離散數(shù)學(xué)-樹課件

離散數(shù)學(xué)——樹2023-11-26目錄contents樹的定義與性質(zhì)樹的表示與運(yùn)算二叉樹圖的遍歷與搜索樹的應(yīng)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法設(shè)計(jì)樹的應(yīng)用計(jì)算機(jī)科學(xué)中的算法設(shè)計(jì)01樹的定義與性質(zhì)樹的定義樹中度為0的頂點(diǎn)（即沒有入邊的頂點(diǎn)）有且僅有一個(gè)，稱為樹的根。樹中度大于1的頂點(diǎn)稱為樹的分支點(diǎn)。樹定義為一個(gè)有向無環(huán)圖(DAG)。樹中度為1的頂點(diǎn)稱為樹的葉子。樹中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間最多有一條路徑。樹中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間最多有一條路徑，因此樹的一個(gè)基本性質(zhì)是它的連通性一棵樹是一個(gè)連通圖。樹的另一個(gè)重要性質(zhì)是它的傳遞閉包如果一條邊在樹中，那么它的兩個(gè)端點(diǎn)也都在樹中。樹的性質(zhì)樹的分類根據(jù)樹的邊數(shù)，可以將樹分為平凡樹和非平凡樹。平凡樹是指只有一個(gè)頂點(diǎn)的樹，非平凡樹是指至少有兩個(gè)頂點(diǎn)的樹。根據(jù)樹的葉子數(shù)，可以將樹分為單葉樹和多葉樹。單葉樹是指只有一個(gè)葉子的樹，多葉樹是指至少有兩個(gè)葉子的樹。02樹的表示與運(yùn)算通常采用垂直方向上的一棵大樹形狀來表示樹結(jié)構(gòu)。根節(jié)點(diǎn)的標(biāo)簽或值必須是唯一的，并且不能為空。樹的表示方法樹中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)與之相關(guān)聯(lián)的標(biāo)簽或值。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以有零個(gè)或多個(gè)子節(jié)點(diǎn)，子節(jié)點(diǎn)可以有不同的標(biāo)簽或值。將多個(gè)樹合并為一棵樹，并檢查它們是否屬于同一個(gè)集合。并查集運(yùn)算樹的遍歷樹的搜索包括前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷，可以按照某種特定的順序訪問樹中的所有節(jié)點(diǎn)。包括深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索，可以搜索樹中的特定節(jié)點(diǎn)或路徑。030201樹的常用運(yùn)算數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法設(shè)計(jì)操作系統(tǒng)人工智能樹在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用01020304樹是一種常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可以用于表示層次結(jié)構(gòu)、組織結(jié)構(gòu)等。樹在算法設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用，例如決策樹、二叉搜索樹等。操作系統(tǒng)的文件系統(tǒng)通常采用樹狀結(jié)構(gòu)，可以方便地組織和管理文件和目錄。樹在人工智能領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用，例如專家系統(tǒng)、機(jī)器學(xué)習(xí)等。03二叉樹定義二叉樹是一個(gè)有限集合，該集合的元素稱為節(jié)點(diǎn)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都與兩根子節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，一根稱為左子節(jié)點(diǎn)，另一根稱為右子節(jié)點(diǎn)。性質(zhì)1.二叉樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。2.二叉樹的子節(jié)點(diǎn)分為左子節(jié)點(diǎn)和右子節(jié)點(diǎn)。3.二叉樹的根節(jié)點(diǎn)沒有父節(jié)點(diǎn)。0102030405二叉樹的定義與性質(zhì)先訪問根節(jié)點(diǎn)，然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹。前序遍歷先遍歷左子樹，然后訪問根節(jié)點(diǎn)，最后遍歷右子樹。中序遍歷先遍歷左子樹，然后遍歷右子樹，最后訪問根節(jié)點(diǎn)。后序遍歷二叉樹的遍歷方法Huffman編碼是一種前綴編碼，即任何字符的編碼都不是另一個(gè)字符編碼的前綴。Huffman編碼可以用于數(shù)據(jù)壓縮，因?yàn)樗梢愿行У乩镁幋a空間。Huffman編碼經(jīng)常用于文本和音頻壓縮，因?yàn)樗鼈兺ǔ０罅康闹貜?fù)字符或音素。二叉樹的應(yīng)用：Huffman編碼04圖的遍歷與搜索從根節(jié)點(diǎn)開始，沿著一個(gè)路徑一直到達(dá)最深的節(jié)點(diǎn)，然后再回溯。廣度優(yōu)先搜索算法實(shí)現(xiàn)使用隊(duì)列來存儲(chǔ)待遍歷的節(jié)點(diǎn)。深度優(yōu)先搜索算法實(shí)現(xiàn)使用棧來存儲(chǔ)路徑上的節(jié)點(diǎn)。