2022年北京市西城區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版）

2022年北京市西城區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

注意事項(xiàng)：

i.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等信息.考

生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、

姓名是否一致.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字

筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效.

3.作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑.

一、選擇題（本大題共8小題，共16分）

1.如圖是某幾何體的展開圖，該兒何體是（）（~

A.圓柱\

B.長(zhǎng)方體

C.圓錐

D.三棱錐

2.2022年4月28日，京杭大運(yùn)河實(shí)現(xiàn)全線通水.京杭大運(yùn)河是中國(guó)古代勞動(dòng)人民創(chuàng)造

的一項(xiàng)偉大工程，它南起余杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全長(zhǎng)約1800000TH.將

1800000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.18x107B.1800x103C.18x105D.1.8x106

3.下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是（）

4.在同一條數(shù)軸上分別用點(diǎn)表示實(shí)數(shù)-1.5,0,-VTL|-4|,則其中最左邊的點(diǎn)表

示的實(shí)數(shù)是（）

A.—VilB.0C.—1.5D.|-4|

5.學(xué)校圖書館的閱讀角有一塊半徑為3m,圓心角為120。的扇形地毯，這塊地毯的面

積為（）

A.97rm2B.67rm2C.37Tm2D.nm2

6.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，

AB=2AE,EC,8。交于點(diǎn)F.若8。=10,則DF的長(zhǎng)為

（）

A.3.5

B.4.5

C.4

D.5

7.一條觀光船沿直線向碼頭前進(jìn)，下表記錄了4個(gè)時(shí)間點(diǎn)觀光船與碼頭的距離，其中，

表示時(shí)間，y表示觀光船與碼頭的距離.

t/min0369

y/m675600525450

如果觀光船保持這樣的行進(jìn)狀態(tài)繼續(xù)前進(jìn)，那么從開始計(jì)時(shí)到觀光船與碼頭的距離

為150m時(shí)，所用時(shí)間為（）

A.257n譏B.21minC.13mmD.12min

8.教練將某射擊運(yùn)動(dòng)員50次的射擊成績(jī)錄入電腦，計(jì)算得到這50個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

7.5,方差是1.64.后來教練核查時(shí)發(fā)現(xiàn)其中有2個(gè)數(shù)據(jù)錄入有誤，一個(gè)錯(cuò)錄為6環(huán)，

實(shí)際成績(jī)應(yīng)是8環(huán)；另一個(gè)錯(cuò)錄為9環(huán)，實(shí)際成績(jī)應(yīng)是7環(huán).教練將錯(cuò)錄的2個(gè)數(shù)據(jù)

進(jìn)行了更正，更正后實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)是高方差是s2,則（）

A.x<7.5,s2=1.64B.%=7,5,s2>1.64

C.%>7,5，s2<1.64D.X=7.5,s2<1,64

二、填空題（本大題共8小題，共16分）

9.若工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

io.方程組仁口：臬的解為____?

13%~ry一□

11.如圖，將直角三角形紙片ABC進(jìn)行折疊，使直角頂點(diǎn)

4落在斜邊BC上的點(diǎn)E處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)C,得到

折痕CD.若4COE=70°,則48=

12.用一個(gè)a的值說明命題“若a>0,則a?>是錯(cuò)誤的，這個(gè)值可以是a=

第2頁，共28頁

13.如圖，在AABC中，D,E分別為4B,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段DE上，且4尸1BF.若

14.將拋物線y=2M向下平移b(b>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,-4),

則b的值為

15.如圖，。。是△力BC的外接圓，OB=gBC=4,則tanA的

值為.

16.如圖，在8個(gè)格子中依次放著分別寫有字母a?/1的小

甲、乙兩人輪流從中取走小球，規(guī)則如下:

①每人首次取球時(shí)，只能取走2個(gè)或3個(gè)球；后續(xù)每次可取走1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)球；

②取走2個(gè)或3個(gè)球時(shí)，必須從相鄰的格子中取走；

③最后一個(gè)將球取完的人獲勝.

