巴拿赫空間理論

word格式-可編輯-感謝下載支持巴拿赫空間理論（Banachspace）是192O年由波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫（S.Banach)一手創(chuàng)立的，數(shù)學(xué)分析中常巴拿赫空間用的許多空間都是巴拿赫空間及其推廣，它們有許多重要的應(yīng)用。大多數(shù)巴拿赫空間是無窮維空間，可看成通常向量空間的無窮維推廣。編輯本段線性空間巴拿赫空間（Banachspace）是一種賦有“長度”的線性空間﹐泛函分析研究的基本對象之一。數(shù)學(xué)分析各個分支的發(fā)展為巴拿赫空間理論的誕生提供了許多豐富而生動的素材。從外爾斯特拉斯﹐K.(T.W.)以來﹐人們久已十分關(guān)心閉區(qū)間[a﹐b]上的連續(xù)函數(shù)以及它們的一致收斂性。甚至在19世紀末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b]上一族連續(xù)函數(shù)之列緊性的判斷準則﹐后來十分成功地用于常微分方程和復(fù)變函數(shù)論中。巴拿赫空間1909年里斯﹐F.(F.)給出[0﹐1]上連續(xù)線性泛函的表達式﹐這是分析學(xué)歷史上的重大事件。還有一個極重要的空間﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒貝格求和的函數(shù)構(gòu)成的空間(1<p<∞)。在1910～1917年﹐人們研究它的種種初等性質(zhì)﹔其上連續(xù)線性泛函的表示﹐則照亮了通往對偶理論的道路。人們還把弗雷德霍姆積分方程理論推廣到這種空間﹐并且引進全連巴拿赫空間續(xù)算子的概念。當(dāng)然還該想到希爾伯特空間。正是基于這些具體的﹑生動的素材﹐巴拿赫﹐S.與維納﹐N.相互獨立地在1922年提出當(dāng)今所謂巴拿赫空間的概念﹐并且在不到10年的時間內(nèi)便發(fā)展成一部本身相當(dāng)完美而又有著多方面應(yīng)用的理論。編輯本段Banach空間完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間。是用波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫(StefanBanach）的名字命名的。巴拿赫空間巴拿赫的主要貢獻是引進了線性賦范空間概念，建立了其上的線性算子理論，證明了作為泛函分析基礎(chǔ)的三個定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鳴之定理、閉圖像定理。這些定理概括了許多經(jīng)典的分析結(jié)果，在理論上和應(yīng)用上都有重要價值。編輯本段無窮空間巴拿赫空間是一種賦有長度的線性空間，大多數(shù)都是無窮空間，可看成通常向量空間的無窮維推廣。同時也是泛函分析研究的基本對象之一。巴拿赫空間里斯。F在1909年就給出了『0，1』上連續(xù)線性泛函的表達式。所以，連續(xù)線性泛函的表示是巴拿赫空間的一種初等性質(zhì)。編輯本段正文一種賦有“長度”的線性空間，泛函分析研究的基本對象之一。數(shù)學(xué)分析各個分支的發(fā)展為巴拿赫空間理論的誕生提供了許多豐富而生動的素材。從K.（T.W.）外爾斯特拉斯以來,人們久已十分關(guān)心閉區(qū)間【α,b】上的連續(xù)函數(shù)以及它們的一致收斂性。甚至在19世紀末，G.阿斯科利就得到【α，b】上一族連續(xù)巴拿赫空間函數(shù)之列緊性的判斷準則，后來十分成功地用于常微分方程和復(fù)變函數(shù)論中。1909年F.（F.）里斯給出C【0,1】上連續(xù)線性泛函的表達式，這是分析學(xué)歷史上的重大事件。還有一個極重要的空間，那就是由所有在【0,1】上p次可勒貝格求和的函數(shù)構(gòu)成的Lp空間(1<p<∞)。在1910～1917年，人們研究它的種種初等性質(zhì)；其上連續(xù)線性泛函的表示，則照亮了通往對偶理論的道路。人們還把弗雷德霍姆積分方程理論推廣到這種空間，并且引進全連續(xù)算子的概念。當(dāng)然還該想到希爾伯特空間。正是基于這些具體的、生動的素材，S.巴拿赫與N.維納相互獨立地在1922年提出當(dāng)今所謂巴拿赫空間的概念，并且在不到10年的時間內(nèi)便發(fā)展成一部本身相當(dāng)完美而又有著多方面應(yīng)用的理論。定義對于實(或復(fù))數(shù)域K編輯本段定義空間X，若有從X到R的函數(shù)‖x‖使得：①‖x‖≥0,‖x‖=0必須且只須x=0,②對α∈K,有‖αx‖=α‖x‖,③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,則稱X為線性賦范空間,而稱‖x‖為范數(shù)。顯然，范數(shù)這概念是Rn中向量長度概念的推廣。如同有理數(shù)系可完備化為實數(shù)系，任何線性賦范空間也可按照距離d(x,y)=‖x-y‖作為度量空間而完備化。完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間。例如,設(shè)Ω為緊豪斯多夫空間，令C(Ω)表示Ω上一切實(或復(fù))值連續(xù)函數(shù)的全體,則C(Ω)關(guān)于范數(shù)成為一個巴拿赫空間。再如,設(shè)(Ω,μ)是正測度空間，令Lp(Ω，μ)表示巴拿赫空間Ω上一切p（p≥1）次可求和函數(shù)的全體,則Lp(Ω,μ)關(guān)于范數(shù)成為一個巴拿赫空間。特別取Ω={1,2,3,…},μ(n)＝1(當(dāng)n＝1、2、3、…)則相應(yīng)的Lp(Ω,μ)成為滿足條件的數(shù)列的全體，而相應(yīng)的范數(shù)為。一般記這個特殊的Lp（Ω,μ）為lp。還如，設(shè)(Ω,β，μ)是正測度空間,對Ω上可測的函數(shù)?(t),如果有正數(shù)α，使于Ω幾乎處處有│?｜(t)｜≤α，則稱?(t)為本性有界的函數(shù)，而記上述諸α之下確界為。令L∞(Ω)表示Ω上之本性有界函數(shù)的全體,則L∞(Ω)關(guān)于范數(shù)成為一個巴拿赫空間。特別對Ω={1,2,3,…}而μ(n)=1(n=1,2,3,…)則相應(yīng)的L∞(Ω)即有界數(shù)列的全體，而相應(yīng)的范數(shù)為。一般記這個特殊的L∞(Ω)為m。若,則稱強收斂于x,簡寫作。基作為完全就范直交函數(shù)系的推廣,設(shè)是巴拿赫空間X中的序列,如果對巴拿赫空間每個x∈X都恰有一數(shù)列，使，則稱為X的基,而稱X為有基的空間。凡有基的空間一定是可分的,對于許多可分空間，人們具體地構(gòu)造出它們的基。但是，是否每個可分的巴拿赫空間都有基的問題，直到1973年才由P.恩夫洛舉出反例。確有可分而沒有基的巴拿赫空間。對偶空間設(shè)?(x)是從實(編輯本段對偶空間?上賦范線性空間X巴拿赫空間到?上的線性函數(shù)。若?(x)還是連續(xù)的,則稱?(x)為連續(xù)線性泛函。一切如此的?(x)按范數(shù)構(gòu)成的巴拿赫空間,便稱為X的對偶空間(或共軛空間)并記作X*（或X┡）。在許多數(shù)學(xué)分支中都會遇到對偶空間，例如矩量問題、偏微分方程理論等。一些物理系統(tǒng)的狀態(tài)也常與適當(dāng)空間上的線性泛函聯(lián)系在一起。至于泛函分析本身,對偶空間也是極為重要的概念。通過X*,能更好地理解X。里斯表現(xiàn)定理設(shè)Ω是緊豪斯多夫編輯本段里斯表現(xiàn)定理的C(Ω)上的連續(xù)線性泛函?(x)，便恰有Ω上的一個復(fù)正則波萊爾測度μ使(1)并且‖?‖=μ在Ω上的全變差|μ|。許多人把這結(jié)果稱作里斯表現(xiàn)定理。它是發(fā)展近代算子譜論的重要工具，還有著其他多方面的應(yīng)巴拿赫空間用。這定理也可推廣至局部緊豪斯多夫空間。許多測度來源于此定理。設(shè)Ω上所有復(fù)的正則波萊爾測度為m(Ω)，對每個μ∈m(Ω)，由(1)式定義的?(x)是C(Ω)上的連續(xù)線性泛函，定義‖μ‖＝全變差|μ|,則C(Ω)*保范同構(gòu)于m(Ω)。例如,于正測度μ,有Lp(Ω,μ)(1<p<∞)上每個連續(xù)線性泛函?(x)皆可表為(2)式中z(t)∈Lq(Ω,μ),而,并且。另一方面,由(2)式右端定義的泛函在【Lp(Ω,μ)】*中,總之【Lp(Ω,μ)】*保范同構(gòu)于Lq(Ω,μ)。再如，于δ-有限的正測度μ,有L1(Ω，μ)上的連續(xù)線性泛函?(x)可表為(3)式中z(t)∈L∞(Ω,μ),并且另一方面,由(3)定義的泛函在【L1(Ω)】*中?？傊?【L1(Ω,μ)】*保范同構(gòu)于L∞(Ω,μ)。由于古典巴拿赫空間分析發(fā)展的要求，也因為巴拿赫空間理論本身的需要,于是人們研究X與X*之間的關(guān)系，這便是對偶理論。這理論的主要工具是哈恩－巴拿赫擴張定理:設(shè)M是線性賦范空間X的閉線性子空間,則①對M上的連續(xù)線性泛函g(x),恒有?(x)∈X*使?(x)=g(x),當(dāng)x∈M,又‖?‖=‖g‖();②對X中任給的x0≠0，恒有?(x)∈X*使?(x0)=‖x0‖,‖?‖=1，③對任意，恒有?(x)∈X*當(dāng)x∈M使得?(x)=0，?(x0)=1,并且‖?‖=1/d，這里。設(shè)?(x)∈X*,一般稱點集H={x∈X;?(x)＝常數(shù)C}為X中的閉超平面。設(shè)M是X的子空間,x0∈X,則稱點集x0+M為X中的線性簇。這樣,哈恩－巴拿赫定理便有如下的幾何解釋：若X中的線性簇m與非空的開凸集K不相交,則有閉超平面H使而。