2023-2024年重慶八年級(jí)上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)分類匯編：幾何綜合比值、角度、中點(diǎn)（解析版）

2023-2024年重慶八年級(jí)上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)分類匯編：幾何綜合比值、角度、中點(diǎn)一、比值問題1．在等邊中，D為上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，過B作，連接，，且．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，試探究、、的關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，若D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫出的比值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，易得為等邊三角形，證明，得到，利用求出的長(zhǎng)即可．（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，易得為等邊三角形，證明，得到，根據(jù)，即可得到；（3）在上截取，易得為等邊三角形，證明，得到，設(shè)，求出，即可得解．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：；理由如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：在上截取，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，設(shè)，∴，，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．通過添加輔助線，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知在直角中，，為邊上一點(diǎn)，連接，過作，交邊于點(diǎn)．(1)如圖1，連接，若，，，求的面積；(2)如圖2，作的角平分線交于點(diǎn)，連接，若，求證：；(3)如圖3，若，將沿折疊，得到，且與交于點(diǎn)，連接，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1），利用等腰直角三角性質(zhì)、，再利用勾股定理求得，計(jì)算出即可求出面積；（2）如圖2中，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．證明，推出，再證明，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（3）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，證明是直角三角形，進(jìn)而勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，，在直角中，，，，，，，；（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，；（3）如圖，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∵將沿折疊，得到，∴，又，∴，∴是等邊三角形，設(shè)，則，∴，∴，∴，在中，，如圖，連接，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形全等的證明和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理；勾股定理解直角三角形，解題的關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等．3．已知：中，，，連接，在直線右側(cè)作,(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，過點(diǎn)E作于F，若；求(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．若．求證：；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫出的值（不需要計(jì)算過程）．【答案】(1)6；(2)見解析；(3)．【分析】（1）由結(jié)合已知得結(jié)合題意證，利用全等的性質(zhì)代入計(jì)算即可；（2）如圖2，過點(diǎn)E作，由垂直得結(jié)合已知證，得到，，再證得，利用角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半換算即可；（3）當(dāng)點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，交的延長(zhǎng)線于N，由，設(shè)則，解出，分別，，利用全等的性質(zhì)求出，最后利用三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，又∵,∴，∴，∴；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)E作，∵，，∴，∴，∴，又∵,，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，交的延長(zhǎng)線于N，∵，∴設(shè)則，∴，∵，，，∴，∴，又∵,，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、三角形面積公式；解題的關(guān)鍵是證明三角形全等并運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行等量換算．4．在等邊△ABC中，D為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，過B作BEAC，連接DE，EF，且∠DEF＝60°．(1)如圖1，若BE＝2，BD＝5，求BF的長(zhǎng)．(2)如圖2，若F為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，試探究BD、BE、BF的關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，若F為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD：BE：AC＝1：2：3，請(qǐng)直接寫出CF：BE的值．【答案】(1)3；(2)BE=BD+BF．理由見解析；(3)3：2．【分析】（1）在FB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使BM=BE，連接ME，證明（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出MF=DB，則可得出答案；（2）在BF的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使BM=BE，連接ME，證明（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出MF=DB，則可得出結(jié)論；（3）在BC上取點(diǎn)M，使BM=BE，連接ME，同理可知（ASA），得出MF=BD，設(shè)AD=x，BE=2x，AC=3x，求出CF=3x，則可得出答案．【詳解】（1）解：在FB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使BM=BE，連接ME，∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠C=60，∵，∴∠EBM=60，∴△EBM是等邊三角形，∴∠M=∠BEM=60，ME=BE，∵∠DEF=60，∴∠DEF+∠BEF=∠BEM+∠BEF，∴∠DEB=∠FEM，∵∠MBE=∠ABC=60，∴∠EBD=∠M=60，∴（ASA），∴MF=DB，∵M(jìn)F=MB+BF，∴BD=BE+BF，∵BE=2，BD=5，∴BF=5-2=3；（2）BE=BD+BF．理由：在BF的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使BM=BE，連接ME，∵，∴∠C=∠EBM=60°，∵BM=BE，∴為等邊三角形，∴ME=BE，∠M=∠MEB=60°，∴∠M=∠EBD，∵∠DEF=60°，∴∠MEF=∠BED，∴（ASA），∴MF=BD，∵BM=MF+BF，∴BE=BD+BF；（3）在BC上取點(diǎn)M，使BM=BE，連接ME，同理可證（ASA），∴MF=BD，設(shè)AD=x，BE=2x，AC=3x，∴BD=AB+AD=3x+x=4x，∴BF=BM+MF=2x+4x=6x，∴CF=BF-BC=6x-3x=3x，∴CF：BE=3x：2x=3：2．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、倍長(zhǎng)中線5．在中，，，D是邊上一動(dòng)點(diǎn)（D不與A、C兩點(diǎn)重合），連接．(1)如圖1，當(dāng)平分時(shí)，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，取的中點(diǎn)F，連接．