基于多元線性回歸的薪酬合理性分析

第六屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了昆明理工大學(xué)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)那么。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式〔包括、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等〕與隊外的任何人研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)那么的。如果引用別人的成果或其他公開的資料〔包括網(wǎng)上查到的資料〕，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)那么，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 我們的參賽報名序號為：信自學(xué)院第5隊我們選擇的題號是〔A題/B題〕：A我們的參賽性質(zhì)是〔學(xué)院代表隊/個人參賽隊〕：學(xué)院參賽隊員(打印并簽名)：1.信息工程與自動化學(xué)院年級姓名簽名2.信息工程與自動化學(xué)院年級姓名簽名3.信息工程與自動化學(xué)院年級姓名簽名數(shù)學(xué)建模聯(lián)絡(luò)員(打印并簽名)：簽名日期：2023年05月23日評閱編號〔由組委會評閱前進(jìn)行編號〕：第六屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽評閱專用頁評閱編號〔由組委會評閱前進(jìn)行編號〕：評閱記錄〔供評閱時使用〕：評閱人評分備注總分基于多元線性回歸的薪酬合理性分析摘要本文圍繞學(xué)校工資制度合理性問題進(jìn)行研究，以概率論數(shù)理統(tǒng)計理論為根底，通過多元線性回歸分析方法，建立現(xiàn)有薪金模型：分析了該學(xué)校教職工工資與可控因素的關(guān)系，并進(jìn)一步考察了女工的待遇情況。再次根據(jù)模型得出的科學(xué)合理地設(shè)計了新的高校薪金分配方案。針對問題(1)：建立多元線性回歸模型，對數(shù)據(jù)表中的非數(shù)值數(shù)據(jù)引入虛擬變量，利用SPSS統(tǒng)計分析軟件對回歸系數(shù)及檢驗統(tǒng)計量進(jìn)行求解，確定了日平均工資與各因素的關(guān)系，再運(yùn)用逐步分析法，進(jìn)一步說明了與哪些因素更加密切。根據(jù)問上邊已建立的多元回歸模型，再利用SPSS軟件進(jìn)行性別與女性婚姻狀況的單因素方差分析，畫出單個因素的均值散點(diǎn)圖，從而考察了性別和婚姻狀況這兩個單因素分別對女工收入的影響。根據(jù)模型的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)單因素線性回歸模型沒有考慮各因素之間的交互作用，故有必要引入交互變量，再次利用SPSS軟件進(jìn)行雙因素方差分析，建立合理的含交互變量的回歸模型，同時對模型進(jìn)行誤差分析。針對問題(2)：我們添加虛擬變量：x9~科研成果,x10~職稱，x11~課時，x12~地區(qū)因素，使用隨機(jī)數(shù)來模擬某理工大學(xué)這些虛擬變量的數(shù)值，同時我們結(jié)合目前績效工資改革，提出一種更合理的事業(yè)單位薪資計算模型。關(guān)鍵詞：虛擬變量交互變量多元線性回歸模型SPSS軟件單、雙因素方差分析逐步回歸法均值散點(diǎn)圖一．問題重述某地人事部門為研究大學(xué)教師的薪金與他們的資力、性別、教育程度及培訓(xùn)情況等因素之間的關(guān)系，要建立一個數(shù)學(xué)模型，分析人事策略的合理性，特別是考察女教師是否受到不公正的待遇，以及她們的婚姻狀況是否會影響收入。為此，從當(dāng)?shù)亟處熤须S機(jī)選了一些進(jìn)行觀察，附表是90位教師的相關(guān)數(shù)據(jù)，現(xiàn)將表中數(shù)據(jù)的符號介紹如下：Z~月薪〔元〕；X1~工作時間〔月〕；X2~=1男性，X2=0~女性；X3=1~男性或單身女性，X3=0~已婚女性；X4~學(xué)歷〔取值0~6，值越大表示學(xué)歷越高〕；X5=1~受雇于重點(diǎn)大學(xué)，X5=0~其它；X6=1~受過培訓(xùn)的畢業(yè)生，X6=0~未受過培訓(xùn)的畢業(yè)生或受過培訓(xùn)的肄業(yè)生；X7=1~已兩年以上未從事教學(xué)工作，X7=0~其它。