2022-2023學(xué)年人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練

七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練

1.如圖，直線A38,點(diǎn)E在直線A8上，點(diǎn)F在直線CD上，點(diǎn)P在直線A8,CD

之間，連接PE,PF,EF,ZPFE=50°,直線1與直線A8,8分別交于點(diǎn)M,N,

ZWC=a(0°<￡Z<9()°),E。是ZMEF的平分線，交直線CO于點(diǎn)0.

(1)求證：ZAEP+ZPFC=^EPF；

②若PF〃MN,OE〃MN時(shí)，求a；

(3)將直線1向左平移，并保持尸尸MN,在平移的過程中(除點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)),

求NEOF的度數(shù)(用含a的式子表示).

(1)如圖1,AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求NAPC度數(shù).小穎同學(xué)的解題

思路是：如圖2,過點(diǎn)P作PE〃/W,請(qǐng)你接著完成解答

⑵如圖3,AO〃8C,點(diǎn)P在射線。河上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，

ZADP=^a,48?！?/月.試判斷/?！浮?、Na、之間有何數(shù)量關(guān)系？(提示：過

點(diǎn)P作PE〃A￡>),請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、0三點(diǎn)不重

合)，請(qǐng)你猜想NCPZX4a、N4之間的數(shù)量關(guān)系.

3.汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間

查看河水及兩岸河堤的情況.如圖，燈A射出的光束自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回

轉(zhuǎn)，燈B射出的光束自3P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至8。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若

燈A射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a。/秒，燈B射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是〃/秒，且a、b滿

足|“-34+(a+6-4)2=0.假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即P。MN,且

圖1圖2

⑴求a、b的值；

(2)如圖2,兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射出的光束到達(dá)AN之前，若兩燈射出的光束交于點(diǎn)

C,過C作CDLAC交尸。于點(diǎn)D,若/3CO=20。，求N5AC的度數(shù)；

(3)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射出的光束才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射出的光束到達(dá)BQ之

前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？

4.如圖1,已知兩條直線Afi,CD被直線E尸所截，分別交于點(diǎn)E,點(diǎn)F,平分NAE尸

交C。于點(diǎn)M,且NFEM=NFME.

(1)判斷直線A8與直線CD是否平行，并說明理由；

⑵如圖2,點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)M,F重合)，EH平分NFEG交CD于點(diǎn)、

II,過點(diǎn)H作〃于點(diǎn)N,設(shè)NEHN=a,NEGF=B.

①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若a=30。，求B的度數(shù)：

②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，a和p之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證

明.

5.已知直線點(diǎn)P,Q分別在直線A3,CD±.

圖①圖②

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在直線A8,CO之間時(shí)，連接PE,QE.探究NPEQ與NBPE+NDQE

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②.在①的條件下，PF平分NBPE,QF平分NOQE,交點(diǎn)為F.求NPFQ與

ZBPE+NOQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB,CZ)的下方時(shí)，連接PE,QE,PF平■分ZBPE,Q”平

分NCQE,。”的反向延長線交P尸于點(diǎn)F,若4=40。時(shí)，求N尸的度數(shù).

6.如圖，直線AB〃C。，直線EF與A8、8分別交于點(diǎn)G、H,NEHD=a0<a<90。).小

安將一個(gè)含30。角的直角三角板P/WN按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線48、CD

上，且在點(diǎn)G、”的右側(cè)，ZP=90°,NPMN=60°.

圖①圖②

(1)填空：NPNB+NPMD_NP(填“>”“<”或“=")；

(2)若NMNG的平分線N。交直線CO于點(diǎn)O,如圖②.

①當(dāng)ON〃EF,PM〃EF時(shí),求a的度數(shù)：

②當(dāng)〃4'時(shí)，求NMQV的度數(shù)(用含a的式子表示).

7.張老師將教鞭和直角三角板放在量角器上.如圖①，是量角器的直徑，點(diǎn)。是

圓心，教鞭。C與。河重合，直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊0B與。N重合,

N4QB=30°.如圖②，現(xiàn)將教鞭0C繞點(diǎn)。沿順時(shí)針方向以每秒3。的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將

直角三角板繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向以每秒2。的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)0C與ON重合時(shí)，三角板和教

鞭OC同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為1秒.

圖①圖②

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，求NAON的度數(shù)(用含f的代數(shù)式表示).

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)r為何值時(shí)，0ALMN.

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線OC,OA,。8中的兩條射線組成的角(指大于0°而不超

過180。的角)恰好被第三條射線平分，求出此時(shí)，的值.

8.如圖1,A8〃C￡>,點(diǎn)E,F分別在直線CD,ABh,NBEC=2/BEF,過點(diǎn)A作

AG_L3E的延長線交于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)N,AK平分NB4G,交EF于點(diǎn)H,交BE于

⑴直接寫出NFAH,—KE”之間的關(guān)系：.