自反空間對巴拿赫空間X有對編輯本段自反空間*，而X*的對偶空間則記作X**,任給x0∈X,通過（當(dāng)x*∈X*）便確定一個，并且。這表明存在映射τ把X保范地嵌入到X**中。一般X**。如果τ(X)＝X**，則稱X為自反空間。典型的自反空間是Lp【0,1】(1<p<∞),但L1巴拿赫空間【0,1】與C【0,1】都不自反。弱收斂無窮維巴拿赫空間的單位球是不可能按范數(shù)拓撲為緊的，因此許多有限維空間的命題都不能推廣到一般巴拿赫空間。針對這一點，人們引進弱收斂的概念。對X中與x0，若于任何x*∈X*都有，則稱弱收斂于x0，記作。埃伯萊因－什穆利揚定理巴拿赫空間X是自反的；必須且只須X中任何按范數(shù)有界的點列都含有弱收斂的子序列。利用自反空間的這個拓撲性質(zhì)，便能證明如下的結(jié)果：設(shè)J(x)是自反空間X之有界凸閉集C上弱下半連續(xù)的有界泛函，則J(x)在C上達到最小值。應(yīng)該指出，正是為著使得一些重要的命題得以成立，人們才引進種種類型的巴拿赫空間，自反空間就是一個鮮巴拿赫空間明的例子。再如與上述極值問題的惟一性有關(guān)，有所謂球狀空間；與拉東-尼科迪姆定理相關(guān)，則有一致凸空間等等。人們曾經(jīng)長久地停留在序列弱收斂上。其實即使對于l2上的弱拓撲，只用序列弱收斂也是不行的。J.馮·諾伊曼首先看到這一點，并且在1930年就使用弱鄰域概念。X上使得一切x*∈X*都連續(xù)的最弱的拓撲稱為X上的弱拓撲。全體，其中,ε>0，n=1，2,…構(gòu)成X在O點的一個弱鄰域基。X*上使得一切,x∈X都連續(xù)的最弱的拓撲稱為X*上的弱*拓撲。全體,其中,ε>0，n=1，2，…構(gòu)成X*在O點的一個弱*鄰域基。線性算子設(shè)T是從實（或復(fù)）域編輯本段線性算子性空間X中線性流形M到F上的線性空間Y的映射，如果則稱T是線性算子,M為T的定義域,記作D(T)。特別當(dāng)M=X而Y為數(shù)域F時，T便稱為X上的線性泛函。設(shè)X、Y都是賦范線性空間,x0∈D(T)，若對D(T)中任何收斂于x0的序列都有Tx巴拿赫空間n→Tx0，則稱T在x0處連續(xù)。設(shè)D(T)=X,則線性算子T在X上每點都連續(xù)必須且只須T是有界的,即。這時還稱為T的范數(shù)，記作‖T‖。設(shè)X與Y都是數(shù)域F上的線性空間,A與B都是從X到Y(jié)的線性算子，對A與B可定義如下的運算:(A+B)x=Ax+Bx，(αA)x=α(Ax),當(dāng)x∈X,α∈F又定義(AB)x=A(Bx),x∈X，當(dāng)A與B都是從X到X的線性算子時。若線性算子T是單射的,則將它的逆映射記作T-1，而Ix=x則稱為單位算子或恒等算子。設(shè)H為度量空間，，對x0∈E,若有小球，則稱x0在E的內(nèi)部。若點集S的閉包埅之內(nèi)部是空的,則稱S在H中無處稠密。若度量空間H中的點集，而每個Sn皆在H中無處稠密，則稱E為H中第一綱的點集。H中非第一綱的點集叫做第二綱的。顯然全體有理數(shù)在實軸上便是第一綱的?？梢赃@樣想：第一綱的點集是比較稀疏的。貝爾綱定理完備的度量空間必定是第二綱的。這是區(qū)間套定理的發(fā)展和提高，在證明許多存在定理時是很有用處的。在勒貝格關(guān)于奇異積分與O.特普利茨關(guān)于正則求和法以及哈恩關(guān)于插值理論等方面的研究之后，巴拿赫與H.斯坦豪斯在1927年給出共鳴定理。共鳴巴拿赫空間定理又稱一致有界原理。設(shè)X是巴拿赫空間，Y是線性賦范空間,是一族從X到Y(jié)的有界線性算子。如果當(dāng)x∈X，則。這是有著多方面應(yīng)用的重要定理，是綱定理的直接推論。和綱推理密切相關(guān)，還有極著名的開映射定理。開映射定理設(shè)X與Y都是巴拿赫空間,若T是從X到Y(jié)的有界線性算子，且TX=Y,則T變X的開集為Y中的開集。這在有限維空間是平凡的，但在無限維空間卻是極為深刻有力的工具。它有下列重要推論。巴拿赫逆算子定理設(shè)X與Y都是巴拿赫空間,若T是從X到Y(jié)的有界線性算子,且T是一對一的,又TX=Y，則T-1連續(xù)。開映射定理還有一個關(guān)于閉算子的重要推論。設(shè)y=Tx是線性的，若從恒有x0∈D(T)且,則稱T為閉算子。閉算子在應(yīng)用上是非常重要的概念。表面上，閉性與連續(xù)性很相似，其實差異不小，因為連續(xù)性是從較少的假設(shè)xn→x0到更多的結(jié)論且。一般稱X×Y中之G(T)={<x,Tx>；x∈D(T)}為T的圖像。易見T是閉算子，則G(T)按范數(shù)‖<x,y>‖=‖x‖+‖y‖是閉的點集。閉圖像定理設(shè)X與Y都是巴拿赫空間,若T是從X到Y(jié)的線性算子，則T是有界的必須且只須G(T)是閉的。共軛算子設(shè)X與Y都是巴拿赫空間。若線性算子T的定義域D(T)在X中稠密，而T的值都在Y中，如果對有x*∈X*使當(dāng)x∈D(T)時，y*(Tx)=x*(x)則x*由y*惟一確定，記作T┡y*=x*,一般稱T┡為T的共軛算子或?qū)ε妓阕?。特別當(dāng)T是從X到Y(jié)的有界線性算子時,則T┡也是有界的，且‖T┡‖=‖T‖。顯然，共軛算子是轉(zhuǎn)置矩陣的推廣，所以它自然地在研究方程Tx=y時起著重要的作用。設(shè)A為巴拿赫空間X上的線性算子,稱N(A)={x;Ax=0}為A的零空間,R(A)={y;y=Ax,x∈D(A)}為A的值域。從線性方程組的解,已經(jīng)看到A與A┡之值域與零空間的密切關(guān)系，后來在弗雷德霍姆理論中又再次看到這點。對點集，所謂M在X*中的零化子即而于點集，則G在X中之零化子即。設(shè)A為巴拿赫空間上有界線性算子，則,,,。若又設(shè)X自反，則。閉值域定理設(shè)X與Y是巴拿赫空間,而T是從X到Y(jié)的閉線性算子，且，則下列命題等價：①R(T)在Y中是閉的，②R(T┡)在X*中是閉的，③④。參考書目S.Banach,ThéoriedesOpérationsLinéaires,MonografjeMathematyczne,Warsaw,,Linear,IntroductiontofunctionalAnalysis,JohnWiley&Sons,NewYork,1979.數(shù)學(xué)上，勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛應(yīng)用于實分析，特別是用于定義勒貝格積分?？梢再x予一個體積的集合被稱為勒貝格可測；勒貝格可測集A的體積或者說測度記作λ(A)。一個值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設(shè)選擇公理成立時，R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導(dǎo)致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結(jié)果。編輯本段目錄[隱藏]1例子2性質(zhì)3零測集4勒貝格測度的結(jié)構(gòu)5與其他測度的關(guān)系6歷史7參看編輯本段例子如果A是一個區(qū)間[a,b]，那么其勒貝格測度是區(qū)間長度b?a。開區(qū)間(a,b)的長度與閉區(qū)間一樣，因為兩集合的差是零測集。如果A是區(qū)間[a,b]和[c,d]的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積(b?a)(d?c)?？低袪柤且粋€勒貝格測度為零的不可數(shù)集的例子。編輯本段性質(zhì)R上的勒貝格測度有如下的性質(zhì)如果A是區(qū)間I1×I2×...×In的笛卡爾積，那么A是勒貝格可測的，并且其中|I|表示區(qū)間I的長度。如果A是有限個或可數(shù)個兩兩互不相交的勒貝格可測集的并，那么A也是勒貝格可測的，并且λ(A)就是這些可測集的測度的和（或無窮級數(shù)的和）。如果A勒貝格可測的，那么它的補集（相對于R）也是可測的。對于每個勒貝格可測集A，λ(A)≥0。如果A與B是勒貝格可測的，且A是B的子集，那么λ(A)≤λ(B)。(由2,3及4可得。)可數(shù)多個是勒貝格可測集的交或者并仍然是勒貝格可測的。(由2，3可得)。如果A是一個開集或閉集，且是R(甚至Borel集，見度量空間，待補)的子集，那么A是勒貝格可測的。如果A是一個勒貝格可測集，并有λ(A)=0(空集)，則A的任何一個子集也是空集。如果A是勒貝格可測的，x是R中的一個元素，A關(guān)于x的平移（定義為A+x={a+x:a∈A}）也是勒貝格可測的，并且測度等于A.如果A是勒貝格可測的，δ>0，則A關(guān)于δ的擴張（定義為）也是勒貝格可測的，其測度為。更廣泛地說，設(shè)T是一個線性變換，A是一個R的勒貝格可測子集，則T(A)也是勒貝格可測的，其測度為。如果A是R的勒貝格可測子集，f是一個A到R上的連續(xù)單射函數(shù)，則f(A)也是勒貝格可測的。簡要地說，R的勒貝格可測子集組成一個含所有區(qū)間及其笛卡爾積的σ代數(shù)，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足的測度。勒貝格測度是σ有限測度。編輯本段零測集主條目：零測集R的子集是零測集，如果對于每一個ε>0，它都可以用可數(shù)個n個區(qū)間的乘積來覆蓋，其總體積最多為ε。所有可數(shù)集都是零測集。如果R的子集的豪斯多夫維數(shù)小于n，那么它就是關(guān)于n維勒貝格測度的零測集。在這里，豪斯多夫維數(shù)是相對于R上的歐幾里得度量（或任何與其等價的利普希茨度量）。