2023年高考數(shù)學母題題源解密（新高考卷）：立體幾何綜合（解析版）

專題08立體幾何綜合

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】已知正方體hftl—h/i力L，則（）

A.直線％與砧,所成的角為90°

B.直線將與ih/所成的角為90°

C.直線方與平面所成的角為45°

D.直線芯與平面hill所成的角為45°

【答案】hn

【分析】

本題主要考查直線與直線所成角及直線與平面所成角，屬「中檔題.

【解答】

解：如圖，因為li；11/T,I/Wih；,所以IT,J.Ih；,故A正確;

對于選項B:因為直線11；1平面Tih/I,,且由U平面市1/L,所以直線11/_L訪/,故8正確;

對于選項c：連接h/i,與LL交于點Lz則ZL,11,即為直線11/與平面njj所成的角,

sinNJ的=者=:,所以4而=30。，故C錯誤;

11/2

對于選項D:直線11/與平面hliT所成的角即為Zi/IT=45°,所以D正確.

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】如圖，直三棱柱hii-h/用的體積為4,△為n的面積為2立

⑺求h到平面h/ii的距離；

2）設(shè)i為h/i的中點，hh/=hi,平面h/iiJ?平面hll/h/,求二面角h-IT-i的正弦值.

【答案】解：（〃設(shè)h到平面％音的距離為t,

因為直三棱柱hii—h/i./的體積為4,即可得13m訃由%=4,

故M-hli=（5hi油%=：，

6=Dt

又%-hIi=h-h/Ii}Ah/If=jx2^2xt=J,

解得t=<2,所以h到平面瓦齊的距離為防；

⑵連接hi/,因為直三棱柱hii-h/i力中，hhz=hl,

故hh/i/i為正方形，即hl/1h/i,

又平面h/ii_L平面hii/h/,平面h/iiC平面hTI/%=h/i,hi/U平面h%h/,

故hi,J■平面h/i,所以hi/1ii,

又因為hh/_LR,hi/,h%U平面hll/h/,且hi/Chi/=h,

故行1平面h%%,則iiihi,

所以％,hi,ii三條直線兩兩垂直，

故如圖可以以i為原點建立空間直角坐標系，

設(shè)hh,=hl=S,IT=s,則h/1=V2S,

-SxsxS=4解得「

由條件可得%叵—五

s

^1(0,0,0),i(2,0,0),h(0,2,0),hi(0,2,2),的中點％,/,〃,

所以*=(0,2,0)，n=(1,1,1)<11=(2,0,0)

設(shè)平面hi!的一個法向量為6/=（\w,說）,

TT

jW；?Ih=0;2W=0

?取6,=(1,0,-1)>

w；-IT=0?+W+w=01

同理可求得平面III的一個法向量為和=自/,_〃

所以|cos<W/?%>|=也婆

|w/|-|w2|

所以二面角h-II-i的正弦值為?

【母題來源】2022年新高考n卷

【母題題文】如圖，四邊形h苗為正方形，IIJ_平面hiiLii^I,hl=Tl=2ii,

記三棱錐1一疝，T-hii,i-hii的體積分別為"o2,①，貝卯）

A.dj=26j

AR

B.63=26；

C.63=6；+6,

D.2o}=36]

【答案】11

【解析】

【分

本題主要考壹三棱銖的體積，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：設(shè)hi=Ti=2ii=2,則6/=gx2x2=g,62=(x2x/=：.連結(jié)音交hi于

k,連結(jié)出、ik，則k=仃，Tk=Vd,fi=3,故上時=j8?此=#-

3=xhi=2,63=0/+o2,2dJ=36/.

【母題來源】2022年新高考II卷

【母題題文】如圖，上是三棱錐|—hii的高，m=H，hi1hi,T是口的中點.

，〃證明：q〃平面阿,

⑵若ZhiL=Zliv=30。，IL=3,]h=5,求二面角i一比一[正弦值.

