基本初等函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(秀全中學(xué)崔高峰)

根本初等函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用——從魚的體長(zhǎng)參數(shù)中估計(jì)魚的重量廣州市花都區(qū)秀全中學(xué)崔頂峰曾紹信[摘要]：多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是高中出現(xiàn)頻率很高的函數(shù)，我們經(jīng)常進(jìn)行這些函數(shù)的有關(guān)計(jì)算，卻很少考慮這些函數(shù)在生活中的實(shí)際應(yīng)用。本文嘗試?yán)眠@些根本初等函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型來解決一個(gè)比擬有興趣的實(shí)際問題。衡量一個(gè)數(shù)學(xué)模型的優(yōu)劣全在于它的應(yīng)用效果，而不在乎它是不是采用了多么高深的數(shù)學(xué)知識(shí)方法。本文建立了五種不同數(shù)學(xué)模型，比擬了不同模型估計(jì)魚的體重與實(shí)際重量情況的誤差，并進(jìn)一步推廣，用類比法建立某些動(dòng)物身長(zhǎng)和體重關(guān)系的模型。[關(guān)鍵字]體重、擬合、估計(jì)相信大家都看過魚，魚的形狀不規(guī)那么，我們能不能考慮用魚身體的某些長(zhǎng)度參數(shù)來估計(jì)魚的體重呢？眾所周知魚的身長(zhǎng)越長(zhǎng)，魚的重量也會(huì)越重?，F(xiàn)在我們建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ脱芯眶~的重量與魚的體長(zhǎng)參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。本文將從分析如何根據(jù)魚的身長(zhǎng)和胸圍長(zhǎng)度來估計(jì)魚的體重的方法出發(fā)，進(jìn)而研究動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重的關(guān)系。我們測(cè)量到11條的數(shù)據(jù)，如下表所示：身長(zhǎng)cm36.730.144.136.845.135.931.832.135.936.843.8胸圍cm24.721.227.824.631.722.921.720.924.225.029.7重量g764.0480.01159.0739.01389.0652.0481.9467.8652.0751.31162.3有了數(shù)據(jù)之后，我們想建立數(shù)學(xué)模型研究這個(gè)問題，先做如下假設(shè)：只有一種魚，同一種魚整體形狀是相似的，密度是均勻的。模型的建立這個(gè)初等數(shù)學(xué)模型中的主要符號(hào)說明如下所示：y——魚的體重；x——魚的身長(zhǎng)；t——魚的胸圍，即魚的最大周長(zhǎng)〔這里取魚的胸圍〕；a，b，c，d——前四種函數(shù)模型中的系數(shù)；k———第五種數(shù)學(xué)模型中的系數(shù)；由高等數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)擬合的知識(shí)可知：對(duì)單變量多項(xiàng)式擬合一般不超過3次。故此處考慮如下五中模型：假設(shè)魚的體重只與體長(zhǎng)x有關(guān)，我們可以采用多項(xiàng)式和指數(shù)函數(shù)擬合一下四種數(shù)學(xué)模型。1.建立的關(guān)于體長(zhǎng)x的單變量模型:一次函數(shù)模型：；二次函數(shù)模型：即；三次函數(shù)模型：即；指數(shù)型函數(shù)模型：即；通常有一些魚是很胖的，生活的直覺告訴我們魚的重量也應(yīng)該與魚的橫截面有關(guān)，所以人們就不一定認(rèn)可上述模型，因?yàn)樗鼘?duì)肥魚和瘦魚同等看待。假設(shè)魚的模截面是相似的，而橫截面積與魚的胸圍的平方成正比，于是我們可以得到如下模型：2.二元函數(shù)模型為：即，為比例系數(shù)。模型擬合求解：用casio圖形計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能擬合前四種模型，輸入數(shù)據(jù)得到如下表格然后進(jìn)行回歸操作可以得到如下列圖像借助casio圖形計(jì)算器計(jì)算相關(guān)平均值為：=790.7580,=24.94545,=37.18545,將上述數(shù)據(jù)代入計(jì)算得：≈0.03217336為了方便集中模型的比照，我們分別是用上面五種回歸方程，根據(jù)每條魚的長(zhǎng)度和胸圍計(jì)算出每條魚體重的估計(jì)值，并求出殘差的絕對(duì)值的和，可以得到如下表格：實(shí)際重量764.0480.01159.0739.01389.0652.0481.9467.8652