⑵若NBEF=；NBAK,求/AHE.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將繞著點(diǎn)E以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)

時(shí)間為t,當(dāng)KE邊與射線重合時(shí)停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)oQE的其中一邊與

一ENG的某一邊平行時(shí)，直接寫出此時(shí)t的值.

9.已知：如圖，直線。b,AC18c于點(diǎn)C,連接A8且分別交直線。、b于點(diǎn)、E、F.

(1)如圖①，若/和/EFG的角平分線EM、FM交于點(diǎn)M,請(qǐng)求的度數(shù)：

圖①

⑵如圖②，若NEDC的角平分線DM分別和直線b及NFGC的角平分線G。的反向延長

線交于點(diǎn)N和點(diǎn)M,試說明：Zl+Z2=135°；

圖②

(3)如圖③，點(diǎn)M為直線。上一點(diǎn)，連結(jié)MF,NMFE的角平分線7W交直線。于點(diǎn)N,

過點(diǎn)N作NQLN尸交/印加的角平分線尸。于點(diǎn)。，若NDEA記為￡,請(qǐng)直接用含尸

的代數(shù)式來表示4MNQ+ZHFQ.

10.已知：直線EF分別交直線AB,CD于點(diǎn)G,H,且NAG"+NDH尸=180。,

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AB//CD；

⑵如圖2,點(diǎn)M,N分別在射線GE,HF上，點(diǎn)P,Q分別在射線CA,HC上，連接MP,

NQ,且/MPG+/NQ￥=90°,分別延長MP,NQ交于點(diǎn)K,求證：MKINK；

⑶如圖3,在(2)的條件下，連接KH,KH平分NMKN,且HE平分若

17

/DHG=—/MPG,求NXMZV的度數(shù).

7

11.幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”.

圖②

圖⑤

(1)導(dǎo)入：如圖①，己知AB"CD〃EF,如果NA=26。，ZC=34°,那么ZAEC=

。?

(2)發(fā)現(xiàn)：如圖②，已知請(qǐng)判斷Z4EC與NA,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由；

(3)運(yùn)用：(i)如圖③，已知A8〃CO,/4EC=88。，點(diǎn)/、N分別在AB、CD±,

MN//AE,如果NC=28°,那么4fiV￡)=_°；

(ii)如圖④，己知A3〃C￡>,點(diǎn)M、N分別在AB、CO上，ME、NE分別平分Z4MF

和NCNF.如果NE=116。，那么NF=一。；

(iii)如圖⑤，已知A3〃a),點(diǎn)M、N分別在48、CD±,MF、NG分別平分/而WE

和NCNE,且EG〃M尸.如果NMEN=a,那么NEGN=_.(用含a的代數(shù)式表示)

12.如圖1,將三角板A8C與三角板ADE擺放在一起，其中NACB=3()。，/D4E=45。，

ZBAC=ZD=90°,固定三角板MC,將三角板AOE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)

E落在射線AC的反向延長線上時(shí)，即停止旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,當(dāng)邊AC落在—D4E內(nèi)，

①NC4。與N84E之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由；

②過點(diǎn)A作射線AF,AG,若NC4F=；NCA￡>,NBAG=；NE4G,求NE4G的度數(shù)；

(2)設(shè)VA0E的旋轉(zhuǎn)速度為3°/秒，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t,若它的一邊與一他C的某一邊平行

(不含重合情況)，試寫出所有符合條件的t的值.

13.已知如圖A8〃CQ.

(1)由圖①易得/8、NBED、的關(guān)系(直接寫結(jié)論)；由圖②易得/8、

ABED.ND的關(guān)系(直接寫結(jié)論).

⑵從圖①圖②任選一個(gè)圖形說明上面其中一個(gè)結(jié)論成立的理由.

(3)利用上面(1)得出的結(jié)論完成下題：

已知，AB//CD,/年與N8E兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)/.若NE=60。，求

NBFD的度數(shù).

14.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a,O)點(diǎn)8(40)為龍軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)C在丫軸的正

半軸上，且。，匕滿足等式〃+2"+/=0.

圖1圖2圖3

(1)判斷一的形狀并說明理由；

(2)如圖2,M,N是OC上的點(diǎn)，ELZCAM=AMAN=ZNAB,延長8N交AC于尸,

連接PM,判斷與4V的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,若點(diǎn)。為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與8,C重合)，過點(diǎn)。作。他于E,

點(diǎn)G為線段OE上一點(diǎn)，且NBGE=ZACB,尸為A￡)的中點(diǎn)，連接CF,FG.求證:

CF1FG.

15.小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：

如圖①，已知：ABCD,E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接BE,ED,得到NBE￡).

求證：NBED=NB+ND.

小亮幫助小明給出了該問的證明.

