2023屆福建省寧德市高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某高中高三(1)班為了沖刺高考，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，向班內(nèi)同學(xué)征集書(shū)法作品貼在班內(nèi)墻壁上，小王，小董,

小李各寫(xiě)了一幅書(shū)法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細(xì)節(jié)決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰(shuí)

寫(xiě)的，班主任對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話，得到回復(fù)如下：

小王說(shuō)：“入班即靜”是我寫(xiě)的；

小董說(shuō)：“天道酬勤”不是小王寫(xiě)的，就是我寫(xiě)的;

小李說(shuō)：“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫(xiě)的.

若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的，貝!1“入班即靜”的書(shū)寫(xiě)者是()

A.小王或小李B.小王C.小董D.小李

已知雙曲線C*2

2.=1(。>0/>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為E，點(diǎn)A8是。的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，以A3

為直徑的圓過(guò)/且交C的左支于M,N兩點(diǎn)，若|MN|=2,AAB尸的面積為8,則C的漸近線方程為()

C.y=±2xD.y=±—x

3,已知向量a,b滿(mǎn)足I。1=1，IZ?1=2,且a與人的夾角為120。，則k-3司=()

A.而B(niǎo).歷C.2MD.743

4.偶函數(shù)/(%)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)TWxWO時(shí),/(x)=-x2+l,求”2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

5.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿(mǎn)足要求的排隊(duì)方法數(shù)為().

A.432B.576C.696D.960

6.一個(gè)組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1),則該幾何體的體積是()

A.In--B.1TI-\C.2%-2D.2%—4

2

7.某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則該幾何體的體積是（）

333333

8.已知a,b為兩條不同直線，a,B,7為三個(gè)不同平面，下列命題：①若?！ㄊ?，ally,則/?〃九②若a〃a,

al1/3,則?！ā?；③若（3A.y,則C￡；④若a_L。，h±a,則a〃b.其中正確命題序號(hào)為（）

A.②③B.②?④C.①?D.①②③

9.設(shè)向量a,人滿(mǎn)足冏=2,忖=1,卜乃〉=60,則k+陷的取值范圍是

A.B.[G,+8）

C.[72,6]D.[66]

10.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為

[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）

D.60

11.已知“>〃>（）,c>\,則下列各式成立的是（）

C-l7c-1

A.sina>sinbB.ca>chC.ac<Z>tD.------<

b

12.已知三棱錐尸-ABC的頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=BPB=岳,AB=4,CA=CB=M,面姑8_1面

ABC,則球O的表面積為（）

10425萬(wàn)40〃50乃

A.------B.------C.------D.------

3693

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量小〃滿(mǎn)足a%=—l，。?2。一刀=3,則卜卜.

14.在正方體中，已知點(diǎn)P在直線AB】上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐。-GBP的體積不

變;②。P_L；③當(dāng)P為AB沖點(diǎn)時(shí)，二面角P-AC,-C的余弦值為牛；④若正方體的棱長(zhǎng)為2,貝！1+怛”

的最小值為4+40；其中說(shuō)法正確的是（寫(xiě)出所有說(shuō)法正確的編號(hào)）

15.設(shè)aeR,若函數(shù)y=e"+ax,xeR有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

16.《九章算術(shù)》中記載了“今有共買(mǎi)豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足.問(wèn)人數(shù)、豕價(jià)各幾何？”.其意思是“若

干個(gè)人合買(mǎi)一頭豬，若每人出100,則會(huì)剩下100；若每人出90,則不多也不少。問(wèn)人數(shù)、豬價(jià)各多少？”.設(shè)X，），分別

為人數(shù)、豬價(jià)，貝|x=__,y=_.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在AA8C中，內(nèi)角AB,C的邊長(zhǎng)分別為a,hc,且c=2.

7T

（1）若A=1,b-3,求sinC的值；

（2）若sinAcos^g+sin8cos24=3sinC,且AABC的面積S=WsinC,求。和的值.

222

18.（12分）已知A6C的內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為a,hc,且滿(mǎn)足2cos8=網(wǎng)心.

（1）求角C的大小;

(2)若.43。的面積為逆，求一A8C的周長(zhǎng)的最小值.

2

TTTT

19.(12分)如圖，在AQB中，已知NAOB=—,/區(qū)40=—，A3=4,O為線段AB的中點(diǎn)，△AOC是由AOB

26

繞直線A。旋轉(zhuǎn)而成，記二面角8-AO—C的大小為夕

(1)當(dāng)平面CO。，平面AO3時(shí)，求。的值；

27r

(2)當(dāng)。=q-時(shí)，求二面角8-8—C的余弦值.

20.(12分)已知橢圓。的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)C,其短半軸長(zhǎng)為1,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)A在橢圓。上，點(diǎn)8在直

線丫=&上的點(diǎn)，且。4_LQ3.

