第08講 難點(diǎn)探究專題：一次函數(shù)的綜合與新定義型函數(shù)(7類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）VIP

第08講難點(diǎn)探究專題：一次函數(shù)的綜合與新定義型函數(shù)(7類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一一次函數(shù)圖象共存綜合問(wèn)題】 1【類型二一次函數(shù)含參數(shù)中的圖象和性質(zhì)】 4【類型三一次函數(shù)中平移問(wèn)題】 9【類型四一次函數(shù)中的規(guī)律探究問(wèn)題】 14【類型五一次函數(shù)——分段函數(shù)】 18【類型六絕對(duì)值的一次函數(shù)】 21【類型七新定義型一次函數(shù)】 27【類型一一次函數(shù)圖象共存綜合問(wèn)題】例題：（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，一次函數(shù)與正比例函數(shù)（m、n是常數(shù)，且）的圖象的是（

）

A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】D【分析】利用正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象逐一判斷即可求解．【詳解】解：①、由正比例函數(shù)圖象得：，由一次函數(shù)圖象得：，且，則，則①錯(cuò)誤，故不符合題意；②、由正比例函數(shù)圖象得：，由一次函數(shù)圖象得：，且，則，則②正確，故符合題意；③、由正比例函數(shù)圖象得：，由一次函數(shù)圖象得：，且，則，則③錯(cuò)誤，故不符合題意；④、由正比例函數(shù)圖象得：，由一次函數(shù)圖象得：，且，則，則④正確，故符合題意，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，熟練掌握其圖象是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，兩條直線與在同一直角坐標(biāo)系中的圖像位置可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)選項(xiàng)，結(jié)合一次函數(shù)圖像與表達(dá)式系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】解：A、由選項(xiàng)中直線的圖像可知，則斷定直線圖像正確，該選項(xiàng)符合題意；B、由選項(xiàng)中直線的圖像可知，則斷定直線圖像錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；C、由選項(xiàng)中直線的圖像可知，則斷定直線圖像錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；D、由選項(xiàng)中直線的圖像可知，則斷定直線圖像錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像與表達(dá)式系數(shù)的關(guān)系，掌握此類題型的解題方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一次函數(shù)與正比例函數(shù)（m，n為常數(shù)，且）的圖象是（

）A．

B．C．

D．

【答案】A【分析】分別分析四個(gè)選項(xiàng)中一次函數(shù)和正比例函數(shù)m和n的符號(hào)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：A、由一次函數(shù)圖象得：，由正比例函數(shù)圖象得：，符合題意；B、由一次函數(shù)圖象得：，由正比例函數(shù)圖象得：，不符合題意；C、由一次函數(shù)圖象得：，由正比例函數(shù)圖象得：，不符合題意；D、由一次函數(shù)圖象得：，由正比例函數(shù)圖象得：，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)和正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．3．（2023春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，先確定一個(gè)解析式所對(duì)應(yīng)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系確定a、b的符號(hào)，然后根據(jù)此符號(hào)看另一個(gè)函數(shù)圖象的位置是否正確.【詳解】解：A、若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則，，此時(shí)函數(shù)的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限時(shí)，則，時(shí)，此時(shí)函數(shù)的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；B、若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限時(shí)，則，時(shí)，此時(shí)函數(shù)的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；C、若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則，，此時(shí)函數(shù)的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限時(shí)，則，時(shí)，此時(shí)函數(shù)的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；D、若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則，，此時(shí)函數(shù)的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限時(shí)，則，時(shí)，此時(shí)函數(shù)的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，故選項(xiàng)D正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確記憶一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)象限與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.4．（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)東辰國(guó)際學(xué)校校考階段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中，直線：和：的位置可能是()A．

B．C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對(duì)平面直角坐標(biāo)系中兩函數(shù)圖像進(jìn)行討論即可得出答案．【詳解】A、由正比例函數(shù)圖像可知，即，故由一次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方，故選項(xiàng)A不符合題意；B、由正比例函數(shù)圖像可知，即，故由一次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方，但無(wú)法判斷正負(fù)，因此增減都可以，故選項(xiàng)B符合題意；C、由正比例函數(shù)圖像可知，即，故由一次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由正比例函數(shù)圖像可知，即，故由一次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方，故選項(xiàng)D不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【類型二一次函數(shù)含參數(shù)中的圖象和性質(zhì)】例題：（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于y關(guān)于x的函數(shù)（k是常數(shù)，），下列結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）①其圖象是一條直線；

