考點(diǎn)14 直線與圓的位置關(guān)系的7大題型方法歸類-解析版

考點(diǎn)14直線與圓的位置關(guān)系的7大題型方法歸類1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）只有當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線與圓的公共點(diǎn)才稱為切點(diǎn)；(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系，可以通過公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，若不知道公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就需要轉(zhuǎn)化為比較圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系。設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交2切線的判定定理和輔助線的作法圓的切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。作輔助線判定圓的切線的常用方法：①有交點(diǎn)，連半徑，證重直；②無交點(diǎn)，作垂直，證半徑。利用圓的切線的判定定理判定切線時(shí)，把握兩個(gè)要素：一是經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)，二是垂直于這條半徑.這兩者缺一不可。3切線的性質(zhì)定理（1）圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.（2）切線的主要性質(zhì)：A切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；B圓心到切線的距離等于圓的半徑；C切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；D經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；E經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心切線的性質(zhì)C、D、E可歸納如下：對(duì)于如下三個(gè)結(jié)論：①過圓心，②過切點(diǎn)，③垂直于切線，若直線滿足這三個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè)，便可得到第三個(gè)結(jié)論。注：如果直線上一個(gè)點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑，那么這條直線與圓可能相切也可能相交。4切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算或證明的方法1.切線長經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。2切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。注：(1)圓的切線一般指的是直線，而切線長是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度；切線長定理可以通過判定直角三角形全等的判定定理“HL”進(jìn)行證明。利用切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算或證明：先構(gòu)建切線長定理的基本圖形，再利用切線長相等這一性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，或利用切線長定理中所隱含的等腰三角形、垂直平分線等條件來進(jìn)行計(jì)算或證明.5直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系的求法設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,r為其內(nèi)切圓的半徑長，若利用切線長定理推導(dǎo)，則r=(a+b-c)/2;若利用等面積法推導(dǎo)，則r=aba6三角形內(nèi)切圓概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心和外心的區(qū)別：外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)。作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點(diǎn)即為外接圓圓心。性質(zhì)：外接圓圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。內(nèi)切圓圓心：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。作法：做三角形三角的角平分線，取交點(diǎn)即為內(nèi)接圓圓心。性質(zhì)：內(nèi)接圓圓心到三角形三邊距離相離。直角三角形三邊和內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系：7圓的綜合問題考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法考點(diǎn)2切線的判定定理和輔助線的作法考點(diǎn)3切線的性質(zhì)定理考點(diǎn)4切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算或證明的方法考點(diǎn)5直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系考點(diǎn)6三角形內(nèi)切圓考點(diǎn)7圓的綜合問題考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法1．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為是直線上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離分別為，，則直線和的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【分析】可判斷圓心到直線l的距離小于半徑，從而得出結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)A到圓心O的距離為，∴圓O到直線的距離，∴，∴直線l和的位置是相交，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．2．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，，為上一點(diǎn)，且，以點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓與的位置關(guān)系是（

）

A．相離 B．相交 C．相切 D．以上三種情況均有可能【答案】C【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得，再由直線與圓的位置，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，

∵，，∴，∵以點(diǎn)為圓心的圓的半徑為3，∴以點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓與的位置關(guān)系是相切．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）中，，，，若以點(diǎn)C為圓心，以r為半徑的圓與所在直線相交，則r可能為（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出，再利用面積法求出的長，即可得到答案．【詳解】解：如圖，中，，，，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)C為圓心r為半徑的圓與所在直線相交，故選：D．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形的面積法求斜邊上的高線，直線與圓的位置關(guān)系，理解以點(diǎn)C為圓心r為半徑的圓與所在直線相交先求出最短距離進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)⊙O的直徑為m，直線l與⊙O相離，點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d與m的關(guān)系是（）A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m【答案】C【分析】根據(jù)直線和圓相離，則圓心到直線的距離大于半徑，得2d＞m．【詳解】解：∵⊙O的直徑為m，點(diǎn)O到直線L的距離為d，直線L與⊙O相離，∴d＞，即2d＞m，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)．5．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為5，直線與有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離可能為（

