專題4.2指數函數（5類必考點）（人教a版2019必修第一冊）（解析版）

專題4.2指數函數TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：指數函數的概念】 1【考點2：指數函數的圖象】 2【考點3：指數函數的定義域與值域】 8【考點4：指數函數的單調性與最值】 12【考點5：指數函數的應用】 13【考點1：指數函數的概念】【知識點：指數函數的概念】形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函數為指數函數.1．（2022·山東·淄博職業(yè)學院高一階段練習）下列函數是指數函數的是（

）A．y=x4 B．y=3·2x 【答案】C【分析】根據指數函數的特征即可求解.【詳解】對于A,y=對于B，y=3×對于C,y=πx對于D,y=(?4)故選：C2．（2022·江蘇常州·高三階段練習）若p：函數f(x)=m2?3m+3mx是指數函數，q:m2A．充要條件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據命題p和指數函數的定義列方程解得m，根據命題q解得m，再根據必要不充分條件的定義判斷即可.【詳解】命題p真，則m2?3m+3=1，解得m=1或2，又m≠1，∴m=2；q為真，則∴q是p的必要不充分條件.故選：C．3．（2022·山東·淄博職業(yè)學院高一階段練習）若函數fx=(a?1)【答案】1<a<2或【分析】根據指數函數的定義即可求解.【詳解】fx=a-1x為指數函數，則0<a-1<1故答案為：1<a<2或4．（2022·全國·高一課時練習）若函數fx=12a?3ax【答案】8【分析】根據指函數的定義求解即可.【詳解】解：因為函數fx所以12a?3=1，所以故答案為：8.5．（2022·全國·高一單元測試）已知函數fx是指數函數，且f2=9【答案】3【分析】依題意設fx=ax（a>0且a≠1），根據【詳解】解：由題意，設fx=ax（因為f2=9，所以a2=9，又所以fx=3故答案為：3【考點2：指數函數的圖象】【知識點：指數函數的圖象】1．指數函數的圖象函數y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1圖象圖象特征在x軸上方，過定點(0,1)當x逐漸增大時，圖象逐漸下降當x逐漸增大時，圖象逐漸上升2.指數函數圖象畫法的三個關鍵點畫指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指數函數的圖象與底數大小的比較如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數越大．1．（2022·浙江寧波·高一期中）函數y=x?12A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數的單調性和值域排除即可．【詳解】由題可得函數的定義域為?∞當x>0，y=x?12當x<0，y=x?12故選：D．2．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）函數y=ax?1?3（aA．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）【答案】D【分析】根據指數函數的圖象所過定點的性質求解．【詳解】令x－1＝0，則x＝1，此時，y＝a0－3＝－2，∴圖象過定點（1，－2）．故選：D．3．（2022·江蘇省阜寧中學高一階段練習）函數fx=1A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數解析式，分析函數在x≥0時的單調性及值域即可得解.【詳解】由fx=12x?1可知，當故選：C4．（2020·山東·青島二中高一期中）已知函數fx=x?ax?b（其中a>b）的圖象如圖所示，則函數A． B．C． D．【答案】C【分析】根據二次函數圖象特點，結合指數型函數圖象的特點進行判斷即可.【詳解】fx=x?ax?b的函數圖象與由x?ax?b=0可得兩根為a，觀察fx=x?ax?b的圖象，可得其與軸的兩個交點分別在區(qū)間又∵a>b，∴a>1，?1<b<0，gx當a>1時，ax又由?1<b<0得gx的圖象與y軸的交點在x分析選項可得C符合這兩點．故選：C．5．（2022·廣東·東莞市石龍中學高一期中）已知函數fx=ax?4+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A的坐標滿足關于x，yA．9 B．24 C．4 D．6【答案】C【分析】由題意可得2m+n=2，利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為函數f(x)=ax?4又點A的坐標滿足關于x，y的方程所以4m+2n=4，即2m+n=2所以1m+?12(4+24mn所以1m故選：C．6．（2022·全國·高一單元測試）函數①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數：54，3，13，12A．54，3，13，12 B．3，54C．12，13，3，54， D．13，12【答案】C【分析】根據指數函數的性質，結合函數圖象判斷底數的大小關系.【詳解】由題圖，直線x=1與函數圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而3>故選：C．7．（2022·全國·高三專題練習）函數y=21?x的圖象大致是（A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數改寫成分段函數，再根據指數函數的性質判斷即可.【詳解】解：函數y=2∴當x>1時，y=2x?1是增函數，當x≤1時，且x=1時，y=1，即圖象過1,1點；∴符合條件的圖象是A．故選：A．8．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（文））函數y=ax?1a