②其圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)；③若其圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則k的取值范圍是；④若y隨x的增大而增大，則其圖象與y軸的交點(diǎn)必定在正半軸上．A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷后，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵（k是常數(shù)，），∴y是關(guān)于x的一次函數(shù)，其圖象是一條直線，故①正確；當(dāng)時(shí)，，∴其圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)；故②正確；當(dāng)其圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限時(shí)，，解得：，故③正確；若y隨x的增大而增大，則：，∴，則其圖象與y軸的交點(diǎn)必定在正半軸上，故④正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟記一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)（，k是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，則它的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是2；B．若，則一次函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)和滿足：C．一次函數(shù)的圖象不一定經(jīng)過(guò)第三象限D(zhuǎn)．若對(duì)于一次函數(shù)和，無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，總有，則k的取值范圍是或【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象求解即可．【詳解】解：A、把代入得：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，如圖所示，

∴與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是，故A錯(cuò)；B、∵，∴，∴一次函數(shù)y隨x增大而增大，如圖所示，

∴若，則，∴，故B錯(cuò)；C、假設(shè)一次函數(shù)不經(jīng)過(guò)第三象限，則需，，由B得：當(dāng)時(shí)，，∴一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)第三象限，故C錯(cuò)；D、當(dāng)時(shí)，要想，則，解得：，即，如圖所示，

