人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題5.1 任意角和弧度制-重難點(diǎn)題型精講（原卷版）

專題5.1任意角和弧度制-重難點(diǎn)題型精講1．任意角(1)角的概念角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)角的表示如圖：

①始邊：射線的起始位置OA；

②終邊：射線的終止位置OB；

③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；

④記法：圖中的角可記為“角SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”或“AOB”.(3)角的表示在平面內(nèi)，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)相反的方向一順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较?習(xí)慣上規(guī)定：這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.(4)角的相等設(shè)角SKIPIF1<0由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角SKIPIF1<0由射線O'A'繞端點(diǎn)O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(5)角的加、減法①角的加法

設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是任意兩個(gè)角.我們規(guī)定，把角SKIPIF1<0的終邊旋轉(zhuǎn)角SKIPIF1<0，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是SKIPIF1<0+SKIPIF1<0.

②相反角的概念

我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角SKIPIF1<0的相反角記為-SKIPIF1<0.

③角的減法

像實(shí)數(shù)減法的“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(-SKIPIF1<0).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.2．象限角與終邊相同的角(1)終邊相同的角若角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角SKIPIF1<0的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針或順時(shí)針)k(k∈Z)周即得角SKIPIF1<0.

一般地，我們有：所有與角SKIPIF1<0終邊相同的角，連同角SKIPIF1<0在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合SKIPIF1<0，即任一與角SKIPIF1<0終邊相同的角，都可以表示成角SKIPIF1<0與整數(shù)個(gè)周角的和.(2)象限角、軸線角①象限角、軸線角的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱這個(gè)角為軸線角.

②象限角的集合表示

③軸線角的集合表示

(3)區(qū)間角、區(qū)域角

區(qū)間角、區(qū)域角的定義：介于兩個(gè)角之間的角的集合叫做區(qū)間角，如SKIPIF1<0.終邊介于某兩角終邊之間的角的集合叫做區(qū)域角，顯然區(qū)域角包含無(wú)數(shù)個(gè)區(qū)間角.(4)角的終邊的對(duì)稱問(wèn)題與垂直問(wèn)題

角的終邊是一條射線，在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)兩個(gè)角的終邊具有對(duì)稱關(guān)系或垂直關(guān)系時(shí)，對(duì)于的角就有一定的關(guān)系.一般地，我們有如下結(jié)論：3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度為單位來(lái)進(jìn)行度量，1度的角等于周角的SKIPIF1<0.這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制.(2)弧度制的相關(guān)概念①1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角.②弧度制：定義：以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制.記法：弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度.(3)弧度數(shù)在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為SKIPIF1<0rad，那么SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0的正負(fù)由角SKIPIF1<0的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù).一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.4．角度與弧度的換算(1)弧度與角度的換算公式(2)特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表(3)用弧度表示終邊相同的角用弧度表示與角SKIPIF1<0終邊相同的角的一般形式為SKIPIF1<0，這些角所組成的集合為SKIPIF1<0.5．弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，圓心角為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)弧長(zhǎng)公式由公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.(2)扇形面積公式SKIPIF1<0.(3)弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式的兩種表示6．弧度制下角的終邊的對(duì)稱與垂直角的終邊是一條射線，在平面直角坐標(biāo)系中，若兩個(gè)角的終邊關(guān)于某條直線（或點(diǎn)）對(duì)稱，則這兩個(gè)角就有一定的關(guān)系.一般地，我們有如下結(jié)論：【題型1終邊相同的角的表示】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)與角SKIPIF1<0終邊相同的角的集合為SKIPIF1<0，進(jìn)行求解即可．【例1】（2022·山東·高二階段練習(xí)）下列與角2π3的終邊一定相同的角是（

A．5π3 B．k·360°C．2kπ+2π3(k∈Z) D．(2k+1)π+【變式1-1】（2022·浙江高一期末）下列選項(xiàng)中與角α=?30°終邊相同的角是（A．30° B．240° C．390【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）終邊落在直線y=3x上的角α的集合為（A．αα=k?180°+30°,k∈ZC．αα=k?360°+30°,k∈Z D．【變式1-3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如果角α與角x＋45°具有相同的終邊，角β與角x－45°具有相同的終邊，那么α與β之間的關(guān)系是（

）A．α+β=0° B．α?β=90°C．α+β=k?360°k∈Z D．【題型2象限角的判定】【方法點(diǎn)撥】判斷角SKIPIF1<0是第幾象限角的常用方法為將SKIPIF1<0寫(xiě)成SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范圍內(nèi)）的形式，觀察角SKIPIF1<0的終邊所在的象限即可.【例2】（2021·福建省高三開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)α=130°，則角α的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，取角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，下列說(shuō)法正確的是（

）A．第一象限角一定不是負(fù)角B．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若k?360°<α<k?360°+180°k∈Z，則αC．鈍角一定是第二象限角D．三角形的內(nèi)角是第一或第二象限角【變式2-3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)α是第三象限角，且sinα2=?sinαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3角度與弧度的換算】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)角度與弧度的換算公式進(jìn)行換算，再進(jìn)行求解即可.【例3】（2022·安徽省高一開(kāi)學(xué)考試）315°角的弧度數(shù)為（

）A．3π4 B．7π4 C．?【變式3-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．－150°化成弧度是?7π6radC．67°30'化成弧度是3π8【變式3-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）210°化成弧度是（

）A．5π6 B．7π6 C．5π【變式3-3】（2021·四川成都·高一期末）75°用弧度制表示為（

）A．π75 B．π3 C．5π【題型4角的終邊的對(duì)稱問(wèn)題與垂直問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)角SKIPIF1<0終邊的位置關(guān)系，進(jìn)行求解即可.【例4】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若α=k?360°+θ，β=m?360°?θk,m∈Z，則角α與角β的終邊一定（

A．重合 B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱【變式4-1】（2020·河南洛陽(yáng)·高一期中）若α=2kπ+θ,β=2k+1π?θ,其中k∈Z,則角αA．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于x軸對(duì)稱C．關(guān)于y軸對(duì)稱 D．關(guān)于y=x對(duì)稱【變式4-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k?360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k?360°（k∈Z）【變式4-3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若2π<α<4π，且角α的終邊與角?7π6的終邊垂直，則α=A．7π3 B．10π3 C．4π【題型5弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，利用弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A．12 B．23 C．【變式5-1】（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面積為8，且圓心角弧度數(shù)為2，則扇形AOB的周長(zhǎng)為（

）A．32 B．24 C．62 D．【變式5-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫(huà)，題字題畫(huà)的部分多為扇環(huán)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長(zhǎng)為60cm，內(nèi)弧線的長(zhǎng)為20cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為16cm，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為（

）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6【變式5-3】（2022·廣東·高二期中）如圖是一個(gè)近似扇形的湖面，其中OA=OB=r，弧AB的長(zhǎng)為l(l<r).為了方便觀光，欲在A,B兩點(diǎn)之間修建一條筆直的走廊AB.若當(dāng)0<x<12時(shí)，sinx≈x?x36，扇形OAB的面積記為A．2l?C．1l?【題型6與弧度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】先讀懂題意，明確題干的敘述，然后將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為弧度的問(wèn)題，如角度的表示、弧度制下的弧長(zhǎng)及扇形面積等，最后回歸到實(shí)際問(wèn)題，得到答案.【例6】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）時(shí)鐘的分針長(zhǎng)6cm，從10:30到10:55，求：(1)分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過(guò)的扇形的面積；(3)分針尖端所走過(guò)的弧長(zhǎng)．【變式6-1】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）半徑為12cm的輪子，以400r/min的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．(1