【答案】解：〃)法一：連接5、U，

因為IL是三棱錐I一hii的高，所以IL〉平面hR，所以上，5，!L_LU，

所以N|Lh=N[U=90°，X[h=|1,|L=|L,所以△ILhw/uU，所以Lh=U，

作hi中點i,連接“、Ti1則有U，hi,又hi_Lhi,所以口加立

又因為UC平面面，hiU平面時，所以U/7平面同，

又I、T分別為窗，口的中點,所以，在△ilh中,必h

又因為DE笈平面加，|hu平面加,所以拉么平面M

又U、TTU平面UT,nIT=I,所以平面Uw平面面，

又Uu平面UT，所以J〃平面而；

法二：（〃連接5、U，

因為IL是三棱錐1-hii的高，所以IL平面hh,所以!L1Lh,IL1LI,

所以N|：h=/|U=90°，又|卜=口，|L=]L，所以△]5>三△]；1,

所以5=U，又hi1埴，在n定△hitL為ii中點，

延長iL，交hi于i,連接!i,

所以在△山中,JT分別為n、「的中點，所以皿小，

因為TLC平面|hi,|iu平面同，所以TL〃平面時；

⑵法一:過點i作Ti//u，以H為?軸，兀為W軸，n為?軸.

建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為|L=3,|h=5,由〃)Lh=U=4，

又NhiL=NTlL=30°,所以u=2,U=2y13,

所以丫0,2,3),l(2<3,0.0),h(-2<3,0,0),“萬/,，

設(shè)hi=S,則彳-2乃S,0,

平面比］的法向量設(shè)為京=(.,<憶,wj.直線hi的方向向量可設(shè)為3=poo),

直線口U平面hit直線T|的方向向量炭=（0,2,3）

所以武…

所以1=0,設(shè)W/=3,則W/=—2,所以的,=（0,3,—2力

平面hi1的法向量設(shè)為?2=G，hi=(0,g,0)，hT=(3<j,

hl,w->=0SW?=0

1?所以3、c，所以W,=0,設(shè)-2=爐，貝心Q=-6,

hi.w,=03y13-2+W2+-w2=0-

所潴=NJ,0,-6);

w；?W2_

所以COS<W/-12_12_473

而力商i-g刷-77S一IT

二面角i-hl-i的平面角為s則sin*=山-cos2「=*

所以二面角i一hi-1的正弦值為先

法二：G過點h作hi/ZU，以hl為軸，hi為W軸,hi為的軸

建立所示的空間直角坐標系.

因為IL=3,m=5,由〃兒h=U=4，

又Nh%=NllL=30°,所以，hi=4<3,所以］(2丑2,3),\(4<3,0,0),

h(0,0.0),T(3丘/，)，設(shè)擠=8,則彳0,8,少，

平面面的法向量設(shè)為。=",wy,w”，hl=(4^3,(),())>hi=(3爐,1,力

hl,Wi—04^3'i0

C?所以｛，:、“3、〃，所以-/=0設(shè)M=—2,則W/=3

比.牝=03V5-/+W/+-W；

所以正/=(0,3,—2);

平面hi1的法向量設(shè)為京2=(?,w,w；?hi=(0,S,0)，hi=(3。,1,

,?％=。所以12="

福.「一o'3港F+1+汾2=。

所以W2=0,設(shè))=爐,則跖=一6,所以=(g,0,—6);

所以COSVW/，W2>_嬴焉國—石忑一萬

二面角1一hT—1的平面角為占，則sin。=V；-cos2^=夕

所以二面角i一hi—1的正弦值為今

【命題意圖】

考察棱柱、棱錐棱臺、圓柱、圓錐、圓臺及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能畫出簡單空間圖形并能識別立體

圖形的模型，考察幾何體中的點線面關(guān)系，考察線線、線面、面面之間的平行和垂直關(guān)系，考察異面

直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角的平面角等的求解，考察數(shù)形結(jié)合思想，空間想象力及

邏輯推導能力.

【命題方向】

立體幾何綜合考察，考察用立體幾何的知識證明線線、線面、面面的平行與垂直.考察體積和表面積的求

解運算能力，考察空間向量的坐標運算。能熟練運用空間向量的坐標運算和向量運算，把空間立體幾何問

題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.能運用平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，進行證明和求解計算.

