人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 24.23 圓的切線證明方法（鞏固篇）（專項練習(xí)）

專題24.23圓的切線證明方法專題（鞏固篇）（專項練習(xí)）一、解答題1．如圖，AD，BD是的弦，，且，點C是BD的延長線上的一點，，求證：AC是的切線．2．如圖，四邊形OAEC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓交CE于D，延長CO交O于B，連接AD、AB，AB是O的切線．(1)求證：AD是O的切線．(2)若O的半徑為4，，求平行四邊形OAEC的面積．3．如圖，是的直徑，是的一條弦，連接求證：連接,過點作交的延長線于點，延長交于點，若為的中點，求證：直線為的切線．4．如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與AC，BC分別交于點D和點E，過點E作EF⊥AC，垂足為F．(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)若CD＝4，EF＝3，求⊙O半徑．5．如圖，AB是⊙O的直徑，BD平分∠ABC，DE⊥BC(1)求證：DE是⊙O的切線：(2)若CE=2，DE=4，求⊙O的半徑．6．如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AC=8，CD=12，求半徑的長度．7．如圖，以AB為直徑作，在上取一點C，延長AB至點D，連接DC，，過點A作交DC的延長線于點E．(1)求證：CD是的切線；(2)若，，求AE的長．8．如圖，是的直徑，過點作的切線，點是射線上的動點，連接，過點作//，交于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)?shù)亩葦?shù)為______時，四邊形是平行四邊形．9．如圖，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，過點D作DE⊥AC，垂足為AC的延長線上的點E．連接DA、DB．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)延長ED交AB的延長線于F，若AD＝DF，DE＝，求⊙O的半徑．10．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O直徑，BE∥AD交DC延長線于點E，若BC平分∠ACE．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半徑．11．如圖，四邊形ABCD是菱形，以AB為直徑作⊙O，交CB于點F，點E在CD上，且CE＝CF，連接AE．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)連接AC交⊙O于點P，若，BF＝1，求⊙O的半徑．12．如圖，在中，以為直徑作，交于點，交于點，且，過點作的切線交于點，過點作的垂線，交于點，交于點．(1)求證：；(2)若，求的長．13．如圖，AB為的切線，B為切點，過點B作，垂足為點E，交于點C，延長CO與AB的延長線交于點D．(1)求證：AC為的切線；(2)若，，求線段AD的長．14．如圖，AB為⊙O的切線，B為切點，過點B作BC⊥OA，垂足為點E，交⊙O于點C，延長CO與AB的延長線交于點D．求證：AC為⊙O的切線；若OC＝2，OD＝5，求線段AD和AC的長．15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O為△ABC的外接圓．(1)如圖1，求證：AD是⊙O的切線；(2)如圖2，CD交⊙O于點E，過點A作AG⊥BE，垂足為F，交BC于點G．①求證：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的長．16．如圖，AB是⊙O的直徑，D在AB上，C為⊙O上一點，AD＝AC，CD的延長線交⊙O于點E．點F在CD延長線上，BC＝BF，求證：BF是⊙O的切線；若AB＝2，，求∠CAE的度數(shù)．17．如圖，中，，CO平分交AB于O點，以O(shè)A為半徑的圓O與AC相切于點A，D為AC上一點且．(1)求證：BC所在直線與圓O相切；(2)若，，求圓O的半徑．18．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，過點A作AB⊥OP，垂足為點C，交⊙O于點B，延長BO與PA的延長線交于點D．(1)求證：PB為⊙O的切線；(2)若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的長．19．如圖所示，⊙O是Rt△ABC的外接圓，其中∠BAC＝90°，過點A作直線AD交CB的延長線于D，且∠BAD＝∠C．求證：AD為⊙O的切線；①F為OB中點，OE⊥AC于E，連接OA、EF交于G點，探究EG與GF的關(guān)系并說明理由；②延長AO交⊙O于H，連接FH，若EF＝FH，則∠ACB＝______度．20．如圖，半圓O的直徑是AB，AD、BC是兩條切線，切點分別為A、B，CO平分．(1)求證：CD是半圈O的切線．(2)若，，求BC和AB的長．21．如圖，PB切⊙O于點B，連接PO并延長交⊙O于點E，過點B作BA⊥PE交⊙O于點A，連接AP，AE．(1)求證：PA是⊙O的切線；(2)如果AB＝DE，OD＝3，求⊙O的半徑．22．如圖，為的切線，為切點，過點作，垂足為點，交于點，延長與的延長線交于點．求證：為的切線；若，，求線段和的長．23．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，P為AB延長線上一點，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分線交⊙O于點D，交AB于點E，(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若AC＋BC＝2時，求CD的長．