A．①③ B．②④ C．④ D．①【答案】C【分析】分a>1，0<a<1，根據指數函數和圖象平移判斷.【詳解】當a>1時，0<1a<1，函數y=ax的圖象為過點(0,1)的上升的曲線，函數y=當0<a<1時，1a>1，函數y=ax的圖象為過點(0,1)的下降的曲線，函數y=a故選：C9．（2022·全國·高一單元測試）在同一坐標系中，函數y=ax2+bx與函數y=A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷b的范圍，結合二次函數的開口方向，判斷函數的圖象即可．【詳解】解：函數y=bx的是指數函數，b>0且b≠1，排除選項如果a>0，二次函數的開口方向向上，二次函數的圖象經過原點，并且有另一個零點：x=?b所以B正確；對稱軸在x軸左側，C不正確；如果a<0，二次函數有一個零點x=?ba>0故選：B．【考點3：指數函數的定義域與值域】【知識點：指數函數的定義域與值域】函數y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性質定義域R值域(0，＋∞)1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高三階段練習）設集合A=x-1≤x≤1，BA．? B．-2,0 C．0,+∞ D．1【答案】D【分析】求出集合B，利用交集的定義可求得結果.【詳解】根據指數函數的性質B=yy故選：D.2．（2022·浙江·高一階段練習）已知集合A=xx-1<a,A．(-∞,1] B．(-∞,1) C．(0,1] D．(-∞,3]【答案】A【分析】根據并集關系得到A?B，分A=?【詳解】A∪B=當a>0,A=(1-a,1+綜上a≤1故選：A．3．（2022·福建省漳州第一中學高三階段練習）已知集合A=yy=2x?1，B=A．15 B．16 C．31 D．32【答案】B【分析】先化簡A,B兩個集合，用列舉法表示集合A∩B，利用子集個數的計算公式求解即可【詳解】由題意，A=yy=2故A∩B={0,1,2,3}，有4個元素，故A∩B的所有子集的個數為：24故選：B4．（2019·江蘇省新海高級中學高一期中）函數f(x)=exex+1A．?∞，1 C．0，1 【答案】C【分析】對函數解析化簡后，根據指數函數的性質結合不等式的性質求解即可.【詳解】f(x)=e因為x∈R，所以e所以ex所以0<1所以?1<?1所以0<1?1ex所以f(x)的值域為0，故選：C5．（2021·江西景德鎮(zhèn)·高一期末）函數f(x)=22x?2x+1+2的定義域為A．-1∈M B．1∈MC．M=?∞,1 【答案】ABCD【分析】先根據函數的值域求出定義域，進而作出判斷.【詳解】因為函數值域為N=1,2，所以1≤22x?2x+1+2≤2，即22x?故選：ABCD6．（2022·全國·高一單元測試）函數y=1【答案】(?【分析】利用根號的性質及指數單調性求解即可.【詳解】由題18?2x?1≥0因為y=2x為單調遞增函數，所以?3≥x?1故答案為：(?7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數fx=2x?a【答案】4【分析】由已知可得不等式2x?a≥0的解集為2,+∞，可知x=2為方程2【詳解】由題意可知，不等式2x?a≥0的解集為2,+∞，則2當a=4時，由2x?4≥0，可得2x故答案為：4.8．（2021·全國·高一專題練習）（1）函數y=2（2）函數y=2【答案】

R

（0，1]

