專題13.10 軸對稱章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（人教版）（解析版）

專題13.10軸對稱章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1設(shè)計(jì)軸對稱圖案】 1【題型2利用軸對稱性質(zhì)求最值】 4【題型3翻折變換】 12【題型4兩圓一線畫等腰】 21【題型5等邊三角形手拉手問題】 24【題型6分身等腰】 32【題型7一線分二腰】 35【題型8角平分線的綜合應(yīng)用】 43【題型9垂直平分線的綜合應(yīng)用】 53【題型10直角三角形斜邊中線的綜合應(yīng)用】 65【題型1設(shè)計(jì)軸對稱圖案】【例1】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的格點(diǎn)上，請你再找一個(gè)格點(diǎn)D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個(gè)軸對稱圖形，并畫出對稱軸．

【答案】見解析【分析】如圖1，以線段AB的垂直平分線為對稱軸，找出點(diǎn)C的對稱點(diǎn)D，然后順次連接即可；如圖2，以線段AB所在的直線為對稱軸，找出點(diǎn)C的對稱點(diǎn)D，然后順次連接即可；如圖3，以線段BC的垂直平分線為對稱軸，找出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)D，然后順次連接即可；如圖4，以線段BC所在的直線為對稱軸，找出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)D，然后順次連接即可．【詳解】解：如圖所示：

【點(diǎn)睛】此題考查利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱的作圖方法作圖是解此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·八年級單元測試）圖形設(shè)計(jì)：請將網(wǎng)格中的某些小方格涂黑，使它與已涂黑的小方格組成軸對稱圖形，并且有兩條對稱軸．（要求用兩種不同的方法）

【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)來畫軸對稱圖形，先確定對稱軸，再找出陰影部分圖形關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)，畫出圖形即可，圖形的兩部分沿對稱軸折疊后可完全重合【詳解】解：畫圖如下：

【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖--軸對稱變換，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的定義．【變式1-2】（2023春·吉林延邊·八年級階段練習(xí)）圖①、圖②都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長均為1，在每個(gè)網(wǎng)格中標(biāo)注了5個(gè)格點(diǎn)，按下列要求畫圖．（1）在圖①中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形，使其內(nèi)部已標(biāo)注的格點(diǎn)只有4個(gè)；（2）在圖②中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫一個(gè)軸對稱圖形，使其內(nèi)部已標(biāo)注的格點(diǎn)只有3個(gè)．【答案】見解析【詳解】試題分析：（1）根據(jù)要求畫圖即可．因?yàn)楫嫷氖堑妊切?，因此至少要有兩條邊相等；（2）利用已知結(jié)合軸對稱圖形性質(zhì)畫出一個(gè)等腰三角形即可．解：（1）如圖①所示：（2）如圖②所示：．考點(diǎn)：利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案．【變式1-3】（2023春·八年級單元測試）請你分別在下面的三個(gè)網(wǎng)格（兩相鄰格點(diǎn)的距離均為1個(gè)單位長度）中，各補(bǔ)畫一個(gè)小正方形，要求：①三個(gè)圖形形狀各不相同，②所設(shè)計(jì)的圖案是軸對稱圖形．【答案】詳見解析【分析】利用軸對稱圖形性質(zhì)分別得出圖案即可．【詳解】如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱性質(zhì)設(shè)計(jì)圖案，利用軸對稱圖形是沿某條直線折疊后能夠與直線的另一邊完全重合的圖形設(shè)計(jì)圖案是解題的關(guān)鍵．【題型2利用軸對稱性質(zhì)求最值】【例2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上的中線且BF=b，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是，此時(shí)∠CFE=．

【答案】12a+b90°【分析】通過分析點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡，點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動（∠ACE=30°），作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接FM交CE于點(diǎn)E'，此時(shí)A【詳解】解：∵△ABC，△ADE均為等邊三角形，∴AB=AC=a,∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴AF=CF=1∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,BF⊥AC∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動（∠ACE=30°）作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接FM交CE于點(diǎn)E'，此時(shí)AE

∵CA=CM∴△ACM是等邊三角形，∴AM=AC，∵BF⊥AC，∴FM=BF=b，∴△AEF周長的最小值是AF+FE故答案為：12a+b【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短問題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡，本題難度比較大，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式2-1】（2023春·湖北武漢·八年級校考期末）如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為BC中點(diǎn)，AD=6，P為AB上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，PC+PD的最小值為．【答案】6【分析】作出點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接FD，根據(jù)對稱性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，證明Rt△ACD≌Rt△FBD，得到【詳解】如圖，∵AC=BC，∠ACB=90°，D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD,∠CAB=∠CBA=45°；作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接FD，交AB于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PC+PD取得最小值，且最小值為DF，根據(jù)對稱性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，∴FB=AC,∠FBD=90°；∴AC=FB∠ACD=∠FBD=90°∴Rt∴AD=FD，∵AD=6，∴FD=6，∴PC+PD的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．

(1)畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A(2)在直線MN上找點(diǎn)P使PB+PC最小，在圖形上畫出點(diǎn)P的位置；(3)在直線MN上找點(diǎn)Q使QB-QA最大，直接寫出這個(gè)最大值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)作圖見解析；QB-QA最大值為3【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，先畫出A、B、C關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A1、B1、（2）作點(diǎn)C關(guān)于MN的對稱點(diǎn)D，連接BD交MN于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)P；（3）由于QA=QA1，則|QB-QA=QB-QA1|，而由三角形的三邊關(guān)系可得QB-Q【詳解】（1）解：△A

（2）解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于MN的對稱點(diǎn)D，連接BD交MN于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

∵點(diǎn)C與D關(guān)于MN的對稱，∴PC=PD，∴PB+PC=PD+PB，∵PB+PD≥BD，只有當(dāng)點(diǎn)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，∴當(dāng)點(diǎn)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PD最小，即PB+PC最??；（3）解：先作出A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A1，連接BA1并延長交MN

∵QA=QA∴|QB-QA=根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得QB-QA1≤A1B，當(dāng)∴QB-QA的最大值為A1【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖—軸對稱變換、軸對稱的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·廣東深圳·八年級?？奸_學(xué)考試）【初步感知】(1)如圖1，已知ΔABC為等邊三角形，點(diǎn)D為邊BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合）．以AD為邊向右側(cè)作等邊ΔADE，連接CE．求證：

【類比探究】(2)如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，隨著動點(diǎn)D的運(yùn)動位置不同，猜想并證明：

①AB與CE的位置關(guān)系為：；②線段EC、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系為：；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在等邊ΔABC中，AB=3，點(diǎn)P是邊AC上一定點(diǎn)且AP=1，若點(diǎn)D為射線BC上動點(diǎn)，以DP為邊向右側(cè)作等邊ΔDPE，連接CE、BE．請問：