(1)若甲首次取走寫有b,c,d的3個(gè)球，接著乙首次也取走3個(gè)球,則(填“甲”

或“乙”)一定獲勝;

(2)若甲首次取走寫有a,b的2個(gè)球，乙想要一定獲勝,則乙首次取球的方案是

三、計(jì)算題(本大題共2小題，共10分)

17.計(jì)算：|一在|+2cos45。一我+($-2.

18.解不等式：咚^<彳+1,并寫出它的正整數(shù)解.

62

四、解答題(本大題共10小題，共58分)

19.已知/+彳5=。，求代數(shù)式?+W)?島的值?

20.已知：如圖，4ABC.卜

求作：點(diǎn)。(點(diǎn)。與點(diǎn)B在直線4c的異側(cè))，使得ZM=DC,/

S.Z.ADC+Z.ABC=180°./

作法：①分別作線段4c的垂直平分線匕和線段BC的垂

直平分線，2,直線，1與已交于點(diǎn)。；

②以點(diǎn)。為圓心，。4的長(zhǎng)為半徑畫圓，。。與k在直線BC上方的交點(diǎn)為D：

③連接04DC.

所以點(diǎn)。就是所求作的點(diǎn).

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明.

證明：連接。4OB,OC.

???直線k垂直平分4C,點(diǎn)0,。都在直線。上，

???OA=OC,DA=DC.

???直線％垂直平分BC,點(diǎn)。在直線L上，

???OA=0B-OC.

???點(diǎn)A,B,C都在。。上.

???點(diǎn)。在。。上，

???^ADC+/.ABC=180°.()(填推理的依據(jù))

21.已知關(guān)于x的一元二次方程-7nx+zn-5=0.

(1)求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若m為整數(shù)，且此方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，寫出一個(gè)滿足條件的m的值，并求此

時(shí)方程的兩個(gè)根.

22.如圖，菱形4BCD的對(duì)角線4C,BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分

別在BC的延長(zhǎng)線上，且BE1E。，CF=AE.

(1)求證：四邊形EBFC是矩形；

(2)若4B=5,coszOBC=求BF的長(zhǎng).

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)丫=-x+b的圖象與x軸交于點(diǎn)(4,0),且與反

比例函數(shù)曠=三的圖象在第四象限的交點(diǎn)為(n,-1).

⑴求匕,m的值;

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(2)點(diǎn)P(Xp,%)是一次函數(shù)y=-x+b圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足"<Yp<4,連接

0P,結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出。P長(zhǎng)的取值范圍.

24.如圖，4B是。。的直徑，CB,CD分別與。。相切于點(diǎn)B,

D,連接。C,點(diǎn)E在4B的延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)AD,EC交于點(diǎn)

F.

(1)求證：FA//CO；

(2)若凡4=FE,CD=4,BE=2,求凡4的長(zhǎng).

25.甲、乙兩個(gè)音樂劇社各有15名學(xué)生，這兩個(gè)劇社都申請(qǐng)報(bào)名參加某個(gè)青少年音樂劇

展演活動(dòng)，主辦方對(duì)報(bào)名劇社的所有學(xué)生分別進(jìn)行了聲樂和表演兩項(xiàng)測(cè)試，甲、乙

兩個(gè)劇社學(xué)生的測(cè)試成績(jī)(百分制)統(tǒng)計(jì)圖如下:

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

(1)甲劇社中一名學(xué)生的聲樂成績(jī)是85分，表演成績(jī)是60分，按聲樂成績(jī)占60%,

表演成績(jī)占40%計(jì)算學(xué)生的綜合成績(jī)，求這名學(xué)生的綜合成績(jī)；

(2)入選參加展演的劇社需要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：首先，兩項(xiàng)測(cè)試成績(jī)都低于60

分的人數(shù)占比不超過10%；其次，兩項(xiàng)測(cè)試成績(jī)中至少有一項(xiàng)的平均成績(jī)不低于75

分.那么乙劇社(填“符合”或“不符合”)入選參加展演的條件;

(3)主辦方計(jì)劃從甲、乙兩個(gè)劇社聲樂和表演成績(jī)都高于80分的學(xué)生中，隨機(jī)選擇

兩名學(xué)生參加個(gè)人展示，那么符合條件的學(xué)生一共有人，被抽選到的這兩名

學(xué)生分別來自不同劇社的概率是

人聲樂成績(jī)/分

010由力疝也由7'0點(diǎn)由1&T表演成績(jī)/分

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),(2,-2).