【得分要點】

一、向量角度:

=(x,y,z)cos^a,^=一XiXz+y^+zv

a=(X],ypz”222

JxJ+yJ+zrJ^+w+z：

二、角度公式:

(1)、異面直線夾角(平移角，也是銳角和直角方(0曰)

cos"Icos(；,b)\=:1x-+y/+z,z|

(2)、直線與平面所成的角(射影角，也是夾角，八[0個)m,〃是平面法向量

sin8=|cos6磯=Jx'+yj+zR

"xj+yj+zj

(3)、二面角(法向量的方向角，夕e[0."])裾平面法向量

|cose|=|cos(而|=,電+”+^I

判斷正負方法(經(jīng)驗型結(jié)論):

(D觀察法;

(2)同進同出互補，一進一出相等;

三、向量計算點到距離公式(棱錐等的高)

d=\PA\sin0=\PA\?\cos<PA,n)|=恒出+%8+平2!

一■、多選題

1.（2022?福建?莆田八中高三開學考試）如圖，四棱錐中，底面"8是正方形，“1平面/8（725/=/8,

。P分別是4cse的中點，又是棱必上的動點，則下列選項正確的是（）

A.OM1PA

B.存在點M使。M//平面S8C

C.存在點“，使直線OM與所成的角為30。

D.點用到平面與平面S45的距離和為定值

【答案】ABD

【分析】

以A為坐標原點，/民/。,45所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法判斷ACD,根

據(jù)線面平行的判定定理判斷B

【詳解】

以A為坐標原點，48,/。,45所在直線分別為乂乃2軸，建立空間直角坐標系（如圖），

設(shè)S/=/8=2,

則4（0,0,0）,C（2,2,0）,8（2,0,0）,￡）（0,2,0）,5（0,0,2）,0（1,1,0）,P（l,1,1）,

由“是棱加上的動點,設(shè)M（（M,2-/1）,（O“S2）,

:.APC）M=-1+A-1+2-A=0.

AP10M,故A正確；

當/為SZ）的中點時，OM是的中位線,

所以O(shè)M“SB,

又OA/U平面S8C,S8u平面SBC,

所以QW//平面SBC,故B正確；

在=（2,0,0）,麗=（T"-l,2-/I）,

若存在點M,使直線OM與AB所成的角為30。,

|ZB-OA7|],V3

則cos30°=

|麗?|OM\JI+HT+(2_"'2

化簡得3萬-9義+7=0,方程無解，故C錯誤;

點M到平面/8CC的距離4=2—九

麗.畫

點M與平面S/18的距離出

所以點M到平面"CD與平面S48的距離和為4+出=2-2+%=2,是定值，故D正確;

故選：ABD

2.（2022?山東臨沂?模擬預(yù)測）如圖，在五棱錐P-48CDE中，尸/i平面力8CDE,

AB//CD,ACIIED,AE!IBC,ZABC=4S,AB=2?,BC=2AE=4,△P/8是等腰三角形.則()

A,平面PCD1平面R4c

B.直線P8與平面PC￡＞所成的角為的大小為60。

C.四棱錐P-/COE的體積為變

3

D.四邊形ZC0E的面積為3

【答案】AD

【分析】

在“8C中，利用勾股定理證得力81AC,又由PA1ABCDE，證得P41AB,進而證得N81平面PZC,

得到CD1平面刃C,可判定A正確；過點A作加/1PC于點//,證得平面PCD,結(jié)合/8〃平面

PCD,得到3到平面PCD的距離/i=2,結(jié)合線面角的定義法，可判定B不正確；由CD1平面P4C,得

到CDLAC,得出四邊形ACDE為直角梯形，結(jié)合梯形的面積公式和錐體的體積公式，可判定C不正確，

D正確.

