2023年高考數(shù)學文科模擬卷01（解析版全國通用）

2023年高考模擬卷（一）

文科數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自

己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.已知集合4=卜€(wěn)?^|》2-2》一340},B={x€R|log2023x<0},則AB=（）

A.(0,1]B.[0,1]C.{1}D.0

【答案】C

【詳解】由d-2x-340,解得—1WX43,

乂因為xeN,所以A={0,l,2,3},

又由啕023工皿可得10g2023XW10g20231，解得0<E，

所以B={xeR|0<x〈l},

所以AB={1},

故選:C.

2.若（l+i）2=（l-i）z,則2在復平面內對應的點所在象限為)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【詳解】Z=(1+"=21(1+1)=_]+[

則z=-1—i>

(l-i)(l+i)2

所以$對應點為（T，T）,在第三象限.

故選：C

3.”>b的一個充要條件是（）

A-14B.ac2>be2

C.10g2a>log,bD.1.7">1.7"

【答案】D

【詳解】A：若a>b,取a=l,b=-1,則不成立，故A不符題意;

ab

B：若a>b，取c=0,則a/〉比?不成立，故B不符題意；

C：函數(shù)y=log2x在（0,他>）上單調遞增,

由log/Alog",得a>6>0,故C不符題意：

D：函數(shù)y=L7,在R上單調遞增，

由1.7">1.7"，得由a>b,得1.7">1.7",

所以"1.7">1.7""是的充要條件，故D符合題意.

故選：D.

4.已知向量”=（1即），=（-1,0）,§.^a-h^=a-b+6,則由=（）

A.亞B.2上

C.夜D.2瓜

【答案】C

【詳解】解：因為向量。=（1,加），^=（-1,0）,

所以4-6=（2,m）,4力=一1,

又因為卜-.=4功+6,

所以>/22+nr=5，

解得病=21,

所以同=>/12+m2=>/22，

故選：C

5.將頂點在原點，始邊為，軸非負半軸的銳角。的終邊繞原點逆時針轉過泊交單位圓

于點那么cosa的值為（）

A.立B.旦C.逑

10510。?嚕

【答案】A

【詳解】由點P在單位圓上，則1|J+y2=l,解得y=±1,

I（八兀、,兀（兀3兀）,,.4

由銳角即ara+則》=〈

故c°s（a+￡|=V"a+￡|T

（兀兀）（兀、兀兀、兀3724V272

actctcc

cos=cosIH--4-----4--）cosIH—4cjos—4FsinkH—4cjos—4=—x5—2H—5x—2=—10.

故選：A.

6.中國古代數(shù)學著作《九章算術》是人類科學史上應用數(shù)學的最早巔峰.書里記載了這樣一

個問題"今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？"譯文是"今有一女子很會織布，

每日加倍增長，5天共織5尺，問每日各織布多少尺？"，則該女子第二天織布（）

【答案】B

【詳解】由題，設每日織布數(shù)的數(shù)列為｛%｝,則｛4｝為以2為公比的等比數(shù)列，

由題知斗券=5,得％=捺，所以第二天織布尺數(shù)為生=捺'2=祟

故選：B.

7.法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心

為圓心的圓我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C:f+2=1（〃＞。＞0）的蒙

crb1

日圓方程為/+12=/+廿，現(xiàn)有橢圓C:4+￡=1的蒙日圓上一個動點M,過點M作橢圓

a16

C的兩條切線，與該蒙日圓分別交于P,。兩點，若JWPQ面積的最大值為41,則橢圓C

的長軸長為（）

A.5B.10C.6D.12

【答案】B

【詳解】楠圓c的蒙日圓的半徑為行Q=^/77記.

因為所以PQ為蒙日圓的直徑，

所以|PQ|=2h+16,所以=4（〃+16）.

因為|網(wǎng).|如21M陷L乎絲L=2（/+i6），當|MH=|MQ|=&.JL+I6時,等號成立，

所以“MPQ面積的最大值為：^\MP\-\MQ\=a2+16.

由-MPQ面積的最大值為41,得/+16=41,得。=5,

故橢圓C的長軸長為10.

