第二十五章 銳角的三角比（單元重點綜合測試）（解析版）

第二十五章銳角的三角比單元重點綜合測試注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）在中，各邊的長度都縮小4倍，那么銳角A的余切值（

）A．擴大4倍 B．保持不變 C．縮小2倍 D．縮小4倍【答案】B【分析】根據(jù)題意可知大小不變，即得出銳角A的余切值保持不變．【詳解】解：∵在中，各邊的長度都縮小4倍，∴各角的大小不變，即大小不變．∵一個角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關，∴銳角A的余切值保持不變．故選B．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)．理解一個角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關是解題關鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）在中，，已知，，那么的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用銳角三角函數(shù)求出結果即可．【詳解】解：如圖，

在中，，，，，故選C．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角的對邊與斜邊的比叫做該銳角的正弦是解題的關鍵．3．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）在中，，、、所對的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊求解即可．【詳解】解：如圖，∴故選C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；銳角的正切等于對邊比鄰邊．4．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知在中，，，垂足為點，那么下列線段的比值不一定等于的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，進行逐一判斷即可．【詳解】A.，，，，，，由圖得：與不一定相等，不一定等于，故此項錯誤；B.在中，，故此項正確；C.在中，，故此項正確；D.在中，，故此項正確．故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，理解銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．5．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在中，，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點D，E，連接CD，若，，則的面積為（

）．

A．5 B．8 C．10 D．16【答案】D【分析】過作于，連接，由于DE垂直平分AB，故,,,因為為中點，所以，有,，可得，所以，即,，則，則，即可得到，在中，同時可得的值，故即可求出．【詳解】解：過作于，連接，如圖所示:

∵DE垂直平分AB，∴,,,∵為直角三角形，為中點，∴∵,，∴，∴，∵，∴，即,在中，，則，，∵，∴，在中，，故．故選：D．【點睛】本題考查了垂直平分線，相似三角形，三角函數(shù)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應用是解此題的關鍵．6．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上．圖2是一個根據(jù)某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表垂直圭．已知該市冬至正午太陽高度角（即）為，夏至正午太陽高度角（即）為，若表的長為，則圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】分別解和，求出和的長度，然后利用線段的和差關系求解即可．【詳解】解：在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關鍵．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）計算：．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接寫出即可．【詳解】解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值知：，故答案為：．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題時牢記特殊角的三角函數(shù)值是關鍵．8．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知是銳角，且，那么．【答案】/45度【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可．【詳解】∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．9．（2023·上?！ひ荒＃┬》荚跇窍曼cD處看到樓上點E處的小紅的仰角是34度，那么點E處的小紅看點D處的小芳的俯角等于度．【答案】34【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求得點E處的小明看點D處的小杰的俯角的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，，∵，∴∴，即點E處的小明看點D處的小杰的俯角等于34度，故答案為：34．【點睛】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．10．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，則BC=．【答案】9【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根據(jù)正切的定義計算即可【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=∠A，在Rt△ACB中，∵tanA=tan∠BCD==，∴BC=AC=×12=9．故答案為：9．【點睛】本題考查了解直角三角形：掌握正切的定義是解題的關鍵．11．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知α為銳角，且，則°．【答案】20【分析】根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵α為銳角，且，∴，則，故答案為：20．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答的關鍵．12．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學校考期末）如圖，已知將沿角平分線所在直線翻折，點恰好落在邊的中點處，且，那么的余弦值為.

【答案】【分析】設與交點為，過作交于，證出為的中位線，由三角形中位線定理得出，由翻折變換的性質(zhì)得出：，，同理由三角形中位線定理得出，設，則，，得出，，利用勾股定理求出，根據(jù)余弦的定義即可得出結果．【詳解】解：設與交點為，過作交于，如圖所示：

為的中點，為的中點，為的中位線，，由翻折變換的性質(zhì)得：，，同理：是的中位線，，設，則，，，，，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，通過作輔助線由三角形中位線定理得出，是解決問題的關鍵．13．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┠郴┻\動員沿著坡比的斜坡向下滑行了200米，則運動員下降的垂直高度為米．【答案】100【分析】設出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設垂直高度下降了米，則水平前進了米．根據(jù)勾股定理可得：．解得，即它距離地面的垂直高度下降了100米．故答案為：100．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，難度不大，此題的關鍵是熟悉且會靈活應用公式：（坡度）垂直高度水平寬度，綜合利用了勾股定理．14．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，斜坡的坡度，現(xiàn)需要在不改變坡高的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡米．

