數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)指導(dǎo)作用

榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文PAGEIIPAGEIII分類號O171單位代碼密級學(xué)號學(xué)生畢業(yè)論文題目數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用作者院(系)數(shù)學(xué)系專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師答辯日期2014年5月4日摘要數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)．隨著數(shù)學(xué)改革的不斷進(jìn)行與發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)分析方面的知識在高考中所占得比例越來越大．本文通過探討數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)系，著重論述數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)、幾何、代數(shù)等方面的應(yīng)用，以大量詳實(shí)的習(xí)題、范例為依據(jù)，分析不同方法的解題效果，從而說明數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義和作用．關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法ABSTRCTMathematicsisthestudyofspaceformandquantityrelationship．Withtheongoingdevelopmentofmathematicsreform，theproportionofthemathematicalanalysisknowledgeincludedmiddleschoolmathintheuniversityentranceexamisbecomingincreasinglarger．Bydiscussingtherelationshipbetweenmathematicalanalysiswiththemiddleschoolmathematics，thisthesisfocusesontheapplicationofmathematicalanalysisinfunctions，geometry，algebrainmiddleschoolmathematics．Atthesametimewithalargenumberofdetailedexamples，asthebasisandanalysisofeffectofdifferentmethodsofproblemsolving，theguidingsignificanceandfunctionofmathematicalanalysistomiddleschoolmathematicsisillustrated．Keywords:Mathematicalanalysis;Middleschoolmathematics;Mathematicalthinking;Mathematicalmethods目錄摘要 IABSTRCT II目錄 III1引言 12中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系 22.1中學(xué)數(shù)學(xué) 22.2數(shù)學(xué)分析 22.3中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系 22.4數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的指導(dǎo)作用 33數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 43.1函數(shù)方面應(yīng)用 43.1.1函數(shù)單調(diào)性和極限 43.1.2解三角函數(shù) 53.1.3函數(shù)極值和最值 73.2幾何方面應(yīng)用 83.2.1曲邊圖形的面積、體積、弧長 83.2.2切線方程和相交問題 103.3代數(shù)方面的應(yīng)用 123.3.1證明代數(shù)式 123.3.2解不等式 143.3.3解方程和證明恒等式 164高考中有關(guān)問題的解決 185小結(jié) 22參考文獻(xiàn) 23致謝 24數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文PAGE2PAGE231引言數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中所發(fā)揮的重大作用，越來越受到老師和學(xué)生的關(guān)注．通過大學(xué)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)與深入，我們了解到數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有非常重要的指導(dǎo)意義．在數(shù)學(xué)高速發(fā)展時期，數(shù)學(xué)分析的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過程中占有舉足輕重的地位．因此，本文通過具體實(shí)例說明數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)具有切實(shí)的指導(dǎo)意義和指導(dǎo)作用．從而為學(xué)生找到一種簡便易行的方法去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的一些問題，讓大家更加深入的了解數(shù)學(xué)分析的重要作用．2中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系2.1中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)時期我們所學(xué)的數(shù)學(xué)主要是常量數(shù)學(xué)，其次也包括變量數(shù)學(xué)的一些初步知識．中學(xué)數(shù)學(xué)一般可以分為兩個層次：表層知識和深層知識．