2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組10-2二項(xiàng)式定理

10.2二項(xiàng)式定理

考點(diǎn)二項(xiàng)式定理

1.(2017課標(biāo)1理,6,5分)(1+E)(l+x)’展開式中六的系數(shù)為()

A.15B.20C.30D.35

答案C本題考查二項(xiàng)式定理中項(xiàng)的系數(shù)問題.

對(duì)于(1+5)(l+x)6,若要得到X2項(xiàng),可以在(1+5)中選取1,此時(shí)(l+x”中要選取含義的項(xiàng)，

則系數(shù)為。;當(dāng)在(1+5)中選取土?xí)r，(1+X)，中要選取含x"的項(xiàng)，即系數(shù)為哈所以,展開式中

六項(xiàng)的系數(shù)為有+邛=30,故選C.

2.(2016四川理,2,5分)設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開式中含X”的項(xiàng)為()

A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

答案AT3=C；x'i2=-15x\故選A.

易錯(cuò)警示易誤認(rèn)為F=1而致錯(cuò).

3.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)”的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)和為()

A.212B.2"C.210D.29

答案D?：(l+x)”的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為黨,以,.?.*=以,得n=10.

從而有%+%+CW“+%=2垃

又端+%+???；=%+%+■??+%,

奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為%+%+…+紹=2、

評(píng)析本題考查求二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)、組合數(shù)性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力.

4.(2015陜西理,4,5分)二項(xiàng)式(x+l)”(nWN+)的展開式中x?的系數(shù)為15,則n=()

A.4B.5C.6D.7

答案C因?yàn)?x+1)”的展開式中x?的系數(shù)為C；2,

所以C}2=15,即鬣=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).

5.(2015課標(biāo)I理,10,5分)(x2+x+y)s的展開式中,xY的系數(shù)為()

A.10B.20C.30D.60

答案C(xz+x+y)5=[(x2+x)+y『的展開式中只有《(x2+x)V中含x5y2,易知x9的系數(shù)為

qq=3o,故選C.

6.(2014四川理,2,5分)在x(l+x)'的展開式中，含x，項(xiàng)的系數(shù)為()

A.30B.20C.15D.10

答案C在(1+x)，的展開式中，含/的項(xiàng)為T產(chǎn)耳」=氏2,故在xd+x)'的展開式中，含Y

的項(xiàng)的系數(shù)為15.

評(píng)析本題考查二項(xiàng)展開式中求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬容易題.但在(l+x”前面乘以x后，易誤求

T產(chǎn)C#.

7.(2014湖南理,4,5分)Cx-2y)"的展開式中x2y3的系數(shù)是()

A.-20B.-5C.5D.20

答案A展開式的通項(xiàng)為TE=C：QX)”?(-2y)J(-1)卜?2"飛釵5”?丫)令5_k=2；得k=3.則

展開式中的系數(shù)為(-1尸?22X3-5C3=-20,故選A.

評(píng)析本題考查由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)系數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于

中檔題.

8.(2014浙江理,5,5分)在(l+x”(l+y)」的展開式中，記x”y"項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則

f(3,0)+f(2,l)+f(l,2)+f(0,3)=()

A.45B.60C.120D.210

答案C在(1+x)，的展開式中，x"的系數(shù)為圖,在(1+y)'的展開式中,y”的系數(shù)為邛，故

f(m,n)=C'C；.從而f(3,0)=。=20,f(2,1)=4?C；=60,f(1,2)=C：?Cj=36,f(0,3)=C；=4,故

選C.

9.(2013課標(biāo)II理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

答案D由二項(xiàng)式定理得(1+x”的展開式的通項(xiàng)為T,“=C/x1■，所以當(dāng)r=2時(shí)，(l+axNl+x)'

的展開式中口的系數(shù)為Q,當(dāng)r=l時(shí),犬的系數(shù)為C；?a,所以q+《?a=5,a=-l,故選D.