當(dāng)時(shí)，要想，則即可，如圖所示，

綜上所述：k的取值范圍是或，故D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．2．（2023春·江西南昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于一次函數(shù)，下列敘述正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象一定交于軸的負(fù)半軸D．函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系對(duì)A、B、C進(jìn)行判斷，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故B錯(cuò)誤，不符合題意；C.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象一定交于軸的正半軸，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D.把代入得，，所以函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故D正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：一次函數(shù)（為常數(shù)，）是一條直線，當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，隨的增大而減小，圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．3．（2023春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于一次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小 B．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大C．當(dāng)時(shí)，圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】D【分析】由題意知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，進(jìn)而可判斷A的正誤；當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，進(jìn)而可判斷B的正誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，即圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而可判斷C的正誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，即圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而可判斷D的正誤．【詳解】解：由題意知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，A錯(cuò)誤，故不符合要求；當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，B錯(cuò)誤，故不符合要求；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，即圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，C錯(cuò)誤，故不符合要求；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，即圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，D正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于的一次函數(shù)（k為常數(shù)且），①當(dāng)時(shí)，此函數(shù)為正比例函數(shù)；②無(wú)論取何值，此函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)；③若函數(shù)圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)（，為常數(shù)），則；④無(wú)論取何值，此函數(shù)圖象都不可能同時(shí)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，上述結(jié)論中正確的序號(hào)有（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，則，為一次函數(shù)，故①錯(cuò)誤；②整理得：，∴時(shí)，，∴此函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)，故②正確；③把和代入中，得：，得：，解得：，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，即，則，∴此函數(shù)圖象都不可能同時(shí)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于一次函數(shù)，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，的值隨著值的增大而增大；②將該函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位后得到直線，則；③若點(diǎn)和均在該函數(shù)圖象上時(shí)，則；④若它的圖象與直線是關(guān)于軸對(duì)稱，則．其中正確的結(jié)論是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①④【分析】利用函數(shù)的增減性質(zhì)可判斷①；利用平移的性質(zhì)可判斷②；把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，解方程組消去m，可判斷③；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可判斷④．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，則，故的值隨著值的增大而增大；故①說(shuō)法正確；②將該函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位后，得到，則，，解得，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；③若點(diǎn)和均在該函數(shù)圖象上時(shí)，則，解得，故③說(shuō)法錯(cuò)誤；④直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，依題意得，，解得，故④說(shuō)法正確；綜上，正確的說(shuō)法有①④，故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩條直線相交或平行問(wèn)題，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．【類型三一次函數(shù)中平移問(wèn)題】例題：（2023秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)、，把直線沿軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線，且直線分別與軸、軸交于點(diǎn)C、D．(1)求直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)、代入，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律得出直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，求得，根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．【詳解】（1）設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)、代入，得。，解得：?！嘀本€對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（2）把直線：沿軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線，∴直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，∵直線分別與軸、軸交于點(diǎn)C、D．令，得，令，得，∴.∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)的平移，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若點(diǎn)在直線上，把直線的圖像向上平移2個(gè)單位，所得的直線表達(dá)式為______．【答案】【分析】把點(diǎn)代入中，確定直線的解析式，再運(yùn)用直線的平移規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】點(diǎn)代入中，得，解得，∴直線的解析式為，∴的圖像向上平移2個(gè)單位得到的解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解析式與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，直線平移的規(guī)律，熟練掌握直線平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的新直線與x軸的交點(diǎn)為，則m的值為___________．【答案】【分析】根據(jù)平移的規(guī)律求出平移后的直線解析式，然后代入，即可求出m的值．【詳解】解：將直線先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，即，∴平移后的直線與x軸交于，∴，解得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．3．（2023春·安徽淮南·八年級(jí)?？计谀┌岩淮魏瘮?shù)的圖象進(jìn)行平移后，得到的圖象的解析式是，有下列說(shuō)法：①把向下平移4個(gè)單位，②把向上平移4個(gè)單位，③把向左平移4個(gè)單位，④把向右平移4個(gè)單位．其中正確的說(shuō)法是______（把你認(rèn)為正確說(shuō)法的序號(hào)都填上）．