【詳解】

因為NABC=45\AB=2&,BC=4,

由余弦定理可得數(shù)=Q回2+4?_2.20x4cos45°=8,所以4C=2旬,

AB2+AC2=BC2,所以181NC,

又由P/1平面48cQE,AB\平面48CDE,所以尸/1X8,

因為所以N81平面P/C,

又因為ABUCD,所以CD,平面HC,

因為CDu平面PCD,所以平面PCD1平面PZC,所以A正確;

過點A作/41PC于點H,

因為平面尸CD1平面P/C,且平面PCDC平面P/C=PC,所以/“1平面PCD,

又因為/8//CD,48cz平面PCO,所以/8//平面PCD,

所以點A到平面PC。的距離等于點B到平面PCD的距離，

在宜用中，可得///=2,即8到平面PCO的距離〃=2,

h21

設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為氏可得sin6=￡=J=；,

PB42

乂由（r<8s9（r所以8=30°,所以B不正確；

由CD1平面HC,可得C01ZC,

因為ZC//OE,所以四邊形ZC0E為直角梯形，其面積為S=g（&+2&）x0=3,

所以四棱錐尸-4CDE的體積為夕=；x3x2忘=2近，所以C不正確，D正確.

3.（2022?湖北嚷陽五中模擬預(yù)測）正方體“8CQ-48C4的棱長為1,瓦尸,G分別為叫的中點,

動點，在線段4a上，則下列結(jié)論中正確的是（）

A,直線4F與直線EQ異面B.平面/所截正方體所得的截面面積為J

o

C.存在點//,使得平面4即//平面8BGD.三棱錐力-EC”的體積為定值

【答案】BD

【分析】

依題意作直觀圖，分析圖中的幾何關(guān)系即可.

【詳解】

依題意作上圖，連接,則有，即EF與42共面，構(gòu)成平面4EF2；

對于A,連接A尸,A,E,F,D,都在平面內(nèi)，..直線"與。￡共面，

故A錯誤；

對于B,平面4E/截正方體的截面就是4￡尸9,以。為原點建立空間坐標系如上圖，

則N（I,O,O）,E（；,I,O）,F（O,I,；）A（O,O,I）,酢=（一11，3席=（；，1，-1）.

AF-DtE=O,即，由空間兩點距離公式得==W,

19

四邊形NEF.的面積=gxzl尸=3,故B正確；

28

對于C,若H=4且HxCi,則4/n平面4844=4，且〃U平面工8修4，

即平面4即與平面488/有交點，平面4844〃平面。CGA,

并且Eu平面。CGA,故平面4E”與平面。CG2相交；

若，=4,則Ee平面4平面4EH與平面力8耳4相交，

平面平面。C0R,并且平面。CGA,

故平面AEH與平面相交;

若〃=G,同理可證得平面NE//與平面。eqA相交，

故不存在，點使得平面4E”與平面OCCQ平行，C錯誤；

對于D,由直線4G〃底面4BCD,

所以H點到底面ABCD的距離就是正方體的棱長1,

也是底面為△/EC的三棱柱/-CEH的高，4/EC的面積是定值，

故D正確；

故選：BD.

4.（2022?湖南?長沙市明德中學二模）如圖，/8CO是底面直徑為2高為1的圓柱。?的軸截面，四邊形。。。/

繞。。逆時針旋轉(zhuǎn)6（0*6W"）到。。QM,則（）

A,圓柱。。的側(cè)面積為4“

B.當0<6<“時，DD,1A}C

C.當8=f時，異面直線4。與OQ所成的角為1

34

D.A/。。面積的最大值為6

【答案】BC

【分析】

對rA,由圓柱的側(cè)面積公式可得;

對于B,由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得；

對于C,由題知，AOOQI為正三角形，根據(jù)異面直線所成的角的定義計算得解；

對于D,作RE1DC,由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得力E1DC：在Rt4RE中,

2

AXE=J”；+ED；=Jl+D\E<Jl+DQ：=&,代三角形面積公式得解.

【詳解】

對于A,圓柱OQ的側(cè)面積為2"xlxl=2〃，A錯誤；

對于B,因為0<6<“，所以。RIRC,又?！?/Q,

所以。平面/QC,所以。。14C,B正確；

對于c,因為4。"/。。，所以NO4A就是異面直線4。與。。1

所成的角，因為NDOQi=g,所以AOG。為正三角形，

所以。2=42=1,因為4A1。2，所以/D4a=(,C正確；

對于D,作垂足為E,連接4E，所以DCi平面所以4E1CC.