10.(2013遼寧理7,5分)使(3x+=y(n￡N,)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()

A.4B.5C.6D.7

335r

答案BTR“=CK3X)E?史尹=4?3,rr?-I?3n”?產(chǎn)丁(r=0,1,2,…,n),

若T,”是常數(shù)項(xiàng)，則有n-|r=0,即2n=5r(r=0,1,—,n),當(dāng)r=0,1時(shí),n=0,不滿足條件；當(dāng)r=2

時(shí),n=5,故選B.

11.(2013大綱全國(guó)理,7,5分)(l+x)8(l+y)4的展開式中xV的系數(shù)是()

2

A.56B.84C.112D.168

答案D(1+x)8*(l+y)"的展開式中x2y2的系數(shù)為耳?C，28X6=168,選D.

12.(2013課標(biāo)I理,9,5分)設(shè)m為正整數(shù)，(x+y)"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為

a,(x+y)2向展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=()

A.5B.6C.7D.8

答案B由題意得:a=C*b二應(yīng)…所以13q=7q；..,，曳哼培喘，，丑篝地解得

m=6,經(jīng)檢驗(yàn)m=6為原方程的解.選B.

13.(2012湖北理,5,5分)設(shè)aGZ,且0Wa〈13,若512012+a能被13整除，貝lja=()

A.0B.1C.11D.12

20122<,l2201220112(,112,,12

答案D5l+a=(52-1)+a=52+dm?X52X(-1)+-+C^；JX52X(-l)+(-l)+a

能被13整除，只需(T)232+a=i+a能被13整除即可.?.?0Wa<13,；.a=12,故選D.

評(píng)析本題考查二項(xiàng)式定理及整除等知識(shí),考查學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算求解能力.

14.(2012安徽理,7,5分)(x?+2噂-1)”的展開式的常數(shù)項(xiàng)是()

A.-3B.-2C.2D.3

答案D由題意知展開式的常數(shù)項(xiàng)為2X(T)5+C；X(-1)'-2+5=3,故選D.

評(píng)析本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，抓住常數(shù)項(xiàng)的構(gòu)成特征是順利解題的關(guān)鍵.

E

15.(2011課標(biāo)理,8,5分乂x+?Qk0的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)

為()

A.-40B.-20C.20D.40

答案D由題意，令x=l得展開式各項(xiàng)系數(shù)的和(1+a)(2-1尸=2,

/.a=l.

?.?二項(xiàng)式(2k的通項(xiàng)公式為T,..產(chǎn)中(-1)，?25r?x5-2r,

.?.1+勺(2廣P展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

x?庫(-1)吃2?x*?C1?(-1)2?2：i-x=-40+80=40,故選D.

16.(2018浙江，14,4分)二項(xiàng)式(渥+J'的展開式的常數(shù)項(xiàng)是.

3

答案7

解析本題考查二項(xiàng)式定理,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和相關(guān)計(jì)算.

（近+-8的展開式的通項(xiàng)般“=.（1.X”日5?X罕,要使Tk“為常數(shù),則90,.?.k=2,

此時(shí)工其義寫=7,故展開式的常數(shù)項(xiàng)為7.

思路分析（1）求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).（2）令通項(xiàng)中x的指數(shù)為0,得k的值.（3）計(jì)算此時(shí)的

Tk+r

17.（2018上海,3,4分）在（1+x）7的二項(xiàng)展開式中，x?項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表

示）.

答案21

解析本題主要考查二項(xiàng)展開式.

（1+x），的二項(xiàng)展開式中，X，項(xiàng)的系數(shù)為有牛21.

18.（2018天津理，10,5分）在（k點(diǎn)）’的展開式中，/的系數(shù)為.

答案!

解析本題主要考查二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù).

由題意得T”尸@乂-點(diǎn)）'=（-

令5普2,得r=2,所以（'）&=（-，44

故x?的系數(shù)為|.

方法總結(jié)求二項(xiàng)展開式中的某一項(xiàng)的系數(shù)時(shí),直接利用展開式的通項(xiàng)T,“=ga”b進(jìn)行求

解.

19.（2017山東理，11,5分）已知（l+3x）”的展開式中含有X?項(xiàng)的系數(shù)是54,則n=.

答案4

解析本題主要考查二項(xiàng)展開式.