【答案】(1)見解析(2)平行EC=AC+CD(3)有最小值，5【分析】（1）由ΔABC和ΔADE是等邊三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因?yàn)椤螧AC=∠DAE，則∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，從而利用“SAS”證明（2）①由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），得出∠B=∠ACE=60°，②因?yàn)镃E=BD，AC=BC，所以CE=BD=BC+CD=AC+CD；（3）在BC上取一點(diǎn)M，使得DM=PC，連接EM，可證ΔEPC≌ΔEDM（SAS），EC=EM，求得∠CEM=60°，得出ΔCEM是等邊三角形，則∠ECD＝60°，即點(diǎn)E在∠ACD角平分線上運(yùn)動，在射線CD【詳解】（1）證明：∵ΔABC和Δ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE在ΔABD和ΔAB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴ΔABD（2）平行，EC=AC+CD，理由如下：由（1）得ΔABD∴∠B=∠ACE=60°，CE＝∴∠BAC=∠ACE，∴AB∥∵CE=BD，AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；（3）有最小值，理由如下：如圖，在射線BC上取一點(diǎn)M，使得DM=PC，連接EM，

∵ΔABC和Δ∴PE=ED，∠DEP=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，∴∠ACD+∠DEP=120°+60°=180°，由三角形內(nèi)角和為180°，可知：∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠PCE+∠CEP+∠EPC+∠ECD+∠CDE+∠CED=360°，又∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED=∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=360°-180°=180°，∵∠EDM+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在ΔEPC和ΔPE=ED∠EPC=∠EDMPC=DMΔEPC∴EC=EM，∵∠PEC+∠CED＝∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴ΔCEM∴∠ECD=60°，∠ACE=180°-∠ECD-∠ACB=180即點(diǎn)E在∠ACD的角平分線上運(yùn)動，在射線CD上截取CP'=CP在ΔCEP和ΔPC=P'ΔCEP∴PE=P'則BE+PE=BE+P由三角形三邊關(guān)系可知，BE+P即當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，BE+P'E=BP'∵BP∴BE+PE=BE+P∴BE+PE最小值為5．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，正確添加輔助線、掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型3翻折變換】【例3】（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，將△ACD沿CD翻折后得到△ECD．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，求∠BDE的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在BC下方時(shí)，設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F．①如圖2，若DE⊥BC，試說明：CE∥②如圖3，連接BE，EG平分∠BED交CD的延長線于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H．若BE∥CG，試判斷【答案】(1)10°(2)①見解析；②4∠G-∠CFE=40°【分析】（1）根據(jù)翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用外角即可求出∠BDE的度數(shù)；（2）①根據(jù)翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用垂直可得∠B=∠ECF=40°，即可得到CE∥②設(shè)∠G=x，根據(jù)角平分線和平行線可得∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，可求得∠BCD=90°-∠ACD=90°-180°-∠A-∠ADC=2x-40°，再利用外角可得∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x-40°，即可得到【詳解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵將△ACD沿CD翻折后得到△ECD，∴∠A=∠CED=50°，∴∠BDE=∠CED-∠A=50°-40°=10°；（2）①根據(jù)翻折可得∠A=∠CED=50°，∠ADC=∠CDE∵DE⊥BC，∴∠ECF=90°-∠E=40°=∠B，∴CE∥②4∠G-∠CFE=40°，理由如下：設(shè)∠G=x，∵BE∥∴∠G=∠BEG=x，∠CDE=∠DEB∵EG平分∠BED，∴∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=130°-2x，∴∠BCD=90°-∠ACD=90°-130°-2x∴∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x-40°，∴∠CFE=4∠G-40°，即4∠G-∠CFE=40°．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理清角度之間的關(guān)系．【變式3-1】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）在銳角△ABC中，AB=AC，將△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直線AB與直線B'C相交于點(diǎn)E，若△AE【答案】540°7或【分析】分三種情形：當(dāng)B'A=B'E，點(diǎn)E在CB'和BA的延長線上，當(dāng)AE=【詳解】解：①如圖，當(dāng)B'A=B'E，點(diǎn)E

∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，由折疊得：∠B=∠AB'C設(shè)∠B=x，則∠AB'C=∠BCA=∠B'在△AEC中，由三角形內(nèi)角和定理得：x+2x+1∴x=360°即∠B=360°∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=540°∵360°7∴此時(shí)△ABC為銳角三角形，符合題意；②如圖，當(dāng)AE=B'E，點(diǎn)E在AB

∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCA，由折疊得：∠ABC=∠AB'C∵AE=B∴∠AB∴∠ABC=∠ACB=∠ACB∵∠ABC+∠ACB+∠ACB∴∠ABC=∠ACB=∠ACB∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=36°，∵36°<72°<90°，∴此時(shí)△ABC為銳角三角形，符合題意；綜上所述，滿足條件的∠BAC的度數(shù)為540°7或36°故答案為：540°7或36°【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【變式3-2】（2023春·江蘇·八年級期末）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D為AC的中點(diǎn)，E為邊AB上一動點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A落在AC上方點(diǎn)F處，連接EF，CF．(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；(2)若△DEF與以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求出∠ADE的度數(shù)：(3)翻折后，當(dāng)△DEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時(shí)，直接寫出∠ADE的度數(shù)．【答案】(1)∠1=∠2，理由見解析(2)70°(3)100°3或140°3【分析】（1）由△ADE沿DE翻折可知AD=DF=CD，∠FDE=∠ADE=∠1，可知△CDF為等腰三角形，（2）△DEF與△CDF全等，分兩種情況討論；①DF=DE=AD，∠A=∠DEA，∠ADE=180°-∠A-∠DEA，求∠ADE的值然后判斷此時(shí)△DEF與△CDF是否全等，若全等，則∠ADE的值即為所求；②DF=FE=AD，∠A=∠DFE，∠EDF=∠ADE，∠ADE=∠FDE=180°-∠DFE2，求∠ADE的值然后判斷此時(shí)（3）分情況討論①由題意知（2）中∠ADE=70°時(shí)符合題意，②如圖3，重合部分的等腰三角形中，DE=DG，∠DEG=∠DGE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即∠FDE=∠ADE=∠1，∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°計(jì)算求解即可；【詳解】（1）解：∠1=∠2由△ADE沿DE翻折可知AD=DF∵D為AC的中點(diǎn)∴AD=CD=DF∴△CDF為等腰三角形∴∠DFC=∠DCF=∠2∵∠CDF+∠FDE+∠EDA=180°∴180°-2∠2+∠1+∠1=180°∴∠1=∠2．（2）解：∵CD=DF，△CDF是等腰三角形，△DEF與△CDF全等∴①如圖1，當(dāng)DF=DE=AD時(shí)，△ADE為等腰三角形，△DEF為等腰三角形∴∠A=∠DEA=40°，∠ADE=180°-∠A-∠DEA=100°∵∠ADE=∠EDF=100°∴∠ADE+∠EDF=200°>180°∴當(dāng)DF=DE時(shí)，點(diǎn)F在AC的下方，不符合題意；又∵∠CDF=200°-180°=20°，∠CDF≠∠FDE∴△DEF與△CDF不全等，∠ADE=②如圖2當(dāng)DF=FE=AD時(shí)，△ADE為等腰三角形，△DEF為等腰三角形∴∠A=∠DFE，∠EDF=∠ADE∴EF∥AD∴四邊形AEFD、CDEF均是平行四邊形∴△EFD與△CDF全等∴∠ADE=∠FDE=70°∴當(dāng)DF=FE時(shí)，△EFD與△CDF全等，∠ADE=70°；綜上所述，若△DEF與以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，（3）解：①由（2）中圖2可知當(dāng)∠ADE=70°時(shí)，△DEF在△ABC內(nèi)，此時(shí)兩個(gè)三角形的重疊部分為等腰三角形；②如圖3，△DEG為△DEF與△ABC重合的等腰三角形∴DE=DG，∠DEG=∠DGE∵∠FDE=∠ADE=∠1∴∠DEG∴∠1=∴∠ADE=100°③如圖4，△DEG為△DEF與△ABC重合的等腰三角形∴DE=EG∵∠FDE=∠ADE=∠1∴∠DEG∴∠1=∴∠ADE=140°綜上所述，當(dāng)△DEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時(shí)，∠ADE的值為100°3或140°3或【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，幾何圖形折疊對稱，三角形全等，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等知識．解題的關(guān)鍵在于正確的分析可能存在的情況．【變式3-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知D是等邊三角形ABC中AB邊上一點(diǎn)，將CB沿直線CD翻折得到CE，連接EA并延長交直線CD于點(diǎn)F．(1)如圖1，若∠BCD=40°，直接寫出∠CFE的度數(shù)；(2)如圖1，若CF=10，AF=4，求(3)如圖2，連接BF，當(dāng)點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，請?zhí)骄烤€段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)60°(2)2(3)AF+BF=CF，證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形及翻折的性質(zhì)可求出∠ACE的值以及∠CAE=∠E，在△ACE根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠E的值，然后在△CEF中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解∠CFE的值即可；（2）方法同（1）先求出∠CFE=60°，然后在CF上截取FH，使FH=EF，連接EH，BF，如圖1，可知△EFH是等邊三角形，根據(jù)∠ABF=180°-∠CFB-∠BCF-∠ABC=60°-∠BCF，∠CEH=∠AEC-60°=120°-∠BCF-60°=60°-∠BCF，得到∠ABF=∠CEH，證明△ABF≌△CEHSAS（3）由（2）可得AF+BF=CF，證明過程同（2）．【詳解】（1）解：由等邊三角形及翻折的性質(zhì)得BC=CE=AC，∴∠CAE=∠E，∠ACD=∠ACB-∠BCF=20°，∴∠ACE=∠ECF-∠ACD=20°，∴∠CAE=∠E=180°-∠ACE∵∠CFE=180°-∠ECF-∠E=180°-40°-80°=60°，∴∠CFE的度數(shù)為60°．（2）解：由（1）可得∠CFE=180°-∠E-∠ECF=180°-∠E-∠BCF，∵∠E=180°-∠ACE2，∴∠E=180°-2∠BCF+60°∴∠CFE=180°-120°+∠BCF-∠BCF=60°，如圖1，在CF上截取FH，使FH=EF，連接EH，由題意知BF=EF，∴△EFH是等邊三角形，∵∠ABF=180°-∠CFB-∠BCF-∠ABC=60°-∠BCF，∠CEH=∠AEC-60°=120°-∠BCF-60°=60°-∠BCF∴∠ABF=∠CEH，在△ABF和△CEH中∵BF=EH∠ABF=∠CEH∴△ABF≌△CEHSAS∴CH=AF=4，∴FH=CF-CH=6，∴AE=EF-AF=2，∴AE的長為2．（3）解：AF+BF=CF；證明如下：由（2）可得，點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，∠CFE=60°是定值，如圖2，在CF上截取FH，使FH=EF，連接EH，∴同理（2）可知△EFH是等邊三角形，∵∠ABF=180°-∠CFB-∠BCF-∠ABC=60°-∠BCF，∠CEH=∠AEC-60°=120°-∠BCF-60°=60°-∠BCF，∴∠ABF=∠CEH，在△ABF和△CEH中∵BF=EH∠ABF=∠CEH∴△ABF≌△CEHSAS∴CH=AF，∴CF=FH+CH=BF+AF，∴AF+BF=CF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握知識并正確的作輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型4兩圓一線畫等腰】【例4】（2023春·廣西欽州·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如下圖，作AB垂直平分線與AC相交于點(diǎn)P，可得PA=PB，以A為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有P1、P以B為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有P3一個(gè)交點(diǎn)，可得P故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作圖，分情況討論．【變式4-1】（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線l1、l2相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線外一點(diǎn)，在直線l1、l2上找一點(diǎn)C，使△ABC為一個(gè)等腰三角形．滿足條件的點(diǎn)C有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】D【詳解】以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交l1、l2于4個(gè)點(diǎn)；以B為圓心，AB長為半徑畫弧交l1、l2于2個(gè)點(diǎn)，再作AB的垂直平分線交l1、l2于2個(gè)點(diǎn)，共有8個(gè)點(diǎn)，故選：D.【變式4-2】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長為1，A、B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有個(gè)?！敬鸢浮?【分析】分別以A、B點(diǎn)為圓心，AB為半徑作圓，找到格點(diǎn)即可（A、B、C共線除外）；此外加上在AB的垂直平分線上有兩個(gè)格點(diǎn)，即可得到答案.【詳解】解：以A點(diǎn)為圓心，AB為半徑作圓，找到格點(diǎn)即可，（A、B、C共線除外）；以B點(diǎn)為圓心，AB為半徑作圓，在⊙B上的格點(diǎn)為C點(diǎn)；在AB的垂直平分線上有兩個(gè)格點(diǎn)．故使△ABC是等腰三角形的格點(diǎn)C有8個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題．【變式4-3】（2023春·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，動點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線m上運(yùn)動，連結(jié)PC，那點(diǎn)P在直線m上運(yùn)動時(shí)，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的定義利用作圖的方法找出符合條件的點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖所示：以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P1，P3；以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P4，P2；以C為圓心，BC為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P5與P1兩點(diǎn)重合．因此出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的定義和判定，利用作圖找等腰三角形是一種常見的方法．【題型5等邊三角形手拉手問題】【例5】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級校考期中）已如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BE，AD交于點(diǎn)O，AC與BE交于點(diǎn)P求證：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度數(shù)【答案】(1)證明見詳解(2)60°【分析】（1）利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，即可得出BE＝AD（2）由△BCE≌△ACD可得∠CAD＝∠CBE，根據(jù)“八字型”證明∠AOP＝∠PCB＝60°即可．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE即∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，AC=BC∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD（2）由（1）可得△BCE≌△ACD∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APO＝∠BPC，∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式5-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）閱讀與理解：圖1是邊長分別為a和ba>b的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和C'DE疊放在一起（C與操作與證明：(1)操作：固定△ABC，將△C'DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)25°，連接AD，BE，如圖2；在圖2(2)操作：若將圖1中的△C'DE，繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α0°≤α≤360°，連接AD，BE，如圖3；在圖猜想與發(fā)現(xiàn)：(3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當(dāng)α為多少度時(shí)，線段AD的長度最大是多少？當(dāng)α為多少度時(shí)，線段AD長度最小是多少？【答案】(1)BE=AD，證明見解析(2)BE=AD，證明見解析(3)當(dāng)α=180°時(shí)，線段AD的長度最大為a+b，當(dāng)α=0°或α=360°時(shí)，線段AD的長度最小為a-b【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，證明△BCE?△ACD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得到BE=AD；（2）與（1）的思路方法一樣，證明△BCE?△ACD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得到BE=AD；（3）根據(jù)前面的旋轉(zhuǎn)得到當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到CA的反向延長線上時(shí)，此時(shí)線段AD的長度最大，等于a+b，則此時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度為180°，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后重新回到AC邊上時(shí)，此時(shí)線段AD長度最小，等于a-b，旋轉(zhuǎn)的角度0°或360°．【詳解】（1）解：BE=AD，理由如下：∵△C'DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)25°，∴∠BCE=∠ACD=25°，∵△ABC與△C'DE等邊三角形，∴CA=CB，在△BCE和△ACD中，CA=CB∴△BCE?△ACD，∴BE=AD；（2）BE=AD，理由如下：∵△C'DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a，∴∠BCE=∠ACD=a，∵△ABC與△C'DE等邊三角形，∴CA=CB，在△BCE和△ACD中，CA=CB∴△BCE?△ACD，∴BE=AD；（3）由題意可知：當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到CA的反向延長線上時(shí)，此時(shí)線段AD的長度最大，等于a+b，所以α=180°，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后重新回到AC邊上時(shí)，此時(shí)線段AD的長度最小，最小值a-b，所以α=0°或α=360°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．【變式5-2】（2023春·廣東廣州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等邊三角形；⑤BQ=AB．恒成立的是