表層知識包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，深層知識主要指的是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法．它的教學(xué)內(nèi)容大致可分為代數(shù)、幾何、微積分、概率統(tǒng)計、算法等幾個部分．中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，除了有觀察、實(shí)驗、歸納、類比、分析、綜合、抽象、概括等理論方法外，還有邏輯推理、證明方法、以及化歸、遞推、等價轉(zhuǎn)化、推廣與限定等數(shù)學(xué)思想方法．2.2數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析主要是以變量及變量之間的函數(shù)依賴關(guān)系作為研究對象的，并以微積分學(xué)和無窮級數(shù)為主要內(nèi)容，是一個較為完整的數(shù)學(xué)學(xué)科．?dāng)?shù)學(xué)分析除了體現(xiàn)其嚴(yán)密的邏輯體系外，也反映了現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢，它吸收和采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想觀點(diǎn)與處理方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．?dāng)?shù)學(xué)分析的發(fā)展由微積分開始，并擴(kuò)展到函數(shù)的連續(xù)、可微及可積等各種特性．了解這些特性，有助于我們對物理世界的研究及對自然界規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，從而更好的去改造我們的生活，也為未來的發(fā)展奠定基礎(chǔ)．2.3中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系數(shù)學(xué)分析是初等數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物，數(shù)學(xué)分析的形成扎根于初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上．它的一些基本概念如導(dǎo)數(shù)、積分、無窮級數(shù)的收斂等都是在初等數(shù)學(xué)有關(guān)問題的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的．導(dǎo)數(shù)是在用代數(shù)運(yùn)算求直線斜率這一問題的基礎(chǔ)上發(fā)展成為用極限方法求曲線上某點(diǎn)的切線斜率而形成的，積分是在用代數(shù)運(yùn)算求直線所圍成的平面圖形面積的基礎(chǔ)上發(fā)展成為用極限方法求曲線所圍成的面積而形成的，無窮級數(shù)求和則是在用代數(shù)運(yùn)算求有限項之和的基礎(chǔ)上發(fā)展成為求無限項之和而形成的．從這些新概念的發(fā)展過程看都是為了解決初等代數(shù)、初等幾何不能解決的問題，由此可以看出，數(shù)學(xué)分析是在實(shí)踐中為了解決初等數(shù)學(xué)不能解決的問題而長期逐步發(fā)展起來的，從數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看二者也是緊密聯(lián)系的．2.4數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的指導(dǎo)作用數(shù)學(xué)分析講求的是一種嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯性思維，解題具有很強(qiáng)的技巧性與靈活性．?dāng)?shù)學(xué)分析思想對于提高個人的判斷和處事能力有很好的幫助，它是對數(shù)學(xué)及其研究對象以及各種數(shù)學(xué)概念、定理、法則、范例、數(shù)學(xué)方法等的根本性認(rèn)識．?dāng)?shù)學(xué)分析對于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)有著很好的指導(dǎo)作用．在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)分析思想方法有以下幾個指導(dǎo)作用：首先，可以有效地幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀念和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)精神，是落實(shí)素質(zhì)教育的有效途徑；其次，可以提高教師的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平，恰當(dāng)?shù)匕盐罩袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求的程度；最后，數(shù)學(xué)分析中的知識和方法可以用來檢驗學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)所犯的某些錯誤，對學(xué)生的發(fā)展也有很大的幫助．3數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1函數(shù)方面應(yīng)用函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)很重要的教學(xué)內(nèi)容，求函數(shù)的極值、極限、最值等很多知識都要用到數(shù)學(xué)分析方面的知識．3.1.1函數(shù)單調(diào)性和極限例1已知，求函數(shù)的單調(diào)性．解，=，所以，當(dāng)時，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，此時函數(shù)在和上單調(diào)遞增．例2已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍．解，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，所以且，即且．