24．如圖，點是矩形中邊上的一點，以為圓心，為半徑作圓，交邊于點，且恰好過點，連接，過點作EFBD，(1)若，①求的度數(shù)；②求證：是的切線．(2)若，，求的長．25．如圖，在平行四邊形中，是對角線，，以點為圓心，以的長為半徑作，交邊于點，交于點，連接．(1)求證：與相切；(2)若，，求的長．26．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是劣弧BD中點，AC與BD相交于點E．連接BC，∠BCF＝∠BAC，CF與AB的延長線相交于點F．(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)求證：∠ACD＝∠F；(3)若AB＝10，BC＝6，求AD的長．27．已知：四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，點是的中點，過點作交的延長線于點，四邊形的面積為25(1)求證：是的切線；(2)求的長．28．如圖，在中，，D為AB邊上的一點，以AD為直徑的交BC于點E，過點C作交AB于點G，交AE于點F，過點E作交AB于點P，．(1)求證：BC是的切線；(2)求證：；(3)若，，求四邊形CFPE的面積．參考答案1．證明見分析．【分析】先由勾股定理的逆定理證明垂直，再由切線的判斷進行解答即可．證明：連接AB，∵，且∴AB為直徑，AB2=82+42=80，∵CD=2，AD=4∴AC2=22+42=20∵CD=2，BD=8,∴BC2=102=100∴，∴∴AC是的切線．【點撥】本題考查切線的判定，圓周角定理的推論，勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形．2．(1)見分析(2)32【分析】（1）連接OD，證明，可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，進而可得，即可證明AD是O的切線；（2）根據(jù)平行四邊形OAEC的面積等于2倍即可求解．(1)證明：連接OD．∵四邊形OAEC是平行四邊形，∴，又∵，∴，∵AB與相切于點B，∴，又∵OD是的半徑，∴AD為的切線．(2)∵在Rt△AOD中，∴平行四邊形OABC的面積是【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．(1)答案見分析(2)答案見分析【分析】（1）設(shè)交于點，連接，證明，故可得，于是，即可得到；（2）連接，解出，根據(jù)為直徑得到，進而得到，即可證明，故可證明直線為的切線．（1）證明：設(shè)交于點，連接，由題可知，，，，，，，，，；證明：連接，，，同理可得：,，∵點H是CD的中點，點F是AC的中點，，，，，為的直徑，

，，，，，，直線為的切線．【點撥】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，圓周角定理，直線平行的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和公式，證明三角形全等以及證明平行線是解題的關(guān)鍵．4．(1)見分析(2)⊙O半徑為【分析】(1)連接OE，利用等腰三角形的性質(zhì)，證明OE//AC即可解答；(2)過點O作OG⊥AD，垂足為G，易證四邊形OEFG是矩形，從而得出OG=EF=3，設(shè)⊙O的半徑為x，然后利用垂徑定理表示出AG，最后在Rt?OAG利用勾股定理列出關(guān)于x的方程進行計算即可解答．(1)證明：連接OE，∵EF⊥AC，∴∠EFD=∠EFC=90°∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，∴∠OEB=∠C，∴OE//AC，∴∠OEF=∠EFC=90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；(2)過點O作OG⊥AD，垂足為G，∴∠OGF=90°∵∠OEF=∠EFG=90°∴四邊形OEFG是矩形，∴OG=EF=3，設(shè)⊙O的半徑為x，∴AB=AC=2x，∵CD=4，∴AD=AC-CD=2x-4，∵OG⊥AD，∴AG=AD=x-2，在Rt△OAG中，AG2+OG2=OA2(x-2)2+9=x2x=⊙O的半徑為．【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．(1)見分析(2)5【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線得出OD∥BE，再根據(jù)垂線和平行線的性質(zhì)得出OD⊥DE，進而得出DE是⊙O的切線；（2）根據(jù)圓周角定理和垂徑定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．(1)解：如圖，連接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∴∠ODB=∠DBC，∴OD∥BE，∵DE⊥BE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；(2)如圖，連接AC，交OD于F，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，∴四邊形FDEC是矩形，∴DF=CE=2，F(xiàn)C=DE=4．由垂徑定理可知設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OAF中，由勾股定理得，即（r-2）2+42=r2，解得r=5．即半徑為5．