圖①

證明：過點(diǎn)E作￡F〃AB,則有N8￡F=N8

■:ABCD

：.EFCD

：.AFED=AD

/BED=/BEF+4FED=ZB+4D

請(qǐng)你參考小亮的思考問題的方法，解決問題:

(1)直線直線EF和直線4、4分別交于C、。兩點(diǎn)，點(diǎn)AB分別在直線4、4上,

猜想：如圖②，若點(diǎn)P在線段8上，NR4c=15。，NPBD=60°,求NAPB的度數(shù).

(2)拓展：如圖③，若點(diǎn)P在直線EF上，連接以、PB(BD<AC),直接寫出

ZPAC.ZAPB、NPBQ之間的數(shù)量關(guān)系.

16.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-1，0)、(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、

B向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移一個(gè)單位長度，得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D,連接

AC、BD、CD.

3

(1)寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)并求出四邊形ABOC的面積；

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)F,使得一。FC的面積是..少B面積的2倍？若存在，請(qǐng)求出

點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖②，點(diǎn)P是直線8。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PO,當(dāng)點(diǎn)P在直線8。上運(yùn)動(dòng)時(shí),

請(qǐng)直接寫出NOPC與NPCD、NPOB的數(shù)量關(guān)系.

17.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)M的坐標(biāo)為三角形ASM

的面積為3.

_______11111A」I111111AII111111A

O12345X-2-If；I23456x-2-10123456^

-lr-1r--11-

(1)三角形ABM的面積為3,當(dāng)m=4時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)______；

(2)若三角形A8M的面積不超過3,當(dāng)加=3時(shí)，求n的取值范圍；

(3)三角形ABM的面積為3,當(dāng)14M<4時(shí)，直接寫出m與n的數(shù)量關(guān)系；

18.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，對(duì)于任意兩點(diǎn)M,N,給出如下定義：點(diǎn)〃，N的橫

坐標(biāo)之差的絕對(duì)值與縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值的和叫做這兩點(diǎn)之間的“直角距離”，記作：

dMN,即點(diǎn)M(%，％)與點(diǎn)N(&,%)之間的“直角距離"為4^=|%-々|+|必-必|?已

知點(diǎn)4(-3,2),點(diǎn)8(2,1).

A

X

(1)A與B兩點(diǎn)之間的“直角距離"C!AB=；

⑵點(diǎn)。(。,力為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)t的取值范圍是時(shí)，幺0+〃。的值最

小；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P位于第二象限，且滿足Bw/p,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)區(qū)域(用陰影

表示).

參考答案:

1.(1)見解析

(2)a=50。

(3)N比萬的度數(shù)為ga+25?；?5。—；。

【分析】(1)根據(jù)A3CD,得到NAE尸+NCFE=18()。，進(jìn)而得到

ZAEP+ZPEF+ZPFE+ZPFC=\SO0,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

ZPEF+ZPFE+ZEPF=180°,即可得證；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線平分角，進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，求解即可;

(3)分點(diǎn)M在點(diǎn)E右側(cè)和點(diǎn)M在點(diǎn)E左側(cè)，兩種情況進(jìn)行討論求解.

【解析】(1)解：???48CD,

：.ZAEF+ZCFE=\S00.

：.ZAEP+ZPEF+ZPFE+ZPFC=180°,

???/PEF+APFE+/EPF=180°,

.?.ZAEP+APFC=ZEPF.

(2)VPF//EO,

/.NFEO=/PFE=5。。,

*/E1。是Z收的平分線，

JNMEO=NFEO=50。,

?.?ABCD,

；?ZEOF=ZMEO=50°,

?.?OEMN,

???乙MNC=/EOF=50°,

：.a=50°,

(3)當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，

PFMN,

:./PFC=AMNC=a,

?.?ABCD,

.??NBEF=NCFE=a+50。,

?/EO是Z/收的平分線，

???Z.BEO=-Z.BEF=L+25。,

22

,/ABCD,

:.ZEOF=ZBEO=-a+25°；

2

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖，

ME

B

'；PFMN,

：.ZPFC=ZMNC=a,

：.ZCFE=a+50°,

,/ABCD,

二ZAEF=\80°-ZCFE=\30°-a,

：EO是ZMEF的平分線，

/.ZAEO=-NBEF=65°--a,

22

■:ABCD,

ZEOF=ZAEO=65°--a,

2

.../EOF的度數(shù)為!a+25?；?5。-：。.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.熟練掌握平行線的性質(zhì)，是解

題的關(guān)鍵.

2.（1）見解析

（2）ZCPD=Za+Z/3,理由見解析

⑶當(dāng)P在84延長線時(shí)，NCP￡）=N￡-Na；當(dāng)P在30之間時(shí)，NCPD=Na-N。.理由

見解析

【分析】（1）作出平行的輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得到同旁內(nèi)角互補(bǔ)的關(guān)系，直接

求解；

（2）作出平行的輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得到內(nèi)錯(cuò)角相等的關(guān)系，直接求解；

（3）分類討論P(yáng)點(diǎn)的位置，同（1）（2）可證角度的數(shù)量關(guān)系，直接求解.

