.x—320,

x>1.5；

故答案為：x>1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式被開方數(shù)大于等于。進(jìn)行解題.

13.如圖，在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)O,OA^OC,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使

△AOB”衛(wèi)OD.

A/^-----------------刁D

【答案】OB=OD（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)SAS添加08=07）即可

【詳解】解：添力口。8=。。，

△A0B和△COO中，

AO=CO

<NA0B=NC0D,

0B=0D

：.AAOB玨COD（SAS）

故答案為08=00（答案不唯一）

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等判定添加條件，掌握三角形全等判定方法是解題關(guān)鍵.

14.在一個(gè)不透明的口袋中，有2個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)

球，摸到紅球的概率是________.

【答案】|

【解析】

【分析】利用概率公式計(jì)算即可.

【詳解】?；不透明的口袋中，有2個(gè)紅球和4個(gè)白球，

21

...摸到紅球的概率是——

2+43

故答案為：

3

【點(diǎn)睛】本題考查了概率計(jì)算，熟練掌握概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

[2x-l<3

15.若關(guān)于x的一元一次不等式組《八的解集為x<2,則a的取值范圍是

x-a<0

【答案】a>2##2<a

【解析】

【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)已知不等式組的解集即可得出答案.

2x-1<3①

【詳解】解:

x—a<0(2)

解不等式①得：x<2,

解不等式②得：xVa,

（2x-l<3

?.?關(guān)于》的不等式組。一?！?。的解集為x<2'

a>2.

故答案為：a>2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求解，求不等式組解集的

口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

16.如圖，在。。中，AB是的弦，OO的半徑為3cm,C為上一點(diǎn)，ZACB=6O°,則AB的長(zhǎng)

為—cm.

【答案】36

【解析】

【分析】連接04、08,過點(diǎn)。作于點(diǎn)，由垂徑定理和圓周角定理可得=

2

4403=120。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/。3=/。84=30。，利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)

和勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接04、OB,過點(diǎn)。作OOJLA8于點(diǎn)。，

AD^BD=-AB,ZODA=90°,

2

Z4c6=60°,

/.ZA<9B=i20°,

-.OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=3Q°,

?.?OA-3cm,

3

/.OD=—cm,

2

AD=yJo^-OD2=^cm，

2

二.AB=36cm>

故答案為：3后.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理,

熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

17.若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為5cm,它的側(cè)面展開圖的圓心角為120。，則這個(gè)圓錐的底面半徑為cm.

【答案】|

【解析】

【分析】由于圓錐的母線長(zhǎng)為5cm,側(cè)面展開圖是圓心角為120。扇形，設(shè)圓錐底面半徑為巾m,那么圓錐

底面圓周長(zhǎng)為2〃cm,所以側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為2m,cm,然后利用弧長(zhǎng)公式即可得到關(guān)于『的方程，解方程

即可求解.

【詳解】解：設(shè)圓錐底面半徑為em,

則圓錐底面周長(zhǎng)為：2〃rcm,

側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為：2%rcm,

解得：

3

故答案為：—?

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐側(cè)面展開圖的知識(shí)；正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解

決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng).

18.如圖，菱形48co中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,ZaW=60°,AD=3,AH是NR4C的平分線,

CE_LAH于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP+PE的最小值是.

【答案］亞

2

【解析】

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接?？诮籄B于G,連接PE交直線AB于P,連接P。，則P0=P尸，

此時(shí)，P0+PE最小，最小值=E凡利用菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OF,0E長(zhǎng)，再

證明△￡?尸是直角三角形，然后由勾股定理求出EF長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接。尸交AB于G,連接PE交直線48于P,連接P0,

則尸O=PF,此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF,

?.?菱形A3CD,

：.AC±BD,OA=OC,0=00,AD=AB^3,

?：ZBAD=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，

：.BD=AB=3,ZBA0=30°,

.3

??OB——

29

：.OA=-y/3

2f

?,?點(diǎn)。關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F,

AOF1.AB,OF=2OG=OA=-43

2f

：.ZAOG=60°f

?；CE_LAH于E,OA=OCf

：.OE=OC=OA=-y[3

2t

???4H平分N8AC,

AZCAE=15°,

???ZAEC=ZCAE=\50,

：.ZDOE=ZAEC+ZCAE=30°,

JZDOE+ZA(9G=30O4-60O=90O,

???ZFOE=90°,

???由勾股定理，得尸2+。石2=

2

...PO+PE最小值=亞.