另一方面，一個集合可能拓撲維數(shù)小于n，但具有正的n維勒貝格測度。一個例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數(shù)為0，但1維勒貝格測度為正數(shù)。為了證明某個給定的集合A是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個“較好”的集合B，與A只相差一個零測集，然后證明B可以用開集或閉集的可數(shù)交集和并集生成。編輯本段勒貝格測度的結(jié)構(gòu)勒貝格測度的現(xiàn)代結(jié)構(gòu)，基于外測度，是卡拉特奧多里發(fā)明的。固定。中的盒子是形如的集合，其中。這個盒子的體積定義為對于任何R的子集A，我們可以定義它的外測度λ(A)：是可數(shù)個盒子的集合，它的并集覆蓋了然后定義集合A為勒貝格可測的，如果對于所有集合，都有：這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數(shù)。勒貝格測度定義為λ(A)=λ(A)對于任何勒貝格可測的集合A。根據(jù)維塔利定理，存在實數(shù)R的一個勒貝格不可測的子集。如果A是的任何測度為正數(shù)的子集，那么A便有勒貝格不可測的子集。編輯本段與其他測度的關(guān)系在所定義的集合上，博雷爾測度與勒貝格測度是一致的；然而，仍然有更多勒貝格可測的集合不是博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。哈爾測度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的R是一個局部緊群）。豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數(shù)）是勒貝格測度的一個推廣，對于測量R的維數(shù)比n低的子集是很有用的，例如R³內(nèi)的曲線或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數(shù)的概念混淆?？梢宰C明，在無窮維空間不存在勒貝格測度的類似物。編輯本段歷史勒貝格在1901年描述勒他的測度，隨后在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發(fā)表的。定義：設(shè)f(x)是E∈Lq(mE<∞)上的有界函數(shù)，則稱f(x)∈L(E)，如果對任意ε>0，必然存在E的分劃D，使定理1S(D,f)-s(D,f)=ΣωimEi<ε，這里S(D,f)及s(D,f)分別是f(x)關(guān)于分劃D的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。它與黎曼積分的主要區(qū)別在于前者是對函數(shù)的函數(shù)值區(qū)域進行劃分；后者是對函數(shù)定義域進行劃分。對此Lebesgue自己曾經(jīng)作過一個比喻,他說:假如我欠人家一筆錢,現(xiàn)在要還,此時按鈔票的面值的大小分類,然后計算每一類的面額總值,再相加,這就是Lebesgue積分思想；如不按面額大小分類,而是按從錢袋取出的先后次序來計算總數(shù),那就是Riemann積分思想。(參見:周性偉,實變函數(shù)教學(xué)的點滴體會,《高等理科教學(xué)》,2000.1)即采取對值域作分劃,相應(yīng)得到對定義域的分劃(每一塊不一定是區(qū)間),使得在每一塊上的振幅都很小,即按函數(shù)值的大小對定義域的點加以歸類。編輯本段積分介紹積分是“和”的概念。即將東西加起來。所以積分早期是從面積，路程等計算中發(fā)展起來。比如計算面積，將X軸的區(qū)間分成若干小區(qū)間，將小區(qū)間的高度(Y值)乘以小區(qū)間的長度，然后加起來。用極限法就可以求得精確的面積。這是傳統(tǒng)的積分概念(黎曼積分)。定理2勒貝格從另一個角度來考慮積分概念，導(dǎo)致勒貝格積分和測度概念。比如計算面積，可以將小區(qū)間的高度(Y值)乘以對應(yīng)的所有小區(qū)間的長度的和(測度)，然后加起來。又比如現(xiàn)有硬幣：25，25，10，5，10，1，5，25。用黎曼積分來求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒貝格積分來求和：25*3+10*2+5*2+1=106。結(jié)果是一樣。但對于一些“壞”函數(shù)，結(jié)果是不一樣。比如在X軸[0，1]閉區(qū)間上定義函數(shù)：Y=1，當(dāng)X是無理數(shù)；Y=0，當(dāng)X是有理數(shù)。求該函數(shù)覆蓋的面積。黎曼積分無法定義，因為任意小的區(qū)間都包含無理數(shù)和有理數(shù)。用勒貝格積分來求和:1*1+0*0=1。[0，1]閉區(qū)間的長度(測度)是1；有限點集的長度(測度)是0；無限可數(shù)點集(如，證明1有理數(shù))的長度(測度)是0。而[0，1]閉區(qū)間的長度(測度)=有理數(shù)集的長度+無理數(shù)集的長度。所以，[0，1]閉區(qū)間的無理數(shù)集的長度(測度)是1。這就解釋了上述計算結(jié)果。由此可見，勒貝格積分比黎曼積分廣義。很多數(shù)學(xué)概念和思想就是從貌似相同的概念和思想中推導(dǎo)出來。這啟發(fā)我們在做研究時應(yīng)從不同角度來考慮一些現(xiàn)有概念和理論，有時可能導(dǎo)致新的概念和理論。編輯本段背景知識黎曼積分的重要推廣，分析數(shù)學(xué)中普遍使用的重要工具。19世紀的微積分學(xué)中已經(jīng)有了許多直觀而有用的積分，例如黎曼積分（簡稱R積分）、黎曼-斯蒂爾杰斯積分(簡稱R-S積分)等。只要相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)良好,用這些積分來計算曲邊形面積、物體證明2重心、物理學(xué)上的功、能等，是很方便的。然而，隨著認識的深入，人們愈來愈經(jīng)常地需要處理復(fù)雜的函數(shù)，例如，由一列性質(zhì)良好的函數(shù)組成級數(shù)所定義出來的函數(shù)，兩個變元的函數(shù)對一個變元積分后所得到的一元函數(shù)等。在討論它們的可積性、連續(xù)性、可微性時，經(jīng)常遇到積分與極限能否交換順序的問題。通常只有在很強的假設(shè)下才能對這問題作出肯定的回答。因此，在理論和應(yīng)用上都迫切要求建立一種新的積分,它既能保持R積分的幾何直觀和計算上的有效，又能在積分與極限交換順序的條件上有較大的改善。1902年法國數(shù)學(xué)家H.L.勒貝格出色地完成了這一工作，建立了以后人們稱之為勒貝格積分的理論，接著又綜合R-S積分思想產(chǎn)生了勒貝格-斯蒂爾杰斯積分（簡稱l－S積分）。20世紀初又發(fā)展成建立在一般集合上的測度和積分的理論，簡稱測度論。編輯本段勒貝格（1875～1941）Lebesgue，HenriLon法國數(shù)學(xué)家。1875年6月28日生于博韋，1941年7月26日卒于巴黎。1894～1897年在巴黎高等師范學(xué)校學(xué)習(xí)。1902年在巴黎大學(xué)獲得博士學(xué)位，從1902年起先后在雷恩大學(xué)、普瓦蒂埃大學(xué)、巴黎大學(xué)文理學(xué)院任教。1922年任法蘭西學(xué)院教授，同年被選為巴黎科學(xué)院院士。勒貝格的主要貢獻是測度和積分理論。他采用無窮個區(qū)間來覆蓋點集，使許多特殊的點集的測度有了定義。在定義積分時他也采取劃分值域而不是劃分定義域的辦法,使積分歸結(jié)為測度,從而使黎曼積分的局限性得到突破，進一步發(fā)展了積分理論。他的理論為20世紀的許多數(shù)學(xué)分支如泛函分析、概率論、抽象積分論、抽象調(diào)和分析等奠定了基礎(chǔ)。利用勒貝格積分理論,他對三角級數(shù)論也作出基本的改進。另外,他在維數(shù)論方面也有貢獻。晚年他對初等幾何學(xué)及數(shù)學(xué)史進行了研究。他的論文收集在《勒貝格全集第六章度量空間和線性賦范空間第1次課教學(xué)內(nèi)容(或課題)：§6.1度量空間的進一步例子目的要求：在復(fù)習(xí)第二章度量空間基本概念前提下，要求進一步掌握離散度量空間、序列空間、有界函數(shù)空間、可測函數(shù)空間等.教學(xué)過程：一復(fù)習(xí)第二章度量空間的概念設(shè)是個集合，若對于，都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，且滿足，=0;+對都成立，則稱(，)為度量空間或距離空間，中的元素稱為點，條件稱為三點不等式.歐氏空間對中任意兩點和，規(guī)定距離為=.空間表閉區(qū)間上實值(或復(fù)值)連續(xù)函數(shù)的全體.對中任意兩點，定義=.空間記=.設(shè)，，定義=.二度量空間的進一步例子例1設(shè)是任意非空集合，對于，令=容易驗證，=0;+對都成立.稱(，)為離散的度量空間.由此可見，在任何非空的集合上總可以定義距離，使它成為度量空間.例2序列空間令表示實數(shù)列(或復(fù)數(shù)列)的全體，對，，令=.顯然右邊的級數(shù)總是收斂的.易知，且=0.即滿足條件.對，先證+.實因令()，則因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又因為，所以有=++.再令，，，則.由上述已證的不等式，得+.由此推得+對都成立.故按成一度量空間.例3有界函數(shù)空間設(shè)是一個給定的集合，令表示上有界實值(或復(fù)值)函數(shù)的全體.