請解決以下問題：建立數(shù)學(xué)模型，分析人事策略的合理性，特別是考察女教師是否受到不公正的待遇，以及她們的婚姻狀況是否會影響收入。表中所列的數(shù)據(jù)指標(biāo)是否全面、合理，結(jié)合目前全國正在進(jìn)行的工資改革，請為某所重點(diǎn)理工大學(xué)擬定一份績效工資分配方案。〔提示：是否需要考慮教師的課時量、科研成果等，或者考慮大學(xué)排名用到的指標(biāo)〕二．模型假設(shè)(1).政府政策方針與企業(yè)的人力資源規(guī)劃在一定時期內(nèi)保持不變。(2).假設(shè)員工收入僅與題中所給因素有關(guān)，不受其他因素影響。(3).假設(shè)員工的待遇僅由收入這一單方面來考察。(4).假設(shè)該企業(yè)提供的各項數(shù)據(jù)都真實可靠。三．符號說明四．問題分析4.1對問題〔1〕分析4.1.1人事策略的合理性分析由題意可知，此題是要求分析平均日工資與所給因素之間的關(guān)系，尤其要分析出與哪些關(guān)系更加密切。平均日工資=性別、婚姻、學(xué)歷、工齡等因素的線性組合。由于局部變量是定性非數(shù)值型數(shù)據(jù)，于是采用引入虛擬變量的方法，建立根本的多元線性回歸模型，利用SPSS統(tǒng)計分析軟件對回歸系數(shù)及檢驗統(tǒng)計量進(jìn)行求解，從而確定日平均工資與各因素的線性關(guān)系。進(jìn)而對模型用逐步分析法加以修正，得出收入與哪些因素關(guān)系更加密切。同時間接反映出現(xiàn)有薪資體系的利弊，，使這些因素在一定程度上指導(dǎo)事業(yè)單位工資制度的改革，營造更加合理人性化的社會。4.1.2是否已婚對女性收入影響此題是利用性別、婚姻狀況單因素方差分析及它們與工齡和教育的雙因素方差分析結(jié)果，再結(jié)合均值散點(diǎn)圖，考察出性別和婚姻狀況這兩個單因素分別對女工收入的影響，從而分析出現(xiàn)有的人事策略是不是對女性存在性別歧視和她們的婚姻狀況是不是會影響到收入。4.2問題〔2〕的求解此題是模型改良及優(yōu)化。依據(jù)多元線性回歸模型的特點(diǎn)，由于局部因素之間存在交互作用，故利用SPASS軟件對各個因素進(jìn)行兩兩雙因素方差分析，進(jìn)而引入交叉項，改良單因素方差分析的不合理之處，同時進(jìn)行模型誤差分析。五．模型的建立及求解5.1問題〔1〕求解5.1.1分析平均日工資與其他因素之間的關(guān)系，尤其需要說明與哪些因素關(guān)系密切。(1)引入虛擬變量；1、定義設(shè)變量D表示某種屬性，該屬性有兩種相互排斥的類型，即當(dāng)屬性存在時D取值為1；當(dāng)屬性不存在時D取值為0。記為(2)建立多元線性回歸模型：模型的求解利用Spss回歸分析對模型進(jìn)行求解，可得出回歸系數(shù)及，，結(jié)果。表模型概覽表模型匯總模型RR方調(diào)整R方標(biāo)準(zhǔn)估計的誤差1.891a.794.7767.67175a.預(yù)測變量:(常量),經(jīng)驗,重點(diǎn),工年齡,婚否,培訓(xùn),性別,學(xué)歷。表5.1.2方差分析表Anovab模型平方和df均方FSig.1回歸18606.69772658.10045.163.000a殘差4826.1668258.856總計23432.86389a.預(yù)測變量:(常量),經(jīng)驗,重點(diǎn),工年齡,婚否,培訓(xùn),性別,學(xué)歷。b.因變量:工資〔元/天〕表5.1.3系數(shù)表系數(shù)a模型非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)B的95.0%置信區(qū)間B標(biāo)準(zhǔn)誤差試用版tSig.下限上限1(常量)37.5861.84720.354.00033.91341.260工年齡.090.007.70713.222.000.076.103性別1.3642.397.042.569.571-3.4046.132婚否-.4492.519-.013-.178.859-5.4614.563學(xué)歷5.3471.394.4013.836.0002.5748.120重點(diǎn)1.0451.958.032.534.595-2.8494.940培訓(xùn)2.5644.092.065.627.533-5.57610.705經(jīng)驗-.0422.118-.001-.020.984-4.2554.170a.