13.2 畫軸對稱圖形（解析版）

2023-2024學年八年級數(shù)學上冊同步配套教學講義與重難點突破（人教版）13.2畫軸對稱圖形1.理解和掌握軸對稱和軸對稱圖形的畫法；2.坐標系中點的對稱性及其特征。1.軸對稱(軸對稱圖形)的性質(zhì)(1)關(guān)于某條直線成軸對稱的兩個圖形全等，對應線段、對應角相等，只要是對應的部分就全等。(2)對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。(3)對應線段所在的直線若相交，則交點在對稱軸上。【理解與拓展】成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)應注意以下兩點：①成軸對稱的兩個圖形沿對稱軸折疊能夠相互重合，所以它們一定是全等的，但全等的兩個圖形不一定是軸對稱圖形。②成軸對稱的兩個圖形能夠重合，所以它們的周長、面積也相等，但周長或面積相等的兩圖形不一定成軸對稱。2.軸對稱(軸對稱圖形)對稱軸的畫法如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。因此，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸。同樣，對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸。3.關(guān)于某直線成軸對稱的兩個圖形之間的關(guān)系(1)由一個平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l成軸對稱的圖形，所得圖形與原圖形全等。(2)新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于直線l的對稱點。(3)連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分。4.畫已知圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形(1)依據(jù)：如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。據(jù)此，我們通過作出已知點的對稱點的方法作出已知圖形的軸對稱圖形。(2)方法①選：在原圖上選擇一些關(guān)鍵點。②作：過這些點分別作已知直線(對稱軸)的垂線，并在垂線上找到一些點(截取)，使得這些點到對稱軸的距離分別與在原圖上選擇的一些關(guān)鍵點到對稱軸的距離相等，從而得到已知點的對稱點。③連：順次連接這些對稱點，得到的圖形即為已知圖形的軸對稱圖形。5.關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標的特點在平面直角坐標系中，點(x，y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標為(x，-y)，即橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點的坐標為(-x，y)，即橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同。技巧關(guān)于坐標軸對稱點的坐標關(guān)系：關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標的特點可以簡單記為“關(guān)于誰對稱誰不變”，理解為關(guān)于x軸對稱，橫坐標x的值不變；關(guān)于y軸對稱，縱坐標y的值不變。6.點P(x，y)關(guān)于直線x=m、直線y=n對稱的點的坐標軸對稱是關(guān)于某條直線的對稱，在平面直角坐標系中，除了關(guān)于x軸、y軸對稱，圖形還能關(guān)于平行于x軸、y軸的任意一條直線對稱，并且坐標變化規(guī)律也不盡相同。但是，不論關(guān)于任何一條直線對稱，它們都成軸對稱，都具備軸對稱的性質(zhì)，我們?nèi)匀荒芨鶕?jù)軸對稱的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，畫出軸對稱圖形，得出對應點的坐標。規(guī)律點(x，y)關(guān)于直線x=m對稱的點的坐標關(guān)系是：兩對稱點橫坐標之和等于2m，即所求點的橫坐標x?=2m-x，縱坐標不變；關(guān)于直線y=n對稱的點的坐標關(guān)系是：橫坐標不變，兩對稱點縱坐標之和等于2n，即所求點的縱坐標y?=2n-y。7.平面直角坐標系中的軸對稱(1)意義：根據(jù)平面直角坐標系中關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標變化規(guī)律，可以作出一個圖形關(guān)于x軸、y軸的對稱圖形。(2)方法：先求出已知圖形中一些特殊點關(guān)于x軸(或y軸)的對稱點的坐標，描出這些點，并順次連接，就可得到這個圖形關(guān)于x軸(或y軸)的對稱圖形。題型一求對稱軸的條數(shù)下列圖形中，對稱軸最少的對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)圖形逐個判斷出對角線條數(shù)比較即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，A一條對稱軸，B四條對稱軸，C五條對稱軸，D三條對稱軸，故選A；1．下列圖形對稱軸條數(shù)最多的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先分別找到每個選項中圖形的對稱軸的條數(shù)即可解答．【詳解】解：A．圖形有5條對稱軸；B．圖形有3條對稱軸；C．圖形沒有對稱軸；D．圖形有4條對稱軸；所以對稱軸條數(shù)最多的是A．故選：A．2．下列軸對稱圖形中，對稱軸的條數(shù)四條的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，分別找出圖中的軸對稱的條數(shù)，即可求解．【詳解】解：軸對稱圖形中，對稱軸的條數(shù)四條的只有圖形（1），（2）；圖形（3）是無數(shù)條；圖形（4）是兩條；圖形（5）是七條．故選：B．題型二鏡面對稱問題某公路急轉(zhuǎn)彎處設立了一面圓形大鏡子，車內(nèi)乘客從鏡子中看到汽車前車牌的部分號碼如圖所示，則該車牌的部分號碼為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，平面鏡中的成像與現(xiàn)實中的事物恰好左右顛倒，并關(guān)于鏡面對稱，由此可得題中圖形在現(xiàn)實中的樣子.【詳解】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)可得，題中圖形在現(xiàn)實中的圖形為故選：C.1．小明玩自拍，自拍照中電子鐘示數(shù)如圖所示，拍照的時刻應是（