2

故答案為：亞

2

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作點(diǎn)。關(guān)于

AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接OF交43于G,連接PE交直線AB于P,連接PO,則PO=PF,則PO+PE最小，最

小值=所是解題的關(guān)鍵.

19.在矩形A8C。中，AB=9,4)=12,點(diǎn)E在邊CO上，且CE=4,點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若

VAPE是直角三角形，則8P的長(zhǎng)為.

【答案】」31或1^5或6

34

【解析】

【分析】分三種情況討論：當(dāng)/APE=90°時(shí)，當(dāng)/AEP=90°時(shí)，當(dāng)/B4E=90°時(shí)，過點(diǎn)P作尸F(xiàn)LOA交

D4延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，即可求解.

【詳解】解：在矩形4BCD中，AB=CD=9,AD=BC=n,ZBAD=ZB=ZBCD^ZADC=90°,

如圖，當(dāng)/APE=90。時(shí)，

ZAPB+ZCPE=90Q,

ZBAP+ZAPB=90°,

NBAP=NCPE,

VZB=ZC=90°,

：./XABPs/\PCE,

.ABBP9BP

,即

"PC-CEn-BP

解得:BP=6；

如圖，當(dāng)/4EP=90°時(shí),

AZAED+ZPEC=90°,

VZDAE+ZAED=90°,

JZDAE=ZPEC,

VZC=Z￡>=90°,

:.LADEsAECP,

...絲=”,占工

CEPC4PC

解得：pc=1,

3

31

??.BP=BC-PC=—；

3

如圖，當(dāng)NR1E=9O°時(shí)，過點(diǎn)P作尸/UDA交D4延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

根據(jù)題意得N3AQNA3P=NF=90°,

???四邊形A8P尸為矩形，

PF=AB=9fAF=PB,

'：ZPAF+ZDAE=90°,ZB4F+ZAPF=90°,

???ZDAE=ZAPFf

VZF=ZZ>90°,

???XAPFsgAD,

,AFPFAF_9

.?-.......，RJ---------——,

DEAD9-412

解得：AF=-,即PB="；

44

3115

綜上所述，BP的長(zhǎng)為」或三或6.

34

故答案為：331?或，15或6

34

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩

形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，4,4,A4……在x軸上且。4=1,。4=2。4,

0Al=2OA3……按此規(guī)律，過點(diǎn)a,4,4,4……作X軸的垂線分別與直線y=Jit交于點(diǎn)B-B2,

B3,B4……記AOA4,AOA2B2,M3B3,A(9A4B4……的面積分別為S1,邑，S3,S4……，則§2022=

【解析】

【分析】先求出44=百，可得5小八=走，再根據(jù)題意可得4瓦〃4昆〃4員……〃A”B”,從

1■4>[2

而得到282sAOA為SAOA紇……sXO'B、,再利用相似三角形的性質(zhì)，可得S.OAB,：

22232

SAOA?%?SAOA0?^?OA4BA...?S&OANB”=1:2:(2)：(2)：……(2"不，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)戶1時(shí)，丫=也,

.?.點(diǎn)4(1,6),

???a片="

，Son區(qū)=—xlx^3=，

??,根據(jù)題意得：4片〃4鳥〃人&.〃4紇，

△0/41B}sAOA,B,s^OA3B3s^OA4B4.../\OAnBfl,

??Sq%B\:SQ&B?:SAOA'B?:S&0Al%......：S,0AA=0A|2：OA22-0A32:OA“2,

,JQA=1,0A2=204,OA,=2OA,OA4=2OA3...,

.?.。&=2,。43=4=22,04=8=23……OA,,=2"-',

：

?q?q?q?qSQA,B.二

AOA4B4

1:22:（22）2：（23）2:……（2"-1）2=l:22:24:26:

?C-,2”-2s

,?QSR,一乙u.OA優(yōu)，

???S2022=22*2°22-2x#=24M退.