【答案】①②③④【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可證明△ACD≌△BCE，則可得①正確；由△ACD≌△BCE可得∠CAP=∠CBO，由∠APC=∠BPO，則由三角形內(nèi)角和可得∠AOB=∠ACB=60°，則可得③正確；證明△ACP≌△BCQ，可得CP=CQ，由∠PCQ=60°可得④正確；由等邊三角形的性質(zhì)可得②正確；由△ACP≌△BCQ知，BQ=AP≠AB，即可判定⑤不正確，從而可確定答案．【詳解】解：∵△ABC，∴AC=BC，∴∠ACD=180°-∠DCE=180°-∠ACB=∠DCE，∴△ACD≌△BCE，故①正確；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBO，∵∠APC=∠BPO，∴由三角形內(nèi)角和得：∠AOB=∠ACB=60°，故③正確；∵∠BCQ=180°-∠ACB-∠DCE=60°即∠ACB=∠BCQ=60°，∵AC=BC，∴△ACP≌△BCQ，∴CP=CQ，∵∠PCQ=60°，∴△CPQ是等邊三角形，故④正確；∵△CPQ是等邊三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥故②正確；∵△ACP≌△BCQ，∴BQ=AP，當(dāng)點(diǎn)P位于△ABC的邊BC上時(shí)，始終有AP<AB，即BQ<AB，故⑤不成立；∴正確的是①②③④，故答案為：①②③④．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)三角形內(nèi)角和等知識，證明三角形全等及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·山東·八年級專題練習(xí)）已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上．【基本圖形】如圖1，以AD為一邊作等邊三角形△ADE，連結(jié)CE．可得CE+CD=AC（不需證明）．【遷移運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角△DEF．求證：CE+CD=CF．【類比探究】如圖3，點(diǎn)F是AC邊的延長線上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角△DEF．試探究線段CE，CD，CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由．【答案】【基本圖形】見解析；【遷移運(yùn)用】見解析；【類比探究】見解析．【分析】基本圖形：只需要證明△BAD≌△CAE得到CE=BD，即可證明；遷移運(yùn)用：過點(diǎn)D作DG∥AB，交AC于點(diǎn)G，然后證明△CDE≌△GDF得到CE=GF，即可推出類比探究：過點(diǎn)D作DG∥AB，交AC于點(diǎn)G，然后證明△CDE≌△GDF，得到CE=GF，再由GF=CF+CG=CF+CD，即可得到【詳解】基本圖形：證明：∵△ACB與△ADE都是等邊三角形，∴AC=AB=CB，∠CAB=60°，AD=AE，∠DAE=60°，∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=60°-∠CAD，∠BAD=∠CAB-∠CAD=60°-∠CAD，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD與△CAE中，AC=AB∠CAD=∠BAE∴△BAD≌△CAESAS∴CE=BD，∴CE+CD=BD+CD=CB，∵AC=CB，∴CE+CD=AC；遷移運(yùn)用：證明：過點(diǎn)D作DG∥AB，交AC于點(diǎn)∵△ACB是等邊三角形，∴∠ACB=∠A=∠B=60°，∵DG∥∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，又∵∠ACB=60°，∴△CDG為等邊三角形，∴CD=DG=CG，∵△DEF為等邊三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∵∠CDE=∠CDG-∠EDG=60°-∠EDG，∠FDG=∠EDF-∠EDG=60°-∠EDG，∴∠CDE=∠FDG，在△CDE與△GDF中BD=DG∠BAD=∠GDF∴△CDE≌△GDFSAS∴CE=GF，∴CE+CD=GF+CG=CF；類比探究：解：CD+CF=CE，理由如下：過點(diǎn)D作DG∥AB，交AC于點(diǎn)∵△ACB是等邊三角形，∴∠ACB=∠A=∠B=60°，∵DG∥∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，又∵∠ACB=60°，∴△CDG為等邊三角形，∴CD=DG=CG，∵△DEF為等邊三角形，∴DE=DF，∠FDE=60°，∵∠GDF=∠GDC+∠CDF=60°+∠CDF，∠CDE=∠EDF+∠CDF=60°+∠CDF，∴∠GDF=∠CDE，在△CDE與△GDF中BD=DG∠BDE=∠GDF∴△CDE≌△GDFSAS∴CE=GF，∵GF=CF+CG=CF+CD，∴CD+CF=CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【題型6分身等腰】【例6】（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在第1個(gè)△A1BC，∠B=20°同A1B=CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊

A．12n80° B．12n-1?80°【答案】B【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠DA2A1，∠E【詳解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，∴∠BA∵A1A2=A∴∠DA同理可得∠EA3A∴第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是(故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠DA2A1，【變式6-1】（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，AOB是一鋼架，設(shè)∠AOB=α，為了使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，若最多能添加這樣的鋼管5根，則α的取值范圍是．【答案】15°≤α<18°【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)可得，∠GEF=2α，∠GFH=3α，∠HGB=4α，由題意可列不等式組，即可求解．【詳解】解：∵OE=EF，∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加這樣的鋼管5根，∴5α<90°，6α≥90°，∴15°≤α<18°，故答案為：15°≤α<18°．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)；發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一鋼架BAC中，∠A=x°，焊上等長的鋼條P1P2,P2結(jié)論Ⅰ：若∠P3P結(jié)論Ⅱ：若這樣的鋼條在鋼架上至多能焊上6根，那么x的取值范圍是90