因變量:工資〔元/天〕由表5.1.1模型概覽表可得出，；從表5.12得出，說明模型的線性關(guān)系在95％的置信水平下顯著成立。因此，該模型從整體上看是可用的，由系數(shù)表中的各項可以得到回歸方程。對模型中回歸系數(shù)的初步解釋如下，的系數(shù)是0.090，說明在其他因素不變情況下，工齡增長一個月其月工資增長0.090元；的系數(shù)是1.364大于0，說明在其他因素不變的情況下，男性員工要比女性員工的月工資多1.364元；的系數(shù)為-0.449小于0，說明在其他因素相同的情況下，已婚女性工資要比未婚女性工資要低0.449元/天；的系數(shù)均為正數(shù)，說明在其他因素相同的前提下，員工的學(xué)歷越同高、受雇重點(diǎn)大學(xué)、參加過培訓(xùn)，他們對于學(xué)歷較低、受雇于一般大學(xué)、沒有參加過培訓(xùn)的工資相對要高。的系數(shù)為-0.02小于0，說明在其他因素保持不變的條件下，管理部門的員工平均日工資要比技術(shù)的部門的員工平均年工資要低0.042元每天，管理局部員工比技術(shù)部門員工工資低，這個有存在的合理性。以上就根據(jù)回歸系數(shù)對各因素與平均日工資的關(guān)系進(jìn)行了分析。對模型的進(jìn)一步討論：由表5.1.1可以看出相關(guān)系數(shù)=0.794，可能存在多重共線性，為了進(jìn)一步優(yōu)化模型，使接近于1，也就是更接近現(xiàn)實。故須用逐步回歸法〔Stepwise〕加以修正。表5.1.4模型概覽表模型匯總模型RR方調(diào)整R方標(biāo)準(zhǔn)估計的誤差1.750a.563.55810.790792.889b.790.7857.522883.890c.792.7857.529664.891d.793.7837.552965.891e.793.7817.59763a.預(yù)測變量:(常量),工齡。b.預(yù)測變量:(常量),工齡,學(xué)歷。c.預(yù)測變量:(常量),工齡,學(xué)歷,重點(diǎn)。d.預(yù)測變量:(常量),工齡,學(xué)歷,重點(diǎn),培訓(xùn)。e.預(yù)測變量:(常量),工齡,學(xué)歷,重點(diǎn),培訓(xùn),經(jīng)驗。Anovaf模型平方和df均方FSig.1回歸13186.038113186.038113.242.000a殘差10246.82488116.441總計23432.863892回歸18509.21129254.606163.527.000b殘差4923.6518756.594總計23432.863893回歸18557.02336185.674109.103.000c殘差4875.8398656.696總計23432.863894回歸18583.84644645.96281.441.000d殘差4849.0168557.047總計23432.863895回歸18584.05153716.81064.389.000e殘差4848.8118457.724總計23432.86389a.預(yù)測變量:(常量),工齡。b.預(yù)測變量:(常量),工齡,學(xué)歷。c.預(yù)測變量:(常量),工齡,學(xué)歷,重點(diǎn)。d.預(yù)測變量:(常量),工齡,學(xué)歷,重點(diǎn),培訓(xùn)。e.預(yù)測變量:(常量),工齡,學(xué)歷,重點(diǎn),培訓(xùn),經(jīng)驗。f.因變量:工資〔元/天〕表5.1.6系數(shù)a由表5.1.4可得樣本相關(guān)系數(shù)，比前面所得回歸方程的要小，但這主要是由于解釋變量減少引起的，這點(diǎn)從方程總體線性顯著性檢驗的遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于檢驗的臨界值，且可以看出來。因此，該模型從整體上看其線性關(guān)系在95％的置信水平下是顯著成立的，再由系數(shù)表得兩個系數(shù)的顯著性均為0.000，小于0.05，說明系數(shù)都通過了t檢驗。