(1)證明：直線AB與圓f+y2=l相切；

(2)求AQB面積的最小值.

21.(12分)在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)f(x)叫做區(qū)間。上的閉函數(shù)：①/(x)的定義域和值域都是。；

②fW在。上是增函數(shù)或者減函數(shù).

(1)若/(x)=tan3x)在區(qū)間［-1,1］上是閉函數(shù)，求常數(shù)切的值；

(2)找出所有形如/(x)=alog3X+)6的函數(shù)(。,人都是常數(shù))，使其在區(qū)間［1,9］上是閉函數(shù).

22.(10分)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)耳(-0,0),6(&,0),S(3&,0),動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)足|A*|+|NS|=4jL點(diǎn)P

為線段Nf；的中點(diǎn)，拋物線C：/=2機(jī)雙機(jī)＞0)上點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為",OAOS=6瓜

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)。滿(mǎn)足OP_LOQ,試判斷溢『+防"是否為定值，若是，求這個(gè)定值；若不是,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)題意，分別假設(shè)一個(gè)正確，推理出與假設(shè)不矛盾，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：由題意知，若只有小王的說(shuō)法正確，則小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”，

而否定小董說(shuō)法后得出：小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，則矛盾；

若只有小董的說(shuō)法正確，則小董對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，

否定小李的說(shuō)法后得出：小李對(duì)應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”，

所以剩下小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”，但與小王的錯(cuò)誤的說(shuō)法矛盾；

若小李的說(shuō)法正確，貝心細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的，

則否定小董的說(shuō)法得出：小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，

所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.

所以“入班即靜”的書(shū)寫(xiě)者是：小李.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.

2.B

【解析】

由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得50"=51小即/明=8,又|MN|=4-=2,從而可得C的漸近線方程.

【詳解】

設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為尸'，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，四邊形AEBP是矩形，所以5刖"=5M".，即從'=8,由

■/2，得：y=±Z,所以|m7|=更=2,所以〃=c,所以。=2,c=4,所以。=26，C的漸近

線方程為y=±x.

-3

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中檔題.

3.D

【解析】

先計(jì)算a”，然后將卜-3可進(jìn)行平方,，可得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得：

a-/?=|?||z?|cosl20=1x2x(一g=-1

.?.(a-3Z?)=a—6ah+9b=1+6+36=43

.?.貝*_3目=屈.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題。

4.D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由此可得出/(2020)=/(0),代值計(jì)算即可.

【詳解】

由于偶函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，貝II.f(—x)=/(x),/(2+x)+/(-x)=0,

〃x+2)=-/(-x)=-/(引,則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù))，=/(%)是以4為周期的周期函數(shù)，

由于當(dāng)TWxWO時(shí)，/(x)=-x2+l,則/(202())=/(4x5()5)=/(0)=l.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于

中等題.

5.B

【解析】

先把沒(méi)有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二

者之一相鄰.

【詳解】

首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有用種不同排列方式，甲、丁排在一起共有"種不同方式；

若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有禺種不同方式；

若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有C；痣種不同方式；

根據(jù)分類(lèi)加法、分步乘法原理，得滿(mǎn)足要求的排隊(duì)方法數(shù)為用用（A；+）=576種.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類(lèi)時(shí)，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.

6.C

【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個(gè)三棱柱，從而解得幾何體的體積.

【詳解】

由幾何體的三視圖可得，

幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個(gè)底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個(gè)底面腰長(zhǎng)為我的等腰直角三角形、高為2的棱

柱，

故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，

即\/=乃?產(chǎn)?2—」??五?五?2=2萬(wàn)一2,

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題、組合幾何體的體積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)

幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.

7.B

【解析】

該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4,

底面半徑為2,則其體積為V=jx4x4x2+Lx」x乃x4x4,

223

8

=16d--7t.

3

故選B

點(diǎn)睛：由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正

視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.

8.C

【解析】

根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若a〃分，ally,則故①正確；

若a〃a,a/1/3,平面％，可能相交，故②錯(cuò)誤；

若2,則a,月可能平行，故③錯(cuò)誤；

由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

9.B

【解析】

由模長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】

|a+r/7|=yj(a+tb)2=y/a2+2a-bt+t2b2=,4+2/+F=J(r++3>粗,

當(dāng)t=-l時(shí)取等號(hào)，所以本題答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，考查模長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

頻數(shù)

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高X組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量=笨求出班級(jí)人數(shù).

頻率

【詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

.??樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是9=60（人）.

0.30

故選：D.