）A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01【答案】C【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻與成軸對稱，所以此時實際時刻為．故選：C2．小明在鏡中看到身后墻上的時鐘，實際時間最接近8時的是下圖中的（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】鏡面對稱的性質(zhì)：平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：實際時間最接近8時的時鐘，在鏡子里看起來應該是4點，所以圖C所示的時間最接近8時．故選：C．題型三畫軸對稱圖形如圖，在直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，，請回答下列問題：(1)在圖中作出關(guān)于軸對稱的，點與、與對應，并寫出點、的坐標．(2)求的面積．【答案】(1)畫圖見解析，、(2)【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，畫出，根據(jù)坐標系寫出點、的坐標；（2）根據(jù)正方形的面積減去三個三角形的面積即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，、；

（2）的面積為．1．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．(1)在圖中作出關(guān)于直線l對稱的（要求A與，B與，C與相對應）(2)在直線l上找一點P，使得的周長最小【分析】（1）分別作出點A、B、C關(guān)于直線l對稱的點，然后順次連接；（2）連接與l的交點即為點P，此時的周長最?。驹斀狻浚?）解：所作圖形如圖所示；

；（2）解：點P即為所求的點．由軸對稱知，又的長為定值，∴的周長為，∴當共線時，的周長最?。?．如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點均在正方形網(wǎng)格的格點上．(1)直接寫出頂點A，B，C的坐標；(2)在圖中作出關(guān)于x軸的對稱圖形，并寫出點，，的坐標．【答案】(1)，，(2)畫圖見解析，，，【分析】（1）根據(jù)圖形直接寫出點的坐標即可；（2）根據(jù)軸對稱變換的性質(zhì)找出對應點即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知：，，；（2）如圖所示，即為所求，，，；

一、單選題1．點關(guān)于軸對稱的點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】關(guān)于y軸對稱的兩個點的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：點關(guān)于y軸對稱的點的坐標為．故選：B．2．剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點的坐標為，其關(guān)于軸對稱的點的坐標，則的值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】C【分析】關(guān)于y軸對稱的兩個點的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，由此求出m和n，再代入求值．【詳解】解：與關(guān)于軸對稱，，解得，，故選C．3．正方形的對稱軸的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)正方形的對稱性解答．【詳解】解：正方形有4條對稱軸．故選：D．4．若點與點關(guān)于軸對稱，則的值為（

）A．4 B． C．0 D．2【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于軸對稱點的坐標特點：縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)可得、的值，再計算即可．【詳解】解：∵點與點關(guān)于軸對稱，，，解得，．所以．故答案選：C．5．有一些含有特殊數(shù)學規(guī)律的車牌號碼，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，這些牌照中的五個數(shù)字都是關(guān)于中間的一個數(shù)字“對稱”的，給人以對稱的美的感受，我們不妨把這樣的牌照叫做“數(shù)字對稱”牌照．如果讓你負責制作只以8或9開頭且有五個數(shù)字的“數(shù)字對稱”牌照，那么最多可制作（）A．200個 B．400個 C．1000個 D．2000個【答案】A【分析】根據(jù)有5個數(shù)字的“數(shù)字對稱”牌照，第一個數(shù)與第五個數(shù)相同，第二個數(shù)與第四個數(shù)相同分析，分以8開頭和以9開頭兩類，只考慮第二個數(shù)和第三個數(shù)，即可求解；【詳解】解：根據(jù)題意，若以8開頭，則第五個也是8，只需考慮中間3位，又因為第二位和第四位是相等的，只需考慮第二位和第三位，共有種情況．同樣地，以9開頭只需考慮中間3位，又因為第二位和第四位是相等的，只需考慮第二位和第三位，共有種情況，所以最多可制作200個．故選：A．6．如圖，在中，平分，E，P分別是，上的動點，連接，．若，，則的最小值是（