故答案為：2404lV3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題，相似三角形的判定和性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律，是

解題的關(guān)鍵.

三、解答題（滿分60分）

（a1—2a,2a—1一

21.先化簡(jiǎn)，再求值：—------1------,其中a=2cos30°+1.

Ia--1）a+1

【答案】—）衛(wèi)

\-a3

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式，再把特殊角的三角函數(shù)值代入，求出。值，然后把。值代入

化簡(jiǎn)式計(jì)算即可.

ci~-1]a+1

【詳解】解:原式=6?2—1J2a—1

1—2a。+1

/-12a—1

1

\-a

當(dāng)a=2cos30°+l=G+M，

is共16

原式=----7=---=-----

1-V3-13

【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式運(yùn)算法則和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三

個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（2,-5）,C（5,T）.

（1）將AABC先向左平移6個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到"男弓，畫出兩次平移后的△AgG，

并寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）畫出"gG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△4名G,并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留兀）.

【答案】⑴見解析；4（一5,3）

（2）見解析；A（2,4）

（3）點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)兒所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為|兀

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題目中的平移方式進(jìn)行平移，然后讀出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（2）先找出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可）

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)a為弧長(zhǎng)，利用勾股定理確定圓弧半徑，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可.

【小問1詳解】

解：如圖所示即為所求，

A（-5,3）；

【小問2詳解】

如圖所示AA282c2即為所求，A（2,4）；

【小問3詳解】

???="+42=5

...點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為"上=-71.

1802

【點(diǎn)睛】題目主要考查坐標(biāo)與圖形，圖形的平移，旋轉(zhuǎn)，勾股定理及弧長(zhǎng)公式等，數(shù)量掌握運(yùn)用這些知識(shí)

點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

23.如圖，拋物線y=V+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-l,0）,點(diǎn)8（2,-3）,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P,使APBC的面積是△38面積的4倍，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）y=x2-2x-3

（2）存在，^（1+75,1）,8（1一石,1）

【解析】

]_b?c—0

【分析】⑴將點(diǎn)A（-1,0）,點(diǎn)B（2,-3）,代入拋物線得｛二c,一.，求出"，c的值，進(jìn)而可得拋

'，'/[4+2b+c=-3

物線的解析式.

（2）將解析式化成頂點(diǎn)式得y=%2—2x—3=（X—1/一4,可得。點(diǎn)坐標(biāo)，將x=0代入得，y=-3,可

得。點(diǎn)坐標(biāo)，求出%心=1值，根據(jù)5"阮=4508可得邑M°=4,設(shè)P（〃z,病一2利一3）,則

S/BC=；X2X（/〃2_2/〃_3+3）=4,求出機(jī)的值，進(jìn)而可得尸點(diǎn)坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：?.?拋物線丫=/+笈+。過點(diǎn)4（—1,（））,點(diǎn)3（2,—3）,

.Jl-/?+c=0

??14+2。+。=-3'

h=—2

解得，，

；?拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

【小問2詳解】

解：存在.

y=x2-2X-3=（JC-1）2-4.

。（1）,

將x=0代入得，y=-3,

.??C（0,-3）,

D到線段BC的距離為1,BC=2,

^\BCD—~x2xl=l,

?q=4S=4

??°?PBCR。ABCDR，

設(shè)P^m,m2—2/n—3),

則S,PBC=5x2x(/〃-—2/TZ_3+3)=4,

整理得，〃/—2m=4.

解得小=1+石，或中j=l—

."(1+底1),￡0—技1),

...存在點(diǎn)P,使”>6C的面積是△BCD面積的4倍，點(diǎn)P的坐標(biāo)為片(1+逐,1),^(1-75,1).

