2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)二》預(yù)測試題3(答案解析)

書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟！住在富人區(qū)的她2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)二》預(yù)測試題（答案解析）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請謹(jǐn)慎購買！第壹卷一.綜合考點題庫(共50題)1.設(shè)A為4階實對稱矩陣，且A2＋A＝O。若A的秩為3，則A相似于（）。

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

設(shè)λ為A的特征值，由于A2＋A＝O，所以λ2＋λ＝0，即（λ＋1）λ＝0。這樣A的特征值為－1或0。由于A為實對稱矩陣，故A可相似對角化，即A～Λ，r（A）＝r（Λ）＝3。

因此

即

2.已知曲線L：y＝4x2/9（x≥0），點O（0，0），點A（0，1），設(shè)P是L上的動點，S是直線OA與直線AP及曲線L所圍成圖形的面積，若P運動到點（3，4）時沿x軸正向的速度是4，求此時S關(guān)于時間t的變化率。

正確答案：

本題解析：

設(shè)點P（x，y），為使S不恒為0，則直線OA與AP不能共線，即x≠0，此時直線AP的方程為：Y＝（4x/9－1/x）X＋1（x≠0）。

設(shè)S所成面積為區(qū)域D，D＝{（X，Y）|4X2/9≤Y≤（4x/9－1/x）X＋1，0≤X≤x}，則

當(dāng)x＝3時，

因此

3.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

4.設(shè)f（x）＝x2（x－1）（x－2），則f′（x）的零點個數(shù)為（）。

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：D

本題解析：

f′（x）＝4x3＋3x2－4x＝x（4x2＋3x－4）。令f′（x）＝0，可得f′（x）有三個零點。

5.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

6.設(shè)函數(shù)z＝f（xy，yg（x）），其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g（x）可導(dǎo)且在x＝1處取得極值g（1）＝1，求

正確答案：

本題解析：

由g（x）可導(dǎo)且在x＝1處取極值g（1）＝1，所以g′（1）＝0。又因為

所以當(dāng)x＝1，y＝1時

7.f(x)與g(x)的圖像如圖所示，設(shè)u(x)=f[g(x)],則

正確答案：

本題解析：

8.設(shè)m，n為正整數(shù)，則反常積分的收斂性（）。

A.僅與m取值有關(guān)

B.僅與n取值有關(guān)

C.與m，n取值都有關(guān)

D.與m，n取值都無關(guān)

正確答案：D

本題解析：

分析過程如下。根據(jù)題目有

①對進(jìn)行討論：被積函數(shù)只在x→0＋時無界。因為

又反常積分收斂，所以收斂。

②對進(jìn)行討論：被積函數(shù)只在x→1－時無界。因為

且反常積分收斂，所以收斂。

綜上，無論正整數(shù)m和n取何值，反常積分都收斂，故選D。

9.已知函數(shù)f（x）在[0，1]上具有2階導(dǎo)數(shù)，且f（0）＝0，f（1）＝1，，證明：

（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）＝0；

（Ⅱ）存在η∈（0，1），使得f″（η）＜－2。

正確答案：

本題解析：

10.在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3為任意的常數(shù)）為通解的是（）。

A.y?＋y″－4y′－4y＝0

B.y?＋y″＋4y′＋4y＝0

C.y?－y″－4y′＋4y＝0

D.y?－y″＋4y′－4y＝0

正確答案：D

本題解析：

由y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x，可知其特征根為λ1＝1，λ2，3＝±2i，故對應(yīng)的特征值方程為

（λ－1）（λ＋2i）（λ－2i）＝（λ－1）（λ2＋4）＝λ3－λ2＋4λ－4

所以所求微分方程為y?－y″＋4y′－4y＝0。

11.下列函數(shù)中，在x＝0處不可導(dǎo)的是（）。

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

12.

A.僅①正確

B.僅②正確

C.①②正確

D.①②都錯誤

正確答案：D

本題解析：

13.設(shè)

其中函數(shù)f可微，則（）。

A.2yf′（xy）

B.－2yf′（xy）

C.2f（xy）/x

D.－2f（xy）/x

正確答案：A

本題解析：

由有

所以

14.