【點(diǎn)睛】

頻數(shù)

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率=的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

樣本容量

11.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可

【詳解】

對(duì)A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sin*大小不確定，故錯(cuò)誤；

對(duì)B,因?yàn)閥=F為增函數(shù)，且a＞6,所以/＞心，正確

對(duì)C,因?yàn)閥=爐為增函數(shù)，故/＞匕。，錯(cuò)誤；

對(duì)D,因?yàn)閥=在（0,+e）為減函數(shù)，故;，錯(cuò)誤

xba

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

由題意畫(huà)出圖形，找出A/X8外接圓的圓心及三棱錐P-BCD的外接球心O,通過(guò)求解三角形求出三棱錐P-BCD的

外接球的半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖；設(shè)A8的中點(diǎn)為。；

'：PA=y/2,PB=M,AB=4,

.?.△公8為直角三角形，且斜邊為A3,故其外接圓半徑為：r=448=40=2；

2

設(shè)外接球球心為O；

?；CA=CB=5,ffiPAB±^ABC,

CD1.AB可得CZJJL面PAB；且DC=^CA^-AD2=底■

二0在C。上；

r-5

故有：AO2=OD2+AD2^>R2=(?_R)2+^/?=-^；

5丫_50%

二球0的表面積為：4nR2=4nx娓)3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出藍(lán),再根據(jù)卜卜77計(jì)算可得;

【詳解】

解：因?yàn)椤?（2々-〃）=3,

所以27一。乃=3

又a?b=-1

所以J=1

所以卜卜正=1

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.①@@

【解析】

①A4〃￡）G，44〃平面DBQ,得出A與上任意一點(diǎn)到平面DBQ的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點(diǎn)P在面OCGR上的射影在oq上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②

③當(dāng)P為AB1中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。一型，如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法

可求得二面角AG-c的余弦值，可判斷命題③；

④過(guò)A4作平面A4M交44于點(diǎn)做點(diǎn)。關(guān)于面AgM對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面A8ga內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)

性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)片時(shí)，在一條直線上，|。"+忸"取得最小值|GB|.可判斷命題

④.

【詳解】

①?：ABJ/DQ,平面DBQ,所以A片上任意一點(diǎn)到平面DBQ的距離相等，所以三棱錐D-C.BP的體積

不變，所以①正確；

②尸在直線A片上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸在面。CCQ|上的射影在0a上，所以O(shè)P在面OCG2上的射影在0G上，又

0G±CD],所以。P，DC，所以②正確；

③當(dāng)P為Ad中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。-盯z,如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.

則：A(2,0,0),4(2,2,2),P(2,l,1),AQ,。,2),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

AG=(-2,2,0),Mi=(0,-l,l),CC,=(0,0,2),

cm-AC,=0[—2x+2y=0

設(shè)面AGP的法向量為機(jī)=(%,yz),貝ij八，即\，令x=l,則y=l,z=L.?.根=(□/),

虎PA=。[-y+z=0

拉?AG=°—2x4-2y=0

設(shè)面AG。的法向量為〃=（乂y,2）,即2z"…』,。),

nCCj=0

m-n2__76

/.cos<m,n>=~：---,由圖示可知，二面角「一4&一。是銳二面角，所以二面角/5-4a-。

|則利3

的余弦值為邁，所以③不正確

3

④過(guò)A片作平面Ag"交AR于點(diǎn)加，做點(diǎn)。關(guān)于面A4M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面A8AA內(nèi),

則。P=GP,D4=G4,OG_LAg,所以|。"+忸曰=仁"+忸N，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)片時(shí)，在一條直線上,

|。尸|+忸”取得最小值|G8|.

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（2,加,〃），DG=（2,加，小，相=（0,2,2）,所以

DG-AB,=2m+2n-0)

所以加=一〃，又ZM=GA=2,所以根=—n—yj2>

所以G(2,—?⑹，B(2,2,0),|GB|=J(2—2『+卜"—2『+(&-0y=非+4&，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對(duì)稱(chēng)的

思想，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.

15.a＜-l

【解析】

先求導(dǎo)數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)為零的根，結(jié)合根的分布求解.

【詳解】

因?yàn)閥=e*+ox,所以y'=e'+a,令丁'=。得“=一e',

因?yàn)楹瘮?shù)〉=^+公有大于0的極值點(diǎn)，所以e、＞l,即a=—e、＜—1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，極值點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.

16.10900

【解析】

由題意列出方程組，求解即可.

【詳解】

lOOx-y=100

由題意可得M.c，解得x=io,y=900.

90x-y=0

故答案為10900

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來(lái)求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)sinC-2^1.(2)a=b=5.

7

【解析】

(1)先由余弦定理求得再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值；

(2)運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得sinA+sinB=5sinC,運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可

得a,b的方程組，解方程即可得到所求值.