故選：B

8.已知函數(shù)/（x）=sin（0x+夕）（3＞0）是在區(qū)間上的單調減函數(shù)，其圖象關于直線

\loJo7

x=—S7T對稱，且f（X）的一個零點是x=7571,則。的最小值為（）

3672

A.2B.12C.4D.8

【答案】C

【詳解】因為函數(shù)/（x）=sin?x+e）的圖象關于直線》=一凄對稱,

36

所以一啰?三+°=：+〃兀，??GZ,所以夕=1兀，neZ,

362＜236）

LriLrra兀5兀..16Z/7T5〃/7T

to—<.x<—.則所以言+9<5+。<^^+夕,

183oio36lo36

71571

因為/（X）=sin（ox+9）是在區(qū)間

li'W上的單調減函數(shù).

CDTI兀…，?

——+02一+2E,%￡Z

18"2

所以＜

5M,3兀c,,r

-----------1■夕W--F2kn,左wZ

362

conIco）、兀c/

---------F—I--------F〃|兀2—F2.ku,n￡Z,攵wZ

181236J2

5am

---+—I---------Fn|兀<---F2kit,nGZ,kWZ

36236）2

-+（-+—+n|>-+2*,HEZ,iteZ

18（236）2

即＜

569rlCO2r、r

——+—4--------Fn<—+2k,neZ、keZ

361236）2

解得12（2""）4046（2%-〃+l）,/zeZ,kwZ,

因為?！?,所以2&-〃=0或2%-〃=1,

當2%一〃=。時，0＜。46,當2左一”=1時，12＜（y＜12：

由于且f（X）的一個零點是x=＜兀，

18723672

77t

所以3x至+9=（26+1）兀,msZ,

所以=+（7+777+〃）兀=（2/九+1）兀，meZ?nGZ,

721236J

即/=8（2加一〃）+4,meZ,〃wZ.

根據(jù)0＜。46或124。＜12,可得口=4,或3=12,所以外的最小值為4.

故選：C.

9.在“2,3,5,7,11,13,17,19”這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)之和

仍為素數(shù)的概率是（）

3513

A.—B.—C.-D.—

2828714

【答案】C

【詳解】這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，有如下基本事件：

（2,3）,（2,5）,（2,7）,（2,11）,（2,13）,（2,17）,（2,19）,

（3,5）,（3,7）,（3,11）,（3,13）,（3,17）,（3,19）,

（5,7）,（5,11）,（5,13）,（5,17）,（5,19）,

（7,11）,（7,13）,（7,17）,（7,19）,

（11,13）,（11,17）,（11,19）,

（13,17）,（13,19）,

（17,19）,共有28個基本事件，

這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的基本事件有：（2,3）,（2,5）,（2,11）,（2,17）共4個，

41

所以這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是4="，

故選:C.

10.已知函數(shù)〃力=“（37）+*的圖象過點（°，1）與（3，），則函數(shù)/（可在區(qū)間［1，4］上

的最大值為（)

37c58

A.一B.一C.一D.-

2345

【答案】B

【詳解】因為函數(shù)〃到=“（3-司+餐的圖象過點（0,1）與（3弓）,

3b9

Q---——

所以"0）=1,/（3）=p則44,

3。=1

解得〃=b=3,

故函數(shù)〃力的解析式為：=+

3x+l

而------+------

33X+13

當且僅當*=2時取等號,

7

函數(shù)“X）在區(qū)間［1,4］上的最大值為不

故選：B.

11.己知三棱錐P-A8C的所有頂點都在球。的表面上，A3C是邊長為4百的等邊三角形,

若三棱錐P-ABC體積的最大值是32石，則球。的表面積是（）

A.100兀B.160TIC.200兀D.320兀

【答案】A

【詳解】設ABC外接圓的半徑為，貝Ur=^^-=4,

2sin60°

設球。的半徑為R,當三棱錐P-ABC的高最大時，體積取最大值，高的最大值

h=yjR2-42+R-

所以白乎＞々廚X（JR2-42+7?）=326,即J/??”+R=8,解得R=5.

故球。的表面積是4K/?2=100兀.