(?∞,?1)∪(?1,+【分析】（1）由指數函數的定義域以及單調性得出其定義域和值域；（2）解不等式x+1≠0得出定義域，由指數函數的單調性得出值域.【詳解】（1）函數y=23x+1的定義域為R，由|x+1|≥0，得出0<2（2）要使得函數有意義，只需x+1≠0，即x≠?1，故定義域為(?∵x?1x+1=1?2故答案為：（1）R；(0,1]（2）(?∞,?1)∪(?1,+9．（2020·內蒙古·北方重工集團第五中學高一階段練習（文））已知函數fx=ax?1x≥0的圖象經過點(2,12【答案】0【分析】先利用點(2,12)【詳解】因為fx=所以12=a2?1，解得因為x≥0，所以x?1≥?1，所以0<12x?1≤2，即函數故答案為：010．（2021·全國·高一課前預習）求下列函數的定義域和值域：(1)y=2(2)y=(【答案】(1)(?∞,4)∪(4,+∞)，(0,1)∪(1,+∞【分析】根據給定的各函數有意義列出不等式，求解即得對應函數的定義；由求得的定義域確定相應函數的指數取值，再借助指數函數性質即可求得值域.(1)使函數有意義，則x?4≠0，解得x≠4，所以函數y=21x?4因為1x?4≠0，則21所以函數y=21x?4(2)要使函數有意義，則?|x|≥0，即|x|≤0，于是得x=0，所以函數y=(23因當x=0時，(2所以函數y=(2311．（2022·陜西·禮泉縣第二中學高三階段練習（理））已知指數函數f(x)=ax(a>0,a≠1)(1)求a的值；(2)當x∈?2,0時，求函數g(x)=【答案】(1)a=13【分析】（1）將點代入指數函數f(x)中求出a=1（2）換元法令t=1【詳解】（1）∵函數f(x)=ax(a>0,a≠1)∴a?2=9，得（2）令t=13x，x∈∵g(x)=a∴?(t)=t所以?(t)在t∈1,9故當t=1時，?t當t=9時，?t故當x∈?2,0時，gx的值域為【考點4：指數函數的單調性與最值】【知識點：指數函數的單調性與最值】函數y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性質單調性在R上是減函數在R上是增函數函數值變化規(guī)律當x＝0時，y＝1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1當x<0時，0<y<1；當x>0時，y>1(1)比較大小問題：?；癁橥谆蛲?，利用指數函數的單調性，圖象或1,0等中間量進行比較.(2)簡單的指數方程或不等式的求解問題：解決此類問題應利用指數函數的單調性，要特別注意底數a的取值范圍，并在必要時進行分類討論．1．（2021·山東·青島二中高一期中）下列大小關系不正確的是（

）A．?2.545>C．13?1【答案】C【分析】根據指數函數的單調性即可判斷.【詳解】A選項：?2.545=因為2.5>1，4又因為指數函數y=2.5所以2.545>B選項：0.4?32=2又因為指數函數y=2所以25C選項：因為13?12>1D選項：因為2.51.6>1，2?0.2故選:C.2．（2021·山東·青島二中高一期中）已知fx=12x2?2axA．?∞,1 B．1,2 C．2,3 【答案】A【分析】利用復合函數的單調性即可求解.【詳解】令t=x2?2ax因為fx在1,3函數t=x2?2ax又因為?t所以t=x2?2ax函數t=x2?2ax的對稱軸為x=a故選:A.3．（2022·廣東·福田外國語高中高三階段練習）設fx=12x，xA．奇函數且在-∞,0上是增函數 B．偶函數且在-∞,0上是減函數C．奇函數且在-∞,0上是減函數 D．偶函數且在-∞,0上是增函數【答案】D【分析】根據奇偶函數的定義判斷奇偶性，再由指數函數的單調性判斷f(x)【詳解】∵fx=∴f故fx為偶函數,當x<0時，故選：D．4．（2022·山東·淄博職業(yè)學院高一階段練習）下列各組不等式正確的是（