(1)直接寫出c的值和此拋物線的對(duì)稱軸；

(2)若此拋物線與直線y=-6沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍；

⑶點(diǎn)?,%)，?+1/2)在此拋物線上，且當(dāng)—2WtW4時(shí)，都有僅2-丫11<：,直接

寫出a的取值范圍.

27.在△ABC中，AB=AC,過點(diǎn)C作射線CB',使44CB'=/ACB(點(diǎn)8'與點(diǎn)8在直線AC

的異側(cè))點(diǎn)。是射線CB'上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，點(diǎn)E在線段BC上，且NZME+

Z.ACD=90°.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，4。與CB'的位置關(guān)系是,若BC=a,貝度。的

長(zhǎng)為；(用含a的式子表示)

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE.

①用等式表示Z84C與ND4E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于線段48與直線I：y=kx+b,給出如下定義：若

線段AB關(guān)于直線/的對(duì)稱線段為分別為點(diǎn)4B的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱線段4B'為

線段4B的“內(nèi)句關(guān)聯(lián)線段”.

已知點(diǎn)4(1,1),B(l,-1).

(1)線段AB'為線段4B的“口,句關(guān)聯(lián)線段"，點(diǎn)4’的坐標(biāo)為(2,0),則48'的長(zhǎng)為

，b的值為；

(2)線段4B'為線段48的"內(nèi)0］關(guān)聯(lián)線段”，直線人經(jīng)過點(diǎn)C(0,2),若點(diǎn)4,B'都在

直線k上，連接。4',求ZCOA的度數(shù)；

(3)點(diǎn)3(-3,0),<2(-3,3),線段4B'為線段4B的“區(qū)㈤關(guān)聯(lián)線段”,且當(dāng)b取某個(gè)

值時(shí)，一定存在k使得線段48'與線段PQ有公共點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】C

解：因?yàn)閳A錐的展開圖為一個(gè)扇形和一個(gè)圓形，所以這個(gè)幾何體是圓錐.

故選：C.

由圓錐的展開圖的特點(diǎn)判斷即可.

此題主要考查了展開圖折疊成幾何體，熟悉圓錐的展開圖特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵.

2.【答案】D

解：1800000=1.8x106.

故選：D.

用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為ax103其中1式同<10,n為整數(shù)，且n

比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為ax10",其中1<|a|<10,

確定a與n的值是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】B

解：4不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C.是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖

形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合.

4.【答案】A

解：|-4|=4,

v3<Vil<4,

—3>—Vil>—4,

即一4<—V11<—3?

「何之59?r

-5-4-3-2-1012345

在最左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是-ar,

故選：A.

求出|-4|=4,在數(shù)軸上表示出各個(gè)數(shù)，再得出選項(xiàng)即可.

本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值和實(shí)數(shù)的大小比較法則，能熟記在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)

總比左邊的數(shù)大是解此題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

解：根據(jù)題意可得,

n=120°,r=3>

2

_nnr120TTX32

:.S=-----=-=---3--7-r-(-m2).

360360

故選：C.

應(yīng)用扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行求解是解決本題的

關(guān)鍵.

6.【答案】C

解：???四邊形4BCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

又???AB=2AE,

*A—B—CD_2

??BE-BE-3’

-AB//CD,

??.△CDF~>EBF,

DF_CD_2

BFEB3

2

^DF=-BF,

3

???DF=2-BD=2-x10=4,

55

故選：C.

由AB=2AE知黑==g由4B〃C。知△CDFsAEBF,據(jù)此得黑=黑=j繼而知

BEBE3BFEB3

DF=|BF,從而得DF=|B°=4.

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本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四

邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì).

7.【答案】B

解：根據(jù)表中x,y的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)：t每減少36仇，y減少75m,貝Uy是x的一次函數(shù)，

設(shè)y與x的關(guān)系式為y=kx+b,

把x=0時(shí)，y=675,

x—3時(shí)，y—600,

代入上式得盤5

(3/c+D=600

解得：4=1交，

3=675

?1?y=-25x+675.