（l+3x）”的展開式的通項(xiàng)Ti=C；；3'x「，.?.含有六項(xiàng)的系數(shù)為*3?=54,./=4.

20.（2017浙江，13,5分）已知多項(xiàng)式（x+l）：'（x+2）2=x'+aX+Ex'+asX’+aiX+as,則

a.產(chǎn)________>.

答案16:4

解析本題考查二項(xiàng)式定理,求指定項(xiàng)系數(shù),組合數(shù)計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力.

4

31222

設(shè)(x+1)=x+b1x+b2x+bi,(x+2)=x+cix+c2,

則a.尸b2c2+b3c尸有義12X22+/XC；X2=16,

32

a5=b3c2=lX2=4.

21.(2016天津理，10,5分)(7-，的展開式中x，的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

答案-56

162rr

解析Trl,=q-x-(-x)=(-l)qx吁",令16-3r=7,得r=3,所以x'的系數(shù)為(T)。=-56.

易錯(cuò)警示本題中，展開式的通項(xiàng)易寫錯(cuò),尤其是符號(hào),正負(fù)易混,需引起注意.

評(píng)析本題主要考查二項(xiàng)式定理,對(duì)運(yùn)算求解能力要求較高.屬中檔題.

22.(2016課標(biāo)I理，14,5分)(2x+F)5的展開式中,x，的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答

案)

答案10

解析加超⑵產(chǎn)?0=2飛??令5手3,得r=4,.?1=10/,的系數(shù)為10.

23.(2015天津，12,5分)在(尸J，的展開式中，(的系數(shù)為.

答案卷

解析(尸2)6的展開式的通項(xiàng)為TE=WX"'(-令6-2r=2,得r=2,所以好的

系數(shù)為4X(R噂

24.(2015重慶理，12,5分乂/+或了的展開式中/的系數(shù)是(用數(shù)字作答).

答案!

解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為T,“=CW產(chǎn),(點(diǎn)-產(chǎn)3小,令15-3r-^8,得r=2,于是

展開式中(的系數(shù)為《xq^xio彳.

25.(2015課標(biāo)II理，15,5分)(a+x)(1+x)'的展開式中x的奇數(shù)次幕項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則

a=.

答案3

解析設(shè)f(x)=(a+x)(l+x)’,則其所有項(xiàng)的系數(shù)和為f⑴=(a+l)?(l+l)'=(a+l)X16,又奇

數(shù)次幕項(xiàng)的系數(shù)和為杷⑴-f(T)],.《X(a+1)X16=32,；.a=3.

評(píng)析二項(xiàng)展開式問題中,涉及系數(shù)和的問題,通常采用賦值法.

5

26.（2014安徽理，13,5分）設(shè)a￥0,n是大于1的自然數(shù),（1+的展開式為

2n

a0+alx+a2x+---+anx.若點(diǎn)A、（i,3）（i=0,1,2）的位置如圖所示，貝lja二.

答案3

解析根據(jù)題意知a0=l,at=3,a2=4,

C1?1=3（1_8

:a'即尸一”，解得a=3.

=4,3=3a,

（7

27.（2014課標(biāo)I理，13,5分）（x-y）（x+yT的展開式中x歹的系數(shù)為.（用數(shù)字填寫答

案）

答案-20

解析由二項(xiàng)展開式公式可知,含xV的項(xiàng)可表示為x-《xy'-y?故（x-y）（x+y），的展

開式中x2y7的系數(shù)為％-。=（：卜。=8-28=-20.

28.（2014課標(biāo)H理，13,5分）（x+a）M的展開式中，/的系數(shù)為15,則a=.（用數(shù)字填寫

答案）

答案!

,orr

解析Tr.1=Cfox-a,令10-r=7,得r=3,

"混』5,即號(hào)沁15,，a/a=1.

29.（2013浙江理，11,4分）設(shè)二項(xiàng)式（依-卷了的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A,則A=.

答案T0

解析展開式通項(xiàng)為（爪產(chǎn)卜!）’

=4（-1）'袁5-5孔令（e%c=0,得廠3.

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