山東省濟(jì)南市重點(diǎn)高中2024屆高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題

PAGE2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期月考高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫(xiě)在答題卡指定位置．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答．超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則a等于（）A.或2 B.0或 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用相等集合求出a值，再驗(yàn)證即得.【詳解】集合，，由，得，解得或，當(dāng)時(shí)，集合中元素，與集合元素的互異性矛盾，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.3 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)，依題意，，，所以，解得，則.故選：D3.設(shè)甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與基本關(guān)系式，結(jié)合充要條件的判斷方法即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，取，滿足要求，但，則甲不是乙的充分條件；當(dāng)時(shí)，，則，所以，則甲是乙的必要條件；綜上，甲是乙的必要條件但不是充分條件.故選：B.4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A.1012 B.2024 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求出答案.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列中，，故，故.故選：B5.近來(lái)汽油價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周的汽油價(jià)格分別為m元/升，n元/升()，甲和乙購(gòu)買(mǎi)汽油的方式不同，甲每周購(gòu)買(mǎi)40元的汽油，乙每周購(gòu)買(mǎi)12升汽油，甲、乙兩次購(gòu)買(mǎi)平均單價(jià)分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.，的大小無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】分別計(jì)算出，關(guān)于，的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可求解．【詳解】由題意得，，，則，，所以．故選：C．6.已知，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用兩角和的正切公式可得，再利用倍角公式結(jié)合齊次式問(wèn)題運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，整理得，解得，所?故選：D.7.是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把和代入計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，則，，所以.故選：B8.若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為整體結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，解得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（）A. B.，C.函數(shù)，且 D.，【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求最值，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；綜上所述，的最小值是，故正確；對(duì)于因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，不成立，故，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，且，則函數(shù)此時(shí)沒(méi)有最小值，故錯(cuò)誤；對(duì)于,時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，故正確；故選：10.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，，則（）A.是等比數(shù)列 B.C. D.，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得，求出及，再逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】由，，，得，又，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，B正確；當(dāng)時(shí)，，而，不滿足上式，于是，A錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；顯然，并且有，因此當(dāng)時(shí)，成立，D正確.故選：BD11.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，以下說(shuō)法中正確的是（）A.若，則，B.若為銳角三角形，則，C.若，則為銳角三角形D.若，則為直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，利用正弦定理及余弦三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解；對(duì)于B，利用銳角三角形的定義及正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解；對(duì)于C，利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，結(jié)合兩角和的正切公式及三角形的特點(diǎn)即可求解；對(duì)于D，利用二倍角的余弦公式及正弦定理的邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式即可求解.詳解】對(duì)于A，由，得，由正弦定理，得，在中，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉殇J角三角形，可得,則,因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，同理可得，故B正確；對(duì)于C，在中，,所以,化為,即,又，所以，在中，最多只有一個(gè)角為鈍角，所以，即三個(gè)角都為銳角，所以為銳角三角形，故C正確；對(duì)于D，由及正弦定理，得，即，于是有，所以,即，又,所以，所以，又,所以，所以為直角三角形，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，滿足，，且為奇函數(shù)，則（）．A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù)C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用變量代換可推出函數(shù)的周期，繼而推出，結(jié)合函數(shù)是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，即可判斷的奇偶性，判斷A，B；利用的周期可求得的值，判斷C；根據(jù)結(jié)合變量代換可推出，從而將化為，結(jié)合的周期求值即可判斷D.【詳解】函數(shù)是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，由于為奇函數(shù)，故，即，即，由于，用代換x可得，結(jié)合得：，即，結(jié)合得，即，故，即4為函數(shù)的周期，故，故為偶函數(shù)，由于是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，故不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；由于，故，即，故，故，故C正確；由得，而為偶函數(shù)且，故，則，因?yàn)?，所以，故，D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到函數(shù)的奇偶性以及周期性，難點(diǎn)在于要根據(jù)已知條件，經(jīng)過(guò)變量代換，推出函數(shù)的周期，進(jìn)而推出函數(shù)為偶函數(shù)，從而再根據(jù)之間的關(guān)系，推出，結(jié)合函數(shù)的周期性，即可求出和式，的值.