當(dāng)x=6時(shí)，y=-25x6+675=525,當(dāng)x=9時(shí)，y=-25x9+675=450,

???y與x的關(guān)系式為y=-25x+675.

當(dāng)y=150時(shí)，即150=-25%+675,

解：x=21.

答：從開始計(jì)時(shí)到觀光船與碼頭的距離為150機(jī)時(shí)，所用時(shí)間為21min.

故選:B.

根據(jù)表中x,y的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)：t每減少3min,y減少75m,可知y是x的一次函數(shù)，由

待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可求出答案.

本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)表中x,y的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)y是x的一次函數(shù)是解

決問題的關(guān)鍵.

8.【答案】D

解：由題意可知，錄入有誤的兩個(gè)數(shù)的和為6+9=15,實(shí)際的兩個(gè)數(shù)的和為8+7=15,

所以更正后實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)是工與原來平均數(shù)相同，方差變小，

所以5=7,5,s2<1.64,

故選：D.

根據(jù)算術(shù)平均數(shù)和方差的定義解答即可.

本題考查了算術(shù)平均數(shù)和方差，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵.

9.【答案】x羊4

解：由題意可得》一4。0,

解得：x豐4、

故答案為：x*4.

根據(jù)分式有意義的條件列不等式組求解.

本題考查分式有意義的條件，理解分式有意義的條件（分母不能為零）是解題關(guān)鍵.

10?【答案】仁］一

解:卜7=3幺,

+y=5②

①+②得：4%=8,

解得％=2.

把x=2代入①得：2-y=3,

:.y=-1.

???方程組的解是=2

故答案為：3=

加減消元法消去y求出x,把x代入方程①求出y即可.

本題考查解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是熟知解方程組的基本思想：消元.

11.【答案】50

解：???△ABC為直角三角形，

???NA=90°,

???4CDE=70°,

由折疊性質(zhì)可得NCED=乙4=90°,^ADC=ACDE=70°,

乙BED=90。，4BDE=180°-/.ADC-乙CDE=40°,

乙B=180°-乙BED-乙BDE=50°,

故答案為：50.

由折疊性質(zhì)可得/CED=乙4=90°,AADC=乙CDE=70°,從而可得/BED=90°,

^BDE=40°,即可求解.

本題考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是明確折疊前后對(duì)應(yīng)圖形全等.

12.【答案】“答案不唯一）

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解：當(dāng)a=2>0時(shí)，a2-(i)2-p”/=2,

此時(shí)a?<i,

故答案為：“答案不唯一).

找到一個(gè)滿足條件但不滿足結(jié)論的數(shù)即可.

考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠找到一個(gè)滿足條件但不滿足結(jié)論的a的值,

難度不大.

13.【答案】|

解：???/),E分別為48,AC的中點(diǎn)，BC=7,

17

??.DE=-BC=-,

22

vAF1BF,

???Z.AFB=90°,

???。為AB的中點(diǎn)，AB=4,

：.DF=-AB=2,

2

3

AEF=DE-DF=

2

故答案為：|.

根據(jù)三角形中位線定理求出DE,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可

求出DF,即可得出答案.

本題考查三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊,

并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】6

解：將拋物線y=2/向下平移>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得新拋物線為y=2x2-b,

???新拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,-4),

*,?-4=2-b,

???b=6,

故答案為：6.

首先求得平移后的拋物線的解析式，然后把點(diǎn)(1,-4)代入即可求得.

本題考查了二次函數(shù)的平移，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是得出平移后

的表達(dá)式.

15.【答案】|

解：延長(zhǎng)B0交。。于0,連接CD,

BD=20B=2V13，乙ACB=90°

在RtABCC中，BD=2713，BC=4,

???CD=-JBD2-BC2=J(2A/13)2-42=6，

BC42

???tanD=—=-=

CD63

vZD=Z/4,

2

???tanA-

3

故答案為：|-

延長(zhǎng)80交O。于D,連接CD,根據(jù)圓周角定理得到44cB=90。，4。=由勾股定

理求出CD,根據(jù)三角函數(shù)解的定義即可求出tcmA的值.