故選：A.

x+a

12.若存在xe［l,+8）,使得關于x的不等式（1+-|Ne成立，則實數(shù)”的最小值為（）

1

A.2B.---C.In2-1D-白

ln2

【答案】D

X+。會兩邊取對數(shù)可得。+4）111（1+：

【詳解】由［1+:21①,

令l+；=f,則x=",因為xe[l,+8),所以,€(1,2],

-+a\\nt>\t

因為so,.“哈-土

x+a

因為存在xe［l,+8）,使得關于x的不等式。+g

INe成立,

所以存在⑼⑵，去成立，故求*言的最小值即可,

令g⑶=a一白心（1⑵

1,1x(lnx)2-(x-1)2(Inx)2——(Inx)2-x--+2

+不=__YY

X-(lnX)22=22

(x-Dx(x-l)-(lnx)(%-i)(|nx)(x-l)(lnx)

令/?(x)=(lnx)2-X--+2,XG(1,2]

x

II21nx-x+—

/./z'(x)=—21nx-Id-z-=--------------

xxx

令W(x)=21nx-x+—,xw(l,2],

x

,21—x2+2x—1—(x—I)2

..?e*)=一—i一一=----2——=——2—<0，

XX7XX

所以叭X)在(1,2]上單調遞減,所以0(")<奴1)=0,

.?.以無)<0,所以/2(幻在(1,2]上單調遞減，

所以〃(x)v/2(l)=0,「.g'(x)v0,

???g(x)在。,2]上單調遞減，g(x)>g(2)=」一1,

所以實數(shù)。的最小值為

故選：D

第n卷

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知|〃|=2,曲|=2石，a-b=-4,則|a+%|=

【答案】2品

【詳解】由|a|=2,|1|=2，5,“力=-4，

可得|a+昨J(a+6)2=\Ja+h2+2a-h=j4+12+2x(-4)=2夜,

故答案為：2正

41

14.已知x，y都是正數(shù)，且x+y=2,則一F+-7的最小值為

x+2y+1-

9

【答案】一##1.8

5

【詳解】因為3y都是正數(shù),且工+>=2,則（%+2）+（y+l）=5,

x+2y+I1]x+2)+(y+如

則

%+2y+1

=*+筆+注冬+2、*工+2、9

-----7)==，

5x+2y+l5Vx+2y+l5

21

當且僅當生乎="|,結合x+y=2,即1=：，丁=；時取等號，

x+2y+1

9

故答案為：—

15.已知圓f+y?=4上有且僅有四個點到直線12x-5），+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值

范圍是__________

【答案】-13<c<13

【詳解】因為圓d+V=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,

所以原點到宜線12x-5y+c=0的距離為1<r—1=2-1=1,

c

ll<1

由點到直線的距離公式可得河+同

解得一13vcvl3,

故答案為：—13<c<13.

[x-y=tn+\

16.已知f=f-2x+4,x,y滿足,‘，且TWyG,則/的取值范圍是_______

[x+y=3m+3

【答案】[3,12]

x-y=tn+\x=2m+2

【詳解】團,解得

x+y=36+3y—m+\

(3x=2y,

X@-l<y<l,貝Ij-24x42,

對于f=x2-2x+4,可知二次函數(shù)開口向上，時稱軸x=l.

故當x=l時，取至1!最小值G,M=1-2+4=3；

當x=-2時，取到最大值*=4+4+4=12；

故34dl2,即f的取值范圍是[3,12].

故答案為：[3,12].

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.如圖，在二ABC中，點尸在BC邊上，NR4C=6O。，PC=4,AP+AC=8.

⑴求邊AC的長；

⑵若△APB的面積是8君，求sin/BAP的值.

【詳解】（1）在△APC中，設AC=x,

由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2.AP-ACcosAPAC,

則42=d+(8—x)2—2%.(8—x).g,

整理得標2一24/+48=0，

解得匯=4,故AC=4.

(2)因為AC=4,AP+AC=8,

所以AP=4，所以為等邊三角形，則ZBB4=120。,

所以g-APBPsinN3PA=8G,解得BP=8.

在△APH中，由余弦定理得AB?=8尸2+AP2—2?阱?APcosNBPA=112,得A3=4々，

DpAD8_4x/7]

在/MPB中，由正弦定理得..黑即sin/3AP=7F，解得sin/B4尸=4.

18.為了檢測甲、乙兩名工人生產(chǎn)的產(chǎn)品是否合格，一共抽取了40件產(chǎn)品進行測量，其中

甲產(chǎn)品20件，乙產(chǎn)品20件，分別稱量產(chǎn)品的重量（單位：克），記重量不低于66克的產(chǎn)品

為“合格〃，作出莖葉圖如圖：

甲乙

39130

68758010459

7754371248799

874133616

6329565

⑴分別估計甲、乙兩名工人生產(chǎn)的產(chǎn)品重量不低于80克的概率;

⑵根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認為產(chǎn)品是否合格與生產(chǎn)的工

人有關?