三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.若為鈍角三角形，請(qǐng)寫(xiě)出三邊a，b，c所滿足的一個(gè)關(guān)系式______（答案不唯一）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)鈍角三角形的知識(shí)寫(xiě)出答案.【詳解】為鈍角三角形，如為鈍角，由余弦定理得，所以.故答案為：（答案不唯一）14.O是銳角三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足，則O是的______心．【答案】垂【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積及其運(yùn)算律可證垂直，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，同理，，故O為的垂心.故答案為：垂.15.已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】或【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有極值點(diǎn)，即有變號(hào)零點(diǎn)，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)有極值點(diǎn)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，則成立，當(dāng)時(shí)，可化為，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以或，所以?shí)數(shù)m的取值范圍為或（因?yàn)橐凶兲?hào)零點(diǎn)，故不能取等號(hào)），經(jīng)檢驗(yàn)，或滿足要求.故答案為：或.16.著名的斐波那契數(shù)列滿足，，其通項(xiàng)公式為，則是該數(shù)列的第______項(xiàng)；______．【答案】①.2024②.322【解析】【分析】空1：根據(jù)題意可得，根據(jù)題意結(jié)合裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解；空2：分析可知，結(jié)合遞推公式運(yùn)算求解.【詳解】空1：因?yàn)?，即，則，可得，所以，即是該數(shù)列的第2024項(xiàng)；空2：因?yàn)?，又因，則，所以.故答案為：2024；322.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合，．（1）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先求解兩個(gè)集合，由題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合的包含關(guān)系，列不等式求解；（2）根據(jù)兩個(gè)集合，并結(jié)合，即可列式求解.【小問(wèn)1詳解】，得，得，解得：，即，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，若是的必要不充分條件，則，即，解得：；【小問(wèn)2詳解】若，則或，解得：或.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，最后將圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象，依次求得的值，從而求得的解析式.（2）利用函數(shù)圖象變換求出函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得在區(qū)間上的值域.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，即，得，又函數(shù)過(guò)，所以，，而，則，所以.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得：，再橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得：，最后將圖象向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.由得，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，所以，時(shí)，，且，可知.綜上所述，在區(qū)間上的值域?yàn)?19.“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，終值是現(xiàn)在的一筆錢(qián)按給定的利息率計(jì)算所得到的在未來(lái)某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的價(jià)值?，F(xiàn)值是未來(lái)的一筆錢(qián)按給定的利息率計(jì)算所得到的現(xiàn)在的價(jià)值。例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為A，每期利率為r，期數(shù)為n，到期末的本利和為S，則其中，S稱為n期末的終值，A稱為n期后終值S的現(xiàn)值，即n期后的S元現(xiàn)在的價(jià)值為．現(xiàn)有如下問(wèn)題：小明想買(mǎi)一套房子有如下兩個(gè)方案方案一：一次性付全款50萬(wàn)元；方案二：分期付款，每年初付款6萬(wàn)元，第十年年初付完；（1）已知一年期存款的年利率為4%，試討論兩種方案哪一種更好？（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬(wàn)元，此后每年初漲租金1000元，假設(shè)存款的年利率為4%，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值．（精確到百元）．參考數(shù)據(jù)：．【答案】19.方案一更好.20.27.88萬(wàn)元【解析】【分析】（1）從終值來(lái)考慮，分別求出全款購(gòu)置和分期付款的總價(jià)值，兩者比較即可得出答案．（2）給出小明第十年房租到期后所獲得全部租金的終值的表達(dá)式，運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】若分期付款，十年后終值(萬(wàn)元).若全款50萬(wàn)，十年后終值所以方案一更好.【小問(wèn)2詳解】十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值記則所以兩式相減得所以(萬(wàn)元).20.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若，BC邊上的中線長(zhǎng)為1，為角A的角平分線，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，結(jié)合，求出；（2）由正弦定理得到，作出輔助線，得到三角形全等，得到，為等邊三角形，由余弦定理得到，因?yàn)?，所以，由余弦定理得到，從而得到的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故，因，所以；【小?wèn)2詳解】，由正弦定理得，即，如圖所示，為的中點(diǎn)，故，由（1）可知，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，故，連接，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以≌，故，，所以，因?yàn)?，所以，且，故為等邊三角形，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，即，解得，故，則，，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，故，所?21.已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項(xiàng)和，．（1）求通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用與的關(guān)系以及遞推公式求出，再利用累乘法即可求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）結(jié)論代入可得，利用三角函數(shù)兩角差公式化簡(jiǎn)可得，再利用累加法即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列中，，為前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，①，②，由②-①得：，，即，當(dāng)時(shí)，，遞推可得：，，，，由累乘法可得：，，又因?yàn)?，所以，即，?jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)符合上式，所以；【小問(wèn)2詳