A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對Ⅱ不對【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到幾組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠P5P7P【詳解】解：∵AP1=P1P2∴∠A=∠P1P2A，∠∴∠P即75°=3x,∴x=25°，故結(jié)論Ⅰ正確；∵AP1=P1P2，P1P∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1∴∠P∵要使得這樣的鋼條只能焊上6根，∴∠P

由題意得6x<90解得：90故結(jié)論Ⅱ正確．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·湖南岳陽·八年級?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，，均為等邊三角形．若，則的邊長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，，利用同樣的方法，，，由此規(guī)律可得．【詳解】為等邊三角形，同理：由此類推可得的邊長．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形邊長的變化規(guī)律．【題型7一線分二腰】【例7】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）已知ΔABC是等腰三角形，過ΔABC的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線，把【答案】圖見解析，頂角為90°或108°或36°或180【分析】先根據(jù)題意做出等腰三角形，再根據(jù)直線過點(diǎn)A，B分四種情況，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等，分別求出內(nèi)角的度數(shù)即可．【詳解】一共有4種情況：△ABC是等腰三角形，AB=AC，直線AD是過定點(diǎn)A．根據(jù)題意，由△ABD，△ACD是等腰三角形，且AD=BD，AD=CD，那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C．利用三角形內(nèi)角和定理，可知∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，則∠BAC=90°；△ABC是等腰三角形，AB=AC，直線AD是過定點(diǎn)A．根據(jù)題意，由△ABD，△ACD是等腰三角形，且AB=BD，AD=CD，那么∠B=∠C，∠DAC=∠C，∠BAD=∠BDA，所以∠BDA=2∠C．利用三角形內(nèi)角和定理，可知∠B+∠BAC+∠C=180°，可得2∠B+3∠B=180°，解得∠B=36°，則∠C=36°，∠BAC=108°；如圖所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，直線BD是過定點(diǎn)B．根據(jù)題意，由△ABD，△BCD是等腰三角形，且AD=BD，BD=BC，那么∠ABC=∠C，∠ABD=∠A，∠BDC=∠C．利用三角形外角的性質(zhì)，可知∠BDC=2∠A，根據(jù)利用三角形內(nèi)角和定理，得5∠A=180°，解得∠A=36°，則∠ABC=∠C=72°；④如圖所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，直線BD是過定點(diǎn)B．根據(jù)題意，由△ABD，△BCD是等腰三角形，且AD=BD，BC=CD，那么∠ABC=∠C，∠ABD=∠A，∠DBC=∠CDB．利用三角形外角的性質(zhì)，可知∠BDC=2∠A，則∠DBC=2∠A，∠ABC=∠C=3∠A．根據(jù)利用三角形內(nèi)角和定理，得7∠A=180°，解得∠A=(180則∠ABC=∠C=(540【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等，注意多種情況討論，不能丟解．【變式7-1】（2023春·福建廈門·八年級廈門雙十中學(xué)思明分校?？计谥校┤绻粋€(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么則稱這個(gè)三角形為“雙腰三角形”．現(xiàn)有如下4個(gè)結(jié)論：①若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是36°、72°，則這個(gè)三角形是“雙腰三角形”②若一個(gè)三角形是直角三角形，則這個(gè)三角形是“雙腰三角形”③若一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，則這個(gè)三角形一定是“雙腰三角形”④若一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，則這個(gè)三角形一定是“雙腰三角形”其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后由等角對等邊及三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)依次判斷證明即可．【詳解】解：①如圖所示：∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°，作∠ABC的角平分線BD，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠C=72°∴BD=AD，∴△ABD與△BDC為等腰三角形，故①正確；②如圖所示：△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90°，作∠ABD=∠A交AC于點(diǎn)D，∴∠DBC=∠C，∴△ABD為等腰三角形，△BDC為等腰三角形，故②正確；③如圖，∠C=α，∠A=2α，作∠DBC=α，交AC于D∵∠ADB=∠C+∠DBC=2α=∠A，∴BD分成的兩個(gè)三角形都是等腰三角形，如果三個(gè)角分別是50°，100°，30°不成立，故結(jié)論③錯(cuò)誤；④如圖所示：∠ABC=3∠C，設(shè)∠C=x，則∠ABC=3x，∴∠ADB=x+x=2x，過點(diǎn)B作∠CBD=∠C=x，∴△BDC為等腰三角形；∠ADB=2x，∠ABD=∠ABC-∠CBD=3x-x=2x，∴∠ABD=∠ADB,∴△ABD為等腰三角形，故④正確；綜上可得：①②④正確，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形等角對等邊及三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，理解題意作出相應(yīng)圖形求解是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）【學(xué)習(xí)概念】：規(guī)定①：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．規(guī)定②：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．【理解概念】：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，請根據(jù)規(guī)定①，寫出圖中所有的“等角三角形”