【點撥】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理，掌握切線的判定方法，掌握圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．6．(1)答案見分析(2)5【分析】（1）連接OD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠DAB+∠DBA＝90°，再由∠CDA＝∠CBD可得∠CDA+∠DAO＝90°，然后利用OD＝OA證出∠DAB＝∠ADO，從而得∠CDO＝90°，根據(jù)切線的判定即可得出；（2）在Rt△CDO中利用勾股定理列出關(guān)于r的方程即可解答．(1)證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；(2)解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半徑的長度為5．【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見分析(2)AE＝6【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）根據(jù)勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根據(jù)切線長定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到結(jié)論．（1）證明：連接OC，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAD，又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2＋CD2＝OD2∴OB2＋42＝（OB＋2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，AD＝8，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直徑，∴AE是⊙O的切線，∵CD是⊙O的切線，∴AE＝CE，∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，∴82＋AE2＝（4＋AE）2，∴AE＝6．【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論、切線長定理和勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．(1)見分析(2)45°【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠PAO=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠DOP=∠AOP，根據(jù)全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠PDO=∠PAO=90°，再根據(jù)切線的判定得出即可；（2）根據(jù)全等得出PA=PD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PD=OB，求出PA=OA，再求出答案即可．（1）解：證明：連接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO=90°，∵OP∥BD，∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，∴∠DOP=∠AOP，在△AOP和△DOP中，，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO=∠PAO，∵∠PAO=90°，∴∠PDO=90°，即OD⊥PD，∵OD過O，∴PD是⊙O的切線；由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA=PD，∵四邊形POBD是平行四邊形，∴PD=OB，∵OB=OA，∴PA=OA，∴∠APO=∠AOP，∵∠PAO=90°，∴∠APO=∠AOP=45°．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形等知識點，能熟記圓的切線垂直于過切點的半徑是解此題的關(guān)鍵．9．(1)詳見分析(2)2【分析】（1）連接OD，由圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)可得出OD⊥DE，則可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)得出∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°，則得出答案．（1）證明：連接OD，∵D為弧BC的中點，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥DE，∴DE為半圓O的切線；解：∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，又∵∠EAD＝∠DAF，∴∠EAD＝∠DAF＝∠DFA，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°，∴AD＝2DE＝2，∴BD＝，∴AB＝2BD＝4，∴⊙O的半徑為2．【點撥】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．(1)見分析(2)【分析】(1）連接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據(jù)切線的判定得出即可；(2）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠D=90°，構(gòu)造矩形BEDF，根據(jù)矩形性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理即可得到結(jié)論．