2023-2024學(xué)年江蘇省常州市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2023-2024學(xué)年江蘇省常州市九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共8小題，共24分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))1.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是()A.(x-2)2+3B.(x+2)2-4C.(x+2)2-5D.(x+2)2+43.不解方程，判斷方程2x2-6x=7的根的情況是()A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定.4.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C,D在半圓O上.若∠ABC=50°,則∠BDC的度數(shù)為()A.90°B.100°C.130°5.下列說法正確的是()A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓C.長度相等的弧是等弧D.三角形的外心是三條角平分線的交點(diǎn)6.某食品廠七月份生產(chǎn)了52萬個(gè)面包，第三季度共生產(chǎn)了196萬個(gè)面包.若x滿足方程52+52(1+x)+52(1+x)2=196,則x表示的意義是()A.該廠七月份生產(chǎn)面包數(shù)量的增長率B.該廠八月份生產(chǎn)面包數(shù)量的增長串C.該廠七、八月份平均每月生產(chǎn)面包數(shù)量的增長率7.如圖，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，連接二、填空題(本大題共10小題，共30分)10.已知Q0的半徑為5cm,圓心O到直線的距離為6cm,則直線與Q0的位置關(guān)系是11.已知圓錐的母線長8cm,底面圓的直徑6cm,則該圓錐的側(cè)面積為12.已知m是方程x2-x-1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式5m2-5m+2023的值是17.已知等腰△ABC的邊長分別是m,n,4,18.如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,4),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2,點(diǎn)M連接OM.OM的最大值為的兩根.則a的三、解答題(本大題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)19.(本小題8分)20.(本小題8分)已知：關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a-1=0.(2)若方程有一個(gè)根大于3,求a的取值范圍.21.(本小題8分)超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷量，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施.經(jīng)過一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件.(1)若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為件：(2)為盡快減少庫存，要使該商店每天銷售利潤為1200元，每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?22.(本小題8分)一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑?小明阿學(xué)所在的D四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為3.5cm,AB=3cm,CD=4cm.請你幫忙計(jì)算紙杯的直徑.23.(本小題8分)24.(本小題8分)如圖，在△ABC中，AB=AC,過點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.(2)當(dāng)AB=5,BC=6時(shí)，求DE的長.25.(本小題8分)如圖所示，已知甲、乙、丙三種圖案的地磚，它們都是邊長為4的正方形.甲乙丙26.(本小題8分)小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，作了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn).如圖1,在O0中，C是AB的中點(diǎn)，直線CD⊥AB于點(diǎn)E,則可以得到AE=BE,請證明此結(jié)論.PC、BC…請你按照小明的思路完成證明過程.點(diǎn)E,則△BDC的周長為【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可.【詳解】解：A、B、D都是軸對稱圖形，C是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，理解軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵.2.【答案】C【解析】【分析】將代數(shù)式前兩項(xiàng)結(jié)合，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即加上4,后面減去4保證與原式相【詳解】根據(jù)配方法，若二次項(xiàng)系數(shù)為1,則需要配一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則可先提取二次項(xiàng)系數(shù)，將其化為1后再計(jì)算.x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=(x+2)2-5,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用.【解析】【分析】利用根的判別式△=b2-4ac進(jìn)行求解并判斷即可.【詳解】解：∵2x2-6x=7【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式△=b2-4ac是解答此題的關(guān)鍵，當(dāng)判別式△=b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)判別式△=b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)判別式△=b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.【解析】【分析】由題意易得∠ACB=90°,則有∠A=40°,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求解.【詳解】解：∵AB是半圓O的直徑，鍵.可.∴△AOE~△ABC,2,進(jìn)而求出AE,再根據(jù)勾股定理求出DE.【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊中線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，確作出輔助線、掌握直角三角形的性質(zhì).【解析】【分析】此題考查了解一元二次方程，將一次項(xiàng)移到等式左邊，利用因式分解法解方程，由此得【解析】【分析】設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d,當(dāng)d<r時(shí)，直線和圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線和圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線和圓相離，因?yàn)?>5,所以直線與圓相離.