所以．例3已知數(shù)列，都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為，其中，且，．設(shè)，為數(shù)列的前n項和，求極限．解，下面分兩種情況討論求值:（1）當(dāng)時，由已知得，，故．則（2）當(dāng)時，由已知得．則．3.1.2解三角函數(shù)例1已知函數(shù)，求的值．解因為對，有，所以（為常數(shù)）為了確定的值，令，有．即．例2已知函數(shù)．求：（1）函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；（2）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間．解（1）方法一因為，所以當(dāng)，即時，取得最大值．因此取得最大值的自變量的集合是．方法二因為=所以當(dāng)，即時，取得最大值，因此取得最大值的自變量的集合是．（2）方法一，由題意得即那么函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．方法二，故求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，即只需，故有，則有因此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．3.1.3函數(shù)極值和最值例1已知在時取得極值，且．（1）試求常數(shù)、、的值；（2）試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由．解（1），因為是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以是方程，即的根，即有將上面三式聯(lián)立求得．（2）因為，所以．而又當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減數(shù)．所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時，函數(shù)取得極小值．注1利用導(dǎo)數(shù)這一工具，我們很容易解決了一元三次函數(shù)的極值問題．例2已知函數(shù)，，求函數(shù)在的上的最小值．解，．（1）當(dāng)時，在上恒成立，那么在上單調(diào)遞增．所以的最小值為．（2）當(dāng)時，若，;若恒成立．因為在上單調(diào)遞增，所以在時，取得最小值．（3）當(dāng)時，令，得，且在上，；在上，．因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以在處取得最小值，且．綜上所述，當(dāng)時，在上的最小值為;當(dāng)時，在上的最小值為．3.2幾何方面應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)課本只是簡單的給出了我們一些基本的幾何公式、定理，而沒有給出具體的證明過程，數(shù)學(xué)分析為此提供了理論依據(jù)和證明方法，能讓學(xué)生對這些知識更加深入的理解和記憶．3.2.1曲邊圖形的面積、體積、弧長1由連續(xù)曲線，以及直線和軸所圍曲邊梯形的面積為：，如果在上不都是非負(fù)的，則．2由兩條連續(xù)曲線與以及兩直線與所圍成圖形的面積為：．3設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是由平面圖形繞軸一周所得旋轉(zhuǎn)體，易知截面面積函數(shù)為．則旋轉(zhuǎn)體的體積為：．4設(shè)平面曲線由參數(shù)方程，構(gòu)成，若為一光滑曲線且可求長，則的弧長為．5設(shè)平面光滑曲線的方程為，（不妨設(shè)）．則這段曲線繞旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：．例1求由橢球面所圍立體（橢球）的體積．解以平面截橢球面，得橢圓（它在平面上的正投影）：所以截面面積函數(shù)為：于是求得橢球體積為：．于是顯然當(dāng)時，這時等于球的體積．例2已知函數(shù)，求兩函數(shù)在區(qū)間上所圍成的不規(guī)則圖形的面積．解如果用不規(guī)則圖形算還要進(jìn)行分割求和很麻煩，但我們可以用積分的形算就很快得出結(jié)論：．例3求與所圍成的圖形的面積．解先求其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解方程組，得，，在內(nèi)由，所以．例4求曲線由到的弧長．解用公式，且曲線關(guān)于軸對稱，故有曲線在區(qū)間內(nèi)的弧長為：．例5求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的面積．解用公式，所以．3.2.2切線方程和相交問題例1求雙曲線的漸近線方程．解雙曲線方程可化為，漸近線的斜率為：，在軸上的截距：，故所求漸進(jìn)線方程為．例2已知曲線：及點(diǎn)，求過點(diǎn)的曲線的切線方程．解設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線切于點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線的切線斜又，所以①因為點(diǎn)在曲線上，所以②將②代入①得化簡得所以或．若則過點(diǎn)的切線方程為；若則，過點(diǎn)的切線方程為．例3雙曲線與拋物線，相交，求的取值范圍．解與相交等價于方程組有實(shí)數(shù)解，聯(lián)立可得，解出，將視為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)易知當(dāng)時，此函數(shù)為增函數(shù)，故，由此可受到啟發(fā)，尋求到該題的初等解法，即通過配方法，易見時此函數(shù)為增函數(shù)，故所以的取值范圍為．3.3代數(shù)方面的應(yīng)用代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好數(shù)學(xué)首先要學(xué)好代數(shù)，數(shù)學(xué)分析為中學(xué)代數(shù)中的一些問題提供了解題方法和思路，中學(xué)代數(shù)方面的問題用數(shù)學(xué)分析的知識往往會使解題更加簡單明了．