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；②如圖3，點(diǎn)K在邊上，且，連接．當(dāng)取最小值時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)①，證明見解析；②．【分析】（1）過點(diǎn)D作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)等腰直角三角形判定和性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，，最后由勾股定理得到，即可求出的長(zhǎng)；（2）①延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使得，連接、，先利用“”證明，得到，，進(jìn)而得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，再利用“”證明，得到，，進(jìn)而推出，得到為等腰直角三角形，然后利用等腰三角形三線合一性質(zhì)，得到，從而推出是等腰直角直角三角形，最后利用勾股定理即可證明猜想；②連接，由①得，，，，推出，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，有最小，此時(shí)點(diǎn)D在上，然后過點(diǎn)F作，設(shè)，，利用線段間的關(guān)系和勾股定理，依次用含的式子表示出相關(guān)線段，最后即可計(jì)算出的值．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)D作與點(diǎn)D，則，平分，，，，，，，，，，，，，，；（2）解：①如圖2，，證明如下：連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使得，連接、，為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，；②如圖3，連接，由①得，，，，，，當(dāng)時(shí)，的值最小，，，，點(diǎn)D在上，如圖4，過點(diǎn)F作與點(diǎn)N，，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，為中點(diǎn)，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．6．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，可以考慮作“輔助線”——把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點(diǎn)，，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長(zhǎng)＝______．【答案】（1）；；；；（2）見解析；（3）8．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系求解即可；（2）延長(zhǎng)ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用SAS證明，得到，，進(jìn)而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長(zhǎng)ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，三角形的三邊關(guān)系，“中線加倍”法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形．7．已知點(diǎn)是等邊的邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段，連接．(1)如圖1，連接，若，且，，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接、，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）過點(diǎn)D作于F，則，由等邊三角形性質(zhì)可知，在直角三角形中，分別得出，，根據(jù)勾股定理得出，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，再求，最后根據(jù)勾股定理即可得出答案；（2）延長(zhǎng)至G使得，連接，先證明，推出，，所以，推出，由等邊三角形性質(zhì)可知，，所以，，進(jìn)而得出，再證明，得出，，進(jìn)而得出，由此可得出，在中，設(shè)，則，進(jìn)一步即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作于F，則，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可知：，∵，∴，∵，∴；（2）證明：延長(zhǎng)至G使得，連接，∵為線段的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，，由旋轉(zhuǎn)可知：，，，即，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，在中，設(shè)，則，∴∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、角度問題8．如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s．（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．【答案】（1）∠CMQ＝60°不變．理由見解析；（2）當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，△PBQ為直角三角形；（3）∠CMQ＝120°不變．理由見解析．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ＝60°；（2）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，則可求得t的值；（3）同（1）可證得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性質(zhì)可求得∠CMQ＝120°．【詳解】（1）∠CMQ＝60°不變．∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°．∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，∴AP＝BQ．∴△ABQ≌△CAP（SAS）．∴∠BAQ＝∠ACP．∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）設(shè)時(shí)間為t秒，則AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝．②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝．∴當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，△PBQ為直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不變．∵在等邊△ABC中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°．∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，∴BP＝CQ．∴△PBC≌△QCA（SAS）．∴∠BPC＝∠MQC．又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°．【點(diǎn)睛】本題為三角形的綜合應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．9．（1）【感知】：如圖1，點(diǎn)P是角平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明（不需要證明）（2）【探究】如圖2，在中，，是的平分線，點(diǎn)在邊上，①證明：；②請(qǐng)判斷，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展】如圖3，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②，見解析；（3）【分析】(1)根據(jù)AAS證明即可；(2)①過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，再根據(jù)AAS證明即可②由Rt可得，再由可得進(jìn)而可得(3)過點(diǎn)P作、、,垂足分別為G、F、E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)補(bǔ)角的定義求出的度數(shù)，最后由證明RtRt即可．【詳解】（1）∵平分∴∵∴在和中∴(AAS)∴（2）①過點(diǎn)作于點(diǎn)，是在平分線，可得，且

，

在和中(AAS)