【詳解】

解：（D由余弦定理

a2=b2+c2-2&CC0SA=9+4-2x3x2x—=7,?=V7

矗得sinC=亭

由正弦定理「

sirt4

.,1+cosB.門(mén)1+cosA

(2)由已知得:sinAx--------1-sinox-------=3sinC

22

sinA+sinAcosB+sinB+sinBcos/4=6sinC

sin4+sinB+sin(A+3)=6sinC,sinA+sinB=5sinC

所以a+b=5c=l()……①

I?5

又S=-absinC=—sinC,所以訪=25-一②

22

由①@解得a=b=5

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的恒等變換，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.(1)C=y(2)35/6

【解析】

(1)因?yàn)?cos8=?,所以b+2ccosB=2n,

222

由余弦定理得b+2c-"ci=2a,化簡(jiǎn)得a+b-c^ab，

2ac

可得/+/—c?J,解得8sC='，

lab22

TT

又因?yàn)镃e（O,萬(wàn)），所以C=§.（6分）

（2）因?yàn)镾08c=gq6sinC=*加?=,所以a/?=6,

則a+b2=2#（當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=時(shí)，取等號(hào)）.

由（1）c2=cr+b2—ab>2ab-ab=ab=6（當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?二時(shí)，取等號(hào)），解得

所以々+。+（?之3^/^（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=>/^時(shí)，取等號(hào)），

所以ABC的周長(zhǎng)的最小值為3卡.

19.（1）e=g；⑵一回

25

【解析】

（1）平面CO。，平面AQB,建立坐標(biāo)系，根據(jù)法向量互相垂直求得;（2）求兩個(gè)平面的法向量的夾角.

【詳解】

（1）如圖，以。為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于0B的直線為x軸,。B,Q4所在的直線分別為），軸,z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系O-xyz,則4(0,0,26),8(0,2,0),D(0,l,而,CQsin0,2cos6,0)

TLOD=0xsine+ycos6=0

,設(shè)“=（x,y,z）為平面COO的一個(gè)法向量，由<°C°得

y+&z=0

，取z=sin。,則勺=(V3COS0.-y/3sin0.sin0)

因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為4=(1,0,0)由平面COD1平面AOB,得勺4=0所以后cos。=0即。=］.

27r

(2)設(shè)二面角B-OD-C的大小為&,當(dāng)。=彳,平面COD的一個(gè)法向量為

B廠

cos

?,=(V3cosT，-V3sinT，SmT)=(-,--，T)?--fT^3-5，

V4+4+4

綜上,二面角B-OD-C的余弦值為-或.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查用空間向量求平面間的夾角，平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，難度一般.

20.(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.

【解析】

(1)由題意可得橢圓C的方程為,+丁=1,由點(diǎn)B在直線v=挺上，且。4_L03知。4的斜率必定存在，分類(lèi)討論

當(dāng)0A的斜率為()時(shí)和斜率不為0時(shí)的情況列出相應(yīng)式子，即可得出直線A3與圓x2+y2=1相切；

⑵由⑴知，AQB的面積為5=<|04卜］。磯.1

【詳解】

解：(1)由題意，橢圓。的焦點(diǎn)在x軸上，且/?=c=l,所以。=虛.

所以橢圓C的方程為：+尸=1.

由點(diǎn)8在直線y=點(diǎn)上，且。4_L03知。4的斜率必定存在，

當(dāng)。4的斜率為()時(shí)，］。川=拒，

于是|/叫=2,。到AB的距離為1,直線AB與圓Y+y2=i相切.

當(dāng)。4的斜率不為0時(shí)，設(shè)。4的方程為了="，與：+9=1聯(lián)立得(1+2公)/=2,

所以只=r^7T，=從而|QA-=^±^.

112

1+2公人1+2/i+2k

而O8LQ4,故08的方程為％=-6,而3在卜=點(diǎn)上，故x=_?，

1

從而幽=2+2左2,于是-----------1-----------1

|。4「|幽

此時(shí)，。到AB的距離為1,直線45與圓/+/=1相切.

綜上，直線AB與圓f+V=1相切.

⑵由⑴知，426的面積為

S=^\OA\-\OB\2+2k2

2J1+2左2

上式中，當(dāng)且僅當(dāng)攵=()等號(hào)成立,

所以AQB面積的最小值為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意

識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

21.(1)±5；(2)/(x)=3log3x+y/x.

【解析】

(1)依據(jù)新定義，f(x)的定義域和值域都是［-1,1］,且/(X)在［-1,1］上單調(diào)，建立方程求解；(2)依據(jù)新定義，討

論f(x)的單調(diào)性，列出方程求解即可。

【詳解】

(D當(dāng)0>0時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，/。)=1211(如)在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù)，即有〈tan(-6>)=-1,解

tan69=1

得T

7TTT

同理，當(dāng)。<0時(shí)，有tan(-⑼=1