廣東省深圳實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

）試卷第=page66頁，共=sectionpages77頁2023-2024學(xué)年廣東省深圳實驗中學(xué)高二上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題考試范圍：空間向量與立體幾何、直線與圓的方程、圓錐曲線的方程 2023.11試卷滿分：150分考試用時：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進行了判斷，提出了四個命題：甲：可以是圓的方程；

乙：可以是拋物線的方程；丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

?。嚎梢允请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．其中，真命題有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．從點射出的光線沿與向量平行的直線射到軸上，則反射光線所在直線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（

）A． B．C． D．4．若圓：上的任意一點關(guān)于直線：對稱的點仍在圓上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知，點P為直線上的一點，點Q為圓上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知直線l的方向向量為，點在l上，則點到l的距離為（

）A． B．1 C．3 D．27．已知圓的方程為，設(shè)該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形面積為（

）A． B． C． D．8．已知點是橢圓的左右焦點，點為橢圓上一點，點關(guān)于平分線的對稱點也在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知直線，則（

）A．直線過定點 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，兩直線之間的距離為110．設(shè)圓，過點的直線與C交于兩點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．P可能為中點 B．的最小值為3C．若，則的方程為 D．的面積最大值為11．如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（

）

A． B．點E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為 D．點到平面的距離為12．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，M為C的右頂點，過的直線與C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限），設(shè)點P，Q分別為，的內(nèi)心，R，r分別為，內(nèi)切圓的半徑，則（

）A．點M在直線PQ上 B．點M在直線PQ的左側(cè)C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為.

14．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若的中點的縱坐標(biāo)為2，則等于．15．已知、分別為橢圓的左、右焦點，是過橢圓右頂點且與長軸垂直的直線上的動點，則的最大值為．16．已知雙曲線，過原點的直線l與雙曲線交于B，C兩點，A為雙曲線的右頂點，F(xiàn)為雙曲線的左焦點，直線AB，AC的斜率之積為，則b＝；若，則的面積為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知點，求(1)過點A，B且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點A，B且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（本小題滿分12分）直線，相交于點，其中.(1)求證：、分別過定點、，并求點、的坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時，的面積取得最大值，并求出最大值.19．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.20．（本小題滿分12分）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，拋物線C過點．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l與拋物線C交于A，B兩點，且，證明：直線l過定點．21．（本小題滿分12分）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．22．已知橢圓：的離心率為，橢圓的短軸長等于4．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，過且斜率為的動直線與橢圓交于，兩點，直線，分別交：于異于點的點，，設(shè)直線的斜率為，直線，的斜率分別為．①求證：為定值；②求證：直線過定點.參考答案：1．C【詳解】因為方程，其中，所以當(dāng)時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程；當(dāng)時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；當(dāng)時，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；所以真命題有3個.2．B【詳解】關(guān)于軸的對稱點為，由于入射光線與平行，所以反射光線的斜率是，所以反射光線所在直線方程為.3．A【詳解】設(shè)，則，因為點在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.4．D【詳解】因為圓上的任意一點關(guān)于直線：對稱的點仍在圓上，所以圓關(guān)于直線對稱，即直線過圓的圓心；又圓可化為，其圓心為，半徑為；所以有，即，因此可表示直線上的點，又是圓：上的點，所以表示圓上的點到直線距離的平方；由點到直線的距離公式可得：點到直線的距離為，因此直線與圓相離，所以圓上的點到直線距離的最小值為，所以的最小值為.5．D【詳解】設(shè)，令，則，則M.如圖，當(dāng)三點共線時，且垂直于直線時，有最小值，為，即直線到點M距離，為.故選：D6．B【詳解】由題可知，點到l的距離為，，，，，則，則，故點到l的距離為.7．C【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，，故點在圓內(nèi)，如下圖所示：則，過點的弦過圓心時，弦長取最大值，即，當(dāng)過的弦與垂直時，弦長取最小值，即，此時，此時，四邊形的面積為.8．C【詳解】由題意可作圖如下：

由圖可知：，由平分，則，所以，由，則解得，由是關(guān)于直線的對稱點，則共線，，，，所以，在中，，可得，解得，，在中，由余弦定理，可得，代入可得：，化簡可得：，所以其離心率.9．CD【詳解】依題意，直線，由解得：，因此直線恒過定點，A不正確；當(dāng)時，直線，而直線，顯然，即直線不垂直，B不正確；當(dāng)時，直線，而直線，顯然，即，C正確；當(dāng)時，有，解得，即直線，因此直線之間的距離，D正確.10．AD【詳解】圓，圓心，半徑對于A，，即點P在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線時，P為中點，故A正確；對于B，當(dāng)直線時，最小，，，則直線的方程為，圓心到直線的距離，，故B錯誤；對于C，當(dāng)直線斜率不存在時，即，此時，符合；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由，得，則圓心到直線的距離，解得，即，所以滿足題意的直線為或，故C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的面積最大值為，故D正確.11．AC【詳解】如圖以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.

12．ACD【詳解】先證明一個結(jié)論：焦點在x軸上的雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為.過的直線與C的右支交于A，B兩點，設(shè)點P為的內(nèi)心，設(shè)圓P與的切點分別為，則，則，解之得則切點的坐標(biāo)為.切點與雙曲線C的右頂點M重合，則圓P與x軸的切點為雙曲線C的右頂點M，同理可得圓Q與x軸的切點為雙曲線C的右頂點M.則直線的方程為，雙曲線C的右頂點M的坐標(biāo)為，則點M在直線PQ上.則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；選項C：.判斷正確；選項D：由直線的方程為，可得.判斷正確.13．【詳解】依題意，，得，由底面為矩形，，，得，顯然，又，因此，所以.14．8【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)F(1,0),準(zhǔn)線方程,

設(shè)AB的中點為M,過A,B,M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線，,∵直線AB過拋物線的焦點F,∴可設(shè)直線AB的方程為：(m為常數(shù)),代入拋物線的方程消去x并整理得：,設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為,線段AB中點,則,,∴直線AB的方程為,,，15．【分析】設(shè)點在直線上，設(shè)點，當(dāng)時，求出的值，當(dāng)點不為長軸端點時，設(shè)，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，可求出關(guān)于的表達式，利用基本不等式可求得的最大值，可得出的最大值，即可求得的最大值.【詳解】不妨設(shè)點在直線上，若點為，則，當(dāng)點不為長軸端點時，由對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)點，在橢圓中，，，，則點、，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，的最大值為，所以，.法二：幾何法，作外接圓，相切時取到最大16．【詳解】令，則，∴①，又②，聯(lián)立①②得；補充：令雙曲線的右焦點為，如圖所示，由B、C關(guān)于原點對稱，則,易證，，

設(shè),由余弦定理得：，∴.17．(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)為直徑時，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最?。吹闹悬c為圓心，半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解法一：的斜率為，則的垂直平分線的方程是，即，由圓心在直線上，得兩直線交點為圓心，即圓心坐標(biāo)是．．故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．解法二：待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．(1)證明見解析，，(2)時，取得最大值【詳解】（1）在直線的方程中，令可得，則直線過定點，在直線的方程中，令可得，則直線過定點；（2）聯(lián)立直線、的方程，解得，即點.，，，所以，；且，因此，當(dāng)時，取得最大值，即.法二：幾何法19．(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結(jié)，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.20．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為拋物線C過點，∴，解得，∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，直線l的方程為，聯(lián)立，化為，，∴，∵，∴，，解得，滿足，∴直線l的方程為，∴直線過定點．21．(1)證明見解析；(2)1【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令