3.3.1證明代數(shù)式例1設(shè)，都是正數(shù)，且，判斷代數(shù)式的正負(fù)．解判斷．由知:=．由施瓦茲不等式知:==9．故而，因此為正．例2已知其中．求證：，并指出與的大小關(guān)系．證明法一=．令，則，故當(dāng)時，因此函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)．則有，因此有，因此．法二=．ABCDMN當(dāng)時恒大于零，故，因此ABCDMN例3已知矩形紙片中，，，將矩形P紙片的右下角折起，使該角的頂點(diǎn)落在矩形的邊上，且折痕P的兩端點(diǎn)，、分別位于邊、上，設(shè)．（1）試將表示成的函數(shù)；（2）求的最小值．解（1）如圖所示，則=，．由題設(shè)得+=6，從而得．（2）設(shè)，則有，即，．，令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以當(dāng)時，．那么．3.3.2解不等式例1解不等式．解原不等式的定義域為，令，那么的兩個根為．由此可分為三個區(qū)間：，，取，可得：，從而原不等式的解集為．這是一個解不等式的問題，若采用中學(xué)數(shù)學(xué)的常規(guī)方法，就是兩邊同時開方，當(dāng)這樣做很可能導(dǎo)致開平方后，要進(jìn)行討論，所以比較復(fù)雜．而上述先把不等式轉(zhuǎn)化成方程，然后構(gòu)造一個函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)分析中介質(zhì)性定理來確定區(qū)間，就很容易解決了．例2設(shè)，并且．為常數(shù)．求證：．證明因為，所以，即．上述兩邊令，根據(jù)重要極限，則．例3已知，求證．證明令，．由在上滿足拉格朗日中值定理，故使，即．由知，那么．再由知．得證．例4如果都是正數(shù)，那么．證明設(shè)則，令，在內(nèi)，求得駐點(diǎn)．所以當(dāng)函數(shù)在處有極小值，極小值是．由于在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)只有一個極值點(diǎn)，因此極小值就是它的最小值，于是對于上的任何值恒有，取，得．所以．3.3.3解方程和證明恒等式例1解方程．分析此題若按三次方程的求解相當(dāng)困難，若將“”看做“未知數(shù)”，看作常數(shù)，則是一個關(guān)于“”的“一元二次方程”．解原方程整理為，判別式，故方程有兩個根．根據(jù)二次方程解得求根公式，故原方程的解為．若將本題中的換成字母則可將方程看作由與兩個“變量”所確定的隱函數(shù)，求是將表示為的函數(shù)，自然也可將表示為的函數(shù)從而很容易解決本題這是非常好的一種解題思路從中學(xué)數(shù)學(xué)的角度看，本題可以看作是函數(shù)與反函數(shù)的應(yīng)用．例2證明：．證明法一令．=．即為一個常數(shù)．取特值令，則．故有，即．法二======．則得證．例3已知，求證．證明當(dāng)是，由知（待定常數(shù)）．令，則，．4高考中有關(guān)問題的解決例1（2006陜西卷）設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的極小值大于，求的取值范圍．解（1）函數(shù)，故當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)為，所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．當(dāng)時，．令，解得或．當(dāng)變化時，的變化情況如下表：0+0-0+增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．（2）當(dāng)時，函數(shù)不存在極小值；當(dāng)時，由上題知在取極小值，即，由條件，所以的取值范圍為．例2設(shè)，點(diǎn)是函數(shù)和的圖像的一個公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖像在點(diǎn)處有相同的切線．（1）用表示；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．解（1）因為函數(shù)和的圖像都經(jīng)過，所以，，即，，因為，所以，．又因為函數(shù)和的在處有相同的切線，所以．而，所以．將代入上式得，因此有故．(2)，．因為函數(shù)在（-1，3）上單調(diào)遞減，且是開口向上的拋物線，所以即解得或．所以的取值范圍是．例3（2006年福建文）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間的最大值是12．(1)求的解析式；(2)是否存在自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實(shí)根？若存在，求出所有的值；若不存在說明理由．解（1）因為是二次函數(shù)，且的解集是，可設(shè)而函數(shù)在區(qū)間的最大值是．由已知得故．所以．（2）方程等價于方程，設(shè)，則．當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)．因為，所以方程在區(qū)間內(nèi)分別有唯一實(shí)根，而在區(qū)間，內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根．所以存在唯一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個實(shí)數(shù)根．例4（2007福建卷）如圖所示，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個更大的矩形花園，要、求B在上，D在上，且對角線過C點(diǎn)，已知AB=3米，AD=2米．(1)要使矩形的面積大于32平方米，則的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?(2)當(dāng)?shù)拈L度是多少時，矩形的面積最小?并求最小面積；(3)若的長度不少于6米，則當(dāng)?shù)拈L度是多少時，矩形的面積最??？并求出最小面積．解（1）設(shè)米，，則．因為，所以，又因為．故有，即．則得到．故或．（2）．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．（3）因為．令