，定義=.顯然，且=0成立，即滿足條件.又，有++所以+.即滿足條件.特別當(dāng)時，=.例4可測函數(shù)空間設(shè)為上實值(或復(fù)值)的Lebesgue可測函數(shù)的全體，為Lebesgue測度，若，對任意兩個可測函數(shù)及，由于，故不等式左邊為上可積函數(shù).令=.若把中兩個幾乎處處相等的函數(shù)視為中同一個元素，則0且=0，即滿足條件.其次(參考例2)==+=+，對都成立.即滿足條件.故按上述距離成為度量空間.作業(yè)205.2.4.作業(yè)提示2.與例2處理方法類似.4.利用當(dāng)時的遞增性.第2次課教學(xué)內(nèi)容(或課題)：§6.2(1)度量空間中的極限目的要求：掌握一般的度量空間中的鄰域、內(nèi)點、外點、界點、導(dǎo)集、閉包、開集、閉集、收斂點列等概念，認識具體空間中點列收斂的具體意義.教學(xué)過程：設(shè)為度量空間，是距離，定義=為的以為半徑的開球，亦稱為的鄰域.例1設(shè)是離散的度量空間，是距離，則=仿§2.2-§2.3，設(shè)是度量空間中的一個子集，是中一點若存在的某一鄰域，s.t.，則稱為的內(nèi)點.若是的內(nèi)點，則稱為的外點.若內(nèi)既有的點又有非的點，則稱為的邊界點.若內(nèi)都含有無窮多個屬于的點，則稱為的聚點.的全體聚點所成集合稱為的導(dǎo)集，記為.稱為的閉包，記為.若的每一點都是的內(nèi)點，則稱為開集.若，則稱為閉集.例2在歐氏空間中，記為全體有理數(shù)點的集合，為全體無理數(shù)點的集合.則集合及均無內(nèi)點，均無外點;既是又是的界點，既是又是的聚點;既是又是的導(dǎo)集，既是又是的閉包;、既非開集又非閉集.若如同例1，將集合離散化，則都是的內(nèi)點，都是的內(nèi)點，因此、在離散空間中均為開集;、均無界點;之外點集合為，之外點集合為;、均無聚點，因此，，，，故、均為閉集.設(shè)是中點列，若，s.t.()則稱是收斂點列，是點列的極限.收斂點列的極限是唯一的.實因若設(shè)既牧斂于又收斂，則因為，而有=0.所以=.附注()式換個表達方式：=.即當(dāng)點列極限存在時，距離運算與極限運算可以換序.更一般地有距離是和的連續(xù)函數(shù).證明++-+;++-+.所以|-|+例3(205.1)設(shè)為一度量空間，令=，=.問=?答在空間中，必有=.在離散度量空間中，當(dāng)時，=，=，此時.畢.設(shè)是度量空間中的點集，定義.=為點集的直徑.若=，則稱為中的有界集(等價于固定，，，為某正數(shù)，則為有界集).中的收斂點列是有界集.實因，設(shè)，則數(shù)列收斂于0,故，s.t.有.所以，有+.中的閉集可以用點列極限來定義：為閉集中任何收斂點列的極限都在中，即若，，，則.具體空間中點列收斂的具體意義：1.歐氏空間=，，為中的點列，=，=.對每個，有.2.設(shè)，，則=在一致收斂于.3.序列空間設(shè)=，，及=分別是中的點列及點，則依坐標收斂于.實因，若對每個有，則因收斂，所以，s.t..因為對每個，存在，s.t.當(dāng)時.令，當(dāng)時，成立.所以當(dāng)時，成立=++=.所以反之，若，即=.又因為，有，所以當(dāng)時，0所以，，s.t.當(dāng)時，成立.所以.所以，有.4.可測函數(shù)空間設(shè)，，則因=，有.實因，若，則，有.(不妨設(shè))，取，則.今對這樣取定的及，因，故，s.t.當(dāng)時，成立.所以=+++=.所以.所以.反之，若，即.對，由于.所以，即.以上各種極限概念不完全一致(依坐標收斂，一致收斂，依測度收斂)，引進距離概念之后，都可以統(tǒng)一在度量空間的極限概念之中.作業(yè)205.5.作業(yè)提示均勻收斂即一致收斂.證明大意如同“序列空間”，并利用=.第3次課教學(xué)內(nèi)容(或課題)：§6.2(2)度量空間中的稠密集可分空間目的要求：掌握度量空間中的稠密集和可分空間的概念，能正確使用這兩個概念.教學(xué)過程：Th設(shè)是度量空間的一個子集，則集合是個開集，且.證明設(shè)，則，s.t..所以.，其中-，則(-)+=.所以.所以是之內(nèi)點.所以是開集.又證以中每一點為心作半徑的鄰域，所有這些鄰域的并集就是集合.每個鄰域都是開集，任意個開集之并仍為開集，故為開集.至于是很顯然的.證畢.附注當(dāng)時，得到是之閉包未必是.例如=.==，但.205.6.設(shè)，證明度量空間中的集為中的閉集，而集為開集為閉集.證明設(shè)且在中.則當(dāng)時，對，有=0.令，得時，.所以.所以是閉集.“”設(shè)為閉集，，則(當(dāng)).因在連續(xù)，所以(當(dāng)).取：0-，則對，有.所以+.所以當(dāng)++(-)=所以.所以為開集.“”設(shè)為開集.設(shè)，且.取點：=，則，令得，.因為，故只有.不妨設(shè)=(=-時同法可證之).因為為開集，所以，s.t.=.，因為，所以點+.因為=，所以對上述且，存在，s.t.，所以-.所以+=.但由方框，應(yīng)有，與+=相互矛盾.這就證明了.故為閉集.證畢.Def1設(shè)是度量空間，和是的兩個子集，令表示的閉包，若，則稱集在集中稠密，當(dāng)=時，稱為的一個稠密子集.若有一個可列的稠密子集，則稱是可分空間.例1維歐氏空間是可分空間.事實上，座標為有理數(shù)的點的全體是的可列稠密子集.設(shè)是閉區(qū)間全體有理數(shù)集合，是全體無理數(shù)集合.在中，因為，，所以在中稠，在中稠.因為，，所以和都在中稠密.若=視為的子空間，則是可分空間.例2離散距離空間可分是可列集.實因在中沒有稠密的真子集(因中任何一個真子集的閉集還是這個真子集本身)，所以中唯一的稠密子集只有本身，因此可分的充要條件為是可列集.例3令表示有界實(或復(fù))數(shù)列全體.對中，=，定義=.顯然0且=0=0對，都有=0對，都有.其次設(shè)=.因為，都有++.所以+.即+.所以按成為度量空間.往證是不可分空間.令表示中坐標取值為0或1的點的全體，則與二進位小數(shù)一一對應(yīng)，所以有連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)，對中任意的兩個不同點，有=1.若可分，則中存在可列稠密子集，設(shè)為.對中每一點，作球，則是一族的兩兩不相交的球，總數(shù)有不可列個.但由于在中稠密，所以每個中至少含有中的一點，這與是可列集矛盾.證畢.作業(yè)：205..作業(yè)解答：3.令=,則是開集且.因為，所以=.因是閉集，所以=，即=.7.取：0.作開集=和=，則，.又，，，，有++.所以----=0.所以.所以與必不相交.又證不相交若，則存在和，，,s.t..于是0++.矛盾.所以=.8.，令=則集合=含有不可數(shù)個元素，，、且時，=1.若可分，則中存在可列的稠密子集，記為.對中每一點，作球，則是一族兩兩不相交的球，總數(shù)有不可列個.但由于在中稠密，所以每個中至少含有中的點，這與是可列集矛盾.故不可分.9.因為可分，所以存在稠密子集=.對于每個.存在.因為在中稠密，所以可在中取出中一點.取有理數(shù)：，所以，且所有至多可列個，包含它的開集至多可選出可列個.證畢.第4次課教學(xué)內(nèi)容(或課題)：§6.3連續(xù)映照目的要求：掌握連續(xù)映照概念，掌握連續(xù)映照的充要條件，學(xué)會使用連續(xù)映照概念和連續(xù)映照充要條件處理與連續(xù)映照的實際問題.教學(xué)過程：Def1設(shè)=，=是兩個度量空間，是到中的映照：==.，若0，0，s.t.且，都有，則稱在連續(xù)：用鄰域來描述在連續(xù)：對的每一個-鄰域，必存在的某個-鄰域，s.t.(表在作用之下的像集).也可以用極限來定義映照的連續(xù)性，基于Th1設(shè)是度量空間到度量空間中的映照：，則在連續(xù)當(dāng)時，必有.證明“”設(shè)在連續(xù)，則0，0，s.t.且，都有.因為，所以，s.t.當(dāng)時，有.所以.所以.“”反證法.若在不連續(xù)，則0，s.t.0，，雖然，但是.特別取=，則有，s.t.當(dāng)時，有.即時，有.與假設(shè)矛盾.證畢.若映照在的每一點都連續(xù)，則稱是上的連續(xù)映照.稱集合()為集合在映照下的原像.簡記為.用開集刻劃連續(xù)映照，就是Th2度量空間到中的映照是上的連續(xù)映照任意開集，是中的開集.證明“”設(shè)是連續(xù)映照，是中開集.若=，則是中開集.若，則，令=，則.由于是開集，所以存在鄰域.由的連續(xù)性，存在鄰域，s.t..從而.所以是的內(nèi)點.因為是任意的，所以是中的開集.“”設(shè)中每個開集的原像是開集.，則是中的開集.又，所以是的內(nèi)點，所以存在鄰域.所以，所以在連續(xù).又是任意的，所以是上的連續(xù)映照.證畢.利用=，又有Th度量空間到中的映照是上的連續(xù)映照任意閉集，是中的閉集.證明“”設(shè)是上的連續(xù)映照，又設(shè)，是閉集，則是開集.由Th2,是開集.但=，故是中的閉集.“”且是閉集，則是開集.由=，及中任何閉集的總是中的閉集，得中任何開集的原像總是開集，由Th2,是上的連續(xù)映照.證畢.206.10.設(shè)為距離空間，為中的子集.令=,.證明是上的連續(xù)函數(shù).證明，，，s.t..，因為+，所以+，所以-,所以-，所以-.同理-.所以||=|-|0().所以是上的連續(xù)映照(Th1).作業(yè)：206.11.12.13.作業(yè)解答：11.先證0.否則0，，，s.t..