）．A．4.5 B．5.5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)直線AB和⊙O有公共點(diǎn)可知：d≤r進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5，直線AB與⊙O有公共點(diǎn)，∴圓心O到直線AB的距離0＜d≤5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．考點(diǎn)2切線的判定定理和輔助線的作法6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．(1)的周長為______．(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺在上確定一點(diǎn)，使以點(diǎn)為圓心，以為半徑的與相切．（保留作圖痕跡）【答案】(1)12(2)見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、切線的判定定理作圖即可．【詳解】（1）解：由勾股定理得：，則的周長，故答案為：12；（2）延長至，使，連接，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、切線的判定定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，連接，作，交的延長線于點(diǎn)．求證：是的切線．

【答案】見解析【分析】連接，利用圓周角定理可得，利用角平分線的性質(zhì)及等量代換可得，利用等邊對(duì)等角性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可求證結(jié)論．【詳解】證明：連接，如圖所示：

是的直徑，，即，平分，，，，，，，，即，，又是的半徑，是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)、切線的判定，熟練掌握其基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，的半徑為3．求證：是的切線．

【答案】見解析【分析】先作，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，進(jìn)而得出答案.【詳解】證明：如圖，過O作于C，∵，，∴，在中，，∵的半徑為3，∴為的半徑，∴是的切線．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，理解切線的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以等邊三角形的邊為直徑畫，交于點(diǎn)于點(diǎn)．求證：是的切線．

【答案】見解析【分析】連接，根據(jù)等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)證明，推出，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】證明：連接．是等邊三角形，．又，，．，，又是的半徑，是的切線．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、圓的切線的判定和平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的外接圓，是的直徑，．(1)求證：是的切線；(2)若，垂足為交于點(diǎn)；求證：是等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，由是的直徑得到，進(jìn)一步得到，再根據(jù)已知條件，且即可證明進(jìn)而求解；（2）證明，再由，得到，進(jìn)而得到，得到，進(jìn)而得到為等腰三角形．【詳解】（1）證明：連接，，，為圓的直徑，，，又，，，又點(diǎn)在圓上，是的切線；（2）證明：，，，，，又，，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等，熟練掌握性質(zhì)或定理是解決此類題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3切線的性質(zhì)定理11．（2023春·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)（不與O，A重合），以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓O交線段于點(diǎn)D、，，，連接．

(1)求證：；(2)當(dāng)與圓O相切時(shí)，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）由切線的性質(zhì)得出，求出，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可求出答案．【詳解】（1）證明：∵為的中點(diǎn)，，，∵，，∵，，∴，；（2）解：如圖，∵與圓相切，，，∵，，，∵，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．12．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過點(diǎn)作的切線，連接，過點(diǎn)O作，垂足為，交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)到的距離為，，求直徑的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（）先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等角的余角相等得到結(jié)論；（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，利用得到，在中利用正切的定義可求出，然后利用勾股定理可求出，從而得到的長．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∵，，∴，∴在中，，，∴，∴直徑的長為．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)及其應(yīng)用．13．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)．有下列三個(gè)條件：①直線是的切線；②于點(diǎn)；③平分，請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中任選兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題，并給出證明．

【答案】見解析．【分析】連接，證明，即可證明．【詳解】題設(shè)：①直線是的切線；③平分；結(jié)論：②于點(diǎn)，證明：如圖，連接，

，，平分，，，∴直線是的切線，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)廣東廣雅中學(xué)?？计谀┤鐖D，，是的切線，A，B為切點(diǎn)，是⊙O的直徑，，求的度數(shù)．【答案】【分析】首先根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得到，，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到．【詳解】解：∵，是的切線，A，B為切點(diǎn)，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．15．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)D在上，，連接，延長交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等弦對(duì)等弧，得到弧等于弧，再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得證；（2）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得：，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角，以及，得到：，進(jìn)而得到：，即可得證．【詳解】（1）證明：∵是的外接圓，點(diǎn)D在上，，∴，∴；（2）證明：連接，則：，∴，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等弦對(duì)等弧，圓周角定理，切線的性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形．熟練掌握等弧所對(duì)的圓周角相等，以及圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角，是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算或證明的方法16．（2018春·九年級(jí)單元測試）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CE的長．【答案】AF=4,BD=9,CE=5.【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理列三元一次方程組可得AF、BD、CF的長.【詳解】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AE=AF（設(shè)為x），BD=BF（設(shè)為y），CD=CE（設(shè)為z），又∵AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，∴，由①+②+③得：2（x+y+z）=36，∴x+y+z=18④，由④﹣①得z=5；由④﹣②得x=4；由④﹣③得y=9；∴