②，理由如下：在和Rt中∴Rt(HL)===

（3）過點(diǎn)P作、、，垂足分別為G、F、E，∵CP平分，BP平分，∴∵∴∴RtRt（HL）∴【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的綜合證明，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握證明方法，并能結(jié)合已知和隱含條件靈活使用方法．10．在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AD上一點(diǎn)，且DE＝CD，連接BE．(1)如圖1，若∠DBE＝30°，BE＝6，AE＝4，求△ACD的面積；(2)如圖2，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，連接AF，若∠DBE＝∠CAD＝∠AFE，求證AF＝2CD；(3)如圖3，若∠DBE＝∠CAD，M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM并繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AN，連接DN，EN．當(dāng)DN長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ABE與∠DNE所滿足的等量關(guān)系【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由AD⊥BC及∠DBE=30゜，可得，即可得AD=7；再由DE=CD=3，即可求得△ACD的面積；（2）由已知易得△BDE≌△ADC，則可得BD=AD；延長(zhǎng)至，使，連接，則可證得△BDE≌△GAE，則有BD=GA，∠DBE=∠G；再由已知及所證可得AF=AD=2CD；（3）由已知易得△BDE≌△ADC，可得△ABD是等腰直角三角形；作且，連接，則易得≌，，則動(dòng)點(diǎn)一定在經(jīng)過定點(diǎn)且垂直于直線的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則由線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可得∠ABE與∠DNE所滿足的等量關(guān)系.【詳解】（1）∵，∴．∵在中，，∴．∴．∵，∴在中，

．（2）在和中，∵，∴≌（）．∴．延長(zhǎng)至，使，連接，如圖．∵為中點(diǎn)，∴．在和中，∵，∴≌（）．∴，．∵，∴．∴．∵，∴．（3）．理由如下：∵，AD⊥BC，DE=CD，∴≌（）．∴BD=AD，∴是等腰直角三角形，∴∠ABD=45゜．作且，連接，則∠DAH=∠DAN+∠NAH=90゜，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AM=AN，∠MAN=∠MAD+∠DAN=90゜，∴∠NAH=∠MAD，在△NAH和△ADM中，，∴≌（）．∴，∠ANH=∠AMD．∴動(dòng)點(diǎn)一定在經(jīng)過定點(diǎn)且垂直于直線的直線上運(yùn)動(dòng)．∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合．∵AM=AN，AD⊥BN，∴垂直平分，∴．∴．∴【點(diǎn)睛】本題是全等三角形的綜合，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)，確定點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是難點(diǎn)．四、解答題11．在等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)、，為外一點(diǎn)且，，．探究：當(dāng)、分在直線、上移動(dòng)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是什么，此時(shí)與的比值為多少？(2)如圖2，點(diǎn)、在邊、上，且當(dāng)時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖3，當(dāng)、分別在邊、的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，，則__________．【答案】(1)，(2)成立，證明見解析(3)16【分析】（1）先證，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得、進(jìn)而說明，再求得的周長(zhǎng)Q,最后將Q、L代入計(jì)算即可；（2）如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．可證，即可得，進(jìn)而得到，則可證得，然后由全等三角形的性質(zhì)，再求得的周長(zhǎng)Q,最后將Q、L代入計(jì)算即可；（3）在上截取點(diǎn)，使，并連接，可證，即可得，然后證得，易證得，則可得；然后根據(jù)的周長(zhǎng)，表示出AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)的周長(zhǎng)，應(yīng)用等量代換即可求解．【詳解】（1）解：、、之間的數(shù)量關(guān)系是，此時(shí)，理由如下：，且，，又是等邊三角形，，在和中，，，，，，，即，∴的周長(zhǎng)，又，；（2）解：猜想：結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，

