專題10 模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型-共頂點的等腰三角形之三大類型（解析版）

專題10模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點的等腰三角形之三大類型【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一共頂點的等邊三角形】 1【類型二共頂點的等腰直角三角形】 12【類型三共頂點的一般等腰三角形】 23【典型例題】【類型一共頂點的等邊三角形】例題：（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）已知是等邊三角形，點D是直線上一點，以為一邊在的右側(cè)作等邊△ADE．(1)如圖①，點D在線段上移動時，直接寫出和的大小關(guān)系；(2)如圖②③，點D在線段（或）的延長線上移動時，猜想的大小是否發(fā)生變化．若不變請求出其大??；若變化，請說明理由．【答案】(1)(2)，不發(fā)生變化【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，容易得出結(jié)論；（2）圖②中，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，可證，可得，即可求；圖③中，由和△ADE是等邊三角形可以得出，，，得出，再證明，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：；理由：∵和△ADE是等邊三角形，∴，∴，∴；（2）解：，不發(fā)生變化；理由如下：如圖②：∵和△ADE是等邊三角形，∴，，，∴，在和△CAE中，，∴，∴，∴；如圖③：∵是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，∴，，，∴，，∴，在和△CAE中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東菏澤·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點C為線段上一點，，是等邊三角形，直線、交于點E，直線、交于點F．則以下結(jié)論：①；②；③；④．正確的有．

【答案】①②③【分析】利用可以證明，即①正確；根據(jù)得到，再由，，即可證明，得到，即②正確；根據(jù)，，推出是等邊三角形，則，即可得證，即③正確，不能證明④，即④錯誤．【詳解】解：①∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，即①正確；②∵，∴，∵，，∴，∴，即②正確；③∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，即③正確；④假設(shè)正確，∵，即，，∴是等邊三角形，∴，又∵，∴，即點M和點E重合，顯然錯誤，故④錯誤，故正確的有：①②③，故答案為：①②③．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖1，已知．以為邊向形外作等邊三角形，連接．

(1)求證：；(2)如圖2，若，點H為的中點，連接，請直接寫出與全等的所有三角形．【答案】(1)見解析(2)；；；【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，推出，證明，即可得到；（2）根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得到，再根據(jù)直角三角形斜邊中線得到，進而證明三角形全等．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，∴，，，，；（2）證明：∵，，∴，∵點H為的中點，∴，∴，，∵，∴，即，∴∵，∴，∵∴，∴與全等的所有三角形有；；；．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)及直角三角形30度角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知條件等邊三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，進一步求證∠BAD=∠CAE，從而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由點B、A、E共線，得∠CAN=60°=∠BAC，進一步求證△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等邊三角形．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵點B、A、E在同一直線上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等邊三角形．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，向外作和等邊，連接．

(1)如圖1，當(dāng)也是等邊三角形時，連接，交于點．①試猜想、的關(guān)系，并說明理由；②連接，問是否平分，為什么？(2)如圖2，當(dāng)是直角三角形（）時，若，．求證：．【答案】(1)①，且，見解析；②是，見解析(2)見解析【分析】（1）①證明，從而得到即可；②作于點，作于點，由①結(jié)論可得：，從而，從而推出，進而得出結(jié)果．（2）向外作等邊，連接，由（1）①的結(jié)論可得：，可證得點、點、點點共線，是線段的垂直平分線，進一步得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①猜想：，理由：和都是等邊三角形，，，，，在和中，，，；②平分，理由：作于點，作于點，

由①結(jié)論可得：，．，，平分；（2）證明：向外作等邊，連接，

由（1）①的結(jié)論可得：，是等邊三角形，，，，，，，，，點、點、點點共線，是線段的垂直平分線，，．【點睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，角平分線的判定等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．5．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┮阎€段于點，點在直線上，分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，直線交直線于點．(1)當(dāng)點在線段上時，如圖①，直接寫出，，之間的關(guān)系．(2)當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖②，當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖③，請分別寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，在圖②、圖③中選一個進行證明．(3)在（1）、（2）的條件下，若，，請直接寫出的值．

【答案】(1)(2)見解析(3)或6【分析】（1）如圖①中，設(shè)交于．首先證明，推出，再證明即可解決問題；（2）如圖②中，結(jié)論：．圖③中，結(jié)論：；證明方法類似；（3）分類圖①，圖③兩種情形，分別求解即可．【詳解】（1）結(jié)論：．理由：如圖①中，設(shè)交于．

，都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）如圖②中，結(jié)論：．圖③中，結(jié)論：；

如圖②中，，，，，，，，∵，，，．如圖③中，同法可證；

（3）①如圖①中，，設(shè)，，，，．②如圖③中，設(shè)，則，，，，，，綜上所述，或6．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【類型二共頂點的等腰直角三角形】例題：（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)【探究】：把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)【拓展】：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點在同一直線上時，則的長是________．【答案】(1)，(2)成立，理由見解析(3)或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再作差，得出，再用，即可得出結(jié)論；（2）先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得出，進而判斷出，得出，，與交于M，與交于N，利用全等的性質(zhì)和對頂角相等進而得出，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①當(dāng)點E在線段上時，如圖3，過點C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用線段的加減即可得出結(jié)論；②當(dāng)點D在線段上時，如圖4，過點C作于N，求出，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得，，利用線段的加減即可得出結(jié)論．【詳解】（1）和都是等腰直角三角形，，，，，點在上，點在上，且，，故：，；（2）成立；如圖2，與交于M，與交于N，