在RSARE中，&E=J/Q；+ED；=Jl+RE?<Jl+RO；=y/2,

S.A、CD=；XDCXA\EW；X2X?=五,所以（邑4co）皿=&，D錯誤.

故選：BC.

5.（2021?河北?滄縣中學高三階段練習）如圖所示，在四棱錐中S-/BCD中，為正方形，

SC=SD=CD=1,E為線段SZ）的中點，F(xiàn)為4c與BD的交點、,AD1SD,則下列結(jié)論正確的是（）

A.BC1平面SCDB.EFP平面S/8

C.平面SC。1平面力8。D.線段8E長度等于線段防長度

【答案】ABC

【分析】

由BC1CD,8C1SD,可判斷選項A,由面面垂直的判定定理進而可判斷選項C,由線面平行的判定定理可判

斷選項B,由線面垂直的性質(zhì)定理加上勾股定理可判斷選項D.

【詳解】

因為4BCD是正方形，所以8clCO.又因NO1SD所以8ClS￡>,8u平面SCD,SDu平面SCO.

CDCSD=D,所以8cl平面SC3,因此A正確；

而8Cu平面/BCD,所以平面SC。i平面NBC。，因此C正確；

因為尸是8。的中點，而E為線段S。的中點，所以￡尸〃監(jiān)58u平面MB,EFu平面”8,所以瓦V/平

面”8,因此B正確；

對于D,因為ACDS是邊長為1的正三角形，/8CD是正方形，所以。S=l,乂由8cl平面SCO,

有8CLSC,所以3S=0.在ABDS中，BS=BD=yfi,￡>5=1,又5￡、SF分別是等腰三角形ABOS的

底邊。S和腰8。上的中線，所以線段BE與S廠的長度不相等（否則，A8OS是正三角形），因此D不正確；

故選：ABC.

s

6.（2022?廣東深圳?高三階段練習）已知正方體N8C￡>-44GA的棱長為1,E為棱4力上的動點，平面。

過點E且與平面平行，則（）

A.B、E1CD1

B.三棱錐E-qGA的體積為定值

C.與平面4OG所成的角可以是g

D.平面a與底面/8C。和側(cè)面的交線長之和為2近

【答案】AB

【分析】

由CRIG。、4Glen可證得CR1平面陰CQ,由線面垂直的性質(zhì)可證得A正確；由線面平行的判定

可知ADH平面BGR,知點E到平面片GA的距離為1,由棱錐體積公式可知B正確；以。為坐標原點可

建立空間直角坐標系，假設(shè)線面角為利用線面角的向量求法可構(gòu)造方程，由方程無解知C錯誤；將底

面，BCD和側(cè)面CDD￡展開到同一平面，可得交線的軌跡，由平行關(guān)系可知EG=/C=VL知D錯誤.

【詳解】

對「A,二?四邊形為正方形，CR，CQ；

,/^C,1平面CDDG,CRu平面CDD￡,：.B￡tCDt.

又ICQ=G,B￡,CQu平面AB}CtD,CD,1平面AB^D；

78￡<=平面/86。，，8￡1。。，A正確；

對于B,..7D//42〃用G,ADu平面B￡Di,B￡u平面AG2，二平面BCR,

乂EwAD,:?點、E到平面B￡R的距離即為1%=1,

，E-B￡D、=§5陰CQJ“4=不于k氏1=j，B正確；

對于c,以。為坐標原點，方，比，函正方向為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則4(1,0,1),￡)(0,0,0),C,(0,1,1),￡>.(0,0,1),

則西=(1,0,1),西=(0,1,1),

設(shè)平面4〃G的法向量"=(x,y,z),

則(黑令X=L解得：y=i，z=-i,

[￡>C[n=y+z=0

設(shè)E（人,0⑼（0一力），則萬國=（兒0,-1）,

I--|_|^-?|_4+1

?.cos<DE,n>=?---=/.；

1]

|時|〃|，3一+3

R+11

若RE與平面4〃G所成的角為1?，則COS<。]邑〃

行7r5,方程無解,

.?.。也與平面所成的角不能為C錯誤;

對于D,設(shè)平面a與底面/BCD和側(cè)面CMC的交線分別為EF,FG,則跖〃/C,FGHC.D,

將底面ABCD和側(cè)面COD?沿CD展開至恫一平面，則瓦￡G三點共線且EGHAC,

EG=AC=y/2,D錯誤.

