廣東省深圳市南山區(qū)南頭中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題含解析

廣東省深圳市南山區(qū)南頭中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．方程的解所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)的最小正周期為π，且關(guān)于中心對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.3．如圖，水平放置的直觀圖為，，分別與軸、軸平行，是邊中點(diǎn)，則關(guān)于中的三條線段命題是真命題的是A.最長(zhǎng)的是，最短的是 B.最長(zhǎng)的是，最短的是C.最長(zhǎng)的是，最短的是 D.最長(zhǎng)的是，最短的是4．下列說(shuō)法正確的是A.截距相等的直線都可以用方程表示B.方程不能表示平行軸的直線C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線方程為D.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線方程為5．下列函數(shù)中在定義域上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.6．如圖，正方體中，直線與所成角大小為A. B.C. D.7．已知函數(shù)則函數(shù)的最大值是A.4 B.3C.5 D.8．已知集合，集合，則等于（）A. B.C. D.9．若兩直線與平行，則它們之間的距離為A. B.C. D.10．已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1C. D.2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)，滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則________.12．函數(shù)中角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若時(shí)，的最小值為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.13．冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），則f（x）的解析式是______14．計(jì)算：=___________15．給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；②將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函數(shù)的圖象；③若是第一象限角且，則；④已知函數(shù)，其中是正整數(shù)．若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值是4其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________16．若不等式對(duì)一切恒成立，則a的取值范圍是______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．脫貧是政府關(guān)注民生的重要任務(wù)，了解居民的實(shí)際收入狀況就顯得尤為重要.現(xiàn)從某地區(qū)隨機(jī)抽取個(gè)農(nóng)戶，考察每個(gè)農(nóng)戶的年收入與年積蓄的情況進(jìn)行分析，設(shè)第個(gè)農(nóng)戶的年收入（萬(wàn)元），年積蓄（萬(wàn)元），經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得（Ⅰ）已知家庭的年結(jié)余對(duì)年收入具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程；（Ⅱ）若該地區(qū)的農(nóng)戶年積蓄在萬(wàn)以上，即稱該農(nóng)戶已達(dá)小康生活，請(qǐng)預(yù)測(cè)農(nóng)戶達(dá)到小康生活的最低年收入應(yīng)為多少萬(wàn)元？附：在中，其中為樣本平均值.18．已知函數(shù)，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.19．已知向量，（1）若，求的值；（2）若，，求的值域20．已知不等式的解集是（1）若且，求的取值范圍；（2）若，求不等式的解集21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些風(fēng)眼蓮（其覆蓋面積為），這些風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與）可供選擇（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)所處區(qū)間即可.【詳解】函數(shù)在上單增，由，知，函數(shù)的根處在里，故選：C2、B【解析】根據(jù)周期性和對(duì)稱性求得函數(shù)解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性即可比較函數(shù)值大小.【詳解】根據(jù)的最小正周期為，故可得，解得.又其關(guān)于中心對(duì)稱，故可得，又，故可得.則.令，解得.故在單調(diào)遞增.又，且都在區(qū)間中，且，故可得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式，以及利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬綜合基礎(chǔ)題.3、B【解析】由直觀圖可知軸，根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則，在原圖形中應(yīng)有，又為邊上的中線，為直角三角形，為邊上的中線，為斜邊最長(zhǎng)，最短故選B4、D【解析】A錯(cuò)誤，比如過(guò)原點(diǎn)的直線，橫縱截距均為0，這時(shí)就不能有選項(xiàng)中的式子表示；B當(dāng)m=0時(shí)，表示的就是和y軸平行的直線，故選項(xiàng)不對(duì)C不正確，當(dāng)直線的傾斜角為90度時(shí)，正切值無(wú)意義，因此不能表示．故不正確D根據(jù)直線的兩點(diǎn)式得到斜率為，再代入一個(gè)點(diǎn)得到方程為：故答案為D5、C【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)，定義域?yàn)?，且在上遞增，故A不符題意；對(duì)于B，由函數(shù)，定義域?yàn)?，且在上遞增，故B不符題意；對(duì)于C，由函數(shù)，定義域?yàn)?，且在上遞減，故C符合題意；對(duì)于D，由函數(shù)，定義域?yàn)?，且在上遞增，故D不符題意.故選：C6、C【解析】連接通過(guò)線線平行將直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成角，然后構(gòu)造等邊三角形求出結(jié)果【詳解】連接如圖就是與所成角或其補(bǔ)角，在正方體中，，故直線與所成角為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的大小的求法，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).7、B【解析】，從而當(dāng)時(shí)，∴的最大值是考點(diǎn)：與三角函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題8、A【解析】根據(jù)題意先解出集合B，進(jìn)而求出交集即可.詳解】由題意，，則.