.0751.31162.3平均誤差誤差%模型一799.2419.41225.0804.91282.5753.1517.2534.5753.1804.91207.7誤差35.260.666.065.9106.5101.135.366.7101.153.745.467.08.478模型二776.5517.11283.6781.91369.7735.4566.5576.5735.4781.91258.6誤差12.537.1124.642.919.383.484.6108.783.430.696.365.88.317模型三747.8475.41153.9746.11385.0761.1674.1696.3761.1746.11096.4誤差16.24.65.17.14.0109.1192.2228.5109.05.265.967.98.588模型四747.4479.21230.2752.51315.9708.2537.3548.3708.2752.51205.6誤差16.60.871.213.573.156.255.480.556.21.243.342.55.379模型五720.4435.21096.5716.51458.1605.7481.8451.1676.4740.01243.0誤差43.644.862.522.569.146.30.116.724.411.380.738.44.851結(jié)論：由上表格可以看出：五種模型的平均誤差分別為：8.478%，8.317%，8.588%，5.379%,4.851%。結(jié)果說明，第五種數(shù)據(jù)估計(jì)模型與實(shí)際情況的誤情況的誤差控制在5%以下，估計(jì)體重與真是體重最接近，與實(shí)際最相符。前幾種數(shù)據(jù)估計(jì)模型多項(xiàng)式函數(shù)擬合和指數(shù)函數(shù)擬合，只是簡(jiǎn)單的認(rèn)為重量y與身長(zhǎng)x相關(guān)，提出的魚的整體形狀是相似的、密度也大體上相同的假設(shè)與實(shí)際情況相差太遠(yuǎn)，不適合實(shí)際應(yīng)用。第五種數(shù)據(jù)估計(jì)模型中認(rèn)為魚的重量不但與魚的長(zhǎng)度相關(guān)，還與魚的橫截面相關(guān)，這種建模方法更符合實(shí)際情況，模型的計(jì)算結(jié)果也說明它與實(shí)際情況的誤差更小?，F(xiàn)實(shí)生活中在要求不是很嚴(yán)格的情況下，用魚的體長(zhǎng)參數(shù)估計(jì)出魚的重量還是可以行的，我們可選用來建立數(shù)學(xué)模型。進(jìn)一步探究：這個(gè)模型中把魚的軀干類比作彈性梁實(shí)屬一個(gè)大膽的假設(shè)，其可信程度自然應(yīng)該用實(shí)際數(shù)據(jù)仔細(xì)檢驗(yàn)。不妨我們更大膽一點(diǎn)，把魚的軀干長(zhǎng)度與體重的關(guān)系看成已經(jīng)有確切研究成果的彈性梁在自重下繞曲問題的作法，是值得考慮的。第二種數(shù)據(jù)估計(jì)模型可推廣到四足動(dòng)物的長(zhǎng)度〔不含頭尾〕與它的體重的關(guān)系。動(dòng)物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果餡入對(duì)生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到有使用價(jià)值的模型。這里我們僅在十分粗略的假設(shè)根底上，利用類比法，借助高等物理中關(guān)于彈性梁的有關(guān)結(jié)果，建立動(dòng)物身長(zhǎng)和體重間的比例關(guān)系。把四足動(dòng)物的軀干看作圓柱體，長(zhǎng)度了l、直徑d、截?cái)嗝娣es，如圖1所示。將這圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。假設(shè)動(dòng)物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度為b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對(duì)彈性梁的研究，記作：；因?yàn)閒與sl成正比，記作：；所以。b/l是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費(fèi)。因此從生物學(xué)的角度可以假定，經(jīng)過長(zhǎng)期進(jìn)化，對(duì)于每一種動(dòng)物而言b/l已經(jīng)到達(dá)其最適宜的數(shù)值，換句話說，b/l應(yīng)視為與這種動(dòng)物的尺寸無關(guān)的常數(shù)，而，所以與成正比，記作：；S與成正比，記作：所以可以做如下推導(dǎo)：那么f與成正比，即體重與軀干長(zhǎng)度的4次方成正比，這樣對(duì)于某一種四足動(dòng)物，在根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)后，就能從軀干長(zhǎng)度估計(jì)出動(dòng)物的體重了。參考文