【答案】①④/④①【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律逐個(gè)判斷即可得．【詳解】解：①把向下平移4個(gè)單位所得的函數(shù)解析式為，即為，則此說(shuō)法正確；②把向上平移4個(gè)單位所得的函數(shù)解析式為，即為，則此說(shuō)法錯(cuò)誤；③把向左平移4個(gè)單位所得的函數(shù)解析式為，即為，則此說(shuō)法錯(cuò)誤；④把向右平移4個(gè)單位所得的函數(shù)解析式為，即為，則此說(shuō)法正確；綜上，正確的說(shuō)法是①④，故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形在第一象限，且軸，直線沿x軸正方向平移，在平移過(guò)程中，直線被矩形截得的線段長(zhǎng)為a，直線在x軸上平移的距離為b，a、b間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，那么矩形的面積為___________．【答案】8【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以分別求得矩形的邊長(zhǎng)，的長(zhǎng)，從而可以求得矩形的面積．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)、分別作的平行線，交、于點(diǎn)、．由圖象和題意可得，，，，則，，矩形的面積為．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．（2023·陜西西安·西北大學(xué)附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將直線平移到直線，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)分別是平移前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若線段在平移過(guò)程中掃過(guò)的圖形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可求的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)線段在平移過(guò)程中掃過(guò)的圖形面積為，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可知點(diǎn)的平移規(guī)律，由此即可求解．【詳解】解：如圖，連接，對(duì)于直線，令，∴，令，∴，∴，，∴，．∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，又∵點(diǎn)向下平移個(gè)單位，向左平移個(gè)單位得到，∴點(diǎn)向下平移個(gè)單位，向左平移個(gè)單位得到，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像的變換，理解并掌握一次函數(shù)平移的特點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將正比例函數(shù)的圖象平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求平移后的函數(shù)表達(dá)式；(2)求平移后函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)平移規(guī)律，設(shè)平移后的解析式為，將點(diǎn)，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)解析式求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，設(shè)平移后的解析式為，將點(diǎn)，代入得，，解得：，∴平移后的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：由，令，解得，令，解得：，如圖，設(shè)一次函數(shù)，分別與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，則∴平移后函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，根據(jù)平移求得解析式是解題的關(guān)鍵．【類型四一次函數(shù)中的規(guī)律探究問(wèn)題】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x+1與y軸交于點(diǎn)A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，…在直線l上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4，…在x軸正半軸上，則A4的坐標(biāo)是_____；的坐標(biāo)是_____．【答案】（7，8）（2n-1-1，2n-1）【分析】由題意可得A1，A2，A3，A4的坐標(biāo)，可得點(diǎn)A坐標(biāo)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：由題意可得正方形OA1B1C1邊長(zhǎng)為1，正方形A2B2C2C1的邊長(zhǎng)為2，正方形A3B3C3C2的邊長(zhǎng)為4，…正方形AnBnCnCn-1的邊長(zhǎng)為2n-1，∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），…，An（2n-1-1，2n-1），故答案為：（7，8），（2n-1-1，2n-1）．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D、、都是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)、，均在直線上，直線的解析式為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)此規(guī)律第個(gè)等腰直角三角形的面積為_____________．【答案】【分析】分別過(guò)點(diǎn)、，作軸的出現(xiàn)，垂足分別為，先求得，,，找到規(guī)律即可求解．【詳解】解：如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)、，作軸的出現(xiàn)，垂足分別為，∵在，且的橫坐標(biāo)為1∴,∴，設(shè)，則，∴的橫坐標(biāo)為，∴，代入，即，解得：，∴，同理可得，……，∴，,……，∴根據(jù)此規(guī)律第個(gè)等腰直角三角形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知、、在直線上，按照如圖所示方法分別作等腰面積為，等腰面積為，（其中點(diǎn)都在軸正半軸上，都為頂角，），若，則______，則______．【答案】1675【分析】關(guān)鍵一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得到的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求出三角形的面積，得到變化規(guī)律進(jìn)行求解．【詳解】解：∵、、，…，在直線上，∴，，，，…，；又∵，故∴；；；；…∴S（n為奇數(shù)），（n為偶數(shù)），∴．故答案是：1；675．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)得到變化規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，…．在x軸正半軸上，點(diǎn)，，，…，在直線上．已知點(diǎn)，且，，，…均為等邊三角形．（1）線段的長(zhǎng)度為_________；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為_________；（3）線段的長(zhǎng)度為_________．【答案】（22021，0）【分析】設(shè)等邊△BnAnAn+1的邊長(zhǎng)為an，由y=x得出∠AnOBn=30°，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，從而得出BnBn+1=an，設(shè)An的坐標(biāo)為（an，0），由點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n-1．即可求得A2022的坐標(biāo)B1B2=a1=，B2021B2022=a2020=×22020=22020．【詳解】解：設(shè)等邊△BnAnAn+1的邊長(zhǎng)為an，∵點(diǎn)B1，B2，B3，…是在直線y=x（x≥0）上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，∴∠AnOBn=30°，又∵△BnAnAn+1為等邊三角形，∴∠BnAnAn+1=60°，∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，∴BnBn+1=OBn=an，∵點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)An的坐標(biāo)為（an，0），∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，∴an=2n-1．∴A2022（22021，0）．∴B1B2=a1=，B2021B2022a2021=×22020=22020．故答案為：B1B2=a1=，A2021A2022=22020，2021B2022a2021=×22020=22020．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)規(guī)律變換，一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律AnAn+1=an=2n-1．【類型五一次函數(shù)——分段函數(shù)】例題：（2021·河南·鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．小紅對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了如下探究，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀探究過(guò)程并解答：（1）請(qǐng)同學(xué)們把小紅所列表格補(bǔ)充完整，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象：x…-10123456…y…