【答案】【分析】根據(jù)斜坡的坡度與的值先求出，再根據(jù)斜坡的坡度，求得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴,∵，∴，∵，∴，在中，,故答案為：．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，坡度問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵．15．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，和都是等邊三角形，點D是的重心，那么．【答案】【分析】如圖，延長交于F，由題意得，，則，由，可得，計算求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于F，∵點D是的重心，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了重心，等邊三角形的性質(zhì)，正弦函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．16．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，將矩形紙片沿對角線折疊，點B落在點E處，與邊相交于點F．如果，那么的正弦值等于．【答案】/0.6【分析】通過證明得到，，在中，根據(jù)勾股定理列出等量關系式，得出邊之間的關系，即可求解．【詳解】解：依題意畫圖如下：∵，∴設，∵由沿折疊得到，∴，，在和中，，∴，∴，，設，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，整理得：，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，求正弦函數(shù)值，解題的關鍵是掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．17．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）某班學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測傾器的高度為米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角，在與點A相距米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角（點A，D與N在一條直線上），則電池板離地面的高度的長為米．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】延長交于點F，設米，先說明四邊形，四邊形，四邊形均為矩形，得出米，，，根據(jù)，得出（米），（米）利用銳角三角函數(shù)得出，即求解即可．【詳解】解：延長交于點F，如圖，設米，∵，，，，∴，∴四邊形，四邊形，四邊形均為矩形，∴米，，，∵，，∴（米），（米），在中，，即，解得（米），

∴，即電池板離地面的高度約為米，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，仰角問題，矩形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，掌握解直角三角形的應用方法，仰角問題，矩形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)是解題關鍵．18．（2023·上海·一模）如圖，已知在中，，，，點P是斜邊上一點，過點P作交邊于點M，過點P作的平行線，與過點M作的平行線交于點Q．如果直線，那么的長為．

【答案】【分析】如圖，設．證明，根據(jù)，構建方程求解．【詳解】解：如圖，設．

∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，在在中，，，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗是分式方程的解，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．三、解答題（9小題，共64分）19．（2023·九年級單元測試）計算：．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．20．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在中，，，垂足為點Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)角的正切值可進行求解；（2）根據(jù)角的正切值可進行求解【詳解】（1）解：由題意得：；故答案為；（2）解：由題意得：，；故答案為【點睛】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握“直角三角形中一個銳角A的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切（）”是解題的關鍵．21．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知，在中，，，求的值．【答案】【分析】由題意可設，則有，然后問題可求解．【詳解】解：在中，，設，則，∴．【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關鍵．22．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知，在中，，，．求：(1)的長；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先畫圖，再利用，求解，再利用勾股定理求解即可；（2）直接利用銳角的正切的定義求解即可．【詳解】（1）解：如圖，

在中，，，，∴，∴．由勾股定理，得；（2）．【點睛】本題考查銳角的正切值的基礎運用，學生需要利用已知的三角比來求解相關線段．23．（2023·上海嘉定·模擬預測）某校數(shù)學實踐小組利用所學數(shù)學知識測量某塔的高度．下面是兩個方案及測量數(shù)據(jù)：項目測量某塔的高度方案方案一：借助太陽光線構成相似三角形．測量：標桿長CD，影長ED，塔影長DB.方案二：利用銳角三角函數(shù)，測量：距離CD，仰角α，仰角β.測量示意圖

測量項目第一次第二次平均值測量項目第一次第二次平均值測量數(shù)據(jù)CD1.61m1.59m1.6mβ26.4°26.6°26.5°ED1.18m1.22m1.2mα37.1°36.9°37°DB38.9m39.1m39mCD34.8m35.2m35m(1)根據(jù)“方案一”的測量數(shù)據(jù)，直接寫出塔的高度為m；(2)根據(jù)“方案二”的測量數(shù)據(jù)，求出塔的高度；（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)52(2)塔AB的高度約為52.5m【分析】（1）證即可求解；（2）分別在和中表示出，建立等量關系即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，∴，∴，∴，∴，解得：，故答案為：52；（2）解：由題意得：，設m，∵m，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，解得：，∴，∴塔AB的高度約為m．【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應用．構造直角三角形是解題關鍵．24．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┤鐖D，矩形中，，點是邊上的一個動點，聯(lián)結，過點作，垂足為點.

(1)設，的余切值為，求關于的函數(shù)解析式；(2)若存在點，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯(lián)結，當?shù)拈L為多少時，是等腰三角形？【答案】(1)(2)(3)或或1【分析】（1）根據(jù)已知條件矩形和，得出，，從而求出，再根據(jù)求出結果；（2）假設存在，由題意、與四邊形的面積比是，可得，設，證，根據(jù)三角形的相似比，從而求解；（3）過點作，垂足為點，判斷是等腰三角形，要分類討論，①；②；③，根據(jù)三角形相似進行求解．【詳解】（1）解：，，，，∵在矩形中，，∴，則，；（2）：四邊形的面積比是，，，設，則，∵，，，且，，，解得，，∴；（3）①時，過點作，垂足為點，則，，延長交于點，

，，當時，是等腰三角形；②時，則，

，，，則，當時，是等腰三角形；③時，則點在的垂直平分線上，故為中點．

，，，∴，，，即，∴，解得，當時，是等腰三角形，綜上：的長度為或或1．【點睛】此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似