廣東省汕頭市六都中學2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學試題

關注公眾號《品數(shù)學》，高中數(shù)學資料共享群（284110736）汕頭市六都中學2023—2024學年度第一學期期中考試高一數(shù)學試題第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)補集與交集的定義計算即可．【詳解】，，，，.故選:D.2.命題“，使得”的否定是（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】B【解析】【分析】利用全稱命題的否定解答.【詳解】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，命題“，使得”是全稱命題，所以命題“，使得”的否定是“，使得”故選：B3.若，則是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別判斷充分性和必要性，判斷得到答案.【詳解】當時，可以得到，充分性；取，滿足，但是不滿足，不必要；故選：【點睛】本題考查了充分不必要條件，舉出反例可以快速得到答案，是解題的關鍵.4.已知定義域為的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性直接求解.【詳解】∵定義域為的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，且在上單調(diào)遞增，，可得或或，即或或，即.故選：D.5.已知函數(shù)，其中，則的值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解析式先求出，依次再求出和，即得到所求的函數(shù)值．【詳解】函數(shù)，，又，.故選：B.【點睛】本題考查分段函數(shù)的求值問題，屬于基礎題.6.若存在正實數(shù)，使得等式和不等式都成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)基本不等式求得，再由存在性問題可得，運算求解即可.【詳解】∵為正實數(shù)，則，當且僅當，即時等號成立，若存在正實數(shù)，使得不等式成立，則，解得或，故實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【點睛】結論點睛：，使得，等價于；，使得，等價于.7.已知函數(shù)在上的最大值為，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，結合圖象可以觀察所得.【詳解】的圖象如下圖：對稱軸為，令，得.因為，所以數(shù)形結合可得或.故選：D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.8.若不等式對任意成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題得不等式對任意成立，解不等式組即得解.【詳解】由題得不等式對任意成立，所以，即，解之得或.故選：A【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是聯(lián)想到“反客為主”，把“”看作自變量，把“”看作參數(shù)，問題迎刃而解.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9.下列函數(shù)中，滿足當時，是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性的定義及常見函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，反比例函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，一次函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，二次函數(shù)的圖象開口朝上，對稱軸為，所以該函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為函數(shù)與均在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.10.已知關于的不等式的解集為，則下列說法正確的有（）A. B.C.的最小值為6 D.不等式的解集為【答案】BC【解析】【分析】由不等式與方程的關系得出，從而得到：，，且，再依次對四個選項判斷即可得出答案.【詳解】不等式解集為，，解得：，，且，故選項A錯誤；，故選項B正確；，當且僅當時等號成立，故選項C正確；可化為：，即，則解集為，故選項D錯誤；綜上所述選項B、C正確，故選：BC.11.已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式可求解判斷.【詳解】且，，當且僅當時等號成立，故A正確；可得，則，所以，故B正確；，當且僅當，即時等號成立，故C正確；對D，當時，，故D錯誤.故選：ABC.12.下列說法正確的有（）A.不等式的解集是B.“”是“”成立的充分條件C.命題，則D.“”是“"的必要條件【答案】ABD【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為求解，判斷A;根據(jù)充分條件以及必要條件的概念可判斷;根據(jù)全稱命題的否定可判斷C.【詳解】對于A，不等式即，即，則不等式的解集是，A正確；對于B,當時，一定有成立，故“”是“”成立的充分條件，故B正確；對于C，命題，則，故C錯誤；對于D,當時，不一定成立，當時，一定成立，故“”是“"的必要條件，D正確，故選：第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】【分析】由即可求出.詳解】由，解得且，所以的定義域為.故答案為：.14.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．【答案】##【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法即可求出答案.【詳解】由，得，所以或，所以函數(shù)的定義域為或.令，則，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.15.設是整數(shù)集的一個非空子集，對于，若且，則是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________個．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)集合的新定義，可得集合不含“孤立元”，則集合中的三個數(shù)必須連在一起，利用列舉法，即可求解.【詳解】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，則集合中的三個數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，，，，共7個．故答案為：7.【點睛】本題主要考查集合的新定義的應用，其中解答中正確理解新定義，合理轉(zhuǎn)化求解是解答的關鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.16.設函數(shù)，滿足對于任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，得到在定義域上單調(diào)遞減，只需保證分段函數(shù)的每一段單調(diào)遞減和在交界處單調(diào)遞減即可.【詳解】由可知為定義域上的減函數(shù)，所以，解得，故答案為：四、解答題（本題共6小題，其中17最10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解簽應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.設全集為R，或，（1）求，；（2）求【答案】（1）或，=R.（2）【解析】【分析】（1）應用集合交運算求，應用集合并運算求.（2）首先由集合補運算求，再利用集合的交運算求即可.【小問1詳解】由題設，或或.或R【小問2詳解】由已知，，∴.18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，且，求的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在上的最大、最小值；（3）要使函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的范圍.【答案】（1）；（2），；（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，求出的值，再由，求出；（2）由（1）得對稱軸為軸，結合函數(shù)特征，即可求解；（3）求出的對稱軸，要使函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，對稱軸不在區(qū)間之間，可得出關于的不等式，即可求出結論.【詳解】（1）函數(shù)是偶函數(shù)，所以恒成立，恒成立，，，（2）由（1），當時，取得最小值為，當時，取得最大值為；（3）對稱軸為，要使函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，需或，解得或.所以的范圍是或【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，并由性質(zhì)求參數(shù)，對于常用函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握，提高解題效益，屬于基礎題.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【答案】(1);(2)證明見詳解.【解析】【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),可知,再利用時的解析式,求出時的解析式即可;(2)直接利用定義法證明即可.【詳解】(1)是定義在上的奇函數(shù),故,當時,,所以當時,,,所以,因此,;(2)任取,則,,,則所以,即,所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【點睛】本題考查奇偶性的應用以及定義法證明單調(diào)性,難度不大.利用奇偶性求解析式時,注意時的情況,不要遺漏.20.設．（1）命題，使得成立．若為假命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關于的不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）分析可知，恒成立，即為恒成立，分、兩種情況討論，綜合可得出實數(shù)的取值范圍；（2）將所求不等式變形為，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用二次不等式或一次不等式的解法解原不等式，綜合可得出原不等式的解集.【小問1詳解】解：若為假命題，則，恒成立，即為恒成立，當時，，不合題意；當，則，即，解得或，又因為，則.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】解：不等式等價于，不等式可化為，當時，則，解原不等式可得；當時，則，原不等式即為，解得；當時，則，解原不等式可得或；當時，則，解原不等式可得或；當時，原不等式即為，解得.綜上所述，當時，原不等式解集為或當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.21.為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨著時間（單位：天）變化的關系如下：當時，；當時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中凈化劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到凈化空氣的作用．（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天？（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑個單位的凈化劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求的最小值．【答案】（1）6；（2）．【解析】【分析】（1）解出不等式即可；（2）設從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度，然后利用基本不等式求出，然后解出不等式即可.【詳解】（1）因為一次噴灑個單位的去污劑，所以空氣中釋放的濃度為，當時，令，解得，所以；當時，令，解得，所以．綜上，可得，即一次投放個單位的去污劑，有效去污時間可達6天．（2）設從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度，因為，而，所以，當且僅當，即時，等號成立，令，解得，所以的最小值為．22.已知定義在上的函數(shù)滿足:①對任意的,都有;②當且僅當時,成立.（1）求;（2）用定義證明的單調(diào)性;（3）若對使得不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析