令=，則，，s.t.,令，由于是二元連續(xù)函數(shù)，故得=0(是的聚點，是的聚點，聚點存在).因此=與=相矛盾，故=0.?。?，再令=，=，則與均為開集.下證與都不相交.若不然設(shè)，則++.與相矛盾.故任意二鄰域不相交，從而=.12.取開集.因為是到中的連續(xù)映照,所以是開集.因為是到中的連續(xù)映照，所以是開集.即是開集.所以是到中的連續(xù)映照.13.由Th或由=和Th2推得.附注區(qū)間及均為閉集.第六章參數(shù)估計與假設(shè)檢驗第一節(jié)參數(shù)估計一、參數(shù)估計概述在許多實際問題中，總體被理解為我們所研究的那個統(tǒng)計指標，它在一定范圍內(nèi)取數(shù)值，而且是以一定的概率取各種數(shù)值的，從而形成一個概率分布，但是這個概率分布往往是未知的。例如為了制定綠色食品的有關(guān)規(guī)定，我們需要研究蔬菜中殘留農(nóng)藥的分布狀況，對這個分布我們知之甚少，以致它屬于何種類型我們都不清楚。有時我們可以斷定分布的類型，例如在農(nóng)民收入調(diào)查中，根據(jù)實際經(jīng)驗和理論分析如概率論中的中心極限定理，我們斷定收入服從正態(tài)分布，但分布中的參數(shù)取何值卻是未知的。這就導(dǎo)致統(tǒng)計估計問題。統(tǒng)計估計問題專門研究由樣本估計總體的未知分布或分布中的未知參數(shù)。直接對總體的未知分布進行估計的問題稱為非參數(shù)估計；當(dāng)總體分布類型已知，僅需對分布的未知參數(shù)進行估計的問題稱為參數(shù)估計。本節(jié)我們研究參數(shù)估計問題。本節(jié)及以后假定抽樣方法為放回簡單隨機抽樣，樣本的每個分量都與總體同分布，它們之間相互獨立。二、參數(shù)估計的基本方法（一）估計量與估計值1.參數(shù)估計就是用樣本統(tǒng)計量去估計總體參數(shù)2.用來估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量的名稱稱為估計量，如樣本均值、樣本比例、樣本方差等都可以是一個估計量。3.估計量的具體數(shù)值稱為估計值（二）點估計與區(qū)間估計參數(shù)估計方法有點估計與區(qū)間估計兩種方法。1.參數(shù)估計的點估計法（1）設(shè)總體的分布類型已知，但包含有未知參數(shù)，從總體中抽取一個簡單隨機樣本，欲利用樣本提供的信息對總體未知參數(shù)進行估計。構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量作為的估計，稱為未知參數(shù)的點估計量（Pointestimate）。當(dāng)有了一個具體的樣本觀察值后，將其代入估計量中就得到估計量的一個具體觀察值，稱為參數(shù)的一個點估計值。今后點估計量和點估計值這兩個名詞將不強調(diào)它們的區(qū)別，通稱為點估計，根據(jù)上下文不難知道此處的點估計究竟是點估計量還是點估計值。通俗地說，用樣本估計量的值直接作為總體參數(shù)的估計值稱為點估計。常用的點估計量有：2、估計的評價標準：（1）無偏性：設(shè)是未知參數(shù)的一個點估計量，若滿足即估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計參數(shù)則稱是的無偏估計量（Unbiasedestimate），否則稱為有偏估計量。需要注意的是，由于估計量是樣本的函數(shù)，樣本量是維隨機變量，所以對求平均是按樣本的概率分布求平均。無偏性是我們衡量點估計量好壞的一個評價標準，這個評價標準的直觀意義如下。由于樣本的出現(xiàn)帶有隨機性，所以基于一次具體抽樣所得的參數(shù)估計值未必等于參數(shù)真值，這是由樣本的隨機性造成的。我們希望當(dāng)大量使用這個估計量對參數(shù)進行估計時，一系列估計值的平均值應(yīng)該與待估參數(shù)真值相等。這就從平均效果上對估計量的優(yōu)劣給出一個評價標準。（2）有效性：設(shè)，均為未知參數(shù)的無偏估計量，如果對參數(shù)的一切可能取值有且嚴格不等號至少對參數(shù)的某個可能值成立，則稱無偏估計量比有效（Efficiency）。一個無偏估計量并不意味著他就非常接近被估計的參數(shù)，他還必須與總體參數(shù)的離散程度比較小。對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，方差小者更有效。（3）一次性：設(shè)對容量為的樣本，是參數(shù)的一個估計量，，若對任意＞0，則稱是的一個一致的估計量序列，或稱此估計量序列具有一致性。隨著樣本容量的增大，點估計量的值越來越接近總體參數(shù)2.參數(shù)估計的區(qū)間估計法在參數(shù)估計中，雖然點估計可以給出未知參數(shù)的一個估計，但不能給出估計的精度。為此人們希望利用樣本給出一個范圍，要求它以足夠大的概率包含待估參數(shù)真值。這就是導(dǎo)致區(qū)間估計（Intervalestimation）問題。所謂區(qū)間估計，就是估計總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計成立的概率值。設(shè)是未知參數(shù)，是來自總體的樣本，構(gòu)造兩個統(tǒng)計量，，對于給定的（0＜＜1），若、滿足則稱隨機區(qū)間［，］是參數(shù)的置信水平（Confidencelevel）為的置信區(qū)間（Confidenceinterval）,稱為［，］的置信度，，稱為置信限（Confidencelimit）。這里有幾點需要說明：(1)區(qū)間［，］的端點，及長度－都是樣本的函數(shù)，從而都是隨機變量，因此［，］是一個隨機區(qū)間。(2)是說隨機區(qū)間［，］以的概率包含未知參數(shù)真值，區(qū)間長度－描述估計的精度，置信水平描述了估計的可靠度。(3)因為未知參數(shù)是非隨機變量，所以不能說落入?yún)^(qū)間［，］的概率是，而應(yīng)是隨機區(qū)間［，］包含的概率是。通俗地說，在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)的一個范圍稱為區(qū)間估計。三、總體均值的區(qū)間估計（一）正態(tài)總體且方差已知；或非正態(tài)總體、方差未知、大樣本情況下在這種情況下，樣本均值的抽樣分布呈正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為。則稱為總體均值在置信水平下的置信區(qū)間。設(shè)樣本來自正態(tài)總體是總體均值，當(dāng)已知時數(shù)理統(tǒng)計證明服從正態(tài)分布，從而服從標準正態(tài)分布，對給定的置信度查表可得，使得從而有取則即是的置信水平為的置信區(qū)間。［例6.5］保險公司從投保人中隨機抽取36人,計算得36人的平均年齡歲，已知投保人平均年齡近似服從正態(tài)分布，標準差為7.2歲，試求全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間。解：查表得故全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間為[36.41,42.59]在不重復(fù)抽樣條件下，置信區(qū)間為：（6.17）［例6.6］一家食品公司，每天大約生產(chǎn)袋裝食品若干，按規(guī)定每袋的重量應(yīng)為100g。為對產(chǎn)品質(zhì)量進行檢測，該企業(yè)質(zhì)檢部門采用抽樣技術(shù)，每天抽取一定數(shù)量的食品，以分析每袋重量是否符合質(zhì)量要求?，F(xiàn)從某一天生產(chǎn)的一批食品8000袋中隨機抽取了25袋（不重復(fù)抽樣），測得它們的重量如表6.3所示。表6.325袋食品重量已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體方差為100g。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95％。解：已知＝100g，n=25，＝95％，＝1.96根據(jù)樣本資料，計算的樣本均值為：根據(jù)（6.17）式得=105.36±1.96××即105.36±3.914115=(101.4459,109.2741)，該批產(chǎn)品平均重量在95％置信水平下的置信區(qū)間為：101.4459～109.2741。若總體方差未知，可用樣本方差S2代替［例6.7］承［例6.5］假定保險公司從投保人中隨機抽取36人，得到他們的年齡數(shù)據(jù)如表6.4所示。表6.436名投保人的年齡若總體方差未知，試建立投保人年齡90％的置信區(qū)間。解：已知n=36，＝90％，＝1.645，由于總體方差未知，但為大樣本，故可用樣本方差代替。根據(jù)樣本資料計算的樣本均值和樣本標準差為：（樣本均值和樣本標準差的計算，也可直接通過Excel軟件中的描述統(tǒng)計功能計算，計算結(jié)果如圖6.3所示）圖6.3描述統(tǒng)計運行結(jié)果則置信區(qū)間為：即39.5±2.13=(37.37，41.63)，投保人平均年齡在90％的置信水平下的置信區(qū)間為37.37歲～41.63歲。（二）正態(tài)總體、方差未知、小樣本情況下如果總體服從正態(tài)分布,無論樣本容量大小,樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布。