（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，請根據(jù)規(guī)定②，求證：CD為△

【應(yīng)用概念】：（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割線，∠ACB=_________．【答案】（1）△ABC與△ACD，△ABC與△CBD，△ACD與△CBD是“等角三角形”；（2）見解析；（3）111°或84°或106°或92°【分析】（1）根據(jù)“等角三角形”的定義解答即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACD=∠DCB=12∠ACB=40°，根據(jù)“（3）分△ACD是等腰三角形，DA=DC、DA=AC和△BCD是等腰三角形，【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∴△ABC與△ACD，△ABC與△CBD，△ACD與△CBD是“等角三角形”；（2）證明：∵在△ABC中，∠A=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，∵CD為角平分線，∴∠ACD=∠DCB=1∴∠ACD=∠A，∴CD=DA，∵在△DBC中，∠DCB=40°，∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°，∴∠BDC=∠ACB，∵CD=DA，∴CD為△ABC的等角分割線；（3）解：當(dāng)△ACD是等腰三角形，DA=DC時(shí)，∠ACD=∠A=42°，∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°，當(dāng)△ACD是等腰三角形，DA=AC時(shí)，∠ACD=∠ADC=69°，∴∠ACB=69°+42°=111°，當(dāng)△BCD是等腰三角形，DC=BD時(shí)，∠ACD=∠BCD=∠B=46°，∴∠ACB=92°，當(dāng)△BCD是等腰三角形，DB=BC時(shí)，∠BDC=∠BCD，設(shè)∠BDC=∠BCD=x，則∠B=180°-2x，則∠ACD=∠B=180°-2x，由題意得，180°-2x+42°=x，解得x=74°，∴∠ACD=180°-2x=32°，∴∠ACB=106°，∴∠ACB的度數(shù)為111°或84°或106°或92°．故答案為：111°或84°或106°或92°．【點(diǎn)睛】本題考查了“等角三角形”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像這樣的三角形叫做黃金三角形．(1)請你設(shè)計(jì)三種不同的分法，將黃金三角形ABC分割成三個(gè)等腰三角形，使得分割成的三角形中含有兩個(gè)黃金三角形（畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標(biāo)出能夠說明不同分法所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求寫畫法，不要求證明．分別畫在圖1，圖2，圖3中）注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認(rèn)為是兩種不同的分法．(2)如圖4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中點(diǎn)E，連接EF并延長交BC的延長線于M．試判斷CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系？只需說明結(jié)果，不用證明．答：CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)畫圖見解析；(2)CM=AB【分析】（1）黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，它的頂角為36°，每個(gè)底角為72°．它的底與它的腰成黃金比．當(dāng)?shù)捉潜黄椒謺r(shí)，角平分線分對邊也成黃金比，并形成兩個(gè)較小的等腰三角形．這兩三角形之一相似于原三角形．依此作圖即可．（2）連接AM，根據(jù)黃金三角形的性質(zhì)即可得出CM與AC之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）連接AM，如圖：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=1∵BF平分∠ABC交AC于F，∴∠1=∠2=36°，∴∠BAC=∠1，∴BF=AF∵E是AB的中點(diǎn)，∴EM垂直平分AB，∴AM=BM，∴∠AMB=180°-2∠ABC=180°-2×72°=36°，∴∠CAM=∠ACB-∠BMA=72°-36°=36°，∴∠CAM=∠CMA，∴AC=CM，∴CM=AB．故答案為：CM=AB【點(diǎn)睛】本題考查了黃金三角形，注意線段的黃金分割點(diǎn)的概念的延伸，關(guān)鍵是能夠根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析并作圖．【題型8角平分線的綜合應(yīng)用】【例8】（2023春·福建廈門·八年級福建省廈門第二中學(xué)校考期中）已知：在ΔABC和ΔDEC中，AC=BC，DC=EC，(1)如圖1，A，C，D在同一直線上，延長AE交BD于F，求證：AF⊥BD；(2)如圖2，AE與BD交于F，G在AD上，若FG平分∠AFD，求證：點(diǎn)C在直線FG上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先說明∠ACB=∠ECD=12×180°=90°，根據(jù)SAS證明ΔACE≌Δ（2）連接CF，過點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，CN⊥AE于點(diǎn)N，根據(jù)SAS證明ΔBCD≌ΔACE得出∠CBM=∠CAN，根據(jù)AAS證明ΔCBM≌ΔCAN，得出CM=CN，說明CF平分【詳解】（1）證明：∵A，C，D在同一直線上，∠ACB=∠ECD=α，∴∠ACB=∠ECD=1∵在ΔACE和ΔBCD中∴Δ∴∠CAE=∠CBD，∵∠CBD+∠BDC=90°，∴∠CAE+∠CDB=90°，∴∠AFD=180°-∠CAE+∠CDB∴AF⊥BD．（2）證明：連接CF，過點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，CN⊥AE于點(diǎn)N，如圖所示：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，即∠BCD=∠ACE，∵在ΔBCD和ΔACE中∴ΔBCD≌∴∠CBM=∠CAN，∵在ΔCBM和ΔCAN中∴ΔCBM≌∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠MFN，∴∠MFC=∠NFC，∵FG平分∠AFD，∴∠AFG=∠DFG，∵∠MFA=∠NFD，∴∠CFM+∠MFA+∠AFG=∠CFN+∠NFD+∠DFG，∵∠CFM+∠MFA+∠AFG+∠CFN+∠NFD+∠DFG=360°，∴∠CFM+∠MFA+∠AFG=∠CFN+∠NFD+∠DFG=180°，∴C、F、G在同一直線上，即點(diǎn)C在直線FG上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．【變式8-1】（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：∠AOB=60°，小新在學(xué)習(xí)了角平分錢的知識后，做了一個(gè)夾角為120°（即∠DPE=120°）的角尺來作∠AOB的角平分線．(1)如圖1，他先在邊OA和OB上分別取OD=OE，再移動角尺使PD=PE，然后他就說射線OP是∠AOB的角平分線．試根據(jù)小新的做法證明射線OP是∠AOB的角平分線；(2)如圖2，將角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出現(xiàn)了PD=PE，此時(shí)OP是∠AOB的角平分線嗎？如果是，請說明理由．(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得DP∥OB，請判斷線段OD與【答案】(1)見解析(2)是，理由見解析(3)OE=2OD，理由見解析【分析】（1）根據(jù)SSS證明ΔOPD?（2）過點(diǎn)P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．證明ΔDPH?（3）結(jié)論：OE=2OD．OB上取一點(diǎn)T，使得OT=OD，連接PT．想辦法證明PT=OT，PT=TE，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：如圖1中，在ΔOPD和ΔOD=OEPD=PE∴Δ∴∠POD=∠POE．（2）解：結(jié)論正確．理由：如圖2中，過點(diǎn)P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．∵∠PHO=∠PKB=90°，∠AOB=60°，∴∠HPK=120°，∵∠DPE=∠HPK=120°，∴∠DPH=∠EPK，在ΔOPH和Δ∠PHO=∠PKB=90°∠DPH=∠EPK∴Δ∴PH=PK，則OP是∠AOB的角平分線；（3）解：結(jié)論：OE=2OD．理由：如圖3中，在OB上取一點(diǎn)T，使得OT=OD，連接PT．∵OP平分∠AOB，∴∠POD=∠POT，在ΔPOD和ΔOD=OT∠POD=∠POT∴Δ∴∠ODP=∠OTP，∵PD∥∴∠PDO+∠AOB=180°，∠DPE+∠PEO=180°，∵∠AOB=60°，∠DPE=120°，∴∠ODP=120°，∠PEO=60°，∴∠OTP=∠ODP=120°，∴∠PTE=60°，∴∠TPE=∠PET=60°，∴TP=TE，∵∠PTE=∠TOP+∠TPO，∠POT=30°，∴∠TOP=∠TPO=30°，∴OT=TP，∴OT=TE，∴OE=2OD．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．【變式8-2】（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ形膱@中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC=(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與(3)如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN=60°，連接BD，作∠ABD的平分線BP交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG【答案】(1)證明見解析；(2)AD-(3)6．【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=（2）過點(diǎn)C作CF⊥AD，利用AAS證明△AEC≌△AFC，從而得到CE（3）在BD上截取BH=BG，連接OH，證明△OBH≌△OBG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OHB=∠【詳解】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為∵AC平分∠MAN，CE⊥AB∴CE=∵∠CBE+∠ADC∴∠CBE在△BCE和△∠CBE=∴△BCE≌△DCF∴BC=（2）解：AD-如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為∵AC平分∠MAN∴∠∵CE⊥AB，∴∠∵∠AEC=∠AFC=90°∴△AEC≌△AFC∴CE=CF，∵∠ABC∴∠CBE在△BCE和△∠CBE=∴△BCE≌△DCF∴DF=∴AD∴AD-（3）解：如圖3，在BD上截取BH=BG，連接在△OBH和△BH=∴△∴∠OHB∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠∴點(diǎn)O到AD，∴∠ODH∵∠∴∠DOH∴∠GOH∴∠BOG∴∠DOF∴∠DOH在△ODH∠DOH=∴△ODH∴DH=∴DB=【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是作合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形．【變式8-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF相交于點(diǎn)G，∠BAC=60°（1）求∠BGC的度數(shù)；（2）如圖2，連接AG，求證：AG平分∠BAC；（3）如圖3，在⑵的條件下，在AC上取點(diǎn)H，使得∠AGH=∠BGC，且AH=8，BC=10，求ΔABC【答案】（1）120°；（2）見解析；（3）28【分析】（1）利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，兩個(gè)角的和求解即可；（2）利用角平分線的判定定理證明判斷即可；（3）利用兩次三角形的全等證明即可．【詳解】（1）證明：如圖1，∵BE、CF分別平分∴∠1=1∴∠1+∠2=1∵∠BAC=60°，∴∠BGC=180°-(∠1+∠2)=90°+1(2)如圖2，過點(diǎn)G分別作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q，∵BE平分∠ABC，GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，