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)頂點(diǎn)式，二次函數(shù)與三角形面積綜合等知識(shí).解

題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

24.為進(jìn)一步開展“睡眠管理”工作，某校對(duì)部分學(xué)生的睡眠情況進(jìn)行了問卷調(diào)查.設(shè)每名學(xué)生平均每天的

睡眠時(shí)間為x小時(shí)，其中的分組情況是：

A組：X<8.58組：8.5<x<9C組：9<x<9.5。組：9.5<x<10E組：x>10

根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

(1)本次共調(diào)查了名學(xué)生；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求。組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；

(4)若該校有1500名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校睡眠時(shí)間不足9小時(shí)的學(xué)生有多少人？

【答案】(1)100(2)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖見解析

(3)。組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為72°

（4）估計(jì)該校睡眠時(shí)間不足9小時(shí)的學(xué)生有375人

【解析】

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中B組的人數(shù)與占比，計(jì)算求解即可；

（2）根據(jù)E組人數(shù)占比為15%,求出E組人數(shù)為100x15%人，然后作差求出A組人數(shù)，最后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)

圖即可；

（3）根據(jù)。組人數(shù)的占比乘以360°計(jì)算求解即可；

（4）根據(jù)AB兩組人數(shù)的占比，乘以總?cè)藬?shù)，計(jì)算求解即可.

【小問1詳解】

解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，本次共調(diào)查了20+20%=100（人），

故答案為：100.

【小問2詳解】

解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，E組人數(shù)占比為15%,

???E組人數(shù)為100x15%=15（人），

A組人數(shù)為100-20-40-20-15=5（人），

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示

條形統(tǒng)計(jì)圖

【小問3詳解】

20

解：由題意知，。組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為一x360°=72°,

100

組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為72°.

【小問4詳解】

解：由題意知，1500x"a=375（人）

100

估計(jì)該校睡眠時(shí)間不足9小時(shí)的學(xué)生有375人.

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，畫條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于

從統(tǒng)計(jì)圖中獲取正確的信息.

25.為抗擊疫情，支援B市，A市某蔬菜公司緊急調(diào)運(yùn)兩車蔬菜運(yùn)往B市.甲、乙兩輛貨車從A市出發(fā)前往

8市，乙車行駛途中發(fā)生故障原地維修，此時(shí)甲車剛好到達(dá)8市.甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應(yīng)乙

車，把乙車的蔬菜裝上甲車后立即原路原速又運(yùn)往B市.乙車維修完畢后立即返回4市.兩車離A市的距

離y(km)與乙車所用時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)甲車諫度是km/h,乙車出發(fā)時(shí)速度是km/h：

(2)求乙車返回過程中，乙車離A市的距離y(km)與乙車所用時(shí)間x(h)的函數(shù)解析式(不要求寫出自

變量的取值范圍)；

(3)乙車出發(fā)多少小時(shí)，兩車之間的距離是120km?請(qǐng)直接寫出答案.

【答案】(1)10060

(2)y=-100x+1200

(3)3,6.3,9.125

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圖象分別得出甲車5h的路程為500km,乙車5h的路程為300km,即可確定各自的速度；

(2)設(shè)丁="+匕(女/0),由圖象可得經(jīng)過點(diǎn)(9,300),(12,0)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)解

析式；

(3)乙出發(fā)的時(shí)間為f時(shí)，相距120km,根據(jù)圖象分多個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分析，利用速度與路程、時(shí)間的關(guān)系

求解即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)圖象可得，甲車5〃的路程為500km,

，甲的速度為：500+5=100km/h；

乙車5h的路程為300km,

二乙的速度為:300+5=60km/h；

故答案為：100；60；

【小問2詳解】

設(shè)了=束+可左。0),由圖象可得經(jīng)過點(diǎn)(9,300),(12,0)點(diǎn),

‘92+6=300

代入得<

\2k+b=Q

%=—100

解得《

8=1200

與X的函數(shù)解析式為y=T00x+1200；

【小問3詳解】

解：設(shè)乙出發(fā)的時(shí)間為f時(shí)，相距120km,

根據(jù)圖象可得，

當(dāng)(Xz<5時(shí)，

100r-60/=120,

解得：z=3；

當(dāng)5v<5.5時(shí)，根據(jù)圖象可得不滿足條件；

當(dāng)5.5<7<8時(shí)，

500-100(Z-5.5)-300=120,

解得：r=6.3；

當(dāng)8v<9時(shí)，

100(z-8)-300=120,

解得：t=\2.2,不符合題意，舍去；

當(dāng)9<7<12時(shí)，

lOOx(9-8)+10009)+6009)=120,

解得：片9.125；

綜上可得：乙車出發(fā)3h、6.3h與9.125h時(shí)，兩車之間的距離為120km.