故選：AB.

7.（2022?遼寧鞍山?二模）如圖，點P是棱長為2的正方體Z8CA-4為。。|的表面上一個動點，則（）

A.當P在平面8CC圈上運動時，四棱錐P-A4QQ的體積不變

B.當P在線段/c上運動時，RP與4G所成角的取值范圍是[g,|-]

C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45。的點P的軌跡長度為〃+40

D.若尸是4片的中點，當尸在底面48CD上運動，且滿足P/W平面4c〃時，。尸長度的最小值是否

【答案】ABC

【分析】

A選項，考慮底面積和高均未變，所以體積不變；B選項，找到異面直線所成角即可判斷；

C選項，找到尸的軌跡，計算即可；D選項，找到P的軌跡，計算即可.

【詳解】

A選項，底面正方形4QQ的面積不變，P到平面的距離為正方體棱長，故四棱錐的體

積不變，A選項正確；

B選項，Of與4cl所成角即與/C所成角，當尸在端點4,C時，所成角最小，為（，當尸在ZC中

點時，所成角最大，為女,故B選項正確；

C選項，由于尸在正方體表面，尸的軌跡為對角線48/,ADt,以及以4為圓心2為半徑的!圓弧如圖，

故P的軌跡長度為汗+4后，C正確;

D選項，F(xiàn)P所在的平面為如圖所示正六邊形，故尸尸的最小值為灰，D選項錯誤.

故選：ABC.

8.（2022?海南海口?模擬預(yù)測）如圖,在長方體44GA中,AAt=2AB=2AD,E,尸分別是棱GA,

CG的中點，則（）

A.尸是等邊三角形B.直線么也與8尸是異面直線

C.4尸1平面BDED,三棱錐4-/就》與三棱錐4-FD8的體積相等

【答案】AC

【分析】

A選項可根據(jù)幾何關(guān)系求三角形的各個邊長進行判斷；B選項證點4,E,B,尸四點共面得出矛盾；C選

項證4戶1。尸，吊尸1B尸線線垂直，可得線面垂直；D選項點Z與點尸到平面4QB的距離不相等，即是

高不相等，體積也不會相等.

【詳解】

對于A,設(shè)48=1,則8/=￡>F=&,故△5。尸是等邊三角形，A正確;

對于B,連接E尸、&C,如圖所示：

易知EF,故點4，E,B,尸共面，B錯誤；

對于C,設(shè)48=1,則4。=石，DF=42,AF=6所以4。2=。尸2+//2

所以4/1DF,

同理可知4尸，8尸，又因為DFcBF=F,所以4尸1平面8?！旯蔆正確；

對于D,三棱錐4-ABD與三棱錐4-FDB有公共的面AQB,

若要它們的體積相等，則點4與點戶到平面4"的距離相等，這顯然不成立，故D錯誤.

故選：AC.

二、解答題

9.（2020?重慶?高三階段練習）如圖，在四棱錐P-/8C。中，PCJ_底面力8C。，/8C。是直角梯形，ADLDC,

ABIIDC,AB=2AD=2CD=2,點E是P8的中點.

(1)證明：平面E/C_L平面尸8C；

(2)若直線PB與平面PAC所成角的正弦值為縣；

3

①求三棱錐P-/CE的體積；

②求二面角P-AC-E的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)①;;4

【分析】

(1)由線面垂直性質(zhì)得PCJ.4C,已知條件可得4c=8C=7L即4c2+8C?=4)有FC1BC,根據(jù)線

面垂直的判定及性質(zhì)即可證平面E/C1平面P8C.

1

=-VTZ即可

(2)①由(I)知N8PC即為直線總與平面P/C所成角，即可求PC,又/_ACEp

2廠一

求三棱錐P-/CE的體積.