∴GM=GN，同理GN=GQ，∴GM=GQ，∵GM⊥AB于M，GQ⊥AC于Q，

∴AG平分∠BAC；（3）解：∵GM⊥AB于M，GQ⊥AC于Q，GM=GQ，∴AG平分∠BAC，∵又∠BAC=60°，

∴∠BAG=∠CAG=30°，在BC上取點(diǎn)K，使BK=BA，∵BE平分∠ABC∴∠ABG=∠CBG，又∵BG=BG，∴Δ∴∠BKG=∠BAG，∴∠BKG=∠BAG=30∴∠GKC=∵∠AGH=∠BGC=120°，∠CAG=30°，∴∠GHC=120°+30°=150°，∴∠GKC=∠GHC，又∵CG=CG，∠KCG=∠HCG，∴Δ∴CK=CH，△ABC的周長為：AB+BC+CA=AB+(BK+KC)+(AH+CH)=2BC+AH=2×10+8=28，∴ΔABC的周長是【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線定義，性質(zhì)定理和逆定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理，靈活運(yùn)用三角形全等的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【題型9垂直平分線的綜合應(yīng)用】【例9】（2023春·福建莆田·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長線于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接CE并延長交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正確的有

【答案】①②③④【分析】①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，求解即可；②③延長GD與AC交于點(diǎn)I，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可；④在DF上截取DM=CD，利用垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：設(shè)∠GCD=x，∠DAC=y，

∵CD平分∠MCB，AP平分∠CAB，∴∠BCD=∠MCD，∠CAD=由三角形外角的性質(zhì)可得：∠MCD=x=y+∠ADC∴∠ADC=12延長GD與AC交于點(diǎn)I，如下圖：∵DE⊥CF∴∠CDG=∠CDI=90°∵CF平分∠GCI∴∠GCD=∠ICD又∵CD=CD，∴△GCD≌△ICD∴CG=CI∵∠ADC=45°∴∠ADI=∠ADF=135°又∵∠FAD=∠IAD，AD=AD∴△AFD≌△AID∴AF=AI∴AF-CG=CA②正確；同理可得：△ACD≌△AED∴DE=DC，③正確；在DF上截取DM=CD，則DE是CM的垂直平分線，如下圖：

∴CE=EM∵△AFD≌△AID∴∠I=∠DFE，AF=AI又∵∠CDI=∠EDF=90°∴∠DCG=∠DEF∵∠ECG=∠GCD-45°，∠MEF=∠DEF-45°∴∠MEF=∠ECG∵△ACD≌△AED∴AC=AE∴EF=CI又∵CI=CG∴EF=CG又∵EM=CE∴△EMF≌△CEG∴FM=GE∴CF=2CD+EG④正確故答案為：①②③④【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形．【變式9-1】（2023春·四川成都·八年級四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射線AD、AE的夾角為55°，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，直線BF交AE于點(diǎn)G，連接CG．

(1)如圖1，若射線AD、AE都在∠BAC的內(nèi)部，且點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于AD對稱，求證：CG=(2)如圖2，若射線AD在∠BAC的內(nèi)部，射線AE在∠BAC的外部，其他條件不變，求證：CG+2GF=BG；(3)如圖3，若射線AD、AE都在∠BAC的外部，其他條件不變，若CG=145GF，AF=3，S【答案】(1)見解析(2)見解析(3)BF=11.25【分析】1先判斷出AC=AB'，再用等式的性質(zhì)判斷出∠BAF=∠B2先判斷出∠GAF=∠G'AF，再判斷出∠GAC=∠G'3同2的方法判斷出CG=G'B【詳解】（1）證明：如圖1，連接AB

∵B，B'關(guān)于AD∴BB'被∴AB∵AC=AB，∴AC=AB∵AF⊥BG，∴∠BAF=∠B∵∠GAF=55°，∴∠B∵∠CAB=110°，∴∠CAG+∠FAB=55°，∴∠B∵∠BAF=∠B∴∠GAB∵AG=AG，∴△CGA≌△B∴CG=B（2）證明：如圖2，在FB上截取FG'=GF

∵BF⊥AD，∴AG=AG∴∠GAF=∠G∴∠GAG∵∠CAB=110°，∴∠GAG∴∠GAG∴∠GAC=∠G∵AC=AB，∴△GAC≌△G∴CG=G∵FG∴CG∵GB=GG∴GB=2GF+CG，∴CG=GB-2GF；即CG+2GF=BG；（3）解：如圖3，延長BF至點(diǎn)G'，使G'F=GF

∵BF⊥AD，∴AG=AG∴∠GAF=∠G∴∠GAG∵∠CAB=110°，∴∠GAG∴∠GAG∴∠GAC=∠G∵AC=AB，∴△GAC≌△G∴CG=G∵CG=14∴設(shè)GF=5k，CG=14k，∴G'F=5k∴BG=4k，∵AF=3，S△ABG∴1∴1∴k=1.25，∴BF=9k=11.25．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，判斷出CG=GB【變式9-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于點(diǎn)F，AC=6，BC=9，則BF的長為．

【答案】3【分析】連接AE，過點(diǎn)E作EN⊥AC，交AC的延長線于N，由∠ACE+∠BCE=180°，可得∠BCE=∠NCE；由D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，則可得AE=BE；證明△EFC≌△ENC，再證明△BEF≌△AEN即可求得結(jié)果．【詳解】解：連接AE，過點(diǎn)E作EN⊥AC，交AC的延長線于N，如圖，∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECN=180°，∴∠BCE=∠NCE；∵D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∴AE=BE；∵EF⊥BC，EN⊥AC，∴∠EFC=∠ENC=90°，∵EC=EC，∴△EFC≌△ENC，∴EF=EN,CF=CN；∵EF⊥BC,EN⊥AC，AE=BE，EF=EN，∴△BEF≌△AEN，∴BF=AN，∴BC-CF=AC+CN，即9-CF=6+CN，∴CF=3