(1)證明：∵AC是⊙O直徑，∴∵，∴連接OB，∵，∴又∵BC平分，∴，∴∴，∴又∵OB為半徑，∴BE為⊙O切線(2)延長BO交AD于點F，∵∴四邊形FBED為矩形，∴，即OF⊥AD，∵OF過圓心，，∴中，，∴【點撥】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，熟知這些基本知識點正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．11．(1)見分析(2)【分析】（1）如圖所示，連接AF，先證明∠AFB=90°，然后證明△AED≌△AFB得到∠DAE=∠BAF，即可證明∠BAE=90°，從而證明結(jié)論；（2）如圖所示，連接BP，根據(jù)三線合一定理求出，設(shè)圓O的半徑為r，則，，根據(jù)勾股定理可得，由此即可求解．(1)解：如圖所示，連接AF，∵AB是圓O的直徑，∴∠AFB=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=CD=BC，∠B=∠D，，∴∠DAF=∠AFB=90°，∵CE=CF，∴CD-CE=BC-CF，即DE=BF，∴△AED≌△AFB（SAS），∴∠DAE=∠BAF，∴∠DAE+∠EAF=90°=∠BAF+∠EAF，∴∠BAE=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AE是圓O的切線；(2)解：如圖所示，連接BP，∵AB是圓O的直徑，∴∠APB=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CB，∴，設(shè)圓O的半徑為r，則，∴，在Rt△ACF中，，在Rt△ABF中，，∴，解得或（舍去），∴圓O的半徑為．【點撥】本題主要考查了圓切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理,解一元二次方程等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．(1)證明見分析(2)【分析】（1）根據(jù)切線，得到；連接OD，通過證OD是的中位線，證，進而得到，即可證明；（2）連接DE，分別證AC=AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用，即可求解．(1)證明：∵過點作的切線交于點，∴，連接OD，∵，OA=OB，∴OD是的中位線，∴，∴，∴．(2)解：設(shè)圓與AC相交于點E，連接DE，由（1）可知，，∴，∵OD=OB，∴，∴，∴AC=AB=2OB，∵在和中，，∴，∴CF=BG，又∵四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形，∴，又∵，∴，∴，∴CD=DE，又∵，∴CF=EF，∴，即．【點撥】本題考查圓、全等三角形和等腰三角形的相關(guān)知識．包括圓的切線，圓內(nèi)接四邊形；以及全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強．熟練掌握圓、全等三角形和等腰三角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．13．(1)見分析；(2)．【分析】（1）連接OB，證明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠OBA．由切線的性質(zhì)得出∠ABO＝90°，則∠OCA＝90°，可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BD的長，設(shè)AC＝x，則AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得x，進一步得出答案．(1)證明：如圖，連接OB，∵，∴△OBC是等腰三角形，∵，∴，∴OA是CB的垂直平分線，∴，在△CAO和△BAO中

∴（SSS），∴，∵AB為的切線，∴OB⊥AB,∴，∴，∴，∵OC是的半徑，∴AC為的切線；(2)解：∵，，∴，，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴（負(fù)根已舍去），∴，∴【點撥】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，證明△CAO≌△BAO是解題的關(guān)鍵．14．(1)證明見分析(2)；【分析】（1）連接OB，證明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠OBA．由切線的性質(zhì)得出∠ABO＝90°，則∠OCA＝90°，可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BD的長，設(shè)AC＝x，則AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得出答案．(1)證明：連接OB，則OC＝OB，如圖所示：∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分線，∴AC＝AB，∵在△CAO和△BAO中，∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB為⊙O的切線，B為切點，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，∴AC是⊙O的切線．