本題主要考查了圓周角定理，解直角三角形，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問

題的關(guān)鍵.

16.【答案】乙e、f.

解：(1)???甲首次取走寫有b、c、d的三個(gè)球，

二還剩下a、e、f、g、h,

又???乙首次也取走三個(gè)球，但必須相鄰，

乙可以取e、f、g或f、g、h,

若乙取e、f、g只剩下a、h,

?.?它們不相鄰，

二甲只能拿走一個(gè)，故乙拿走最后一個(gè)，故乙勝；

同理，若乙取f、g、h,只剩下a、e,

???它們不相鄰，

二甲只能拿走一個(gè)，

故乙拿走最后的一個(gè)，故乙勝；

故答案為：乙.

(2)???甲首次拿走a、b兩個(gè)球，還剩下c、d、e、/、g、h,

第12頁，共28頁

①若乙取三個(gè)球，

若乙取c、d、e或/、g、h,那么剩下的球勝連著的，故甲取走剩下的三個(gè)，則甲勝；

若乙取d、e、f,此時(shí)甲取g,則c、/i不相鄰，則甲勝；

若取e、f、g,此時(shí)甲取d,則ch不相鄰，則甲勝；

②若乙取兩個(gè)球：

若乙取c、d,此時(shí)甲取八g,那么剩下e、h,不相鄰，則甲勝；

若乙取d、e,此時(shí)甲取/、g,則c、八不相鄰，則甲勝；

若乙取e、f,

此時(shí)甲取c、d或g、h,則乙勝；

若甲c或d,那么乙取g或/1,則乙勝；

若甲取g或/1,那么乙取c或d,那么剩下兩個(gè)球不相鄰，則乙勝；

因此，乙一定要獲勝，那么它首次取e、f.

故答案為：e、f.

(1)由于甲首次取走寫有b、c、d的三個(gè)球，那么剩下a、e、/、g、h,而乙首次也取走

三個(gè)球，但必須相鄰，由此分類討論即可加解決問題；

(2)由于甲首次拿走a、b兩個(gè)球，還剩下c、d、e、f、g、h,而乙可以取的球分為①若

乙取三個(gè)球；②若乙取兩個(gè)球：在這兩個(gè)前提之下討論解決問題.

本題主要考查了邏輯推理與論證，同時(shí)也利用了分類討論的思想，比較麻煩，對(duì)于學(xué)生

的能力要求比較高.

17.【答案】解：原式=&+近一2&+9

=(1+1-2)V2+9

=9.

【解析】本題涉負(fù)整數(shù)指數(shù)基、特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)、二次根式化簡(jiǎn)幾

個(gè)知識(shí)點(diǎn).在計(jì)算時(shí)，需要針對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求

得計(jì)算結(jié)果.

本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解決此類題目

的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)的

運(yùn)算.

18.【答案】解：去分母得：5x-2<3%+6,

移項(xiàng)得：5x-3x<6+2,

合并同類項(xiàng)得：2x<8,

系數(shù)化為1得：x<4.

故正整數(shù)解為1,2,3.

【解析】去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可求解，然后找出對(duì)應(yīng)的正整數(shù)解

即可.

本題考查解一元一次不等式，解題關(guān)鍵是熟知解一元一次不等式的步驟.

19.【答案】解：C+W)?島

x+1,x15

=r------------1------------------------

Lx(x+1)x(x+l)J6x+3

_/+：!+%5

-x(x+l)3(2x+l)

_2-+15

-X(X+1)3(2x+l)

5

-3X(X+1Y

VX2+%-5=0,

A%2+X=5,

當(dāng)/+%=5時(shí)，原式=忌)=爰名=也

【解析】先根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，求出/+

x=5,最后代入求出答案即可.

本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注

意運(yùn)算順序.

20.【答案】OB0C圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

解：(1)如圖，點(diǎn)。為所作;

(2)完成下面的證明.

第14頁，共28頁

證明：連接。4,OB,OC.