）A．2.30.7>0.8C．1.90.3>1.9【答案】A【分析】根據指數函數的單調性即可比較B,C,D,由中間值法可求解A.【詳解】對于A,由于2.30.7>2.30對于B,由于y=0.7x對于C，由于y=1.9x對于D，由于y=2.7x故選：A5．（2021·天津·高一期末）設x∈R，則“|x-2|<1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】分別先解出絕對值不等式，指數不等式后進行判斷即可.【詳解】由|x-2|<1可知，-1<x-2<1，即1<x<3，根據指數函數性質，y=3x是R上遞增的指數函數，3x<27即3故選：A6．（2022·江蘇·連云港市海濱中學高三階段練習）若函數f(x)=ax（a>0且a≠1）在[?1,2]上的最大值為4，最小值為m，實數m的值為（A．12 B．1142 C．116 D．【答案】D【分析】分a>1和0<a<1兩種情況，由函數的單調性結合函數的最大值為4，求出a的值，從而可求出函數的解析式，進而可求出函數的最小值.【詳解】a>1時，f(x)=ax在則f(x)max=f(2)=此時f(x)=2x，當0<a<1時，f(x)=ax在所以f(x)max=f(?1)=此時f(x)=14x綜上，m的值為12或1故選：D.7．（2022·全國·高一課時練習）已知函數f(x)=ax+1，（a>0且a≠1）在區(qū)間2，3上的最大值比最小值大aA．12 B．2 C．32 【答案】AC【分析】分0<a<1、a>1討論，利用f(x)的單調性求出最大值、最小值再做差可得答案.【詳解】當0<a<1時，f(x)在區(qū)間2，3上單調遞減，此時f(x)max=f(2)=a2+1，當a>1時，f(x)在區(qū)間2，3上單調遞增，此時f(x)min=f(2)=a2+1，f(x)故選：AC．8．（2022·四川·南江中學高三階段練習（文））不等式9x【答案】[1,2]【分析】根據二次不等式的解法可得3≤3【詳解】不等式9x-4×3即3x解得3≤3所以1≤x所以不等式9x-4×3故答案為：[1,2]．9．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）指數函數y=ax(a>0,a≠1)【答案】2【分析】利用指數函數的單調性有a0【詳解】由y=ax(a>0,a≠1)所以a=2.故答案為：210．（2020·山東省青島第十九中學高一期中）若函數fx=ax,x>14?a2x+2,x≤1【答案】4,8【分析】根據題中條件判斷函數的單調性，結合分段函數的性質列出相應的不等式組，即可求得答案.【詳解】若函數fx=ax,x>1不等式x1則函數fx在R上單調遞增，則a>1解得：4≤a<8，故實數a的取值范圍為4,8,故答案為：4,8．11．（2022·北京·牛欄山一中高一階段練習）寫出一個滿足函數gx=2x+1【答案】1（答案不唯一）【分析】分段討論函數的單調性，畫出y=2x+1?【詳解】解：因為gx當x>a時當x≤a時畫出y=2x要使函數gx在-∞,+∞由圖可知當a≤1時均可滿足函數gx在故答案為：1（答案不唯一）12．（河南省豫南九校2020-2021學年高三上學期教學指導卷（二）數學（文）試題）已知p：實數x滿足22x?3a<116，q：實數x滿足2x2+3x?20≤0【答案】a>3【分析】根據指數函數的單調性解出命題q，根據一元二次不等式的解法解出命題q，結合必要不充分條件的定義即可求解.【詳解】命題p:2又函數y=2所以2x?3a<?4，解得x<3命題q:2x2+3x?20≤0因為p是q的必要不充分條件，所以q是p的真子集，有32a?2>5故實數a的取值范圍為a>3.13．（2022·全國·高一課時練習）已知函數fx=a(1)求a的值；(2)證明：函數F(x)=f(x)?f(?x)是R上的增函數．【答案】(1)a=2；(2)證明見解析【分析】（1）根據fx（2）根據定義法證明函數為增函數即可.（1）因為fx=a所以函數fx=ax+1(a>1)所以a2+1+a又因為a＞1，所以（2）由（1）知，F(x)=f(x)?f(?x)=2任取x1,xF===2因為x1<x2，所以所以Fx1?F所以Fx=fx14．（2022·全國·高一課時練習）已知函數y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值與最小值之和為20，記(1)求a的值；(2)求證：fx(3)求f1【答案】(1)a=4；(2)證明見解析；(3)100【分析】（1）函數y=ax在1,2上單調，得到a2（2）fx=4（3）根據fx（1）解：因為函數y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值與最小值之和為20，且函數y=ax（a>0且所以當x=1和x=2時，函數y=ax（a>0且a≠1）在1,2上取得最值，即解得a=4或a=?5（舍去），所以a=4．（2）解：由（1）知，a=4，所以fx故fx（3）解：由（2）知，fx因為1201+200201=1，2所以f=f1201【考點5：指數函數的應用】【知識點：指數函數的應用】1．（2022·北京房山·高三開學考試）如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的關系為y=atA．第5個月時，浮萍面積就會超過50mB．浮萍每月增加的面積都相等C．浮萍面積每月的增長率都相等（注：浮萍面積每月增長率=下月浮萍面積?D．若浮萍面積為2m2,3m2,6m【答案】C【分析】由函數過點(1,2)，可得y=2【詳解】由圖可知，y=at過點(1,2)，則2=a所以池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的關系為y=當t=5時，y=2當t=1時，y=2，當t=2時，y=22=4，當t=3所以第一個月浮萍增加的面積為2m2，第二個月浮萍增加的面積為4?2=2m浮萍面積每月增長率為2t+1因為2t所以2t1?故選：C.2．（2022·全國·高一單元測試）企業(yè)在生產中產生的廢氣要經過凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：mgL）與時間t（單位：h）間的關系為P=P0e?kt（其中PA．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【分析】由t=0，得污染物含量的初始值為P0，根據t=10得e?k=0.81【詳解】當t=0時，P=P0；當t=10時，即e?10k=0.8，得e?k當t=20時，P=0.8故選：C3．（2022·云南師大附中高一期中）愛護環(huán)境人人有責，如今大氣污染成為全球比較嚴重的問題.企業(yè)在生產中產生的廢氣要經過凈化過濾后才可排放，某企業(yè)在凈化過濾廢氣的過程中污染物含量P（單位：mg/L）與過濾時間t（單位：h）間的關系為P=P0e?kt（其中【答案】25%【分析】由題可得e?5k【詳解】由題，得當t=0時，P=P當t=5時，1?50%P0解得e?k所以P=P所以當t=10時，P=0.5即廢氣凈化用時10h，廢氣中污染物含量占未過濾前污染物含量的百分比為25%.故答案為：25%.4．（2022·湖南·高一課時練習）隨著我國經濟的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠地區(qū)農民人均年收入為3000元，預計該地區(qū)今后農民的人均年收入將以每年6%的年平均增長率增長，那么2021年年底該地區(qū)的農民人均年收入為________元.(精確到個位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)【答案】4500【分析】根據題意，逐年歸納，總結規(guī)律建立關于年份的指數型函數模型，即可得到答案；【詳解】設經過x年，該地區(qū)的農民人均年收入為y元，依題意有y＝3000×1.06x，因為2014年年底到2021年年底經過了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3000×1.067≈4500.故答案為：45005．（2022·全國·高一課時練習）一種專門占據內存的計算機病毒，能在短時間內感染大量文件，使每個文件都不同程度地加長，造成磁盤空間的嚴重浪費．這種病毒開機時占據內存2KB，每3分鐘后病毒所占內存是原來的2倍．記x分鐘后的病毒所占內存為yKB．（1）y關于x的函數解析式為______；（2）如果病毒占據內存不超過1GB(1GB【答案】