【解析】（1）過P作PE〃/

AB//CD,

：.AB//CD//PE,

AAPE=\800-ZA=50°,NCPE=1800-ZC=60°,

二ZAPC=500+60o=110°；

（2）ZCPD=Za+Z/?,理由如下：

如圖3,過P作尸E〃A￡＞交CO于E,

AD//BC,

：.PE//AD//BC,

：.Za=ZDPE,“=NCPE,

：.ZCPD=ZDPE+NCPE=Na+N4；

M

圖3

(3)當(dāng)P在54延長線時(shí)，NCPD=N￡-Na；

如圖4,過P作/石〃A￡>交CO于E,

,?AD//BC,

：.PE//AD//BC,

：.4a=NDPE,2/3=NCPE,

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z/7-Za；

當(dāng)P在5。之間時(shí)，ZCP￡>=Za-Z^.

理由：如圖5,過P作依〃AD交CD于E,

■:AD//BC,

PE//AD//BC,

；.Z?=ZDPE,40=4CPE,

：.NCPD=ZDPE-ZCPE=Na-N/7.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是平行線的判定為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，同位角相等.

3.(1)a=3>b=1

(2)30°

⑶當(dāng)r=15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行.

【分析】(1)根據(jù)|a-3b|+(a+b-4)2=0,可得a—%=0,且a+6—4=0,進(jìn)而得出a、b

的值；

(2)設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)/8CD=90。-ZBCA=90°-(180°-2/)=-90°=20°

可得t的值，根據(jù)NR4C=45。-（180。-3，）=3，-135?？傻?R4C；

（3）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN

之前，②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后，分別求得t的值即可.

【解析】（1）?.?卜—34+（“+。—4『=0.

XV|a-3/?|>0,（a+fe-4）2>0.

/.a=3,b=\；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

如圖，作CE//PQ,而PQ//MN,

/.PQHCEHMN,

ZACE=ZCAN=180°-3t°,ZBCE=ZCBD=t°f

：.ZBCA=ZCBD+ZCAN=t+\800-3t=180°-2t,

???ZACD=90°,

.?./BCD=90。-ZBCA=90°-(180°-2r)=2r-90°=20°,

???f=55。，

VZC47V=180°-3r,

??.ABAC=45°-(180°-3r)=3r-l35°=165°-135°=30°；

(3)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行.

依題意得Ovr<150

①當(dāng)OVE<60時(shí)，3z=(30+f)xl,

解得，=15；

②當(dāng)60v，vl20時(shí)，3r-3x60+(304-r)xl=180,

解得f=82.5；

③當(dāng)120<f<150時(shí)，3r-360=f+30,

解得，=195>150（不合題意）

綜上所述，當(dāng)1=15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分

類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

4.⑴ABCD,理由見解析

（2）①尸=60。；②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)a=g/7,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，a=9（T-g/，

證明見解析

【分析】（1）依據(jù)角平分線，可得ZAEM=AFEM,根據(jù)NFEM=ZFME,可得ZAEM=NFME,

進(jìn)而得出A3CD.

（2）①EH平分NFEG,平分NAEF,即可得到NME4=,再根據(jù)析_LME,

即可得到N〃EN=60。，進(jìn)而求出4EG=120。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案；②分兩種

情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí).當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平

分線的定義討論求解即可.

【解析】（1）解：鉆CD,理由如下：

EM平分NAEF,

:.ZAEM=/FEM,

XVZFEM=NFME,

：.ZAEM=ZFME,

：.ABCD.

（2）解：①如圖2,:?EH平分NFEG,EM平分NAEF,

：.ZHEF=-NFEG,NMEF=-ZAEF,

22

NMEH=-ZAEG,

2

又,：HNLME,即Z/fVE=90。，

:.ZHEN=180°-ZEHN-ZHNE=60°,

ZAEG=\20°,

'：ABCD,

二ZAEG+ZEGM=180。，

2=180°-120°=60°；

②點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)，故分兩種情況討論：

如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，a=1/?,證明如下：

,?ABCD,

ZAEG=180°-ZEGF=180°-4，

又?：EH平分NFEG,平分/

，ZHEF=-Z.FEG,NMEF=-ZAEF,

22

NMEH=gZAEG=180。-￡),

又?：HNLME,即4VE=90°,

二ZEHN=180°-ZHEN-ZHNE=180°-90°-^(180°-,

圖2

如圖3,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，。=90。-(4，證明如下:

證明：ABCD,

：.AAEG=AEGF=/3,

又?；EH平分NFEG,平分/AEF,

ZHEF=-NFEG,NMEF=-AAEF,

22

ZMEH=ZMEF-ZHEF

=；(ZAEF-NFEG)

=-ZAEG

2

又：HNLME,

：.4EHN=180°-ZMEH-NENH=180°-；4-90°,

.?.a=90。-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義,熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(1)NPEQ=Z.BPE+ZDQE

(2)ZPFQ=；(NBPE+ZDQE)

(3)"=110。

［分析］(1)過點(diǎn)E作EM//AB,則ZBPE=NPEM,EM。，進(jìn)而得出=NQEM,

即可得出結(jié)論；

(2)同(1)的方法，得出NBPF+NDQF=NPFQ,根據(jù)角平分線的定義得出N8P尸

NBPE,NDQF=士NDQE,即可得出結(jié)論；

(3)過點(diǎn)E作EN〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NCQE=220。-N8PE,同(1)的方法,

即可求解.