???直線k垂直平分4C,點(diǎn)。，。都在直線。上，

:.0A=OC,DA=DC.

???直線％垂直平分8。，點(diǎn)0在直線。上，

???OB=0C.

???0A=OB=0C.

???點(diǎn)A,B,C都在。0上.

???點(diǎn)。在。。上，

^ADC+^ABC=180。(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)).

(1)根據(jù)幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；

(2)連接。4OB,OC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到04=OC,DA=DC,OB=OC.

則。4=。8=0仁所以點(diǎn)4B,C都在。。上.然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到

Z.ADC+/.ABC=180°.

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾

何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了線段垂直平分線的

性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

21.【答案】(1)證明：A=b2-4ac=(-m)2-4x1(m-5)

=m2—2m+10

=(m-l)2+9,

v(m—l)2>0,

???(m-I)24-9>0,

,無論加取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

2

(2)將m=1代入方程之久2-mx4-m-5=0中，得(m-I)=9,

解得：？n=4或一2.

???當(dāng)m=l時(shí)，TH的值為4或一2.

【解析】⑴根據(jù)關(guān)于％的一元二次方程%2-4mx+4--9=0的根的判別式4=62-

4ac的符號(hào)來判定該方程的根的情況；

(2)將巾=1代入原方程，即可得出關(guān)于小的一元二次方程，解之即可得出山的值.

本題考查了根的判別式以及一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當(dāng)4>0時(shí)，

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）將m=l代入原方程求出m值.

22.【答案】⑴證明：?.?四邊形4BCD是菱形,

AD//BC,AB=BC=CD=AD,

???CF=AE,

：.AE+AD=CF+BC,即DE=BF,

二四邊形EBFD是平行四邊形，

BE1.ED,

/.BED=90°,

???四邊形EBFD是矩形；

(2)解：???四邊形4BCD是菱形，

???BD=2OB,AB=BC=5,AC1BD,

4

一

一-

在中，5

RMBOCcos，OBC=fBC

OB4

：,一=

55

???OB=4,

???BD=20B=8,

???四邊形E8F。是矩形，

:.乙F=90°,

在中，COSNOBC=骼

432

???BF=BDxcosZ-OBC=8x-=

【解析】（1）先證DE=BF,得出四邊形EBFD是平行四邊形，再由/BED=90。，即可

得出結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得BO=2OB,AB=BC=5,AC1BD,在RtABOC中，由銳角三角

函數(shù)定義求出0B=4,得出BD=8,再在RtABF。中，由銳角三角函數(shù)定義求出8F即

可.

本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義

等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：（1）把（4,0）代入y=—x+b,得0=-4+b.

解得：b=4.

二一次函數(shù)解析式為y=-x+4,

第16頁，共28頁

把（七一1）代入y=x+4.得一，=一九+4.

解得：n=5.

把(5,1)代入y=?得，—1=￡,

解得：m=-5；

b=4,m=-5.

(2),?,藍(lán)V為<4,即:V-孫+4V4,

解得：0〈孫<5.

??.點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)，

由—％+4=-：，解得：%=5,代入y=—%+4,得：y=—1,

???4(4,0),B(0,4),D(5Z-1),

:.OA=OB=4,

2222

AAB=VoA+OB=V44-4=4&,

ii

?，?SAOAB=-OA-OB=-AB-OC,

1?-4x4=4或。C,

OC=2V2,

???0(0,0),D(5,-1),

???OD=7(5-0)2+(-l-0)2=V26,

???OC<OP<OD,

A2V2<OP<V26.

【解析】(1)將(4,0)代入y=—％+6得，-4+6=0,解出方程即可求出b的值，將(n,-l)

代入剛剛求出的一次函數(shù)解析式即可求出n的值，最后將新求出的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)

解析式即可求出m的值.

m.

(2)根據(jù)與＜呼＜4,得出0＜冷＜5,連接。。，過點(diǎn)。作OCJ.BD于C,當(dāng)。P1BC,

先求出點(diǎn)C坐標(biāo)為(5,-1),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：。。=病，即可算出OP的取值

范圍.

本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問題.