(2)解：∵OC＝2，OD＝5，∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，∵∠OBD＝90°，∴BD，設(shè)AC＝x，則AC＝AB＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴，解得，∴，∴AD＝AB+BD＝AC+BD．【點撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，切線長定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．(1)AD是OO的切線(2)①；②【分析】（1)連接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可證出ΔOACΔOAB(SSS),利用全等三角形的性質(zhì)可得出∠OAC=∠OAB,即AO平分∠BAC，利用垂徑定理可得出AO⊥BC,結(jié)合AD//BC可得出AD⊥AO，由此即可證出AD是OO的切線；（2)①連接AE，由圓內(nèi)接四邊形對角互補結(jié)合∠BCE=90°可得出∠BAE=90°，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，結(jié)合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC，再利用等角對等腰可證出AG=BG；②由∠ADC=∠AFB=90°，∠ACD=∠ABF，AC=AB可證出ΔADCΔAFB(AAS)，利用全等三角形的性質(zhì)可求出AF，BF的長，設(shè)FG=x，在RtΔBFG中，利用勾股定理可求出x的值，此題得解．(1)證明：如圖1，連接OA，OB，OC．在△OAC和△OAB中，∴，∴，∴AO平分，∴，又∵，∴，∴AD是的切線．(2)①證明：如圖2，連接AE．∵，∴.又∵，∴．∵∴.∵，∴，∴．②在△ADC和△AFB中，，∴，∴，．設(shè)，在中，，，，∴，即，∴，∴．【點撥】本題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定義、平行線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1)利用全等三角形的性質(zhì)及垂徑定理，找出AO⊥BC；(2)①利用等角的余角相等及圓周角定理，找出∠BAG=∠ABC；②在RtΔBFG中，利用勾股定理求出FG的長。16．(1)見分析(2)45°【分析】（1）要證明BF是⊙O的切線，只要求出∠OBF=90°即可，先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，求出∠ACB=90°，再利用等邊對等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠F，即可解答；（2）根據(jù)直徑的長可得出半徑的長，所以連接OC，OE，然后利用勾股定理的逆定理證明△COE是直角三角形，最后利用圓周角定理即可解答．解：(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵∠ADC=∠BDF，∴∠ACD=∠BDF，∵BC=BF，∴∠BCD=∠F，∴∠BDF+∠F=90°，∴∠FBD=180°-（∠FDB+∠F）=90°，∵OB是圓O的半徑，∴BF是⊙O的切線；(2)連接CO，EO，∵AB=2，∴OC=OE=1，∵CE=，∴CO2+EO2=2，CE2=（）2=2，∴CO2+EO2=CE2，∴∠COE=90°，∴∠CAE=∠COE=45°．【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目個已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．(1)見分析(2)圓O的半徑為【分析】(1)過O作OE⊥BC于E，先由切線的性質(zhì)得OA⊥AC，再由角平分線的性質(zhì)得OE=OA，即可得出結(jié)論；(2)由切線長定理得EC=AC=3，再證△OEB≌△OAD(AAS)，得EB=AD=2，OB=OD，則BC=EC+EB=5，AB=4，設(shè)OA=x，則OD=OB=4?x，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．(1)證明：如圖：過點O作與點與AC相切于點ACO平分，所在直線與相切(2)解：，、BC是的切線在與中，設(shè)OA=x，則OD=OB=4-x在中，解得即的半徑為．【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(1)見分析(2)6，【分析】（1）連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，證明△OBP≌△OAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OBP＝∠OAP＝90°，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）先根據(jù)勾股定理求出AD，再求出PB，根據(jù)三角形的面積公式求出BC，根據(jù)垂徑定理解答即可．(1)證明：連接OA，∴由垂徑定理可知：∠BOC＝∠AOC，∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，在△OBP與△OAP中，，∴△OBP≌△OAP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∵OB是⊙O半徑，∴PB是⊙O的切線；(2)在Rt△AOD中，AD＝＝4，∵PA、PB為⊙O的切線，∴PA＝PB，在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PA+4）2＝PB2+82，解得，PB＝PA＝6，在Rt△OBP中，OP＝＝3，∵S△OBP＝×OP×BC＝×OB×PB，∴×3×BC＝×3×6，解得，BC＝，∴AB＝2BC＝．