【解析】(1)解：NPEQ=NBPE+NDQE,

理由如下：

如圖所示，過點(diǎn)E作EM〃A8,

圖①

:.ZBPE=ZPEM,

AB//CD,

:.EM//CD,

NDQE=NQEM,

NPEQ=NPEM+NQEM=NBPE+NDQE,

即NPEQ=NBPE+ZDQE；

(2)NPFQ=；(NBPE+NDQE),理由如下:

PF平分NBPE,QF平分NOQE,

NBPF=|NBPE,NO"=；NDQE,

APB

圖②

由(1)可"PEQ=NBPE+NDQE,

同理可得NBPF+ZDQF=ZPFQ,

NPFQ=iNBPE+1NDQE=1(NBPE+ZDQE)=^ZPEQ,

即ZPFQ=；(NBPE+NDQE)；

(3)如圖，過點(diǎn)E作硒〃/W,

圖③

:./PEN=ZBPE,

PF平分ZBPE,QH平分NCQE,

ZBPF=yNBPE,ZCQH=|NCQE,

；NFQD=NCQH=1ZCQE,

AB//CD,AB//EN,

CD//EN,ZPEQ=40°,

NCQE=180°-ANEQ=180°-(APEN-ZPEQ)=180°-NBPE+40°=220°-NBPE,

由(1)可得NF=NBPF+NFQD

WNBPE+3NCQE

=ZBPE+(220°-ZBPE)

=110°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解

題的關(guān)鍵.

6.(1)=

⑵①a=60。；②ZMON的度數(shù)為30。+ga或6(T-ga

【分析】（1）過尸點(diǎn)作PQ//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/PNB=/NPQ,/PMD=/QPM,

進(jìn)而可求解；

（2）①由平行線的性質(zhì)可得NQNM=NPMN=60。，結(jié)合角平分線的定義可得

ZANO=ZONM=60°,再利用平行線的性質(zhì)可求解；

②可分兩種情況：點(diǎn)N在G的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)N在G的左側(cè)時(shí)，利用平行線的性質(zhì)及角平分線

的定義計(jì)算可求解.

【解析】（1）解：過P點(diǎn)作PQ〃A3,

/.4PNB=ZNPQ,

AB//CD,

PQ//CD,

4PMD=4QPM,

/.NPNB+NPMD=ZNPQ+/QPM=/MPN,

故答案為：=

(2)①ON//EF,PM//EF,

??.PO〃PM,

ZONM=ZNMP,

/PMN=60。,

:"ONM=/PMN=0f,

NO平分NMVO,

.\ZANO=ZONM=60°,

AB//CD,

ZNOM=ZANO=60°,

:.a=ZNOM=60°；

②點(diǎn)N在G的右側(cè)時(shí)，如圖②，

//EF.ZEHD=a

/.Z.PMD=a,

/.ZW￡>=60°+a,

AB//CD,

ZANM=/NMD=60。+a,

NO平分NAW,

ZANO=|ZANM=30°+ga,

AB//CD,

AMON=ZANO=30°+ga；

點(diǎn)N在G的左側(cè)時(shí)，如圖,

PM//EF,ZEHD=a,

:.APMD=a,

:.ZNMD=600+a,

AB//CD,

：.ZBNM+ZNMO=180°,NBNO=NMON,

NO平分NMNG,

...Z8NO=g[180°-(60°+a)]=60°-ga,

.?./MON=60。"心,

綜上所述，ZMON的度數(shù)為30。+30或60。-3&.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵.

7.⑴30。+2。/或(30+2f)度或30。+(〃)。

⑵當(dāng)t=30秒時(shí)，0ALMN

⑶當(dāng)f=24秒或33秒或42秒時(shí)，射線OC,OA,。3中的兩條射線組成的角恰好被第三條

射線平分

【分析】(1)根據(jù)題意，可得ZAON=ZAOB+ZBON,據(jù)此列出代數(shù)式即可求解；

(2)當(dāng)OA_LMN時(shí)，ZAON=90°,根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

(3)分3種情況：①如圖3,當(dāng)。4平分NCO8時(shí)，NCOA=NAOB=30。.②如圖4,當(dāng)OC

平分/A08時(shí)，ZAOC=^COB=-ZAOB=15°.③如圖5,當(dāng)08平分NAOC時(shí)，

2

ZAOB=^COB=30°,分別列出方程，解方程即可求解.