【詳解】根據(jù)圓心到直線的距離是6大于圓的半徑5,則直線和圓相離.故答案為：相離.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的半徑與圓心到直線的距離的大小關(guān)系決定了其位置關(guān)系，熟練掌握其判斷方法是解題的關(guān)鍵.【解析】【詳解】先求出圓錐底面圓的周長為6πcm,再根據(jù)扇形面積公式即可求解.解：∵圓錐底面圓的直徑6cm,【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積.熟知圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其中扇形的半徑為圓錐的母線，扇形的弧長為底面圓周長是解題的關(guān)鍵.【解析】【分析】根據(jù)方程解的定義得到5m2-5m=5,進(jìn)而整體代入所求式子中求解即可.【詳解】解：∵m是方程x2-x-1=0的一個(gè)根，故答案為：2028.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵.【解析】【分析】連接OA、OB,根據(jù)圓周角定理得出∠AOB=60°,證明△AOB為等邊三角形，進(jìn)而求出直徑.【詳解】解：連接OA、OB,如圖所示：∴⊙0半徑長為2,故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是連接半徑，證明三角形是等邊三角形.14.【答案】80【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠BDE,從而求得∠ADE的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解.【詳解】解：∵四邊形BCED內(nèi)接于O0,∠C=60°,故答案為80.【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)該三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半進(jìn)行計(jì)算.【詳解】解：∵52+122=132,則△ABC外接圓半徑是斜邊的一半，即為6.5cm;【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圓與外心，解題的關(guān)鍵是熟記直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半.【解析】【分析】作OM⊥CD于點(diǎn)M,連接OC,在直角三角形OEM中，根據(jù)三角函數(shù)求得OM的長，然后在直角AOCM中，利用勾股定理即可求得CM的長，進(jìn)而求得CD的長.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，解答此類題目時(shí)要先作出輔助線，再利用勾股定理求解.【解析】【分析】①當(dāng)m=n時(shí)，②m=4或n=4時(shí)，根據(jù)根的判別式和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)【詳解】解：①當(dāng)m=n時(shí)，∵m,n是關(guān)于x的方程x2-6x+a+1=0的兩根，∴m,n,4為邊能組成三角形；∴4是關(guān)于x的方程x2-6x+a+1=0的根，∴m,n,4為邊能組成三角形；綜上所述：a的值為7或8.故答案為：7或8.【解析】【分析】先根據(jù)題意得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的OB上，如圖，取OD=OA=4,連接B、C三點(diǎn)共線，據(jù)此求解即可.【詳解】解：∵C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2,∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的OB上，(2)利用配方法解方程；(3)利用因式分解法解方程；(4)利用直接開平方法解方程.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握一元二次方程的解法并根據(jù)每個(gè)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵.20.【答案】(1)證明：∵△=b2-4ac=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2≥0,∴無論a取任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根.(2)解：由(1)知△=(a-2)2,∵方程有一個(gè)根大于3,(2)求出方程兩根x?=-1,x?=-a+1,因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根大于3,所以-a+1>3,解得：a<-2.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式，公式法解21.【答案】(1)解：由題意得，若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為20+6×2=32件，故答案為：32(2)解：設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，由題意得，(40-x)(20+2x)=1200,【解析】【分析】(1)根據(jù)在每天銷售20件的基礎(chǔ)上銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件進(jìn)行求解即可.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量∴設(shè)OE=x,則OF=3.5-x,∴CE2+OE2=AF2+OF2,即22+x2=1.52+(3.5-x)2,即直徑為5cm,【解析】【分析】設(shè)圓心為O,根據(jù)垂徑定理可以得到CE=2,AF=1.5,再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解題【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.(2)根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分的性質(zhì)，連接AP并延長交OP于點(diǎn)D,連接BP并延長交OP于點(diǎn)E,則四邊形ABDE即為矩形.【點(diǎn)睛】此題考查了作線段的垂直平分線，矩形的性質(zhì)，三角形外接圓的性質(zhì)，熟練∴OD//AC,∵AB為⊙0的直徑對等角得到又一對角相等，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得OD與AC平行，又EF垂直于AC,得EF與(2)連接AD,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得∠ADB=90°,根據(jù)三線合一得到D為BC中點(diǎn)，由BC求出CD的長，再由AC的長，用勾股定理求出AD的長，三角形ACD的面積有兩種求法，列出兩個(gè)關(guān)系式，兩關(guān)系式相等可求出DE的長.【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理以及【解析】【分析】(1)用半徑是4圓心角是90°的扇形面積減去直角邊長是4的等腰直角三角形的面積可得陰影部分面積的一半，進(jìn)而可知陰影部分面積；(2)用半徑是2圓心角是90°的扇形面積減去直角邊長是2的等腰直角三角形的面積可得陰影部分面積的四(3)用半徑是1圓心角是90°的扇形面積減去直角邊長是1的等腰角三角形的面積可得陰影部分面積的十六分之一，進(jìn)而可知丙的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是能夠熟練掌握扇形面積公式.26.【答案】(1)如圖1,連接AD,BD,∵C是劣弧AB的中點(diǎn)，(2)證明：如圖2,在AE上截取AF=PB,連接CA、CF、PC、BC,∴△BDC的周長為：BD