【點撥】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．19．(1)見分析(2)①EG＝FG，理由見分析；②45【分析】（1）由OA＝OC得∠C＝∠OAC，由∠BAD＝∠C等量代換得∠OAC＝∠BAD，再由∠BAC＝90°可得∠BAD+∠OAB＝90°，即可得出結(jié)論；（2）①取OA的中點K，連接FK，由三角形中位線可證明△GOE≌△GKF，即可得出EG＝FG；②延長FG交AC于M，連接AF，先證明FM垂直平分AE，得到EF＝AF，進而得到AF＝FH，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AOF＝90°，由圓周角定理即可得到∠C＝45°．(1)證明：∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∵∠BAD＝∠C，∴∠OAC＝∠BAD，∵∠BAC＝90°，∴∠OAC+∠OAB＝90°，∴∠BAD+∠OAB＝90°，∵OA為⊙O的半徑，∴AD為⊙O的切線；(2)①EG＝FG，理由：如圖，取OA的中點K，連接FK，∵F是OB的中點，K是OA的中點，∴FK是△OAB的中位線，∴FKAB，F(xiàn)K＝AB，∵OE⊥AC，∴E是AC的中點，∵O是BC的中點，∴OE是△CAB的中位線，∴OEAB，OE＝AB，∴OEFK，OE＝FK，∴∠OEG＝∠KFG，∠GOE＝∠GKF∴△GOE≌△GKF（ASA），∴EG＝FG；②如圖，延長FG交AC于M，連接AF，∵OE⊥AC，OEFK，∴FK⊥AC，∵OF＝FB，OEMFAB，∴EM＝AM，∴FM垂直平分AE，∴EF＝AF，∵EF＝FH，∴AF＝FH，∵AO＝OH，∴FO⊥AH，∴∠AOF＝90°，∴∠C＝45°，故答案為：45．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，垂徑定理，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．(1)見分析(2)【分析】（1）過點O作OE⊥DC，垂足為E．由角平分線的性質(zhì)定理得到OE=OB，從而可知DC是半圓O的切線；（2）由切線長定理可知：DE=DA，EC=CB，從而可求得BC的長．(1)證明：如圖，過點O作于點E．∵BC是半圓O的切線，∴．∵CO平分，∴，∴CD是半圓O的切線．(2)解：∵AD，CD，BC是半圓O的切線，∴，．∵，∴，∴．如圖，過點D作于點F，故四邊形DABF為矩形，∴，，∴．在中，由勾股定理得，∴．【點撥】本題主要考查的是切線的性質(zhì)和判定、切線長定理的應(yīng)用，掌握切線的性質(zhì)和判定、切線長定理是解題的關(guān)鍵．21．(1)見分析(2)5【分析】（1）連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠PBO＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)∠POA＝∠POB，繼而證得△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)證得∠PAO＝∠PBO，根據(jù)切線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）由垂徑定理證得AB＝2AD，設(shè)AD＝x，得出DE＝2x，OA＝OE＝2x﹣3，由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可求出⊙O的半徑．(1)證明：如圖，連接OA，OB，如圖所示：∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PE于點D，∴∠POA＝∠POB，在△PAO和△PBO中，，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴PA⊥OA，∵OA是半徑，∴PA為⊙O的切線；(2)解：∵BA⊥PE．∴OD⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝2AD，∵AB＝DE，∴DE＝2AD，∵DE＝OD+OE＝OD+AO，∴AO＝2AD﹣OD＝2AD﹣3，設(shè)AD＝x，∴AO＝2x﹣3，在Rt△AOD中，∵AO2＝AD2+OD2，∴（2x﹣3）2＝32+x2，解得：x＝4，或x＝0（不合題意舍去），∴OA＝2x﹣3＝5，即⊙O的半徑為5．【點撥】本題考查圓內(nèi)的計算和證明，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形求線段長．22．(1)見分析(2)【分析】（1）連接OB，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，由切線的性質(zhì)得出，則，從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出BD的長，設(shè)AC=x，則AC=BD=x，得出方程，解方程即可得出答案.(1)證明：連接OB，則OC=OB，∵OA⊥BC，∴EC=BE，∴OA是CB的垂直平分線，∴AC=AB，在△CAO和△BAO中∴，∴,又為的切線，∴，∴，即，所以為的切線；(2)解：，，，，設(shè)AC=x，則AC=BD=x，，，（負(fù)根舍去），，.【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵.23．