A.x

B.y

C.z

D.0

正確答案：C

本題解析：

15.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[－2，2]上可導(dǎo)，且f′（x）＞f（x）＞0，則（）。

A.f（－2）/f（－1）＞1

B.f（0）/f（－1）＞e

C.f（1）/f（－1）＜e2

D.f（2）/f（－1）＜e2

正確答案：B

本題解析：

因f′（x）＞f（x）＞0，f′（x）－f（x）＞0，從而e－x[f′（x）－f（x）]＞0，即[e－xf（x）]′＞0。

從而e－xf（x）在[－2，2]上單調(diào)遞增，故e－0f（0）＞e1f（－1），得f（0）＞ef（－1）。

又f（x）＞0，故f（0）/f（－1）＞e，故應(yīng)選B項。

由e－1f（1）＞e1f（－1），得f（1）/f（－1）＞e2，選項C錯誤；

由e－2f（2）＞e1f（－1），得f（2）/f（－1）＞e2，選項D錯誤；

對于選項A，因f′（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增，從而f（－1）＞f（－2），得f（－2）/f（－1）＜1，選項A錯誤。

16.設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B，再交換B的第2行與第3行得單位矩陣。記

則A＝（）。

A.P1P2

B.P1－1P2

C.P2P1

D.P2P1－1

正確答案：D

本題解析：

17.曲線的斜漸近線的條數(shù)為

A.0條

B.1條

C.2條

D.3條

正確答案：C

本題解析：

18.設(shè)D是由直線y＝1，y＝x，y＝－x圍成的有界區(qū)域，計算二重積分

正確答案：

本題解析：

由題可畫出積分區(qū)域D，如圖3中陰影部分所示，可見D關(guān)于y軸對稱。

19.設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，

其中區(qū)域Duv如圖2陰影部分所示，則?F/?u＝（）。

A.vf（u2）

B.vf（u）

C.vf（u2）/u

D.vf（u）/u

正確答案：A

本題解析：

利用極坐標(biāo)，得

所以?F/?u＝vf（u2）。

20.則F（x)在x=0處

A.極限不存在

B.極限存在但不連續(xù)

C.連續(xù)但不可導(dǎo)

D.可導(dǎo)

正確答案：C

本題解析：

21.

A.①收斂，②收斂

B.①收斂，②發(fā)散

C.①發(fā)散，②收斂

D.①發(fā)散，②發(fā)散

正確答案：B

本題解析：

22.設(shè)A，B為三階矩陣且A不可逆，又AB+2B=O且r（B）=2，則|A+4E|=

A.8

B.16

C.2

D.0

正確答案：B

本題解析：

23.設(shè)函數(shù)fi（x）（i＝1，2）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且fi″（x0）＜0（i＝1，2），若兩條曲線y＝fi（x）（i＝1，2）在點（x0，y0）處具有公切線y＝g（x），且在該點處曲線y＝f1（x）的曲率大于曲線y＝f2（x）的曲率，則在x0的某個鄰域內(nèi)，有（）。

A.f1（x）≤f2（x）≤g（x）

B.f2（x）≤f1（x）≤g（x）

C.f1（x）≤g（x）≤f2（x）

D.f2（x）≤g（x）≤f1（x）

正確答案：A

本題解析：

由題可知，f1（x0）＝f2（x0）＝g（x0），f1′（x0）＝f2′（x0）＝g′（x0），且根據(jù)曲率大小關(guān)系有f1″（x0）＜f2″（x0），g″（x0）＝0。

令F（x）＝f1（x）－f2（x），則F（x0）＝0，F(xiàn)′（x0）＝f1′（x0）－f2′（x0）＝0，F(xiàn)″（x0）＝f1″（x0）－f1″（x0）＜0。所以，F(xiàn)（x0）＝0為F（x）的一個極大值，即在x0的某個鄰域內(nèi)F（x）≤0，也即f1（x）≤f2（x）。

同理設(shè)G（x）＝fi（x）－g（x）（i＝1，2），可得在x0的某個鄰域內(nèi)G（x）≤0，也即fi（x）≤g（x）。

綜上，在x0的某個鄰域內(nèi)，f1（x）≤f2（x）≤g（x）。

24.設(shè)平面區(qū)域D由直線x＝1，x＝2，y＝x與x軸所圍，計算

正確答案：

本題解析：

25.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上具有2階導(dǎo)數(shù)，且f（1）＞0，，證明：

（Ⅰ）方程f（x）＝0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一個實根；

（Ⅱ）方程f（x）f″（x）＋[f′（x）]2＝0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在兩個不同實根。

正確答案：

本題解析：

26.設(shè)函數(shù)

則（）。

A.x＝π是函數(shù)F（x）的跳躍間斷點

B.x＝π是函數(shù)F（x）的可去間斷點

C.F（x）在x＝π處連續(xù)但不可導(dǎo)

D.F（x）在x＝π處可導(dǎo)

正確答案：C

本題解析：

由定積分的幾何意義知，F(xiàn)（π－0）＝F（π）＝F（π＋0），所以F（x）在x＝π處連續(xù)。而

∵F－′（π）≠F＋′（π），∴F（x）在x＝π處不可導(dǎo)。故F（x）在x＝π處連續(xù)但不可導(dǎo)。

27.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

28.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

29.設(shè)y1，y2是一階線性非齊次微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的兩個特解，若常數(shù)λ，μ使λy1＋μy2是該方程的解，λy1－μy2是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，則（）。

