新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題1 培優(yōu)點(diǎn)1 函數(shù)性質(zhì)間的相互聯(lián)系（含解析）

培優(yōu)點(diǎn)1函數(shù)性質(zhì)間的相互聯(lián)系專(zhuān)題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，求解時(shí)要研究函數(shù)各性質(zhì)間的相互聯(lián)系，對(duì)性質(zhì)進(jìn)行綜合、靈活地應(yīng)用.√解析依題意得，函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即f(c)>f(a)>f(b).(2)(多選)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋1)為偶函數(shù)，且在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增，則A.f(x)的周期為2B.f(－1)是函數(shù)f(x)的最小值C.函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(4,0)D.f(x＋16)＝f(x－12)√√解析由f(x＋1)為偶函數(shù)，可知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，又f(x)為奇函數(shù)，∴－f(－x)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝4，故A錯(cuò)；f(x)在[2,3]上單調(diào)遞增，且T＝4，∴f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞增，∴f(－1)不是f(x)的最小值，故B錯(cuò)；又f(x)關(guān)于(0,0)對(duì)稱(chēng)，且T＝4，∴f(x)的圖象關(guān)于(4,0)對(duì)稱(chēng)，故C正確；∵T＝4，∴f(x＋16)＝f(x)，f(x－12)＝f(x)，∴f(x＋16)＝f(x－12)，故D正確.(3)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù).若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.－8解析∵f(x)是奇函數(shù)且f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，并且此函數(shù)是周期為8的周期函數(shù).∵f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，∴f(x)在[－2,2]上是增函數(shù)，在[2,6]上是減函數(shù).據(jù)此可畫(huà)出y＝f(x)圖象的草圖(如圖)(設(shè)x1<x2<x3<x4)：其圖象也關(guān)于直線x＝－6對(duì)稱(chēng)，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.能力提升函數(shù)的周期性常常通過(guò)函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱(chēng)關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此在解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來(lái)確定函數(shù)在另一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題.跟蹤演練1.(2020·湖南邵陽(yáng)質(zhì)檢)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為A.a<b<c

B.c<b<a

C.b<a<c

D.b<c<a1234√1234解析∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)為偶函數(shù).∴g(－log25.1)＝g(log25.1).∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.而20.8<2<log25.1<3，∴g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，∴b<a<c.2.(多選)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，則以下關(guān)于f(x)的結(jié)論正確的是A.f(x)是周期函數(shù)B.f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(4－x)C.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減1234√√√解析因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，則f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4為周期的函數(shù)，故A正確；因?yàn)閒(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替換成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正確；123412343.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，f(－1)＝2，則f(2025)＝________.2解析由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故f(x)為偶函數(shù).∴f(x)是周期為8的偶函數(shù).∴f(2025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2.1234①②④1234解析對(duì)于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，則f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3).又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(3)＝0.故①正確；由①知f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期為6.又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸.故②正確；所以函數(shù)y＝f(x)在[0,3]上為增函數(shù).因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，1234所以函數(shù)y＝f(x)在[－3,0]上為減函數(shù)，而f(x)的周期為