②取48的中點G連接CG,構(gòu)建以詬、CD,而為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標系，根據(jù)已知線

段長度確定C,P,A,B,E,分別求面H4C、面ZCE的一個法向量，即可求二面角P-/C-E的余弦

值.

(1)

證明：.PC1平面/8CZ),/Cu平面Z8CZ),

PC].AC.

■：AB=2,有49=8=1,1OC且/8C￡)是直角梯形，

:.AC=BC=@AC2+BCZ=AB2,

ACIBC.

:PCcBC=C,PCu平面P5C,8Cu平面P8C,

AC1平面PBC.

-：4Cu平面E4C,

,平面EZC±平面P8C

⑵

①由⑴易知BC1平面R4C,

..ABPC即為立線PB與平面PAC所成角.

c上空在

PBPB3

PB=y[6,則PC=2

?，?VP-ACE=g限仙=g（；（；x1X2）X2）=；.

②取的中點G,連接CG,以點C為坐標原點，分別以且、CD,而為x軸、j軸、z軸正方向，建立如

圖所示的空間直角坐標系,

則C（0,0,0）,P（0,0,2）,/（1,1,0）,5（1,-1,0）,嗚,一；,1

____UU-------（\

.?,。=（1,1,0）,?=（0,0,2）,C￡=l--11

，25

設(shè)藍=(x”M，zJ為平面2/C的法向量，則而=芭+乂=0,而?麗=24=0,得馬=0,取芭=1,必=一1

得加=。,一1,0)

設(shè)〃=(》2,歹2*2)平面4CE的法向量，則〃?。=工2+歹2=°，“?CE=:x2-；%+Z2=0,取工2=1，%=

Z2=-1,得〃=(1,一1，一1).

IX1+(-1)x(-1)+0X(-1)

cos<m,n>=

所求二面角為銳角，二面角尸-ZC-E的余弦值為逅.

3

10.（2022?重慶南開中學模擬預(yù)測）在三棱柱力8C-44G中，AB18C,平面/CC/1平面=&C,

E,尸分別為線段ZC4⑸的中點.

⑴求證：EFLBC；

⑵若AB=BC=e，直線與平面GE尸所成角的正弦值為!，且4/C>30。，求三棱錐6-4￡尸的體

6

積.

【答案】（1）證明見解析

⑵變

6

【分析】

（1）先證線線垂直，再證明線面垂直，從而可得線線垂直；

（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)題中的條件得4￡=后.再將問題轉(zhuǎn)化為求心.口於即可.

（1）

AA,=A,C,E為4C的中點，

又平面ACCXAX1平面ABC,平面/eg4n平面ABC=AC,

4EL平面/8C,且8Cu平面/8C,A}E1BC,

:ABLBC,AB〃AR、:.BCI%B1,

又A}B}n4E=4,.18CJ.平面AtEB},

又EFu平面4Eq,EFLBC.

⑵

如圖，以4為坐標原點，分別以福，語為x,z軸正方向，M14cl所外建立空間直角坐標系，設(shè)4E=a,

則4（0,0,0）,J（-l,0,a）,C,（2,0,0）,E（0,0,q）,F（；,g,0）,

號=（-l,O,a）幣=（-|,；,0）印=卜2,0,a）.

設(shè)平面C￡尸的法向量。=（x,y,z）,

-_n-2x+az=0

則:土,=即是31n.解得萬=(a,3a,2),

n-C,F=0——x+—y=0

122

A{A-n\\

由題意:MJ1+L2小06+4T,解得a=5/2或a=,

65

ZAtAC>30°f

?.a—5/2,

由43=6C=正有515C,可知NC|44=45°,

走x2也忑走.

??%.AFP

C|-/ijhr226

11.(2021?江蘇?礦大附中高三階段練習)如圖，已知正方形/BCD和矩形/CE尸所在的平面互相垂直,

AB=42,AF=t,M是線段E尸的中點.

(1)求證：4M〃平面BDE；

(2)若線段RC上總存在一點P,使得PF18E,求，的最大值.

【答案】(1)證明見解析

(2)72

【分析】

(I)設(shè)/C