從根節(jié)點(diǎn)開始，逐層遍歷所有相鄰的節(jié)點(diǎn)，然后再遍歷下一層的節(jié)點(diǎn)。010203040506圖的遍歷方法算法實(shí)現(xiàn)Dijkstra算法、Bellman-Ford算法等。最小生成樹問題給定一個(gè)帶權(quán)重的圖，尋找一棵包含所有節(jié)點(diǎn)且權(quán)重最小的樹。算法實(shí)現(xiàn)Kruskal算法、Prim算法等。最短路徑問題給定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，尋找它們之間的最短路徑。最短路徑問題與最小生成樹問題圖的應(yīng)用：網(wǎng)絡(luò)流問題01網(wǎng)絡(luò)流問題02在一個(gè)有向圖中，給定不同的源節(jié)點(diǎn)和匯點(diǎn)，尋找最大流和最小割。03算法實(shí)現(xiàn)Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法等。05樹的應(yīng)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法設(shè)計(jì)性質(zhì)二叉搜索樹具有單調(diào)性，即從根節(jié)點(diǎn)到任一節(jié)點(diǎn)，左側(cè)節(jié)點(diǎn)的值均小于該節(jié)點(diǎn)的值，右側(cè)節(jié)點(diǎn)的值均大于該節(jié)點(diǎn)的值。操作插入、刪除、查找等。定義二叉搜索樹是一種特殊的二叉樹，滿足任意節(jié)點(diǎn)的值都大于其左子樹中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的值，且小于其右子樹中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的值。二叉搜索樹：定義、性質(zhì)與操作AVL樹是一種自平衡二叉搜索樹，通過限制樹的高度來維護(hù)樹的平衡。定義AVL樹每個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡因子定義為左子樹的高度減去右子樹的高度，其取值范圍為[-1,1]。平衡因子當(dāng)插入或刪除操作導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)的平衡因子超出范圍時(shí)，需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作來恢復(fù)樹的平衡。調(diào)整高度用于高效地處理數(shù)據(jù)插入和刪除操作，提供穩(wěn)定的查找時(shí)間復(fù)雜度。應(yīng)用AVL樹：平衡二叉搜索樹的設(shè)計(jì)與應(yīng)用紅黑樹是一種自平衡二叉搜索樹，通過顏色標(biāo)記和旋轉(zhuǎn)操作來維護(hù)樹的平衡。定義紅黑樹的節(jié)點(diǎn)分為紅色和黑色，其中黑色節(jié)點(diǎn)為固定顏色，紅色節(jié)點(diǎn)則根據(jù)規(guī)則進(jìn)行變化。顏色標(biāo)記紅黑樹的調(diào)整規(guī)則包括五個(gè)性質(zhì)，確保樹的平衡和查找效率。調(diào)整規(guī)則紅黑樹廣泛應(yīng)用于各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法設(shè)計(jì)中，如關(guān)聯(lián)數(shù)組、排序算法等。應(yīng)用紅黑樹：自平衡二叉搜索樹的設(shè)計(jì)與應(yīng)用06樹的應(yīng)用計(jì)算機(jī)科學(xué)中的算法設(shè)計(jì)快速排序是一種典型的分治算法，它將一個(gè)大的數(shù)組分成兩個(gè)小的子數(shù)組，然后遞歸地對這兩個(gè)子數(shù)組進(jìn)行排序。它的核心思想是選擇一個(gè)"基準(zhǔn)"元素，然后將數(shù)組中的每個(gè)元素與該基準(zhǔn)進(jìn)行比較，將小于基準(zhǔn)的元素移到基準(zhǔn)的左邊，大于基準(zhǔn)的元素移到基準(zhǔn)的右邊?？焖倥判驓w并排序也是一種分治算法，它將一個(gè)大的數(shù)組分成兩個(gè)小的子數(shù)組，然后遞歸地對這兩個(gè)子數(shù)組進(jìn)行排序，最后將這兩個(gè)已排序的子數(shù)組合并成一個(gè)有序的數(shù)組。它的核心思想是將兩個(gè)有序的子數(shù)組合并成一個(gè)更大的有序數(shù)組。歸并排序分治算法：快速排序、歸并排序等VS在兩個(gè)序列中尋找最長公共子序列的問題是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。給定兩個(gè)序列，我們可以使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法來尋找它們的最長公共子序列。該問題的解決方案是使用一個(gè)二維數(shù)組來存儲(chǔ)子問題的解，然后使用遞推關(guān)系來填充該數(shù)組，最后返回?cái)?shù)組中的最大值。最長遞增子序列在給定序列中尋找最長遞增子序列的問題也是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。該問題的解決方案是使用一個(gè)一維數(shù)組來存儲(chǔ)子問題的解，然后使用遞推關(guān)系來填充該數(shù)組，最后返回?cái)?shù)組中的最大值。最長公共子序列動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法霍夫曼編碼霍夫曼編碼是一種貪心算法，它是一種