只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差S2代替，在小樣本情況下，應(yīng)用分布來建立總體均值的置信區(qū)間。分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，他通常要比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，分布逐漸趨于正態(tài)分布。正態(tài)總體、方差未知、小樣本情況下，總體均值在置信水平下的置信區(qū)間為：（重復(fù)抽樣條件下）（6.18）（不重復(fù)抽樣條件下）（6.19）其中為t分布臨界值，可以查t分布臨界值表得到，也可由Excel計算得到。Excel計算，可使用粘貼函數(shù)“Tinv”完成。操作步驟依次為：Tinv→→df→確定［例6.8］已知某種電子元件的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批電子元件中隨機抽取16只，測得其壽命如圖6.4中的原始數(shù)據(jù)部分。圖6.416只電子元件壽命原始數(shù)據(jù)及描述統(tǒng)計部分結(jié)果試建立該批電子元件使用壽命95％的置信區(qū)間。根據(jù)樣本資料計算的樣本均值和樣本標準差為：（樣本均值和樣本標準差的計算，也可直接通過Excel軟件中的描述統(tǒng)計功能計算，計算結(jié)果如圖6.4所示）由＝95％知，＝＝2.131則該批電子元件平均使用壽命95％的置信區(qū)間為：即=(1476.8，1503.2)，該批電子元件平均使用壽命在95％的置信水平下的置信區(qū)間為1476.8小時～1503.2小時。現(xiàn)將總體均值的區(qū)間估計總結(jié)如表6.5所示.表6.5不同情況下總體均值的區(qū)間估計四、總體比例的區(qū)間估計在大樣本（一般經(jīng)驗規(guī)則：）條件下，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。在這種情況下，數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)證明如下結(jié)論：置信水平為的置信區(qū)間為：（重復(fù)抽樣）（不重復(fù)抽樣）［例6.9］某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，采取重復(fù)抽樣方法隨機抽取了100名下崗職工，其中65人為女性。試以95％的置信水平估計該城市下崗職工中女性所占比例的置信區(qū)間。解：已知，，根據(jù)公式得：即65％±9.35%=(55.65%，74.35%)，95％的置信水平下估計該城市下崗職工中女性所占比例的置信區(qū)間為55.65%～74.35%。［例6.10］某企業(yè)共有職工1000人，企業(yè)準備實行一項改革，在職工中征求意見，采用不重復(fù)抽樣方法，隨機抽取200人作為樣本，調(diào)查結(jié)果顯示，由150人表示贊成這項改革，有50人表示反對。試以95％的置信水平確定贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間。解：已知，，根據(jù)公式得：即75％±5.37%=(69.63%，80.37%)，95％的置信水平下估計贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間為69.63%～80.37%。五、樣本容量的確定（一）影響樣本容量的因素在抽取樣本時樣本容量應(yīng)多大是一個很實際的問題。樣本容量取得比較大，收集的信息就比較多，從而估計精度比較高，但進行觀測所投入的費用、人力及時間就比較多；樣本容量取得比較小，則投入的費用、人力及時間就比較少，但收集的信息也比較少，從而估計精度比較低。這說明精度和費用對樣本量的影響是矛盾的，不存在既使精度最高又使費用最省的樣本量。一個常用的準則是在使精度得到保證的前提下尋求使費用最省的樣本量。由于費用通常是樣本量的正向線性函數(shù)，故使費用最省的樣本量也就是使精度得到保證的最小樣本量。（二）估計總體均值時樣本容量的確定在簡單隨機重復(fù)抽樣下，設(shè)樣本來自正態(tài)總體，總體均值的點估計為樣本均值。如果要求以估計時的絕對誤差為Δ，可靠度為，即要求由知故只要需取絕對誤差從而解得（重復(fù)抽樣條件下）同理，在簡單隨機不重復(fù)抽樣條件下，我們可以得出估計總體均值時樣本容量的計算公式為：（不重復(fù)抽樣條件下）[例6.12]在某企業(yè)中采用簡單隨機抽樣調(diào)查職工月平均獎金額，設(shè)職工月獎金額服從標準差為10元的正態(tài)分布，要求估計的絕對誤差為3元，可靠度為95%，試問應(yīng)抽多少職工？解：已知則即需抽取43名職工作為樣本進行調(diào)查。（三）估計總體比例時樣本大小的確定在簡單隨機重復(fù)抽樣條件下，估計總體比例時，我們可以定義絕對誤差為：從而得到樣本容量：（重復(fù)抽樣條件下）（6.25）同理，在簡單隨機不重復(fù)抽樣條件下，我們可以得出估計總體比例時樣本容量的計算公式為：（不重復(fù)抽樣條件下）（6.26）[例6.13]根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計，某種產(chǎn)品的合格率為90%，現(xiàn)要求絕對誤差為5%，在置信水平為95%的置信區(qū)間時，應(yīng)抽取多少個產(chǎn)品作為樣本？已知，則=第二節(jié)假設(shè)檢驗一、假設(shè)檢驗的基本思想1、小概率原理如果對總體的某種假設(shè)是真實的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實性，拒絕這一假設(shè)。抽樣總體樣本抽樣（某種假設(shè)）觀察結(jié)果檢驗檢驗（接受）（拒絕）小概率事件小概率事未發(fā)生件發(fā)生2、假設(shè)的形式——原假設(shè)，H1——備擇假設(shè)雙尾檢驗：H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0單尾檢驗：H0：μ≥μ0，H1：μ＜μ0 H0：μ≤μ0，H1：μ＞μ0假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本觀察結(jié)果對原假設(shè)（H0）進行檢驗，接受H0，就否定H1；拒絕H0，就接受H1。二、假設(shè)檢驗規(guī)則與兩類錯誤1、確定檢驗規(guī)則檢驗過程是比較樣本觀察結(jié)果與總體假設(shè)的差異。差異顯著，超過了臨界點，拒絕H0；反之，差異不顯著，接受H0。差異臨界點判斷c拒絕H0c接受H0怎樣確定c?2、兩類錯誤接受或拒絕H0，都可能犯錯誤I類錯誤——棄真錯誤，發(fā)生的概率為αII類錯誤——取偽錯誤，發(fā)生的概率為β檢驗決策H0為真H0非真拒絕H0犯I類錯誤（α）正確接受H0正確犯II類錯誤（β）α大β就小，α小β就大基本原則：力求在控制α前提下減少βα——顯著性水平，取值：0.1,0.05,0.001,等。如果犯I類錯誤損失更大，為減少損失，α值取小；如果犯II類錯誤損失更大，α值取大。確定α，就確定了臨界點c。①設(shè)有總體：X~，σ2已知。②隨機抽樣：樣本均值。接受域③標準化：。接受域拒絕域拒絕域④確定α值，拒絕域拒絕域⑤查概率表，Z知臨界值Z0⑥計算Z值，作出判斷。0三、假設(shè)檢驗的一般步驟（1）建立總體假設(shè)H0，H1（2）（3）（4）抽樣得到樣選擇統(tǒng)計量根據(jù)具體決策本觀察值確定H0為真要求確定α（6）時的抽樣分布（5）計算檢驗統(tǒng)計量確定分布上的臨界（7）的數(shù)值點C和檢驗規(guī)則比較并作出比較并作出檢驗判斷三、總體均值的檢驗Z類型Z條件檢驗統(tǒng)計量H0、H1拒絕域000ZααZαtαtt-ZαZααZZI000ZααZαtαtt-ZαZααZZ正態(tài)總體σ2已知(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μ0000-tαtαII000-tαtα正態(tài)總體σ2未知(n＜30)(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μ000-ZααZα0ZIII00-ZααZα0Z非正態(tài)總體n≥30σ2已知或未知(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0(2)H0：μ≥μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μ0四、總體成數(shù)的檢驗條件檢驗統(tǒng)計量H0、H1拒絕域α-Zα0Zα0ZZα0Z1．α-Zα0Zα0ZZα0Z(P)np≥5nq≥5(1)H0：P=P0H1：P≠P0(2)H0：P≤P0H1：P＞P0(3)H0：P≥P0H1：P＜P0αZα-ZαZ00Z0Z2．αZα-ZαZ00Z0Z(P1-P2)n1p1≥5n1q1≥5n2p2≥5n2q2≥5(1)H0：P1=P2H1：P1≠P2(2)H0：P1≤P2H1：P1＞P2(3)H0：P1≥P2H1：P1＜P2五、假設(shè)檢驗中的其他問題(一)利用置信區(qū)間進行假設(shè)檢驗（1）雙側(cè)檢驗1.求出雙側(cè)檢驗均值的置信區(qū)間已知時：未知時：2.若總體的假設(shè)值在置信區(qū)間外，拒絕（2）左側(cè)檢驗1.求出單邊置信下限2.若總體的假設(shè)值小于單邊置信下限，拒絕（3）右側(cè)檢驗1.求出單邊置信下限2.