AF=4,BD=9,CE=5.【點(diǎn)睛】該命題主要考查了三角形的內(nèi)切圓及其性質(zhì)的應(yīng)用問題;解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)列方程組求出相關(guān)線段長.17．（2022秋·重慶長壽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D．（1）求證：BC=CD；

（2）求證：∠ADE=∠ABD；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，∴OB⊥BC∵OB是⊙O的半徑，∴CB為⊙O的切線．又∵CD切⊙O于點(diǎn)D，∴BC=CD；（2）證明：∵BE是⊙O的直徑，∴∠BDE=90°．∴∠ADE+∠CDB=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．由（1）得BC=CD，∴∠CDB=∠CBD∴∠ADE=∠ABD；考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)．18．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)是以為直徑的外一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是的切線，，連接并延長交的延長線于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)若，的半徑為，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明是的切線．根據(jù)是的切線，可得，進(jìn)而證明，等量代換可得，即可得證；（2）根據(jù)，可得四邊形是正方形，則是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：連接．為的直徑，．，是的切線．是的切線，，．，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（2）解：若，由()得，四邊形是正方形，是等腰直角三角形．半徑為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知：為的直徑，，弦，直線與相交于點(diǎn)C，弦在上運(yùn)動(dòng)且保持長度不變，的切線交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，試判斷與是否相等，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)相等，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接，證得是等邊三角形，進(jìn)一步證得即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴和是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：與相等，理由如下：如圖2，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，是的切線，∵的切線交于點(diǎn)F，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)．作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AB是的直徑，過點(diǎn)D作的切線交BC的延長線于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)F，且，過點(diǎn)A作的切線交EF于點(diǎn)G，連接AC．(1)求證：AD平分；(2)若AD=5，AB=9，求線段DE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線長定理得到GA＝GD，則∠GAD＝∠GDA，根據(jù)圓周角定理推出AC∥DE，則∠CAD＝∠GDA，進(jìn)而得到∠GAD＝∠CAD，據(jù)此即可得解；（2）連接OD，交AC于點(diǎn)H，根據(jù)切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)推出OH是△ABC的中位線，AH＝CH＝AC，則OH＝BC，設(shè)OH＝x，則DH＝?x，BC＝2x，解直角三角形得到AH＝，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）證明：∵GA、GD是⊙O的切線，∴GA＝GD，∴∠GAD＝∠GDA，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BE，∵DE⊥BE，∴AC∥DE，∴∠CAD＝∠GDA，∴∠GAD＝∠CAD，∴AD平分∠GAC；（2）解：連接OD，交AC于點(diǎn)H，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，由（1）知，AC∥DE，∴OD⊥AC，∴AH＝CH＝AC，∠AHD＝∠CHD＝90°，∵OA＝OB，∴OH是△ABC的中位線，∴OH＝BC，∵AB＝9，∴OD＝，設(shè)OH＝x，則DH＝?x，BC＝2x，∴，∴，∴，∵，AD＝5，∴，∴x＝，∴AH＝，∵∠HCE＝180°?∠ACB＝90°＝∠ODE＝∠CHD，∴四邊形CHDE是矩形，∴DE＝CH＝AH＝．【點(diǎn)睛】此題考查了切線長定理、切線的判定與性質(zhì)，熟記切線的判定定理與性質(zhì)定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5直角三角形周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系21．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，⊙是的內(nèi)切圓，半徑為，切點(diǎn)為、、，連接，，．(1)若，，則

