北京市東城區(qū)第五十中學2023-2024學年高一數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

北京市東城區(qū)第五十中學2023-2024學年高一數(shù)學第一學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知向量，滿足，，且與夾角為，則（）A. B.C. D.2．已知命題“存在，使得等式成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知指數(shù)函數(shù)（，且），且，則的取值范圍（）A. B.C. D.4．設，則的大小關系（）A. B.C. D.5．“是鈍角”是“是第二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．“ω＝2”是“π為函數(shù)的最小正周期”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．若且，則函數(shù)的圖象一定過點（）A. B.C. D.8．C，S分別表示一個扇形的周長和面積，下列能作為有序數(shù)對取值的是（）A. B.C. D.9．設函數(shù)，對于滿足的一切值都有，則實數(shù)的取值范圍為A B.C. D.10．如果函數(shù)對任意的實數(shù)x，都有，且當時，，那么函數(shù)在的最大值為A.1 B.2C.3 D.411．已知，則等于（）A.1 B.2C.3 D.612．已知是定義域為的偶函數(shù)，當時，，則的解集為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A. B.C. D.－114．已知函數(shù)的零點為，不等式的最小整數(shù)解為，則__________15．正三棱錐P﹣ABC的底面邊長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，AC，BC，PB的中點，四邊形EFGH的面積為S，則S的取值范圍是__16．已知是內一點，，記的面積為，的面積為，則__________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知不等式.（1）求不等式的解集；（2）若當時，不等式總成立，求的取值范圍.18．定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱函數(shù)的一個上界.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）在第（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構成的集合；（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)f(x)＝（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;（2）判斷并證明函數(shù)f(x)的單調性;（3）解不等式：f(x2－2x)＋f(3x－2)<0；20．已知.（1）若，，求x的值；（2）若，求的最大值和最小值.21．已知，，當k為何值時.（1）與垂直？（2）與平行？平行時它們是同向還是反向？22．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D，E分別為棱AB，BC的中點，M為棱AA1的中點（1）證明：A1B1⊥C1D；（2）若AA1＝4，求三棱錐A﹣MDE的體積

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】根據(jù)向量的運算性質展開可得，再代入向量的數(shù)量積公式即可得解.【詳解】根據(jù)向量運算性質，，故選：D2、D【解析】由題意可得，由的范圍可得的范圍，再求其補集即可求解.【詳解】由可得，因為，所以，若命題“存在，使得等式成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是，故選：D.3、A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性可解決此題【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)（，且），且根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性可知所以，故選：A4、C【解析】判斷與大小關系，即可得到答案.【詳解】因為，，，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質，關鍵是與中間量進行比較，然后得三個數(shù)的大小關系，屬于基礎題.5、A【解析】根據(jù)鈍角和第二象限角的定義，結合充分性、必要性的定義進行判斷即可.【詳解】因為是鈍角，所以，因此是第二象限角，當是第二象限角時，例如是第二象限角，但是顯然不成立，所以“是鈍角”是“是第二象限角”的充分不必要條件，故選：A6、A【解析】直接利用正弦型函數(shù)的性質的應用，充分條件和必要條件的應用判斷A、B、C、D的結論【詳解】解：當“ω＝2”時，“函數(shù)f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期為π”當函數(shù)f（x）＝sin（ωx﹣）的最小正周期為π”，故ω＝±2，故“ω＝2”是“π為函數(shù)的最小正周期”的充分不必要條件；故選：A7、C【解析】令求出定點的橫坐標，即得解.【詳解】解：令.當時，，所以函數(shù)的圖象過點.故選：C.8、B【解析】設扇形半徑為，弧長為，則，，根據(jù)選項代入數(shù)據(jù)一一檢驗即可【詳解】設扇形半徑為，弧長為，則，當，有，則無解，故A錯；當，有得，故B正確；當，有，則無解，故C錯；當，有，則無解，故D錯；故選：B9、D【解析】用分離參數(shù)法轉化為求函數(shù)的最大值得參數(shù)范圍【詳解】滿足的一切值，都有恒成立，，對滿足的一切值恒成立，，，時等號成立，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：D.10、C【解析】由題意可得的圖象關于直線對稱，由條件可得時，為遞增函數(shù)，時，為遞減函數(shù)，函數(shù)在遞減，即為最大值，由，代入計算可得所求最大值【詳解】函數(shù)對任意的實數(shù)x，都有，可得的圖象關于直線對稱，當時，，且為遞增函數(shù)，可得時，為遞減函數(shù)，函數(shù)在遞減，可得取得最大值，由，則在的最大值為3故選C【點睛】本題考查函數(shù)的最值求法，以及函數(shù)對稱性和單調性，以及對數(shù)的運算性質的應用，屬于中檔題．