故選：A.9、D【解析】根據(jù)兩直線平行求得值，利用平行線間距離公式求解即可【詳解】與平行,,即直線為,即故選D【點(diǎn)睛】本題考查求平行線間距離.當(dāng)直線與直線平行時(shí),；平行線間距離公式為，因此兩平行直線需滿足,10、D【解析】解方程即得或，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】解：由題得或.當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意.所以.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】先畫出函數(shù)圖像并判斷，再根據(jù)范圍和函數(shù)單調(diào)性判斷時(shí)取最大值，最后計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：根據(jù)函數(shù)的圖象得，所以．結(jié)合函數(shù)圖象，易知當(dāng)時(shí)在上取得最大值，所以又，所以，再結(jié)合，可得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖像和性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和最值的求法，是中檔題.12、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)求，再由題意得周期求即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，若時(shí)，的最小值為可知，∴【小問(wèn)2詳解】令，解得故單調(diào)遞增區(qū)間為：，13、【解析】根據(jù)冪函數(shù)的概念設(shè)f（x）=xα，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得α值，從而求得函數(shù)解析式【詳解】設(shè)f（x）=xα，∵冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），∴4α=2∴α=這個(gè)函數(shù)解析式為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式、指數(shù)方程解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題14、1【解析】.故答案為115、①②④【解析】直接利用奇函數(shù)的定義，函數(shù)圖象的平移變換，象限角，三角函數(shù)的恒等變換以及余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于①，其中，即為奇函數(shù)，則①正確；對(duì)于②將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即，則②正確；對(duì)于③若令，，則，則③不正確；對(duì)于④，由題意可知，任意一個(gè)長(zhǎng)為的開(kāi)區(qū)間上至少包含函數(shù)的一個(gè)周期，的周期為，則，即，則的最小值是4,則④正確；故答案為：①②④.16、【解析】先討論時(shí)不恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口方向、判別式進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則化為（不恒成立，舍），當(dāng)時(shí)，要使對(duì)一切恒成立，需，即，即a的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）萬(wàn)元.【解析】(Ⅰ)利用題中所給數(shù)據(jù)和最小二乘法求出相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而求出線性回歸方程；（Ⅱ）利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè).試題解析：（Ⅰ）由題意知所以線性回歸方程為（Ⅱ）令得由此可預(yù)測(cè)該農(nóng)戶的年收入最低為萬(wàn)元.18、（1）函數(shù)的最小正周期為，最大值為；（2）；（3）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，利用正弦函數(shù)的有界性可求得函數(shù)的最大值；（2）求出的取值范圍，由可得出，可得出，進(jìn)而可求得角的值；（3）令，由可求得，由可得出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，最大值為；（2），則，，可得，，解得；（3）當(dāng)時(shí)，，令，則.由可得，即，即，所以，直線與曲線在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由上圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與曲線在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】通過(guò)求所求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，關(guān)鍵點(diǎn)在選取函數(shù)，常遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)的坐標(biāo)關(guān)系，得到，再代入即可求值.（2）用正弦、余弦，二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，得到，根據(jù)，求出的值域.詳解】（1）若，則，∴.∴.（2），∵，∴，∴，∴，∴的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查向量平行的坐標(biāo)表示和正切二倍角公式，考查計(jì)算能力.第二問(wèn)主要考查正弦，余弦的二倍角公式和輔助角公式以及三角函數(shù)的值域問(wèn)題，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)且知道滿足不等式，不滿足不等式，解出即可得出答案（2）根據(jù)知道是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理求出a值，再帶入不等式，解出不等式即可【詳解】（1）（2）∵，∴是方程的兩個(gè)根，∴由韋達(dá)定理得解得∴不等式即為：其解集為【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系、一元二次不等式與一元二次等式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題21、（1）函數(shù)模型較為合適，且該函數(shù)模型的解析式為；（2）月份.【解析】（1）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)模型增長(zhǎng)的快慢可知函數(shù)模型較為合適，將點(diǎn)、代入函數(shù)解析式，求出、的值，即可得出函數(shù)模型的解析式；（2）分析得出，解此不等式即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)可知，兩個(gè)函數(shù)、）在上均為增函數(shù)，隨著的增大，函數(shù)的值增加得越來(lái)越快，而函數(shù)的值增加得越來(lái)越慢，由于風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，故而函數(shù)模型滿足要求.由題意可得，解得，，故該函數(shù)模型的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，故元旦放入