【點(diǎn)睛】題目主要考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取相關(guān)信息，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用等，理解題意,

根據(jù)函數(shù)圖象得出相關(guān)信息是解題關(guān)鍵.

26.AABC和AADE都是等邊三角形.

(1)將AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接B。，CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合)，有

PA+PB=PC(或Q4+PC=P3)成立；請(qǐng)證明.

(2)將△4￡＞石繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接B。，CE相交于點(diǎn)P,連接B4,猜想線段布、PB、PC

之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

(3)將AADE繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接CE相交于點(diǎn)P,連接以，猜想線段附、P8、PC

之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)圖②結(jié)論：PB=PA+PC,證明見解析

(3)圖③結(jié)論：PA+PB=PC

【解析】

【分析】⑴由AABC是等邊三角形，得AB=AC,再因?yàn)辄c(diǎn)尸與點(diǎn)A重合，所以P8=AB,PC=AC,PA=O,

即可得出結(jié)論；

(2)在BP上截取3/=CP,連接A凡證明△BAD經(jīng)(S4S),得ZABD=ZACE,再證明

△CAP^ABAF(SAS),得NC4P=ZBAF,AF=AP,然后證明AAFP是等邊三角形，得PF=AP，

即可得出結(jié)論；

(3)在CP上截取C戶=BP,連接AF,證明AEAZ注ACAE(SAS),得ZABD=ZACE,再證明

△BAP^ACAF(SAS),得出ZCAF=ZBAP,AP=AF，然后證明AAF尸是等邊三角形，得PF=AP，

即可得出結(jié)論：PA+PB=PF+CF=PC.

【小問1詳解】

證明：?.?△A8C是等邊三角形，

：.AB=AC,

?.?點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，

：.PB=AB,PC=AC,B4=0,

P1+P3=PC或P4+PC=P8；

【小問2詳解】

解：圖②結(jié)論：PB=PA+PC

證明：在BP上截取3R=CP,連接4F,

AABC和△相)￡都是等邊三角形，

AAB=AC,AD=AE，ABAC=ZDAE=60°

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD^ZCAE,

：.^BAD^^CAE(SAS),

ZABD^ZACE,

"：AC=AB,CP=BF,

：./\CAP^/\BAF(SAS),

AZCAP^ZBAF,AF=AP，

：.ZCAP+ZCAF=ZBAF+ZCAF,

：.ZFAP=ZBAC=60°,

???AAF尸是等邊三角形，

...PF=AP，

PA+PC=PF+BF=PB；

【小問3詳解】

解：圖③結(jié)論：PA+PB=PC,

理由：在CP上截取C尸=3P,連接AF,

c

AABC和AADE都是等邊三角形，

AB=AC,AD^AE，ZBAC=NDAE=60。

：.ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,

ZBAD=ZCAE,

^BAD^^CAE(SAS),

ZABD^ZACE,

?：AB=AC,BP=CF,

：.ABAP^AC4F(SAS),

ZCAF=/BAP,AP=AF>

：.ZBAF+NBAP=ZBAF+ZCAF,

ZFAP=ZBAC=60°,

；?AAFP是等邊三角形，

/.PF=AP，

...PA+PB=PF+CF=PC,

即R4+PS=PC.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性

質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.學(xué)校開展大課間活動(dòng)，某班需要購買A、8兩種跳繩.已知購進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175

元：購進(jìn)15根A種跳繩和10根8種跳繩共需300元.

(1)求購進(jìn)一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？

(2)設(shè)購買A種跳繩機(jī)根，若班級(jí)計(jì)劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費(fèi)用不少于548元且不多于560

元，則有哪幾種購買方案？

(3)在(2)的條件下，哪種購買方案需要的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？

【答案】（1）購進(jìn)一根A種跳繩需10元，購進(jìn)一根8種跳繩需15元

（2）有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，B種跳繩22根；方案二：購買A種跳繩24根，B種跳繩

21根；方案三：購買A種跳繩25根，8種跳繩20根

（3）方案三需要費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是550元

【解析】