﹣2

﹣1

0

2

2

2…（2）根據(jù)函數(shù)圖象，以下判斷該函數(shù)性質(zhì)的說(shuō)法，正確的有．①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②此函數(shù)無(wú)最小值；③當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥3時(shí)，y的值不變．（3）若直線y＝x+b與函數(shù)y＝的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則b＝．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）②③；（3）【分析】（1）根據(jù)所給的函數(shù)解析式填表，然后描點(diǎn)連線即可得到答案；（2）根據(jù)函數(shù)圖像進(jìn)行逐一判斷即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像可知，只有當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）時(shí)，才滿足題意，由此求解即可．【詳解】解：（1）列表如下：x…-10123456…y…﹣2﹣1012222…函數(shù)圖像如下圖所示：（2）根據(jù)函數(shù)圖像可知，這個(gè)函數(shù)圖像不關(guān)于y軸對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；觀察函數(shù)圖像可知，此函數(shù)沒(méi)有最小值，故②正確；觀察圖像可知當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥3時(shí)，y的值不變，故③正確；故答案為：②③；（3）∵直線與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，∴根據(jù)函數(shù)圖像可知，只有當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）時(shí)，才滿足題意，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林松原·八年級(jí)期末）已知函數(shù)，（1）該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）若點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）當(dāng)直線與該函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)或；（4）且【分析】（1）令x＝0，求得y＝3，即可求解；（2）根據(jù)兩點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像；（3）分兩種情況討論：設(shè)點(diǎn)P（m，m?3），當(dāng)m＞3時(shí)，×AO×（m?3）＝6；當(dāng)m＜3時(shí)，×AO×（3?m）＝6，分別求出m即可求解；（4）當(dāng)直線y＝kx＋1與y＝x?3平行時(shí)，k＝1，所以k＜1時(shí)，直線y＝kx＋1與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線y＝kx＋1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0）時(shí)，3k＋1＝0，所以k＞時(shí)，直線y＝kx＋1與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求出k的取值范圍．【詳解】解：（1）解：（1）令x＝0，則y＝3，∴函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，3），∴函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是：3，故答案是：3；（2）如圖：（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，∵的面積∴，解得：，∴點(diǎn)；