A.λ＝1/2，μ＝1/2

B.λ＝－1/2，μ＝－1/2

C.λ＝2/3，μ＝1/3

D.λ＝2/3，μ＝2/3

正確答案：A

本題解析：

因λy1－μy2是y′＋p（x）y＝0的解，故（λy1－μy2）′＋p（x）（λy1－μy2）＝0。所以λ（y1′＋p（x）y1）′－μ（y2′＋p（x）y2）＝0。而由y1′＋p（x）y1＝q（x），y2′＋p（x）y2＝q（x），所以有（λ－μ）q（x）＝0。

又因λy1＋μy2是非齊次y′＋p（x）y＝q（x）的解，故（λy1＋μy2）′＋p（x）（λy1＋μy2）＝q（x）。所以（λ＋μ）q（x）＝q（x）。故λ＝μ＝1/2。

30.設(shè)函數(shù)y（x）具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l：y＝y(tǒng)（x）與直線y＝x相切于原點，記α為曲線l在點（x，y）處切線的傾角，若

求y（x）的表達(dá)式。

正確答案：

本題解析：

dy/dx＝tanα，兩邊對x求導(dǎo)得

31.該切線與拋物線及x軸成的平面去區(qū)域為D，求該區(qū)域分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。

正確答案：

本題解析：

32.設(shè)y（x）是區(qū)間（0，3/2）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且y（1）＝0，點P是曲線L：y＝y(tǒng)（x）上的任意一點，L在點P處的切線與y軸相交于點（0，yp），法線與x軸相交于點（xp，0），若xp＝y(tǒng)p，求L上點的坐標(biāo)（x，y）滿足的方程。

正確答案：

本題解析：

33.設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)（x）由參數(shù)方程

確定，其中x＝x（t）是初值問題

的解，求d2y/dx2。

正確答案：

本題解析：

由dx/dt－2te－x＝0，得exdx＝2tdt，積分得ex＝t2＋C。

由條件x|t＝0＝0，得C＝1，即ex＝t2＋1，故x＝ln（1＋t2）。

方程組

兩端同時對t求導(dǎo)得

所以dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝（1＋t2）ln（1＋t2）。

從而

34.計算，其中D＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}。

正確答案：

本題解析：

曲線xy＝1將區(qū)域D分成如圖3所示的兩個區(qū)域D1和D2。則有

圖3

35.

A.{λ|λ∈R}

B.{λ|λ∈R，λ≠-1}

C.{λ|λ∈R，λ≠-1，λ≠-2}

D.{λ|λ∈R，λ≠-2}

正確答案：C

本題解析：

本題可以將a1，a2，a3，a4列出來化簡，找出對應(yīng)關(guān)系，也可以將λ=-1帶入，r(a1，a2，a3)=3，r(a1，a2，a4)=2，不等價，所以λ≠-1，將λ=-2帶入，r(a1，a2，a3)=2，r(a1，a2，a4)=3，不等價，所以λ≠-2。C正確。

36.下列反常積分發(fā)散的是（）。

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

37.已知f（x）在[0，3π/2]上連續(xù)，在（0，3π/2）內(nèi)是函數(shù)cosx/（2x－3π）的一個原函數(shù)f（0）＝0。

（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[0，3π/2]上的平均值；

（Ⅱ）證明f（x）在區(qū)間（0，3π/2）內(nèi)存在唯一零點。

正確答案：

本題解析：

38.已知三階方陣A,B滿足關(guān)系式E+B=AB，A的三個特征值分別為3，-3，0，則

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

因為A的特征值為3，-3，0，所以A-E的特征值為2，-4，-1，從而A-E可逆。由E+B=AB得（A-E）B=E，即B與A-E互為矩陣，則B的特征值為

39.設(shè)都是n(n≥3）階非零矩陣，且AB=O，則r（B）=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：B

本題解析：

40.設(shè)A，B，C為常數(shù)，則微分方程

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

41.

A.I1＞0

B.I2＞0

C.I3＞0

D.I4＞0

正確答案：B

本題解析：

42.已知函數(shù)f（x）連續(xù)，且

則f（0）＝

。

正確答案：2

本題解析：

暫無解析

43.（1）求直線y=1,曲線L以及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的的旋轉(zhuǎn)體體積A；（2）假定曲線L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面為S。該旋轉(zhuǎn)曲面作為容器盛滿水（水的質(zhì)量密度（單位體積水的重力）等于1），如果將其中的水抽完，求外力作功W.

正確答案：

本題解析：

44.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

45.設(shè)A為三階矩陣，P＝（α1，α2，α3）為可逆矩陣，使得

則A（α1＋α2＋α3）＝（）。

A.α1＋α2

B.α2＋2α3

C.α2＋α3

D.α1＋2α2

正確答案：B

本題解析：

由已知條件，化簡得

46.設(shè)函數(shù)