24.【答案】(1)證明：如圖1,連接BD,OD,

■■■CD,CB均為。。的切線，

CD=CB,4ODC=/.OBC=90°,

^.RtnODC^\Rt^OBC^,

(OC=OC

I。。=OB'

???Rt△ODC=Rt△OBC(HL),

???Z.OCD=Z.OCB,

???△CDB為等腰三角形，

???OC1BD,

???48為直徑，

:.Z-ADB=90°,

???AF1BDr

???FA//CO；

(2)解：如圖2,

第18頁，共28頁

F

???CD=4,

:.CB=CD=4,

v乙OBC=90°,

???乙EBC=90°,

,:BE=2,

???CE=7cB2+BE?=V42+22=26，

vFA=FE,

???Z-A=Z.E,

???F4//C0,

???乙4=Z.COE,

:.(COE=乙E,

-CO=CE,

??,CB1OE,

???OB=BE=2,

:.OA=2,

???AE=6,OE—4,

???OC//FA,

tEC_EO

EFEA

?.?-2-^5=_―4,

EF6

EF=3V5.

FA=EF=3V5.

【解析】(1)連接BD,OD,由切線長(zhǎng)定理及切線的性質(zhì)可得CD=CB,乙ODC=LOBC=

90°,利用“HL”證明RtAODC三△OBC,得出4OCD=4OCB,由等腰三角形的性質(zhì)

得出OC_LB￡>,由圓周角定理得出AF1BD,進(jìn)而得出凡4〃C。；

(2)由勾股定理求出CE=2有，由平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)得出CO=CE,進(jìn)

而得出OB=BE=2,OA=2,即可得出力E=6,OE=4,由平行線分線段成比例定

理得出案=詈，即可求出EF=3有，繼而得出R4=EF=3后

EFEA

本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握切線長(zhǎng)定理，切

線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

25.【答案】符合4|

解：(1)這名學(xué)生的綜合成績(jī)?yōu)?5x60%+60x40%=75(分).

(2)由圖可知，乙劇社學(xué)生中兩項(xiàng)測(cè)試成績(jī)都低于60分的人數(shù)為1人,

占比為6.7%<10%,滿足第一個(gè)條件.

乙劇社聲樂成績(jī)高于75分的人數(shù)明顯過于低于75分的人數(shù)，

故滿足至少有一項(xiàng)的平均成績(jī)不低于75分，

???乙劇社符合入選參加展演的條件.

故答案為：符合.

(3)由圖可知，甲、乙劇社符合條件的學(xué)生各有2人，

二符合條件的學(xué)生一共有4人.

畫樹狀圖如下：

開始

甲乙乙甲乙乙甲甲乙甲甲乙

???共有12種等可能的結(jié)果，其中被抽選到的這兩名學(xué)生分別來自不同劇組的結(jié)果有8種,

二被抽選到的這兩名學(xué)生分別來自不同劇組的概率為號(hào)=|.

故答案為：4；|.

(1)計(jì)算85x60%+60X40%即可.

(2)由圖可知，乙劇社學(xué)生中兩項(xiàng)測(cè)試成績(jī)都低于60分的人數(shù)為1人，計(jì)算占比可知滿足

第一個(gè)條件；乙劇社聲樂成績(jī)高于75分的人數(shù)明顯過于低于75分的人數(shù)，

故滿足至少有一項(xiàng)的平均成績(jī)不低于75分，即可得出答案.

第20頁，共28頁

(3)觀察統(tǒng)計(jì)圖可得符合條件的學(xué)生人數(shù).通過畫樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果，再利

用概率公式求解即可.

本題考查統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用、列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關(guān)

鍵.