于是由系數(shù)表中的各項可以得到簡化后的回歸方程：由此分析出，對平均日工資影響比擬密切的兩個因素是員工的受教育程度和工齡，其中工齡影響尤為顯著，其對收入的影響可由均值散點(diǎn)直觀的看出，如圖圖5.1.7學(xué)歷對日均工資影響從圖中可以直觀的看出，工齡對薪水影響最密切，呈現(xiàn)一定的線性關(guān)系?？疾炫な欠袷艿讲还鲋黧w間效應(yīng)的檢驗因變量:工資〔元/天〕源III型平方和df均方FSig.模型321679.639a794071.894123.420.000x23.55913.559.108.749x120610.72870294.4398.925.000x2*x1210.518730.074.912.532誤差362.9131132.992總計322042.55290a.R方=.999〔調(diào)整R方=.991〕由表5.2.1知，，從而可知工齡和性別的交叉因素對員工收入的影響可忽略。主體間效應(yīng)的檢驗因變量:工資〔元/天〕源III型平方和df均方FSig.模型307321.923a838415.240213.989.000x2211.6031211.6031.179.281x45166.87241291.7187.195.000x2*x4745.5832372.7922.077.132誤差14720.62982179.520總計322042.55290a.R方=.954〔調(diào)整R方=.950〕由表5.2.2可知，，性別和教育這一交叉因素也可忽略?？赏ㄟ^對模型中性別這一因素進(jìn)行單因素方差分析來分析性別對女工是否受到不公正待遇。分析結(jié)果如下，由表5.2.3可得出，大于的檢驗臨界值，，顯然性別通過了顯著性檢驗。又如下列圖可以看出，女工的平均日工資顯然要比男性的平均日工資要低。由此可得出女工受到了不公正待遇。女性婚姻狀況對收入的影響為考察這一問題，同樣也是先考察工齡、教育狀況與女性婚姻狀況的交叉因素對員工收入的影響。分析結(jié)果見表5.2.5及表主體間效應(yīng)的檢驗因變量:工資〔元/天〕源III型平方和df均方FSig.模型321813.013a804022.663175.249.000x120625.30370294.64712.836.000x3123.4701123.4705.379.043x1*x3260.757832.5951.420.296誤差229.5391022.954總計322042.55290a.R方=.999〔調(diào)整R方=.994〕由表5.2.5可知，，工齡與女性婚姻狀況這一交叉因素對員工收入的影響可忽略。主體間效應(yīng)的檢驗因變量:工資〔元/天〕源III型平方和df均方FSig.模型306831.147a743833.021239.172.000x3188.2311188.2311.027.314x45028.46541257.1166.859.000x3*x415.504115.504.085.772誤差15211.40583183.270總計322042.55290由表5.2.6可知，，教育狀況與女性婚姻這一交叉因素對員工收入的影響也可忽略。進(jìn)而可通過對女性婚姻狀況這一因素進(jìn)行單因素分析，考察女性婚姻狀況是否影響其收入。分析結(jié)果如表5.2.7所示ANOVA工資〔元/天〕平方和df均方F顯著性組間2067.83812067.8388.517.004組內(nèi)21365.02488242.784總數(shù)23432.86389由表5.2.7可得出，大于的檢驗臨界值，，顯然女性婚姻狀況這一因素也通過了顯著性檢驗。如下列圖由上圖可知，未婚女性平均日工資要比已婚女性平均日工資要低，由此可知，女性的婚姻狀況會影響她們的收入。X3=0為~已婚女性，日薪的平均值為51元左右，而x3=1~未婚男性或者女性日薪平均值為61元左右，很明顯已婚女性的收入低于未婚男性或者女性，她們的婚姻狀況影響收入。5.1.4問題〔1〕模型分析的結(jié)果通過多元線性回歸分析方法，建立現(xiàn)有薪金模型，通過以上對人事策略因子的分析和比擬，得出以下結(jié)論：〔1〕現(xiàn)有的人事策略不夠合理，面對新一輪的績效工資改革，我們需要完善大學(xué)教師薪金分配，鼓勵優(yōu)秀。〔2〕在現(xiàn)有的薪金體制下，存在一定的性別和婚姻歧視，從我們的模型得出結(jié)論：在其他因素相同或者接近的情況下，女性的日工資水平低于男性的，已婚女性的工資水平低于未婚女性或者男性。