數(shù)學分析第四章：函數(shù)的連續(xù)性-1連續(xù)性概念

第四章函數(shù)的連續(xù)性§1

連續(xù)性概念

教學內容：1.連續(xù)性概念的引入2.連續(xù)的幾個等價定義3.間斷點的定義以及分類教學重點：函數(shù)在一點連續(xù)的概念

教學難點：間斷點的分類

問題的提出：（1）自然界中有許多現(xiàn)象,如氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等等，都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關系上的反應,就是函數(shù)的連續(xù)性.（2）直觀上來說，連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連綿不斷的曲線。（如圖1）

Oxy圖1函數(shù)在一點的連續(xù)性1．定義的引入

先回顧一下函數(shù)在

點的極限

定義中要求在的某個空心鄰域內有定義，即

在有沒有定義、定義為多少

均與極限有沒有、極限為多少無關。這里

可以有三種情況：A無定義，比如上章講過的特殊極限

（圖2）比如（圖3）(圖1）xOy圖2xOy圖3A第3種情況與前兩種情況不同，要求

在有定義且極限等于

我們稱這種情況為

在處連續(xù)。

2.在處連續(xù)的定義

定義1：

設函數(shù)

在的某鄰域

內有定義，若

（1）則稱函數(shù)

在點連續(xù)。

3．等價定義先引入增量的定義：記

自變量

的增量

或改變量；

稱為函數(shù)

的增量或改變量。要說明的是增量

可以是正的，也可以是負的或0。它們關系的幾何意義如圖4所示xOy圖4利用增量定義得

等價定義1：設函數(shù)

函數(shù)

在點連續(xù)。

等價定義2：設函數(shù)

函數(shù)

在點連續(xù)。

注意問題：例1：

4．左、右連續(xù)的定義當遇到分段函數(shù)的分段點或區(qū)間的端點時，依定義1不能討論

的連續(xù)性，為此我們在定義1的基礎上，由

在左、右極限的定義得定義2：設

則稱函數(shù)

在點右連續(xù)（或左連續(xù)）。

根據(jù)左、右極限與極限的關系我們容易得左、右連續(xù)和連續(xù)的關系

定理4．1：

在點連續(xù)的充要條件為：

在點既右連續(xù)又左連續(xù)。

由定理我們知道，要判別分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性可通過左、右連續(xù)來討論。

例2：

2－2xyOx+2x-2圖5二.間斷點及其分類

1．間斷點的定義

定義3：

間斷點或不連續(xù)點。從定義我們可以得到，

根據(jù)這幾種情形，聯(lián)系左、右極限，我們對函數(shù)的間斷點進行分類2．間斷點的分類

1）可去間斷點：

可去間斷點。

例3：

例4：

說明:

2）跳躍間斷點：

跳躍間斷點。

例5：例6：。。。。。。xyO1234-1-2123-1-2圖6。。.xyO1-1圖7f(x)=sgnxf(x)=[x]我們把可去間斷點和跳躍間斷點通稱為第一類間斷點。注意：第一類間斷點的特點是函數(shù)在該點的左、右極限均存在。3）第二類間斷點：函數(shù)至少有一側極限不存在的那些點成為第二類間斷點。

三.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

1．區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

若函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)上的每一點都連續(xù)，則稱f(x)為（a,b)上的連續(xù)函數(shù)（或稱f(x)在（a,b)上連續(xù)）；若函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)上連續(xù)，且在x=a右連續(xù)，在x=b左連續(xù)，則稱f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)（或稱f(x)在[a,b]上連續(xù)）。2．分段連續(xù)函數(shù)

若函數(shù)f(x)