故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握這兩個(gè)性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若點(diǎn)D為∠BAC的平分線上一點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)D在△ABC的外部時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延長線于F，且BE＝CF．①求證：點(diǎn)D在BC的垂直平分線上；②BE＝．（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E，交AD與點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥BE，交BC于點(diǎn)G，則①∠DFG＝；②若BC＝8，EC＝83，則GC＝（3）如圖3，過點(diǎn)A的直線l∥BC，若∠C＝90°，BC＝8，點(diǎn)D到△ABC三邊所在直線的距離相等，則點(diǎn)D到直線l的距離是．【答案】（1）①見解析；②2；（2）①45°；②43；（3）2或4或6或12【分析】（1）①由AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，得出DE=DF，借助Rt△BDE≌Rt△CDF，得到BD=CD，即可證明點(diǎn)D在BC的垂直平分線上；②通過Rt△ADE≌Rt△ADF證出AE=AF，從而有AB-BE=AC+CF，即可得出2BE=4，即可求出BE的長；（2）①先利用角平分線的定義求得∠ABF+∠BAF=45°，再利用三角形的外角性質(zhì)求得∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，即可求解；②延長FG交AB于H，證明△AFH≌△AFE(ASA)，得到AH=AE=103，再由△BFG≌△BFH(ASA（3）分4種情況討論，分別畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）①證明：連接BD，CD，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF∠BED=∠CFD=90°∴Rt△BDE≌Rt△CDF(SAS)，∴BD=CD，∴點(diǎn)D在BC的垂直平分線上；②由①知：DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB-BE=AC+CF，∴10-BE=6+BE，∴BE=2；故答案為：2；（2）①∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∠C=90°，∴12∠ABC+12∠BAC=12×90°=45°，即∠ABF∴∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，∵FG⊥BE，即∠BFG=90°，∴∠DFG=90°-∠DFB=45°；故答案為：45°；②延長FG交AB于H，∵∠AFH=∠DFG=45°，∠AFE=∠BFD=45°，∴∠AFH=∠AFE，∵∠HAF=∠EAF，AF=AF，∴△AFH≌△AFE(ASA)，∴AH=AE，∴AB=10，AC=6，BC=8，EC=83∴AE=AC-CE=6-83∴AH=AE=10∴BH=AB-AH=20∵∠CBE=∠ABE，∠BFH=∠BFG，BF=BF，∴△BFG≌△BFH(ASA)，∴BH=BG=20∴GC=BC-BG=8-20故答案為：43（3）當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖：∵SΔ∴6×8=(6+8+10)?h∴h=2，點(diǎn)D到直線l的距離是AC-h=6-2=4；當(dāng)點(diǎn)D在BC的下方時(shí)，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為x，由題意得：BE=8-x，AE=AF，∴10+8-x=6+x，∴x=6，點(diǎn)D到直線l的距離是AF=12；當(dāng)點(diǎn)D在AC的右邊時(shí)，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為y，同理可得：8+y=10+6-y，∴x=4，點(diǎn)D到直線l的距離是6-y=2；當(dāng)點(diǎn)D在AB的上方時(shí)，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為z，同理可得：z-6+z-8=10，∴z=12，點(diǎn)D到直線l的距離是z-6=6；綜上，點(diǎn)D到直線l的距離是2或4或6或12．故答案為：2或4或6或12．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練使用各性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．【題型10直角三角形斜邊中線的綜合應(yīng)用】【例10】（2023春·安徽阜陽·八年級校考期中）綜合與實(shí)踐已知△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，其中∠BAC=∠BDE=90°，連接CE，P是EC的中點(diǎn)，連接PA，【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)B，D，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA和PD的數(shù)量關(guān)系為【深入探究】(2)如圖2，當(dāng)B，D，【拓展提高】(3)如圖3，若等腰直角△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EC恰好與BD平行時(shí)，（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？請加以證明．【答案】(1)PA=PD，PA⊥PD(2)成立，理由見解析(3)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等腰三角形等邊對等角可得結(jié)論；（2）延長DP交AC于點(diǎn)G，證明△PED≌△PCG(ASA)，進(jìn)而得出△ADG是等腰直角三角形，P是（3）延長DP至F，使PF=PD，連接AD,AF,CF，先證明△DPE≌△FPC(SAS)，然后證明△ABD≌△ACF(SAS)，進(jìn)而得到△ADF是等腰直角三角形且點(diǎn)【詳解】（1）解：∵∠BAC=∠BDE=90°，P是EC的中點(diǎn)，∴AP=12EC=PC∴PA=PD，∵△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，即∠ACP+∠DCP=45°，∵∠ACP=∠CAP,∠PCD=∠PDC，∴∠APE=2∠ACP，∠EPD=2∠PCD，∴∠APD=∠APE+∠EPD=2(∠ACP+∠PCD)=2×45°=90°，∴PA⊥PD，故答案為：PA=PD，PA⊥PD；（2）成立，理由如下：延長DP交AC于點(diǎn)G，∵∠BAC=∠BDE=90°，∴DE∥∴∠PED=∠PCG，∵P是EC的中點(diǎn)，∴PE=PC，在△PED和△PCG中，∠PED=∠PCGPE=PC∴△PED≌∴ED=CG，PD=PG，∴P是DG的中點(diǎn)，∵BD=DE，∴CG=BD，∵AB=AC，∴AB-BD=AC-CG，即AD=AG，∴△ADG是等腰直角三角形，P是DG的中點(diǎn)，∴PA=PD，PA⊥PD；（3）成立，理由如下：延長DP至F，使PF=PD，連接AD,AF,CF，∵△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠DBE=∠DEB=45°,即∠EBC+∠DBC=∠BCE+∠ACE，∵CE∥∴∠BCE=∠DBC，∴∠ACE=∠EBC，∴∠ABD=∠ABC+∠DBE-∠EBC=90°-∠EBC，∵CE∥∴∠CED=∠BDE=90°，∵P是EC的中點(diǎn)，∴CP=EP，在△DPE和△FPC中，PE=PC∠DPE=∠FPC∴△DPE≌∴DE=FC,∠PED=∠PCF=90°，∴∠ACF=90°-∠ACE，∴∠ABD=∠ACF，∵BD=DE，∴BD=CF，在△ABD和△ACF中，AB=AC∠ABD=∠ACF∴△ABD≌∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴∠BAD+∠CAD=∠CAF+∠CAD，∴∠DAF=∠BAC=90°，∴△ADF是等腰直角三角形且點(diǎn)P是DF的中點(diǎn)，∴AP=DP=FP=1∴PA=PD,PA⊥PD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出合理輔助線