因薪資概率方案應(yīng)該考慮到現(xiàn)有體制中存在的弊端，我們將在問題〔2〕中通過合理科學(xué)的模型，建立一種全面、合理、科學(xué)的工資分配方案。5.3對問題〔2〕求解5.3.1模型的建立〔1〕通過前邊的分析，我們得出結(jié)論：x2性別因素和x3是否已婚這兩個因素影響薪金模型合理科學(xué)，同時考慮到向模型中參加其他對于高校薪金影響力較大的因素：課時，職稱，地區(qū)，科研成果等因素，我們把這四個因素和因素一起求解分析，建立更加數(shù)學(xué)模型。引入四個值的虛擬隨機(jī)變量，講四個因素數(shù)量化?！?〕使用Matlab生成隨機(jī)數(shù)，來模擬某高校的教師科研情況具體數(shù)量值見附件二.xls5.3.2模型的求解運(yùn)用多元回歸分析的方法建立模型：我們直接用Matlab命令Stepwise求解，圖5-1有三局部組成從上往下依次是：StepwisePlot,StepwiseTable,StepwiseHistory圖5-1從圖中我們看到相關(guān)性系數(shù)R2=0.797706，接近0.8即自變量與應(yīng)變量有較強(qiáng)的線性關(guān)系，x1,x4,x5,x6,x7,x9,x10,x11,x12的置信區(qū)間均包含原點(diǎn)，x1,x4,x5,x6,x7,x9,x10,x11,x12對應(yīng)變量的影響比擬顯著。擬合分析得到的值為：b=39.32090.09014.97341.65403.8233-0.26361.0270-0.01660.0886-1.0498帶入回歸方程得到：參加新的虛擬變量以后得到的回歸方程：接著就是利用檢測量R,F,P的值判斷改模型是否可用?！?〕判定系數(shù)R2的評價：一般地，怕頂系數(shù)在0.8~1范圍內(nèi)，課判斷回歸自變量與因變量具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性。本例中R2為0.7481，說明線性相關(guān)性較強(qiáng)?！?〕F檢驗法：當(dāng)Fn>F1-α(k,n-k-1)時那么拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為因變量y與自變量x1，x2，x3…xk之間顯著地有線性相關(guān)關(guān)心；否那么熱為因變量y與自變量x1，x2，x3…xk之間線性相關(guān)關(guān)心不明顯。本例中Fn>F1-α(k,n-k-1)，線性關(guān)系明顯?！?〕P檢驗法：假設(shè)P<α〔α為預(yù)訂顯著水平〕，那么說明因變量y與自變量x1，x2，x3…xk之間有顯著地線性想干關(guān)系。本例中P=0.004<a，所以有較好的線性關(guān)系。以上三種統(tǒng)計推斷方法的結(jié)果是一致的，說明因變量y與自變量x1，x2…xk之間顯著地有線性相關(guān)關(guān)系，所以回歸模型可用。六.模型優(yōu)化殘差分析殘差ei=yi-yi〔i=1,2，…90〕，是各觀測值yi與回歸方程所對應(yīng)得到的擬合值yi之差，實際上，它是線性回歸模型中誤差ξ的估計值。ξ~〔0，σ2〕即有零均值和常值方差，利用殘差的這種性質(zhì)反過來考察原模型的合理性就是殘差分析的根本思想。利用MATLAB進(jìn)行殘差分析那么是通過殘差圖。從回歸模型的殘差e與擬合值y的散點(diǎn)圖，我們可以清楚的看淡殘差大都分布在零的附近，因此還是比擬好的，不過40,48,49,58,59,65,85，90這八個樣本點(diǎn)的殘差偏離遠(yuǎn)點(diǎn)較遠(yuǎn)，如果作為奇異點(diǎn)看待，去掉后重新擬合。模型改良去掉壞點(diǎn)后，利用MATLAB求解，各個回歸系數(shù)分別為b=39.55870.00070.02870.00950.0571-0.00880.00150.00590.0003-0.0079stats=0.893161.265400.0019擬合方程為：除去壞點(diǎn)以后，回歸系數(shù)的置信期間更小均不包含原點(diǎn)，統(tǒng)計變量stats包含三個統(tǒng)計計量回歸系數(shù)R2，，假設(shè)檢驗統(tǒng)計計量F，概率P，分別為：0.893161.26540.0019，和上邊比擬可知，R2，F(xiàn)均增加，模型得到改良。六、模型的評價和推廣6.1優(yōu)點(diǎn)：(1)本文解決問題的模型是簡單的多元線性回歸模型，但是這并不影響得到的結(jié)果的準(zhǔn)確性，因