，且，，又是等邊三角形，，在和中，，，，，，在和中，，，，，的周長(zhǎng)，又，；（3）解：在上截取點(diǎn)，使，并連接，

由（1）得，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．已知是正三角形，D為邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，在上截取點(diǎn)E，使得，連接交于點(diǎn)F，若，，求點(diǎn)A到的距離；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，取的中點(diǎn)G，連接，證明；(3)如圖3，點(diǎn)P為內(nèi)部一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．．將沿翻折到同一平面內(nèi)的，在線段上截取，連接．已知，，．直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)見解析；(3)做了兩天了，還沒思路【分析】（1）如圖過A作于H，證，得，求，在直角中運(yùn)用勾股定理即可；（2）由（1）可知，，同理可證，，即是等邊三角形，延長(zhǎng)使，連接，在上截取，連接，交于M，L，計(jì)算得，得所以C、H、M三點(diǎn)共線結(jié)合平行四邊形性質(zhì)得是等邊三角證換算即可的結(jié)果；（3）如圖，因?yàn)閷⒗@A旋轉(zhuǎn)至,將繞G旋轉(zhuǎn)至，過G作于K，由結(jié)合等邊三角形求得，得是正三角形將繞A旋轉(zhuǎn)得到得是正三角形勾股定理逆定理證；同理可證，是正三角形，在中，利用求，勾股定理求，在中勾股定理求，割補(bǔ)法求得根據(jù)面積公式帶入計(jì)算即可，記住等邊三角形面積解題比較方便．【詳解】（1）解：如圖過A作于H，由題意可知，在與中，，，點(diǎn)A到的距離為；（2）延長(zhǎng)使，連接，在上截取，連接，交于M，L，由（1）可知，，同理可證，，即是等邊三角形，，，所以C、H、M三點(diǎn)共線是平行四邊形，是等邊三角是等邊三角形，（3）如圖，因?yàn)閷⒗@A旋轉(zhuǎn)至,將繞G旋轉(zhuǎn)至，過G作于K，是正三角形將繞A旋轉(zhuǎn)得到是正三角形在中同理可證，是正三角形在中在中【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、三角形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形、等邊三角形的證明和性質(zhì)即三角形面積公式，還考查了勾股定理、逆定理以及“角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”的應(yīng)用；通過轉(zhuǎn)換證明全等、運(yùn)用割補(bǔ)法求面積是解題的關(guān)鍵．13．在中，，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，求的周長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，作點(diǎn)關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，求證：；(3)如圖3，在第（2）問的情況下，延長(zhǎng)交于，連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）在中利用勾股定理求得和，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）連接，，可證，從而，，進(jìn)而證明，從而推出，進(jìn)而證明，從而得出結(jié)論；（3）先推出，從而得出點(diǎn)在以為直徑的圓上，得到，，過作于，在中，得到，進(jìn)而，在中，利用勾股定理得到，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1所示：在中，，，，，，，，；（2）證明：連接交于，連接交于，與交于點(diǎn)，與交于，如圖2所示：，，即，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3所示：由（2）知，，，，，，，，，令中點(diǎn)為，則點(diǎn)在以為直徑的運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)時(shí)，過作于，如圖4所示：在中，，，，，在中，，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形，全等三角形判定和性質(zhì)，與圓有關(guān)的概念，圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟悉常見的“手拉手”等模型證明出三角形全等．14．在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)若，兩邊分別交，于，兩點(diǎn)．如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在邊和上時(shí)，求證：；(2)如圖2，若，當(dāng)點(diǎn)，分別在和的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若，則______;(3)如圖3，若，兩邊分別交邊于，交的延長(zhǎng)線于，連接，若，，試求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)18(3)2【分析】（1）連接，證明即可；（2）連接，，得出，利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得出，，證明，得出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖，連接，∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：18．（3）解：如圖，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．15．已知：如圖①所示，在和中，，，，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連結(jié)，，M，N分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：①；②是等腰三角形．(2)在圖①的基礎(chǔ)上，將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請(qǐng)直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立．【答案】(1)①見解析，②見解析(2)仍然成立【分析】（1）①證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）仿照（1）的解法證明即可．【詳解】（1）①∵，∴．∵，，∴，∴．②由得，，．∵M(jìn)，N分別是，的中點(diǎn)，∴．又∵，∴，∴，即為等腰三角形．（2）（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立理由如下：在和中，，∴，∴，，∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴．∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在等邊中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，連接，以為邊構(gòu)造等邊（點(diǎn)B，E，F(xiàn)不共線），連接，．(1)求證：垂直平分；(2)如圖2，作關(guān)于直線對(duì)稱的線段，連接，猜想與的位置關(guān)系并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】（1）連接，首先證明出，得到，然后根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用等量代換得到，然后根據(jù)垂直平分線的判定求解即可；（2）首先根據(jù)對(duì)稱性得到，然后由等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)角度之間的轉(zhuǎn)化可得到，最后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行求解即可．【詳解】（1）如圖1，連接，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，即，在和中，，

∴，∴，∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，又∵，∴，∴點(diǎn)F在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)B在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，（2）如圖2，，理由如下：由關(guān)于直線對(duì)稱的線段可知：，∵，都是等邊三角形，∴，，∴，，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定，平行線的判定，，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．17．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分