復(fù)數(shù)知識點歸納

復(fù)數(shù)【知識梳理】復(fù)數(shù)的根本概念1、虛數(shù)單位的性質(zhì)叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：①可與實數(shù)進(jìn)行四那么運算；②；這樣方程就有解了，解為或2、復(fù)數(shù)的概念〔1〕定義：形如(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，a叫做，b叫做。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母表示，即(a，b∈R)對于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點：①(a，b∈R)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中表示與虛數(shù)單位相乘②復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)，否那么不是代數(shù)形式〔2〕分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0例題：當(dāng)實數(shù)為何值時，復(fù)數(shù)是實數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？復(fù)數(shù)相等也就是說，兩個復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實部和虛局部別相等注意：只有兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)，才可以比擬大小，否那么無法比擬大小例題：求的值共軛復(fù)數(shù)與共軛的共軛復(fù)數(shù)記作，且復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及平面向量是一一對應(yīng)關(guān)系〔復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對，有序?qū)崝?shù)對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量〕相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)例題：〔1〕當(dāng)實數(shù)為何值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點①位于第三象限；②位于直線上〔2〕復(fù)平面內(nèi)，，求對應(yīng)的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模：向量的模叫做復(fù)數(shù)的模，記作或，表示點到原點的距離，即，假設(shè)，，那么表示到的距離，即例題：，求的值復(fù)數(shù)的運算〔1〕運算法那么：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R①②③〔2〕幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法那么進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).常用結(jié)論〔1〕，，，求，只需將除以4看余數(shù)是幾就是的幾次例題：，，【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解.()(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比擬大小.()(4)原點是實軸與虛軸的交點.()(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()【考點自測】1.(2023·安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2023·課標(biāo)全國Ⅰ)復(fù)數(shù)z滿足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B.假設(shè)C為線段AB的中點，那么點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i4.a，b∈R，i是虛數(shù)單位.假設(shè)a＋i＝2－bi，那么(a＋bi)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，那么z＝________.【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)設(shè)i是虛數(shù)單位.假設(shè)復(fù)數(shù)z＝a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，那么a的值為()A.－3B.－1C.1D.3(2)a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，假設(shè)eq\f(z1,z2)為純虛數(shù)，那么復(fù)數(shù)eq\f(z1,z2)的虛部為()A.1B.iC.eq\f(2,5)D.0(3)假設(shè)z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件引申探究1.對本例(1)中的復(fù)數(shù)z，假設(shè)|z|＝eq\r(10)，求a的值.2.在本例(2)中，假設(shè)eq\f(z1,z2)為實數(shù)，那么a＝________.思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及考前須知(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.(1)假設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，那么實數(shù)x的值為()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2023·浙江)i是虛數(shù)單位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋bi)2＝2i〞的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運算命題點1復(fù)數(shù)的乘法運算例2(1)(2023·湖北)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2023·北京)復(fù)數(shù)i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命題點2復(fù)數(shù)的除法運算例3(1)(2023·湖南)eq\f(1－i2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，那么復(fù)數(shù)z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)(eq\f(1＋i,1－i))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________.命題點3復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合問題例4(1)(2023·天津)i是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，那么實數(shù)a的值為________.(2)(2023·江蘇)復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)2(i為虛數(shù)單位)，那么z的實部為________.命題點4復(fù)數(shù)的綜合運算例5(1)(2023·安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).假設(shè)z＝1＋i，那么eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)等于()A.－2B.－2iC.2D.2i(2)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虛部為()A.－4B.－eq\f(4,5)C.4D.eq\f(4,5)思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四那么運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先利用復(fù)數(shù)的運算法那么化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法那么化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.(5)復(fù)數(shù)的綜合運算.分別運用復(fù)數(shù)的乘法、除法法那么進(jìn)行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的.(1)(2023·山東)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2016＝________.(3)eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2016＝________.題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例6(1)(2023·重慶)實部為－2，虛部為1的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于復(fù)平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)△ABC的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z對應(yīng)的點為△ABC的()A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.外心思維升華因為復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.(1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，那么圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是()A.AB.BC.CD.D(2)z是復(fù)數(shù)，z＋2i、eq\f(z,2－i)均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.【思想與方法】解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想典例x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.思維點撥(1)x，y為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的根本形式表示出來；(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.溫馨提醒(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最根本的思想方法.(2)此題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的根本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學(xué)方法.(3)此題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.【方法與技巧】1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的實部和虛部唯一確定的，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法.對于一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，既要從整體的角度去認(rèn)識它，把復(fù)數(shù)看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩局部去認(rèn)識.3.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法那么，其方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.【失誤與防范】1.判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.2.兩個虛數(shù)不能比擬大小.3.注意復(fù)數(shù)的虛部是指在a＋bi(a，b∈R)中的實數(shù)b，即虛部是一個實數(shù).【穩(wěn)固練習(xí)】1.(2023·福建)假設(shè)(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，那么a，b的值分別等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,42.設(shè)z＝eq\f(1,1＋i)＋i，那么|z|等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.23.(2023·課標(biāo)全國Ⅱ)假設(shè)a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，那么a等于()A.－1B.0C.1D.24.假設(shè)i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z，那么表示復(fù)數(shù)eq\f(z,1＋i)的點是()A.EB.FC.GD.H5.(2023·江西)eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，假設(shè)z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i為虛數(shù)單位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2023·江蘇)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，那么z的模為________.7.假設(shè)eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，那么a＋b＝________.8.復(fù)數(shù)(3＋i)m－(2＋i)對應(yīng)的點在第三象限內(nèi)，那么實數(shù)m的取值范圍是________.9.計算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).10.復(fù)數(shù)z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，假設(shè)eq\x\to(z)1＋z2是實數(shù)，求實數(shù)a的值.【能力提升】11.復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范圍是()A.[－1,1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，7))12.設(shè)f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.無數(shù)個13.復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，那么eq\f(y,x)的最大值為________.14.設(shè)a∈R，假設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f(a,1－i)＋eq\f(1－i,2)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x＋y＝0上，那么a的值為____________.15.假設(shè)1＋eq\r(2)i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個復(fù)數(shù)根，那么b＝________，c＝________.【穩(wěn)固練習(xí)參考答案】1A.2.B.3.B.4.D.5.D.6.eq\r(5).7.3.8.m<eq\f(2,3).9.解(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(1＋i,－2)＋eq\f(－1＋i,2)＝－1.(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(\r(3)＋i－i,\r(3)＋i2)＝eq\f(－i,\r(3)＋i)＝eq\f(－i\r(3)－i,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i.10.解eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.∵eq\x\to(z)1＋z2是實數(shù)，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))化簡得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－s