(1)見分析(2)【分析】（1）連接OC，根據(jù)AB為直徑，得出∠ACB=90°，則∠ACO+∠OCB=90°，從而得出∠BCP+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，即可得出結(jié)論；（2）連接BD，作，垂足為M，N，根據(jù)CD平分，，，得出，推出，再利用HL證明，得出四邊形為矩形，再推出矩形為正方形，則，即可得出答案解：(1)連接OC，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∵∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP=∠ACO∴∠BCP+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切線；(2)連接BD，作，垂足為M，N，∵CD平分，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴矩形為正方形，∴，∵，∴，∵，∴．【點撥】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．24．(1)①30°；②見分析(2)【分析】（1）①由圓的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBD=30°，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得答案；②連接OE，由圓的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得∠DEO=∠ODE=60°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及切線的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得CE：ED=CF：FB=2：3，設(shè)CE=2x，則DE=3x，過點O作OH⊥DE于點H，根據(jù)垂徑定理及矩形的判定與性質(zhì)可得DO=BO=CH=DCDH=，最后由勾股定理可得答案．（1）解：①∵OD=OB，∠DOB=120°，∴∠OBD=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠CDB=∠OBD=30°，∵EF//BD，∴∠CEF=∠CDB=30°；②證明：如圖，連接OE，∵∠ODB=∠DBO=∠EDB=30°，∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=60°，∵OD=OE，∴∠DEO=∠ODE=60°，∴∠OEF=180°-∠DEO-∠CEF=180°-60°-30°=90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；解：∵EF∥DB，∴CE：ED=CF：FB=2：3，設(shè)CE=2x，則DE=3x，過點O作OH⊥DE于點H，由垂徑定理可得DH=DE=，∵∠CBO=∠C=∠CHO=90°，∴四邊形CHOB是矩形，∴DO=BO=CH=DCDH=，在Rt△ODH中，有DH2+OH2=DO2，解得，∴DO=．【點撥】此題考查的是圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．25．(1)見分析；(2)．【分析】（1）連接AE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）連接EF，作EG⊥AC，由（1）可知的性質(zhì)得出后證明是等邊三角形，接著求出，利用直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出，最后利用勾股定理求出EF的長．(1)解：連接AE，∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∵AE是的半徑，∴與相切；(2)連接EF，作EG⊥AC，由（1）可知，∴，∵，，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵EG⊥AC，∴，∴，∴，

在中，．【點撥】本題主要考查圓的綜合，切線的判定、三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理，重點是掌握圓的基礎(chǔ)知識定理，并且要靈活運用．26．(1)見分析(2)見分析(3)【分析】（1）連接OC，根據(jù)直徑所對的角是直角及等腰三角形轉(zhuǎn)換得∠BCF+∠OCB=90°，即可得證（2）根據(jù)同弧或等弧所對的角相等，以及平行線的判定和性質(zhì)，推論轉(zhuǎn)化得證（3）利用勾股定理列方程計算得出OH的長度，再利用中位線的性質(zhì)得出AD的長度(1)解：如圖，連接OC∵AB是直徑∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠OCB=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠ACO∵∠BCF=∠BAC∴∠BCF+∠OCB=90°∴∠OCF=90°∴OC⊥CF∴CF是⊙O的切線(2)∵點C是劣弧BD中點∴∠CAD=∠BAC∵∠BCF=∠BAC∴∠CAD=∠BCF∴∠CAD=∠CBD∴∠BCF=∠CBD∴CF∥BD∴∠ABD=∠F∴∠ACD=∠ABD∴∠ACD=∠F(3)，∴點H為BD的中點∵AB＝10，BC＝6設(shè)OH=x，則CH=5-x，根據(jù)勾股定理得解得：∵OH是中位線∴【點撥】本題考察了圓和三角形的綜合問題，利用同弧或等弧所對的角相等以及利用勾股定理列出方程，是解決問題的關(guān)鍵．27．(1)見分析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出為90°，結(jié)合D是AC的中點，則可求出△ADC是等腰直角三角形，結(jié)合