；(2)若的周長為，面積為，則，，之間有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)等面積法即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)，結(jié)合，即可得到，，之間數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）連接、、，∵∴在中，∵，，∴又∵，代入①得：（2）∵，代入①得，∴，，之間數(shù)量關(guān)系為【點(diǎn)睛】本題考查了用等面積法求三角形的內(nèi)切圓半徑，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．22．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，的長分別為．求的內(nèi)切圓半徑r．【答案】r＝【分析】連接OA，OB，OC，設(shè)OO與AB，BC，CA的切點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，然后結(jié)合三角形面積進(jìn)行分析求解．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，OC，設(shè)OO與AB，BC，CA的切點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝AB·r＋BC·r＋AC·r＝r(AB＋BC＋AC)＝r(a＋b＋c)．又∵S△ABC＝·AC·BC＝ab，∴r·(a＋b＋c)＝ab，∴r＝【點(diǎn)睛】此題考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)、以及直角三角形的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．23．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，在以為弦的弓形劣弧上取一點(diǎn)（不包括，兩點(diǎn)），以為圓心作圓和相切，分別過，作的切線，兩條切線相交于點(diǎn)．求證：為定值．【答案】見解析【分析】連接，，由題意得：是內(nèi)心，進(jìn)而得到平分、平分，然后由三角形內(nèi)角和定理即可證明結(jié)論．【詳解】證明：連接，，由題意得：是內(nèi)心，平分，平分，，，，，∵中，，所在圓是個(gè)定圓，弦和半徑都是定值，為定值，為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形內(nèi)切圓的定義是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋·天津津南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點(diǎn)、、．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，，求的長．【答案】(1)∠BOC=117.5°(2)AF＝6【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，利用三角形內(nèi)角和可求度數(shù)；（2）設(shè)，，，根據(jù)切線長定理，構(gòu)建方程組解決問題即可．【詳解】（1）解：（1）的內(nèi)切圓與、、分別相切于點(diǎn)、、，，，∵，，；（2）是的內(nèi)切圓，，，，設(shè)，，，又，，，，解得，；【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，解三元一次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．25．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知內(nèi)接于，且是的直徑，

(1)實(shí)踐與操作：請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出的內(nèi)心I；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）(2)推理與計(jì)算：連接并延長，與交于另一點(diǎn)D．若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）因?yàn)榈膬?nèi)心I是角平分線的交點(diǎn)，所以作出任意兩個(gè)角的平分線即可；（2）根據(jù)是的直徑，，，得，然后根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)角的等量代換得，即可求的長．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)I為所求，

（2）解：如圖2，連接，，，

∵是的直徑，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，在中，，，∴，∵，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的內(nèi)心I以及圓的基本性質(zhì)、勾股定理、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)內(nèi)容，正確掌握的內(nèi)心I是角平分線的交點(diǎn)以及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6三角形內(nèi)切圓26．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖內(nèi)接于，，是的直徑，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，．

(1)求證：是的切線；(2)求的直徑；(3)當(dāng)點(diǎn)B在下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長是．【答案】(1)見解析(2)6(3)【分析】（1）分別求出，，即可得，從而證明是的切線；（2）由（1）可知，，則，即可求圓的直徑是6；（3）設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，連接，，，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得，因此可知點(diǎn)在以為弦，弦所對(duì)的圓周角為的圓上，作的外接圓，連接、，再由，可知點(diǎn)在圓上，連接，可得是等邊三角形，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，所以內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長．【詳解】（1）解：證明：連接，，

是圓的直徑，，，，，是等邊三角形，，，，，，，點(diǎn)在圓上，是的切線；（2）由（1）可知，，，，，，，，圓的直徑是6；（3）設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，連接，，，