若總體的假設(shè)值大于單邊置信下限，拒絕本章的重點1、假設(shè)檢驗的基本思想；2、不同總體的各種參數(shù)的假設(shè)檢驗。3、如何理解抽樣估計的基本理論；4、抽樣誤差的含義與計算方法；5、不同類型總體的參數(shù)區(qū)間估計問題。復(fù)習(xí)思考題1、什么是抽樣估計，抽樣估計的基本方法有哪些？2、在抽樣估計中，為什么說準確性的要求和可靠性的要求是一對矛盾，在實際估計中又如何解決這對矛盾？3、抽樣估計的優(yōu)良標準是什么？4、什么是抽樣平均誤差、抽樣極限誤差，兩者在抽樣估計中發(fā)揮什么作用？5、類型抽樣中的分組和整群抽樣中的分群有什么不同意義和不同要求？6、為什么說對總體指標的區(qū)間估計只能是一種可能范圍估算，而不是絕對范圍估算？7、抽樣推斷與假設(shè)檢驗是一回事嗎？若不是，兩者關(guān)系如何？8、什么是零假設(shè)，零假設(shè)與備擇假設(shè)有什么不同？9、第一類錯誤與第二類錯誤有何不同？10、如果“總體均值等于4”的零假設(shè)在研究過程中被錯誤地拒絕了，請問這是犯了第幾類錯誤？統(tǒng)計決策理論百科名片由統(tǒng)計學(xué)家A.瓦爾德在1950年提出的一種數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的理論，這種理論把數(shù)理統(tǒng)計問題看成是統(tǒng)計學(xué)家與大自然之間的博弈；用這種觀點把各種各樣的統(tǒng)計問題統(tǒng)一起來，以對策論的觀點來研究。目錄概述統(tǒng)計決策三要素選擇決策函數(shù)的準則概述統(tǒng)計決策三要素選擇決策函數(shù)的準則展開編輯本段概述在此以前，人們對數(shù)理統(tǒng)計，主要是著眼于其推斷的功能，亦即從觀測數(shù)據(jù)出發(fā)對總體作出某種論斷（見統(tǒng)計推斷）。至于由此應(yīng)該采取什么決策或行動，會產(chǎn)生什么后果，則被認為不屬于統(tǒng)計的范疇。瓦爾德的理論則把后面這一部分內(nèi)容也納入統(tǒng)計的范圍之內(nèi)，這在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)上是一項革新，有較大的實際意義。在一個統(tǒng)計問題中，統(tǒng)計工作者掌握的資料是樣本X＝(x1,x2…,xn),X所來自的總體的分布Fθ中包含的參數(shù)θ為未知,而只知道θ所屬的集合（為θ所有可能取值的集合，稱為參數(shù)空間）。但是，采取什么決策最好，則取決于未知的θ值。用形象化的說法，θ是由大自然在參數(shù)空間中選定的，人們力圖去找到它。大自然掌握了θ的秘密，而這個秘密又通過樣本泄露出來,統(tǒng)計工作者的任務(wù)就是根據(jù)樣本X中所包含的關(guān)于θ的信息,去作出良好的決策。例如，一家商店根據(jù)抽樣決定是否接受一批來貨，一個工廠根據(jù)市場調(diào)查的結(jié)果決定某種產(chǎn)品生產(chǎn)多少等,希望所采取的行動取得盡可能好的效果,或者說，使“行動不當(dāng)”所造成的損失盡可能小。編輯本段統(tǒng)計決策三要素可以通過三個要素把一個統(tǒng)計決策問題表達出來。樣本空間①樣本空間H與樣本分布族{Fθ：θ∈}這個要素規(guī)定了問題的概率模型。樣本空間是樣本可能的取值范圍，而樣本分布族是樣本所可能遵從的分布的集合。行動空間②行動空間A它是統(tǒng)計工作者可以采取的單純策略（或稱行動）的集合。例如，設(shè)θ為一維參數(shù)，要對θ作區(qū)間估計，則實軸上任一區(qū)間【α,b)】構(gòu)成一個單純策略，這時行動空間為所有【α,b)】構(gòu)成的集合,即{【α,b)】：-∞<α≤b<∞}。若問題是要檢驗有關(guān)θ的假設(shè)，則行動空間A由α0（接受假設(shè)）和α1（拒絕假設(shè)）兩個元素構(gòu)成。損失函數(shù)③損失函數(shù)L統(tǒng)計決策理論有一個基本出發(fā)點：所采取的行動的后果可以數(shù)量化。設(shè)參數(shù)真值為θ，統(tǒng)計工作者采取的行動為α，則所遭受的損失可表為α與θ的函數(shù)L(θ,α)，稱之為損失函數(shù)。在一個具體問題中,采取什么損失函數(shù)最好，是一個需要進行大量調(diào)查研究以至理論工作的問題，這也是在使用決策理論時的一個困難點。統(tǒng)計決策函數(shù)當(dāng)三個要素都已給定時，統(tǒng)計工作者采取什么行動，取決于他所掌握的樣本。求一個統(tǒng)計決策問題的解，就是制定一個規(guī)則，以便對樣本空間中每一點，在行動空間中都有一個元素與之對應(yīng)，也就是找一個定義于樣本空間H而取值于行動空間A的函數(shù)或分布函數(shù)δ，當(dāng)有了樣本X=尣，就按δ(尣)采取行動，稱δ為決策函數(shù)。用對策論的語言,δ就是統(tǒng)計工作者所采取的策略。編輯本段選擇決策函數(shù)的準則對一個統(tǒng)計決策問題，為選定一個較優(yōu)的決策函數(shù)，需要建立反映決策函數(shù)優(yōu)劣的指標。風(fēng)險函數(shù)R(θ,δ)就是這樣的指標,定義為R(θ,δ)=Eθ【L(θ，δ(X))】，即采取決策函數(shù)δ而參數(shù)真值為θ時所遭受的平均損失。風(fēng)險函數(shù)愈小，決策函數(shù)愈好。在這個原則下，可以引進種種更具體且可行的準則。容許性準則①容許性準則設(shè)δ為一決策函數(shù)，若存在另一決策函數(shù)δ，使對一切θ∈有R(θ,δ)≤R(θ,δ),且不等號至少在中的某一點成立,則稱δ為不可容許的，否則為可容許的。從風(fēng)險愈小愈好的原則出發(fā),當(dāng)δ不可容許時，便沒有理由使用它。判定一個決策函數(shù)是否可容許，是統(tǒng)計決策理論中一個重要而且困難的問題。在風(fēng)險函數(shù)愈小愈好的原則下，若存在決策函數(shù)δ0，對一切θ∈必成立R(θ,δ0)≤R(θ,δ)，其中δ為任一決策函數(shù)，則δ0是最好的決策函數(shù)，稱為一致最優(yōu)決策函數(shù)。但這種決策函數(shù)一般不存在，因而不得不放寬條件，常采用的有兩種方法：一種是不對風(fēng)險函數(shù)在上作逐點比較，而采用某種綜合性指標；另一種方法是先從一定角度對允許使用的決策函數(shù)加以一定限制，然后再找一致最優(yōu)的，從而又引出下列準則。最小化最大準則②最小化最大準則最大風(fēng)險是一種綜合性指標，若存在使最大風(fēng)險最小的決策函數(shù)δ,使得對一切決策函數(shù)δ都有：M(δ)≥M(δ)，則稱δ是最小化最大決策函數(shù)，它反映了一種較穩(wěn)健或保守的策略思想。貝葉斯準則③貝葉斯準則它以貝葉斯風(fēng)險為指標,在參數(shù)空間上選定一概率測度ξ，稱ξ為θ(θ∈)的先驗分布，而稱為決策函數(shù)δ的相對于ξ的貝葉斯風(fēng)險,它也是一個綜合性指標。若對一切決策函數(shù)δ都成立,稱δ為ξ的貝葉斯決策函數(shù)。最優(yōu)同變性準則④最優(yōu)同變性準則這是一種在限制決策函數(shù)有同變性的條件下，求一致最優(yōu)決策函數(shù)的準則。同變性是指當(dāng)問題由于平移、刻度等變換而發(fā)生變化時，相應(yīng)的決策(對策)也能有同步地變換的性質(zhì)。例如,在正態(tài)總體N(μ,1)中抽樣x1,x2,…,xn以估計μ,若將度量原由零點(O)移到с處，則樣本在新坐標系下變?yōu)閤1+с,x2+с…,xn+с,而參數(shù)變?yōu)棣?с,如果接受“估計結(jié)果不應(yīng)與坐標原點的取法有關(guān)”的原則,則所用的決策δ應(yīng)滿足：對任何實數(shù)с,有；稱這樣的δ在平移變換下有同變性。可以在樣本空間H上考慮更復(fù)雜的一一變換群，而定義在這個變換群之下的同變性，在所有具有同變性的決策函數(shù)類中，風(fēng)險一致最小的決策函數(shù)被稱為最優(yōu)同變決策函數(shù)。在點估計中，限制使用的估計量有無偏性，采用平方損失函數(shù)，在這個限制下,一致最優(yōu)估計量就是一致最小方差無偏估計。這是另一個在限制決策函數(shù)下，求一致最優(yōu)策略的例子。一旦選定了優(yōu)良性標準，統(tǒng)計決策問題的解決，就相當(dāng)于一個數(shù)學(xué)上的最優(yōu)化問題。1950年后的幾十年來在這方面做了不少工作，這不僅使統(tǒng)計問題有了嚴格的數(shù)學(xué)提法，同時也在形式上部分地突出了瓦爾德的想法，把形式不一樣的統(tǒng)計問題歸并在一個模式下統(tǒng)一處理。決策函數(shù)的觀點使統(tǒng)計更注重了所采取行動的效果，也使統(tǒng)計問題提法更加多樣化，從而開拓了某些新的研究領(lǐng)域，例如前面提到的關(guān)于容許性及最小化最大準則的研究。因此,瓦爾德的理論受到統(tǒng)計學(xué)界的重視,成為二次大戰(zhàn)后統(tǒng)計學(xué)史上一個重大事件。但是，在這個問題上的看法也并不一致，英國統(tǒng)計學(xué)家M.肯德爾認為“損失的數(shù)量化”并非在任何情況下都合理可行，而且他還認為，把統(tǒng)計問題歸之于統(tǒng)計工作者與大自然之間的博弈的觀點，是值得懷疑的。擴展閱讀：1A.Wald,StatisticalDecisionFunctions,JohnWiley&Sons,NewYork,1950.2,StatisticalDecisionTheory,JohnWiley&Sons,NewYork,1980.3緊集編輯詞條摘要定義