同理，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)；

綜上，或；（4）當(dāng)直線y＝kx＋1與y＝x?3平行時(shí)，k＝1，此時(shí)直線y＝kx＋1與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，∴k＜1時(shí)，直線y＝kx＋1與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線y＝kx＋1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0）時(shí)，3k＋1＝0，∴k＝，∵直線y＝kx＋1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），∴k＞，∴k＞時(shí)，直線y＝kx＋1與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，∴＜k＜1且k≠0直線y＝kx＋1與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合，熟練掌握兩點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．【類型六絕對(duì)值的一次函數(shù)】例題：（2022·河南·長(zhǎng)葛市教學(xué)研究室八年級(jí)期末）小慧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．x…－10123…y…b1012…下面是小慧的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完成：(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是______；(2)列表，找出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．其中，b＝_____；(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；(4)函數(shù)的最小值為____________．(5)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：_________________．【答案】(1)任意實(shí)數(shù)(2)2(3)見(jiàn)解析(4)0(5)x<1時(shí)，y隨x增大而減小；x>1時(shí)，y隨x增大而增大；圖象關(guān)于直線y=1對(duì)稱（寫一條即可）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）把x=-1代入函數(shù)解析式，求出y的值即可；（3）在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，再順次連接即可；（4）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．（5）根據(jù)函數(shù)圖象解答即可．（1）∵x無(wú)論為何值，函數(shù)均有意義，∴x為任意實(shí)數(shù)．故答案為：任意實(shí)數(shù)；（2）∵當(dāng)x=-1時(shí)，y=|-1-1|=2，∴b=2．故答案為：2；（3）如圖，（4）由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最小值為0．故答案為：0．（5）x<1時(shí)，y隨x增大而減??；x>1時(shí)，y隨x增大而增大；圖象關(guān)于直線y=1對(duì)稱（寫一條即可）．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南漯河·八年級(jí)期末）有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)y＝|x＋1|的圖象與性質(zhì)．下面是小明的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)函數(shù)y＝|x＋1|的自變量x的取值范圍是；(2)下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…432m01234…m的值為；(3)在如圖網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，描出表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；(4)小明根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出此函數(shù)的兩條性質(zhì)．【答案】(1)任意實(shí)數(shù)(2)1(3)見(jiàn)解析(4)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可知x的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)解析式可以得到m的值；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象；（4）根據(jù)函數(shù)圖象可以寫出該函數(shù)的性質(zhì)．（1）解：在函數(shù)y=|x+1|中，自變量x的取值范圍是x為任意實(shí)數(shù)，故答案為：任意實(shí)數(shù)；（2）解：當(dāng)x=-2時(shí)，m=|-2+1|=1，故答案為：1；（3）解：描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)的圖象如圖：；（4）解：由函數(shù)圖象可知，①函數(shù)有最小值為0；②當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而增大；③圖象關(guān)于過(guò)點(diǎn)（-1，0）且垂直于x軸的直線對(duì)稱．（任寫兩條即可）【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2022·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)期末）請(qǐng)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究．(1)在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_________．(2)下表是x與y的對(duì)應(yīng)值：x…0123……432m234…①________；②若為該函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則__________﹔(3)在如圖的直角坐標(biāo)系中：①描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值的坐標(biāo)的點(diǎn)，并根據(jù)描出的各點(diǎn)，畫出該函數(shù)的大致圖象；②根據(jù)函數(shù)圖象可得，該函數(shù)的最小值為__________；③結(jié)合函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)除②外的一條性質(zhì)：____________．【答案】(1)x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)(2)①﹐②(3)①見(jiàn)解析；②1；③函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱【分析】（1）沒(méi)做要求一次函數(shù)自變量取值范圍都是全體實(shí)數(shù)（2）①把x=0代入函數(shù)即可求得m的值②y=10代入函數(shù)即可求得n（3）①作圖見(jiàn)解析②由圖可見(jiàn)最小值為1③言之有理即可．【詳解】解：（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；（2）①﹐②﹔（3）①圖象如圖所示．②最小值為1；③函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱（或當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)和自變量、應(yīng)變量的變化取值，掌握這些是本題關(guān)鍵．3．（2021·河南許昌·八年級(jí)期末）我們學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究函數(shù)y＝|x|的圖象與性質(zhì)．（1）我們知道，請(qǐng)利用以前所學(xué)知識(shí)在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；（2）通過(guò)觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：；（3）利用學(xué)過(guò)的平移知識(shí)，說(shuō)說(shuō)函數(shù)y＝|x﹣4|＋1是怎樣由函數(shù)y＝|x|平移得來(lái)的？并利用（1）中給出的平面直角坐標(biāo)系畫出函數(shù)y＝|x﹣4|＋1圖象．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函數(shù)y＝|x|向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得來(lái)的，見(jiàn)解析．【分析】（1）通過(guò)列表、描點(diǎn)、畫圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象：（2）根據(jù)圖象得出結(jié)論；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：（1）列表：01233210123描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)的圖象如圖：（2）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大（答案不唯一），故答案為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大（答案不唯一）；（3）函數(shù)是由函數(shù)向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得來(lái)的，利用（1）中給出的平面直角坐標(biāo)系畫出函數(shù)圖象如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換平移，能根據(jù)圖象得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．【類型七新定義型一次函數(shù)】例題：（2022·江蘇南通·八年級(jí)期中）對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量的一個(gè)值，當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為“和諧函數(shù)”．例如，一次函數(shù)，它的“和諧函數(shù)”為．(1)一次函數(shù)的“和諧函數(shù)”為______；(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，函數(shù)的“和諧函數(shù)”與線段有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)“和諧函數(shù)”的定義即可求得；（2）先求出函數(shù)y=3x-2的“和諧函數(shù)”，然后求出y=4時(shí)的x值，再根據(jù)題意可得不等式組?<b-1≤2或?≤b+3<2，解不等式組即可．（1）解：根據(jù)“和諧函數(shù)”定義得：一次函數(shù)的“和諧函數(shù)”為，故答案為：．（2）解：函數(shù)y＝3x－2的和諧函數(shù)是如圖1和如圖2所示由－3x＋2＝4，得x＝由3x－2＝4，得x＝2∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（b－1，4）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b＋3，4）∴AB＝4，AB∥x軸∵函數(shù)y＝3x－2的和諧函數(shù)與線段AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴有兩種情況：①解得②解得綜上所述，b的取值范圍是或【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)的性質(zhì)，理解“和諧函數(shù)”的含義并熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和，給出如下定義：如果，那么稱點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，例如：點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)(1)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為，則______；(2)①如果點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為______；②如果點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1)(2)①；②點(diǎn)的坐標(biāo)是或【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義解答即可；（2）①根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義