，，是的平分線，是的平分線，，，由（2）可知，，點(diǎn)在以為弦，弦所對(duì)的圓周角為的圓上，作的外接圓，連接、，，，，點(diǎn)在圓上，連接，，，是等邊三角形，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)，切線的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓的弧長公式是解題的關(guān)鍵．27．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點(diǎn)D是的外心．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得，再由圓周角與弧之間的關(guān)系即可得證；（2）連接，證出即可得證；（3）連接，，，證出即可得證．【詳解】（1）證明：點(diǎn)I是的內(nèi)心，平分，，，，．（2）證明：如圖，連接，點(diǎn)I是的內(nèi)心，平分，平分，，又，，，，，．（3）證明：如圖，連接，，，，．，∴點(diǎn)D是的外心．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心和外心的定義，圓的基本性質(zhì)中圓周角與弧之間的關(guān)系等，理解定義，掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.28．（2022秋·山東日照·九年級(jí)日照市新營中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一塊等腰三角形鋼板的底邊長為，腰長為．(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：(2)用一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，這個(gè)圓的最小半徑是多少？(3)求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由于三角形是等腰三角形，過作于，根據(jù)勾股定理得到，又從這塊鋼板上截得的最大圓就是三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)內(nèi)切圓的圓心的性質(zhì)知道其圓心在上，分別連接，然后利用三角形的面積公式即可求解；(2)由于一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，那么這個(gè)圓是三個(gè)三角形的外接圓，設(shè)覆蓋圓的半徑為，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解(3)根據(jù)(1)和(2)再利用線段之間的等量關(guān)系即可求得．【詳解】（1）解：如圖，過作于∵根據(jù)等腰三角形和圓的對(duì)稱性可得：A、O、D三點(diǎn)共線∴，∴設(shè)最大圓半徑為，則，∴解得：；（2）設(shè)覆蓋圓的半徑為，圓心為，∵是等腰三角形，過作于，∴，∴在直線上，連接，在中，由，∴；若以長為半徑為，也可以覆蓋，∴最小為．（3）如圖，即為內(nèi)心與外心的距離．，，故這個(gè)等腰三角形的內(nèi)心與外心的距離為．【點(diǎn)睛】此題分別考查了三角形的外接圓與外心、內(nèi)切圓與內(nèi)心、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握外心與內(nèi)心的性質(zhì)與等腰三角形的特殊性．29．（2022春·四川廣安·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC；（1）求證：直線DM是⊙O的切線；（2）若DF＝2，AF＝5，求BD長．【答案】（1）見解析；（2）DB＝.【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC，再根據(jù)∠BDM＝∠DBC，即可判定BC∥DM，進(jìn)而得到OD⊥DM，據(jù)此可得直線DM是⊙O的切線；（2）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到∠BED＝∠EBD，即可得出DB＝DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2＝DF?DA，據(jù)此解答即可．【詳解】（1）如圖所示，連接OD，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，又∵OD為⊙O半徑，∴直線DM是⊙O的切線；（2），∴∠DBF＝∠DAB，又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴=，即DB2＝DF?DA，∵DF＝2，AF＝5∴DA＝DF+AF＝7∴DB2＝DF?DA＝14∴DB＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條??；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．30．（2021·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的長．【答案】BC、AC的長分別是10cm、cm.【分析】先根據(jù)O內(nèi)切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根據(jù)∠ACB=90°，得出∠BCO=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠OBC的度數(shù)，從而求出∠ABC和∠A的度數(shù)，即可求出BC的長，再根據(jù)勾股定理即可求出AC．【詳解】解：∵圓O內(nèi)切于△ABC，∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠BCO=×90°=45°，∵∠BOC=105°，∴∠CBO=180°?45°?105°=30°，∴∠ABC=2∠CBO=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB=×20=10cm，∴AC=∴BC、AC的長分別是10cm、cm.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.考點(diǎn)7圓的綜合問題31．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）已知為的直徑，，C為上一點(diǎn)，連接．(1)如圖①，若C為的中點(diǎn)，求的大小和的長；(2)如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過點(diǎn)D作的切線，與的延長線相交于點(diǎn)F，求的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由圓周角定理得，由C為的中點(diǎn)，得，從而，即可求得的度數(shù)，通過勾股定理即可求得AC的長度；（2）證明四邊形為矩形，F(xiàn)D=CE=CB，由勾股定理求得BC的長，即可得出答案．【詳解】（1）∵為的直徑，∴，由C為的中點(diǎn)，得，∴，得，在中，，∴；根據(jù)勾股定理，有，又，得，∴；（2）∵是的切線，∴，即，∵，垂足為E，∴，同（1）可得，有，∴，∴四邊形為矩形，∴，于是，在中，由，得，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理和矩形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解答此題．32．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為BA的延長線上一點(diǎn)，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)（在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）及勾股定理可求出OD，進(jìn)而求出AD的長；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得OCCD，根據(jù)同一個(gè)圓的半徑相等及等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCA=∠OAC，由各個(gè)角之間的關(guān)系以及等量代換可得答案．【詳解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30∴CD=2?OC=2∴∴（2）證明：∵DC與⊙O相切∴OCCD即∠ACD+∠OCA=90∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∵∠ACD=∠ACE∴∠OAC+∠ACE=90∴∠AEC=90∴CEAB【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．33．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長線于