）A．3 B．6 C．10 D．12【答案】B【分析】過點C作交于點P，過點P作，此時最小，再利用，求出的長度，即為的最小值．【詳解】解：過點C作交于點P，過點P作，

∵平分，，，，∴此時最短，最短距離為的長，∵，，，，，最小值為6．故選：B．7．如圖，，為內(nèi)一點，為上一點，為上一點，當?shù)闹荛L取最小值時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，作點關(guān)于的對稱點，與交點為，與交點為，連接交于兩點，則，，由題意知，當四點共線時，的周長最小，由，，可知，，則，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，與交點為，與交點為，連接交于兩點，則，，

由題意知，當四點共線時，的周長最小，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：C．8．如圖，在平面直角坐標系中，對進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若原來點B坐標是，則經(jīng)過第2023次變換后點B的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，每四次變換為一個循環(huán)組循環(huán)，用2023除以4，根據(jù)余數(shù)的情況確定最后點B所在的象限，然后根據(jù)關(guān)于坐標軸對稱的點的變化規(guī)律解答．【詳解】點B第一次關(guān)于x軸對稱后在第三象限，點B第二次關(guān)于y軸對稱后在第四象限，點B第三次關(guān)于x軸對稱后在第一象限，點B第四次關(guān)于y軸對稱后在第二象限，所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵余3，∴經(jīng)過第2023次變換后所得的B點與第三次變換的位置相同，坐標為．故選：D二、填空題9．在平面直角坐標系中，若點和點關(guān)于y軸對稱，則＝．【答案】【分析】關(guān)于y軸對稱的點的特征是縱坐標不變，橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，據(jù)此解得a，b的值即可解題．【詳解】解：∵點和點關(guān)于y軸對稱，∴，解得：，則．故答案為：．10．如圖，點是內(nèi)部的一點，，，，分別是，上的兩個動點，則周長的最小值．【答案】9【分析】設點P關(guān)于的對稱點為C，關(guān)于的對稱點為D，當點M、N在上時，的周長最小．【詳解】分別作點P關(guān)于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．

∵點P關(guān)于的對稱點為C，∴；∵點P關(guān)于的對稱點為D，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值=．故答案為：9．11．在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示,這時的時間應是．【答案】【分析】在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，由此可解．【詳解】解：題中所給的“”與“”成軸對稱，這時的時間應是．故答案為：．12．剪紙藝術(shù)是中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學中的對稱美，如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點E的坐標為，其關(guān)于y軸對稱的點F坐標為，則的值為．【答案】1【分析】利用軸對稱的性質(zhì)構(gòu)建方程組，求出m，n，可得結(jié)論．【詳解】解：∵，關(guān)于y軸對稱，∴，解得，，∴，故答案為：1．三、解答題13．把點向上平移4個單位，所得的點與點關(guān)于軸對稱．(1)求的值；(2)寫出線段上任意一點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)則，得到的坐標，再根據(jù)關(guān)于軸對稱的點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，進行求解即可．（2）根據(jù)兩點的橫坐標相同，得到軸，得到線段上任意一點的橫坐標均為3，即可．【詳解】（1）點向上平移4個單位，所得的點，∵點與點關(guān)于軸對稱，∴，∴；（2）∵，，∴軸，∴線段上任意一點的坐標為：．14．如圖，已知網(wǎng)格上最小的正方形的邊長為1．(1)作關(guān)于x軸對稱的圖形（不寫作法）；(2)求的面積；(3)在y軸上找一點P使得最?。敬鸢浮?1)見解析(2)；(3)見解析【分析】（1）分別作出各點關(guān)于軸的對稱點，再順次連接即可；（2）用所在的長方形面積減去周圍三個三角形面積進行求解即可；（3）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

；（2）解：；（3）解：如圖所示，點即為所求．，15．如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點的坐標分別為，，．(1)的面積為__________．(2)畫出關(guān)于軸的對稱圖形；再畫出沿軸向右平移個單位長度后再向下平移個單位得到的；(3)若上有一點，經(jīng)過上述三次變換后，點的對應點的