【解析】（1）解：如圖1,???/4。8=30°,NBON=（2t）°.

：.ZAON=ZAOB+ABON

=（30+2。。.

圖1

（2）如圖2,:當(dāng)OA_LMN時(shí)，NAON=90。,

/.ZA07V=300+（2r）0=90°,

解得：7=30（秒）.

.?.當(dāng)f=30秒時(shí)，0ALMN

（3）分3種情況：

①如圖3,當(dāng)。4平分NCOB時(shí)，ZCOA=ZAOB=30°.

Z.COM+ZBON=180°-NCOB,

3r+2r=180-60

解得：f=24（秒）.

圖3

②如圖4,當(dāng)OC平分/AQ8時(shí)，AAOC=ZCOB=^ZAOB=15°.

,ZCOM+ZBON=180°-ACOB,即3r+2f=180-15

解得：/=33（秒）.

圖4

③如圖5,當(dāng)。B平分ZAOC時(shí)，ZAOB=ZCOB=30°.

二NCOM+ZBON-NCOB=180°.

3r+2r-30=180

解得：7=42（秒）

圖5

，綜上所述，當(dāng)f=24秒或33秒或42秒時(shí)，射線OC,OA,。8中的兩條射線組成的角恰

好被第三條射線平分.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，一元一次不等式的應(yīng)用，列代數(shù)式，分類討論，

數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

8.(1)ZAHE=ZFAH+ZKEH

⑵75°

⑶6,12,21,24,30

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得答案；

(2)根據(jù)=分別表示出N54K、ZBEC、NBAK、ZKAG.ZAME^ZAHE,

再由AG_L8E,可得ZBEF的度數(shù)；

(3)結(jié)合(2),分以下幾種情況求解:①當(dāng)NG時(shí)，延長在交GN邊于P,②當(dāng)K”EG

時(shí)，③當(dāng)KHEN時(shí)，即EK與EG在同一直線上時(shí)，④當(dāng)KENG時(shí)，⑤當(dāng)"ENG時(shí).

【解析】⑴ABCD,

???ZKEH=ZAFH,

ZAHE是的外角，

???ZAHE=ZAFH+ZFAH,

ZAHE=NFAH+NKEH,

故答案為：ZAHE=ZFAH+ZKEH；

(2)ABCD,

NBAK=NMKE,ZABE=NBEC,

NBEF=>4BAK,

2

ZBAK=2ZBEF,

ZBEC=2/BEF,

：,/BAK=/BEC,

???ZBAK=ZABE,

AK平分ZB4G,

.?./BAK=ZGAK=/ABE,

AG工BE,

ZAGB=90°9

:.3ZBAK=90°f

/BAK=ZABE=ZGAK=30°,

??.ZBEF=-ZABE=\50,

2

??.ZCEF=45°,

/.ZCEF=ZAFE=45°,

??.ZAHE=ZAFE+ZBAK=75°；

(3)①當(dāng)KHNG時(shí)，延長K石交GN邊于尸，如圖,

NEKH=NEPG=30。,

??.ZPEG=90°-ZEPG=60°,

AGEN=90°-ZENG=30°,

??./PEN=ZPEG-ZGEN=30°,

/./CEK=/PEN=30。,

當(dāng)△口/E繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30。時(shí)，EKGN,

30°

t=-^-=6(秒)

②當(dāng)K”EG時(shí)，如圖，

ZEKH=ZKEG=30°fANEK=ANEG+ZKEG=60°,

??,NN￡K=60。，

ZCEK=\20°9

當(dāng)AAHE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)120。時(shí),HKEG,

.：=孽120°-=24（秒），

③當(dāng)K”EN時(shí)，即EK與EG在同一直線上時(shí),

NCEK=150。當(dāng)繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)150。時(shí)，KHEN,

.,1=1母50°=30（秒），

④當(dāng)KENG時(shí)，

；NGEK=30°,/.Z.CEK=90°-ZGEK=60°,

當(dāng)△AHE旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，KENG,

.r=攀=12（秒）

⑤當(dāng)NG時(shí)，

NGEK=30。，NKEH=45°,

ZCEK=Z.CEH+Z.HEK=90°-Z.GEK+NHEK=105°,

???當(dāng)△咫iE旋轉(zhuǎn)105。時(shí)，HENG,

r=f=21（秒），

綜上所述，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c△&VG的某一邊平行時(shí)t的值為6,12,21,24,30.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，一元一次方程在幾

何問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并分類討論是解題的關(guān)鍵.

9.（1）ZEMF=90°

（2）說明見解析

(3)ZMNQ+ZHFQ=^

【分析】(D由平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可得/r?EF+NGEE=180。，

NDEM=；NDEF；NGFM=；NGFE,BPZDEM+ZGFM=(ZDEF+ZGFE)=90°,過

點(diǎn)M作直線/。交AB于點(diǎn)H,可得NHME=NDEM,ZHMF=NGFM,進(jìn)而可得

ZEMF=NHME+ZHMF=ADEM+ZGFM=90°.