y=2x3【分析】（1）根據題意分析前面幾分鐘的情況可得，y關于x的函數解析式；（2）先根據題意，換算病毒占據的最大內存1GB【詳解】因為這種病毒開機時據內存2KB所以，一個三分鐘后它占據的內存為2×2=2兩個三分鐘后它占據的內存為2×2×2=2三個三分鐘后它占據的內存為23所以x分鐘后的病每所占內存為2×2所以y=2x3（2）由題意，病毒占據內存不超過1GB時，計覚機能夠正?；?，又1故有2x3+1所以本次開機計算機能正常使用的時長為57分鐘．故答案為：y=2x36．（2022·全國·高一學業(yè)考試）某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量yμg與時間th之間近似滿足如圖所示的圖象，則y關于t【答案】

y=4t,0≤t<11【分析】由圖象可直接寫出0≤t<1對于的解析式，將(1,4)代入y=12t?a求得a【詳解】解：由題意知，當0≤t<1時，函數圖象是一條線段，易得解析式為y=4t；當t≥1時，函數的解析式為y=12t?a，將(1,4)代入函數解析式，得4=故解析式為y=1所以y=4t,0≤t<1令y≥0.25，則當0≤t<1時，4t≥0.25，解得116當t≥1時，12t?3≥0.25，解得1≤t≤5故服藥