26.【答案】解：⑴???拋物線丁=以2+必+(7經(jīng)過點(diǎn)(0,_2),(2,-2),

(c=-2

14a+2b+c=-2'

解得：一g,

lb=-2a

拋物線解析式為y=ax2-2ax-2,

???拋物線對(duì)稱軸為直線X=-了=1,

2a

故c的值為-2,拋物線的對(duì)稱軸為直線％=1；

(2)把y=-6代入y=ax2—2ax—2,得：ax2-2ax—2=-6,

整理得：ax2—2ax+4=0,

???拋物線與直線y=-6沒有公共點(diǎn)，

???/=(-2a)2—4ax4V0,

即Q(Q—4)<0,

???QH0,

?,?當(dāng)a<0時(shí)，a—4>0,即a>4,

此時(shí)，無解；

當(dāng)Q>0時(shí)，Q—4V0,即aV4,

A0<a<4,

綜上所述，。的取值范圍為0<aV4；

(3)???點(diǎn)。為)(t+L%)在此拋物線上，

—Q/-2cit-2fy2=a(t+1)2—2cc(t+1)—2—ut^—ct—2,

**?\y2-|=|(at之—CL—2)—(ad-2at-2)|=|a(2t—1)1,

7

???當(dāng)-時(shí)，都有僅2-丫11<5，

1<a(2t-1)<1,

a7,一Q?7

：?------<at<-+

2424

va=#0,

17I7

?,?當(dāng)a<0時(shí)，-H—<t<-------

24a24a

解得：一看工0工一

當(dāng)a>°時(shí),|-￡<t<|+￡-

(--—<-2

.)24a

\24a

解得：0<aWg；

綜上所述，Q的取值范圍是一看WaW-［或0<aW/

【解析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；

(2)利用一元二次方程根的判別式即可求得答案；

222

(3)根據(jù)題意得:yi=at—2at—2,y2=a(t+l)—2a(t4-1)—2=at—a—2,

22

\y2-yd=|(at-a-2)-(at—2at—2)|=|a(2t—1)|,由于當(dāng)一2<t<4時(shí),都

有仗2~Vi\<p可得：<at<|+^,當(dāng)a<。時(shí)［+看<亡<3—卷可得一看—a—

11717_1

一:；當(dāng)a>0時(shí)，+可得0<aW不

224a24a2

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能對(duì)a進(jìn)行分類討

論，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

27.【答案】互相垂直Ta

解：(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，4ZME=4ZMC,

vNZME+乙ACD=90°,

???ADAC+AACD=90°,

/.ADC=90°,

-.AD1CB',

即/D與CB'的位置關(guān)系是互相垂直，

若BC=a,過點(diǎn)4作4MlBC于點(diǎn)M,如圖：

第22頁，共28頁

/：\JD

//>*\/f

/?\i

//?\\t/

BZ----------1---------(E)

則44MC=900=4/DC,

?：AB=AC,

CM=BM=-BC=-a,

22

在△ACO與△ACM中，

乙ADC=Z.AMC

Z.ACD=乙ACM，

AC=AC

???△4CDwzMCM(A4S),

CD=CM=-a,

A2

即CO的長(zhǎng)為［a,

故答案為：互相垂直；1a；

(2)①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，用等式表示乙BAC與乙。4E之間的數(shù)量關(guān)系是：^BAC=

2乙DAE,證明如下:

過點(diǎn)4作于點(diǎn)M、ANJLCB'點(diǎn)N,如圖：

B

^\z-AMC=Z.ANC=90°,

:.乙CAN+乙ACB'=90°,

???Z.DAE+乙ACD=90°,

即4D/E+ZG4CB'=90°,

???Z.DAE=乙CAN,

vAB=AC,AM1BC,

???乙BAC=24cAM=2NB4M,

在ZMCN與中,

2ANC=Z.AMC

乙ACN=乙ACM，

AC=AC

???乙CAN=乙CAM,

???^BAC=2乙CAM=2jCAN=24DAE；

②用等式表示線段BE、CD、DE之間的量關(guān)系是：BE=CD+DE,證明如下:

在上截取BF=CD,連接AF,如圖：

???Z-B=乙ACB,

v乙4C8'=乙ACB,

:.乙B=乙ACB'=Z.ACD,

在A/B9和△4CD中，

(AB=AC

ZJ?=Z.ACD，

VBF=CD

???△ABF三△4CD(S4S),

???AF=AD,Z-BAF=Z-CAD,

???Z,BAF+/-CAE=Z.CAD4-Z-CAE=Z-DAE,

由①知：ABAC=22LDAE,

即NfME

???4BAF