(2)過點(diǎn)C作直線/a,由平行線的性質(zhì)可得NFGC+N4=180o,NEOC+N5=I80。，由題

意得N4+N5=90。，可得NFGC+NAGC=270。，由角平分線的定義可得

Z6+Z7=-(ZFGC+ZFGC)=135°,由a匕得N6=Z3=N2,由對(duì)頂角相等可得N7=4,

2

可得Nl+N2=135°；

(3)由題意可知N〃EF=NDE4=￡,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可得

ZHFf=180°-/7,NEFN=4MFN=；4MFE=x,ZHFQ=ZMFQ=|AHFM=y,,進(jìn)而

180°-/

可得x+y=,由。b,NQ工NFNHFN+NMNF=180°,NQNF=90°,即

2

NMNQ+NQNF+NMFN+NMFQ+NHFQ=180。,njffZMNQ=900-x-2y,進(jìn)而可求

ZMNQ+ZHFQ.

【解析】⑴b,

二ADEF+ZGFE=\80°.

'：EM、分別平分4DEF和/GFE,

ZDEM=-ZDEF；NGFM=-ZGFE,

22

:.ZDEM+Z.GFM=-(ZD￡F+NGFE)=90°,

過點(diǎn)M作直線/。交A8于點(diǎn)”，，

,：ab,

：.l//b,

二ZHME=ADEM,AHMF=NGFM,

ZEMF=ZHME+ZHMF=ZDEM+NGFM=90°.

ab,

：.I//b,

：.ZFGC+Z4=180°,NEDC+Z5=180°.

又；N4+Z5=90°

/.ZFGC+ZFGC=270°

又：GQ、分別平分ZFGC和NEDC,

：.Z6+Z7=-(ZFGC+ZFGC)=135°

ab,

.?.Z6=Z3=Z2

XVZ7=Z1

JZl+Z2=135°.

(3)ZMNQ+ZHFQ=^-.

理由如下：由題意可知NMEF=N￡>E4=4，

":ah,

ZAffiF+ZHBE=180°,即NHFE=180。-Q,

VFN平分ZMFE,尸。平分ZHFM,

/.ZEFN=NMFN=|NMFE=x,ZHFQ=ZMFQ=gZHFM=y,

N”FE=180O-￡=2(N￡7W+NMFQ)=2(x+y),EPx+y=180°-^,

?：ab,NQ1NF

ZHFN+4MNF=180°,2QNF=90°,

則NMNQ+NQNF+NMFN+Z.MFQ+NHFQ=180°,

ZMNQ=90°-x-y-y=90°-x-2y,

：.ZMNQ+ZHFQ=900-x-2y+y=90°-x-y=90o-180°-^=.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，理解平行線的性質(zhì)，利用其性質(zhì)轉(zhuǎn)換角

度之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

10.(1)見解析

(2)見解析

⑶50°

【分析】(1)利用再利用等量代換，即可解決；

(2)過K作用〃因?yàn)?8CD,所以RK〃AB〃CD,則ZMPG=ZMKR,NNQH=NRKN,

代入即可解決.

(3)過M作MT//AB，過K作KR//AB,可以得到MT//AB//CD//KR,設(shè)NDHG=17x,NMPG=lx,

利用平行線的性質(zhì)，用X表示出角，即可解決.

【解析】（1）JCHG=/DHF,ZAGH+ZDHF=180°,

，ZAGH+NCHG=1&）。,

/.AB//CD,

（2）過K作m〃AB,如圖，

AB//CD,

RK//AB//CD,

:.ZMPG=ZMKRfZ.NQH=ZRKN,

/MPG+/NQH=琳，

:.ZMKR+ZNKR=90°

.\ZM7GV=9O°

:.MKLNK

(3)如圖，過M作MT〃/IB,過K作依〃AB,

AB//CD,

.\MT//AB//CD//KRf

KH平分"KN

:.ZMKH=ZNKH=45°

17

/DHG=—/MPG

7

可設(shè)ZDHG=11x,4MPG=lx,

■:HE平64KHD

..ZKHM=ZDHG=17x

:.AKHD=Mx

/.NK//Q=180?！?4x

CD//KR

4RKH=4KHQ=180°-34x

MT//AB//KR

ZTMP=ZMKR=ZMPG=lx,NTMH=ZMHD=17x

ZMKH=45°

ZRKH+AMKR=180°-34x+lx=45°

;.x=5°

AKMN=ZTMH-NTMK

.-.ZAMV=17X-7X=10A-=50°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)作平行線，利用平行線

的性質(zhì)進(jìn)行導(dǎo)角.