將對稱性與單調性綜合考查一直是命題的熱點，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性，根據(jù)對稱性判斷出函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性(軸對稱函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，中心對稱函數(shù)在對稱區(qū)間單調性相同)，然后再根據(jù)單調性求解.11、A【解析】利用對數(shù)和指數(shù)互化，可得，，再利用即可求解.【詳解】由得：，，所以，故選：A12、C【解析】首先畫出函數(shù)的圖象，并當時，，由圖象求不等式的解集.【詳解】由題意畫出函數(shù)的圖象，當時，，解得，是偶函數(shù)，時，，由圖象可知或，解得：或，所以不等式的解集是.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)圖象的應用，利用函數(shù)圖象解不等式，意在考查數(shù)形結合分析問題和解決問題的能力，屬于幾次題型.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、D【解析】設平均增長率為x,由題得故填.14、8【解析】利用單調性和零點存在定理可知，由此確定的范圍，進而得到.【詳解】函數(shù)為上的增函數(shù)，，，函數(shù)的零點滿足，，的最小整數(shù)解故答案為：.15、（，+∞）【解析】由正三棱錐可得四邊形EFGH為矩形，并可得其邊長與三棱錐棱長關系，從而可得面積S的范圍.【詳解】∵棱錐P﹣ABC為底面邊長為1的正三棱錐∴AB⊥PC又∵E，F(xiàn)，G，H，分別是PA，AC，BC，PD的中點，∴EH//FG//AB且EH＝FGAB，EF//HG//PC且EF＝HGPC則四邊形EFGH為一個矩形又∵PC，∴EF，∴S=EFEH，∴四邊形EFGH的面積S的取值范圍是（，+∞），故答案為:（，+∞）三、16、【解析】設BC中點為M,則,所以P到BC的距離為點A到BC距離的，故三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的單調性以及真數(shù)大于零得出關于實數(shù)的不等式組，解出即可；（2）令，利用參變量分離法得出，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知可得：，因此，原不等式解集為；（2）令，則原問題等價，且，令，可得，當時，即當時，函數(shù)取得最小值，即，.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查對數(shù)不等式的求解，同時也考查了指數(shù)不等式恒成立問題，將問題在轉化為二次不等式在區(qū)間上恒成立是解題的關鍵，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題.18、(1)；(2)；(3).【解析】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)可得，即，整理得，可得，解得，經(jīng)驗證不合題意．（2）根據(jù)單調性的定義可證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，從而可得在區(qū)間上的值域為，故，從而可得所有上界構成的集合為．（3）將問題轉化為在上恒成立，整理得在上恒成立，通過判斷函數(shù)的單調性求得即可得到結果試題解析：（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，即，∴，∴，解得，當時，，不合題意，舍去∴.（2）由（1）得，設，令，且，∵；∴在上是減函數(shù)，∴在上是單調遞增函數(shù)，∴在區(qū)間上是單調遞增，∴，即，∴在區(qū)間上的值域為，∴，故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構成的集合為.（3）由題意知，上恒成立，∴，∴，因此在上恒成立，∴設，，，由知，設，則，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴在上的最大值為，在上的最小值為，∴∴的取值范圍.點睛：（1）本題屬于新概念問題，解題的關鍵是要緊緊圍繞所給出的新定義，然后將所給問題轉化為函數(shù)的最值（或值域）問題處理（2）求函數(shù)的最值（或值域）時，利用單調性是常用的方法之一，為此需要先根據(jù)定義判斷出函數(shù)的單調性，再結合所給的定義域求出最值（或值域）19、（1）奇函數(shù)（2）單調增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】（1）按照奇函數(shù)的定義判斷即可；（2）按照單調性的定義判斷證明即可；（3）由單調遞增解不等式即可.【小問1詳解】易知函數(shù)定義域R，所以函數(shù)為奇函數(shù).【小問2詳解】設任意x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝＝∵x1<x2，∴，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)是在(－∞，＋∞)上是單調增函數(shù)【小問3詳解】∵f(x2－2x)＋f(3x－2)<0，又∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且在(－∞，＋∞)上單調遞增，∴f(x2－2x)<f(2－3x)，∴x2－2x<2－3x，∴－2<x<1.不等式的解集是20、（1）或；（2）的最大值和最小值分別為：，.【解析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再利用給定的函數(shù)值及x的范圍求解作答.(2)求出函數(shù)相位的范圍，再結合正弦函數(shù)的性質計算作答.【小問1詳解】依題意，，由，即得：，而，即，于是得或，解得或，所以x的值是或.【小問2詳解】由(1)知，，當時，，則當，即時，，當，即時，，所以的最大值和最小值分別為：，.21、（1)（2),反向【解析】（1）計算得到，，計算得到答案.（2）根據(jù)得到，計算并判斷方向得到答案，【詳解】（1)；，得，（2)，得，此時，所以方向相反.【點睛】本題考查了向量的平行和垂直，意在考查學生的計算能力.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過證明AB⊥CD，AB⊥CC1，證明A1B1⊥平面CDC1，然后證明A1B1⊥C1D；（2）求出底面△DCE的面積，求出對應的高，即點到底面DCE的距離，然后求解四面體M-CDE的體積，由三棱錐A﹣MDE的體積就是三棱錐M﹣CDE的體積得結論.【詳解】（1）證明：∵∠ACB