緊集是拓撲空間內(nèi)的一類特殊點集，它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。在度量空間內(nèi)，緊集還可以定義為滿足以下任一條件的集合：

任意列有收斂子列且該子列的極限點屬于該集合（自列緊集）

具備Bolzano-Weierstrass性質(zhì)

完備且完全有界

性質(zhì)

緊集具有以下性質(zhì)：

緊集必然是有界的閉集，但反之不一定成立。

緊集在連續(xù)函數(shù)下的像仍是緊集。

豪斯多夫空間的緊子集是閉集。

實數(shù)空間的非空緊子集有最大元素和最小元素。

Heine-Borel定理:在Rn內(nèi)，一個集合是緊集當(dāng)且僅當(dāng)它是閉集并且有界。

定義在緊集上的連續(xù)實值函數(shù)有界且有最大值和最小值。

定義在緊集上的連續(xù)實值函數(shù)一致連續(xù)。

直觀理解

從某種意義上，緊集類似于有限集。舉最簡單的例子而言，在度量空間中，所有的有限集都有最大與最小元素。一般而言，無限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0,1)）,但R中的非空緊子集都有最大和最小元素。在很多情況下，對有限集成立的證明可以擴展到緊集。一個簡單的例子是對以下性質(zhì)的證明：定義在緊集上的連續(xù)實值函數(shù)一致連續(xù)。

類似概念

自列緊集：每個有界序列都有收斂的子序列。

可數(shù)緊集：每個可數(shù)的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋。

偽緊：所有的實值連續(xù)函數(shù)都是有界的。

弱可數(shù)緊致：每個無窮子集都有極限點。

在度量空間中，以上概念均等價于緊集。

以下概念通常弱于緊集：

相對緊致：如果一個子空間Y在母空間X中的閉包是緊致的，則稱Y是相對緊致于X。

準緊集：若空間X的子空間Y中的所有序列都有一個收斂的子序列，則稱Y是X中的準緊集。

局部緊致空間：如果空間中的每個點都有個由緊致鄰域組成的局部基，則稱這個空間是局部緊致空間。

請幫助解答：

1.拓撲空間的緊子集的閉包可以不是緊的，誰可以給出個例子

2.{Xn}收斂到x0,且都屬于X，如何證明{x0}與{Xn,n取正整數(shù)}之并是緊集

股票定價模型

－、零增長模型二、不變增長模型三、多元增長模型四、市盈率估價方法五、貼現(xiàn)現(xiàn)金流模型六、開放式基金的價格決定七、封閉式基金的價格決定八、可轉(zhuǎn)換證券九、優(yōu)先認股權(quán)的價格－、零增長模型零增長模型假定股利增長率等于零，即G=0，也就是說未來的股利按一個固定數(shù)量支付。[例]假定某公司在未來無限時期支付的每股股利為8元，其公司的必要收益率為10％，可知一股該公司股票的價值為8／0．10＝80元，而當(dāng)時一股股票價格為65元，每股股票凈現(xiàn)值為80—65＝15元，因此該股股票被低估15元，因此建議可以購買該種股票。[應(yīng)用]零增長模型的應(yīng)用似乎受到相當(dāng)?shù)南拗疲吘辜俣▽δ骋环N股票永遠支付固定的股利是不合理的。但在特定的情況下，在決定普通股票的價值時，這種模型也是相當(dāng)有用的，尤其是在決定優(yōu)先股的內(nèi)在價值時。因為大多數(shù)優(yōu)先股支付的股利不會因每股收益的變化而發(fā)生改變，而且由于優(yōu)先股沒有固定的生命期，預(yù)期支付顯然是能永遠進行下去的。二、不變增長模型(1)一般形式。如果我們假設(shè)股利永遠按不變的增長率增長，那么就會建立不變增長模型。[例]假如去年某公司支付每股股利為1.80元，預(yù)計在未來日子里該公司股票的股利按每年5％的速率增長。因此，預(yù)期下一年股利為1.80×(1十0.05)＝1.89元。假定必要收益率是11％，該公司的股票等于1．80×[(1十0．05)／(0.11—0．05)]＝1．89／(0．11—0．05)＝31．50元。而當(dāng)今每股股票價格是40元，因此，股票被高估8．50元，建