11.(1)60°

(2)ZAEC=ZA+ZC,理由見解析

(3)(i)20；(ii)28；(iii)90°+1a

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZA=4E￡NC=ZFEC,進(jìn)而根據(jù)

ZAEC=ZAEF+ZCEF,即可求解；

(2)過點(diǎn)E作EF〃⑷3,根據(jù)(1)的方法即可求解；

(3)(i)由(2)可得NAEC=NA+NC=88。，NC=28°,得出NA=60。，根據(jù)

ZMND=18O0-ZBMN,即可求解；

(ii)由“豬蹄模型”，可得NEnNAWE+NCVEnllG。，ZF=ZBMF+ZDNF,根據(jù)角

平分線的性質(zhì)得出NAMEJAAMF/CNEJNCNF,繼而根據(jù)

22

NF="MF+4DNF=12N,即可求解；

(iii)如圖所示，延長GE交A8于點(diǎn)”，設(shè)4ENG=B,ZHME-0,根據(jù)平行線的性質(zhì)

1on_nn

得出==——=90°--,a=0+2/3,ZEGN=Z.GNC+ZAHE

22

=ZGNC+ZAMF,即可得出結(jié)論.

【解析】(1)解：如圖1,

圖①

,?AB//CD//EF

：.ZA=ZAEF,ZC=ZFEC

：/4=26。，ZC=34°,

ZAEC=ZAEF+NCEF=ZA+ZB=26O+34°=60°

，ZA￡C=60°

故答案為：60.

(2)ZAEC=ZA+ZC,

如圖所示，過點(diǎn)E作小〃AB,

圖②

EF//AB,

???ZA=ZAEF,

EF//AB,AB//CD,

???EF//CDf

ZFEC=ZC,

/.ZAEC=ZAEF+ZFEC=ZA+NC；

(3)解：(i)由(2)可得NAEC=NA+NC=88。，ZC=28°,

.??ZA=60°,

??,MN//AE,

；?/BMN=ZA=60。,

?.?AB//CD,

：.ZMND=180°-NBMN=180°-60°=l20°,

故答案為：120.

圖③

(ii)解：如圖所示，：AB//CD

由“豬蹄模型”，可得ZE=ZAME+NCNE=116。,ZF=ZBMF+ZDNF；

???ME、NE分別平分Z4MF和NCN/

???ZAME=-ZAMF,ACNE=-/CNF

22

???ZAMF+ZCNF=116°x2=232°

???ZMBF+ZDNF=360°-232°=128。，

???NF=ZBMF+ZDNF=128°,

故答案為：128.

(iii)解：如圖所示，延長GE交AB于點(diǎn)”,

AHMB

圖⑤

設(shè).匕ENG=B，AHME-6

'：MF、NG分別平分NBME和NCNE,

iin

???NBMF二萬NBME=3(180。-6)=90。一萬,/CNE=2NENG=20,

■:HG//MF

：.NMHE=/BMF=⑻一"=90°--,

22

■:AB//CD

：.AMEN=ZAME+/CNE,

/.a=e+20

：.ZEGN=AGNC+ZAHE

=/GNC+ZAMF

n

=￡+夕+90。-5

n

=#+90。+萬

=90°+-.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定求角度，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.W?ZBAE-ZCAD=45°(或=NC4￡>+45°),理由見解析；②105。

⑵5或15或35或45或50

【分析】(1)①由角的和差關(guān)系可得乙a4E+NC4￡=90。，ZCAD+ZCAE=45°,再把兩

4

式相減即可得到結(jié)論；②先求解NE4E=45。-ND4E=45。-ENCA。，-

444

NEAG=NBAE+NBAG=-NBAE,結(jié)合ZFAG=/FAF.+/F.AG,=45°一一ZCAD+-ZBAE

333

4-

=45°+-(ZBAE-ZCAD),從而可得答案；

(2)分5種情況討論：如圖，當(dāng)AD〃BC時(shí)，如圖，當(dāng)￡>E〃A8時(shí)，如圖，當(dāng)。E〃BC時(shí)，

如圖，當(dāng)￡>E〃AC時(shí)，如圖，當(dāng)4E〃BC時(shí)，再結(jié)合平行線的性質(zhì)可得答案.

【解析】(1)解：@ZBAE-ZCAD=45°(或NBAE=NC4￡)+45。)；

理由如下：ZS4E+ZC4￡=90°,

ZC4D+ZC4E=45°,

兩式相減得：ZBAE-^CAD=45°,

②VZCAF=^ZCAD,

4

，ZFAE=45。一ZDAF=45°——ZCAD,

3

?.,ZBAG=-ZE4G,

4

：.ZBAG=-ZBAE

3f

4

???ZEAG=/BAE+/BAG=-/BAE,

3

???ZFAG=ZFAE+ZEAG,

44

=45°——ZCAD+-NBAE

33

4

=45°+-(NBAE-NCAO)

4

=45°+-x45°=105°；

3

AZZMC=ZACB=30°,