由題意可知：，，，在與中：，，，又，，在中，，，，所以結(jié)論成立；（3）①當(dāng)點E在線段上時，如圖3，過點C作于M，

是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，；②當(dāng)點D在線段上時，如圖4，過點C作于N，

是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，，綜上，的長為或，故答案為:或．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東棗莊·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖：已知中，，，直角的頂點是中點，兩邊，分別交，于點，（點不與，重合），給出以下五個結(jié)論中正確的有（）①；②；③是等腰直角三角形；④

⑤；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，，根據(jù)證明即可；根據(jù)題意可以判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出是等腰直角三角形；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵，，直角的頂點P是中點，∴，，，∵，，∴，在和中，，∴，即結(jié)論①正確；∵是等腰直角三角形，P是的中點，∴，又∵長度不固定，∴，故結(jié)論②錯誤；∵，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，故結(jié)論③正確；∵，∴，∴，故結(jié)論④正確；∵∴，∵∴∴，故結(jié)論⑤不正確綜上分析可知，有3個結(jié)論正確，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_______，、所在直線的位置關(guān)系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1），；（2），；理由見解析【分析】（1）延長交于點H，交于點O．只要證明，即可解決問題；（2）由，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長交于點H，交于點O，∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案為：，．（2），；理由如下：如圖2中，∵和均為等腰直角三角形，，∴，∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．3．（2022秋·甘肅隴南·八年級校考期中）已知和都是等腰直角三角形，，點是直線上的一動點（點不與點重合），連接．

(1)在圖1中，當(dāng)點在邊上時，求證：；(2)在圖2中，當(dāng)點在邊的延長線上時，結(jié)論是否還成立？若不成立，請猜想之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在圖3中，當(dāng)點在邊的反向延長線上時，求出之問存在的數(shù)共關(guān)系及直線與直線的位置關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)結(jié)論不成立，猜想，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的概念得到，，證明，利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進而證明結(jié)論；（2）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進而證明結(jié)論；（3）根據(jù)題意補全圖形，仿照（2）的證明方法證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：和是等腰直角三角形，，，，，即．在和中，，，，；（2）解：結(jié)論不成立，猜想，理由如下：，，即．在和中，，，，；（3）解：結(jié)論：，理由如下：，，即．在和中，，，，．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·湖南常德·九年級統(tǒng)考期中）已知：和均為等腰直角三角形，，，，按圖1放置，使點在上，取的中點，連接．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：圖1中的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是_____；(2)探究證明：將圖1中的繞點順時針轉(zhuǎn)動，再連接，取的中點（如圖2），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)拓展延伸：將圖1中的繞點順時針轉(zhuǎn)動任意角度（轉(zhuǎn)動角度在到之間），再連接的中點（如圖3），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論．【答案】(1)，(2)仍然成立，證明見解析(3)仍然成立，證明見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，根據(jù)，，得到，．（2）延長交于點，先證明，得到，，根據(jù)，，得到，又因為，所以且．（3）延長至點，使，連接，，，可證明，得到，，繼而求得，得到，，所以，可得且．【詳解】（1）解：，，，，，為的中點，，，，，，即：，．故答案為：，相互垂直；（2）仍然成立．證明：如圖2，延長交于點，，，，又，，，，，，，，，又，且．（3）仍然成立．證明：如圖3，延長至點，使，連接、、，在與中，，，，，，，，，，，，又，，在和中，，，，，為等腰直角三角形，且．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【類型三共頂點的一般等腰三角形】例題：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在中，F(xiàn)為中點，分別以、為底邊向外作等腰三角形和等腰三角形，記，．(1)若，如圖，求證：，；(2)當(dāng)，不等于時，若，①在圖中補全圖形；②試判斷，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)①見解析②，見解析【分析】（1）延長到點H，使得，連接、、，證明，得到，，再證，得到，，由，且，即可得到結(jié)論；（2）①圖中補全圖形見解析；②延長到點H，使得，連接、、，先證，則，，再證，則，進一步推導(dǎo)出結(jié)論即可．【詳解】（1）證明：延長到點H，使得，連接、、，如下圖，在和中，∴，∴，，∵和是等腰直角三角形，，∴，，，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵，∴，；（2）解：①根據(jù)題意補全圖形如下：②，理由如下：延長到點H，使得，連接、、，如下圖，在和中，∴，∴，，∵，∵，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，即，∵，∴．【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，基本作圖的應(yīng)用，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是倍長中線構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由；②如圖3，當(dāng)時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由．【答案】(1)①等邊三角形；②證明見解析(2)①成立，理由見解析；②不成立，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)有一個內(nèi)角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可求解；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）①證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②根據(jù)已知可得與不全等，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，∴、是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．②證明：∵、是等邊三角形，∴，，，∵