甲乙合計

合格

不合格

合計

n^ad-bcy

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

尸(K24,)0.150.100.05

“02.0722.7063.841

【詳解】(1)設工人甲生產(chǎn)的產(chǎn)品重量不低于80克的概率為0,則心=4=",

9

工人乙生產(chǎn)的產(chǎn)品重量不低于80克的概率為攵，則殳=亮

(2)根據(jù)莖葉圖得列聯(lián)表如下:

甲乙合計

合格121729

不合格8311

合計202040

40x(12x3-17x8)-

?3.135>2.706,

20x20x11x29

故判斷有90%的把握認為產(chǎn)品是否合格與生產(chǎn)的」:人有關.

19.四棱錐E—ABCO中，EO上面EBC,AD=ED,底面A8CQ中，AD//BC,

ZBAD=^CBA=90°,AB=BC^2AD.

⑴若點尸在線段8c上，試確定尸的位置，使面QE尸_1面438,并給出證明;

(2)若EF=芯,求四棱錐E-43co的體積.

【詳解】(1)當點尸是BC的中點時，面。面ABCD證明如下:

由點尸是8c的中點，得BF=gBC,又ADHBC,BC=2AD,

所以AD//BF,AD=BF,四邊形ADFB是平行四邊形.

根據(jù)NB4L>=NC54=90。，得四邊形ADFB是矩形，故BC_LDF.

因為EC面EBC,BCu面EBC,所以3C_La)，

因為。DF^\DEF,即u面。EF，

于是BC_Z面￡>￡戶，由于BCu面ABC￡>,因此面DE尸，面ABC￡).

E

(2)因為面DEF，面ABCD，面DEFc面ABCD=DF,

所以過點E作EOJ.Z)/于點。，EOu面Z)EE,則E。_L面ABCZ),￡0的長就是四棱錐

E-43C。的高.

因為￡?，面￡8。.所以E￡>_LEF,在RtADEF中，EF=BDF=AB=2AD=2ED.

由勾股定理，得EF?+ED?=DF?，所以3+EL>2=4￡r>2,

于是E￡>=1,DF=2,根據(jù)EO-￡)F=￡D-EF,得E0=±-.

2

根據(jù)AB=O尸=2,以及BC=/W=2,AD=-AB=l,ZBAD=ZCBA=90°,

2

得四邊形ABCD的面積為SABCD=g(A。+BC)-AB=gx(1+2)x2=3,

因此四棱錐E—ABC。的體積/ABC。=』SMC。xE0=』x3x3=且.

c_zioLtz3/iDCtz322

20.己知對稱軸都在坐標軸上的橢圓C過點A與點8（2,0）,過點（1,0）的直線/與

橢圓C交于P,。兩點，直線BP,BQ分別交直線x=3于E,尸兩點.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵尸后?。天是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

【詳解】（1）設橢圓C的方程為w%2+wy2=i（加>0,〃>o,且

m15〃1

__?____=-1m=—

因為橢圓C過點A與點8(2,0),所以416,解得4.

4〃i=1n=1

所以橢圓C的標準方程為二+）,2=].

4

（2）設直線/：x="+l,2（玉,％），0（孫為）

x=ty+\

由,d2，得（。+1）2+-2-4=0,

—+y2=1

14?

即1+4）y2+2）-3=0,則y+%=_號,x%=

直線BP,磁的方程分別為廣力（x-2）,產(chǎn)會（,一2）.

令％=3,則E3,>1，尸3,

I玉一2%一2）

（y.（3-x）^x（2-yj'

則PE=3-與,止——2-》,

I玉一2J

%（3-々）、

QF=3-X2,

二o

所以PE.QF=（2*）（2-仇）+）喘-嚴一；2）

⑷一職92Tl

=[—6+.4叫"^

_5,+16_5（/+4）-45__1

川產(chǎn)+4）412+4）4Z2+4-

因為r+424,所以0〈工vJ/W?-1<：.

r+444r+44

即PE-QF的取值范圍為1,1^.

所以PE-。戶存在最小值，且最小值為1.

21.已知函數(shù)/（X）=-x?+2（，〃+l）x-2，〃lnx,xe（0,+<?）.

⑴討論〃x）的單調區(qū)間；

⑵當機“時，試判斷函數(shù)/（X）的零點個數(shù)解：

【詳解】（1）求導得f'M=_2（±1）（口.

X

當帆VO時，由戶")>0可知0<x<l；由r(x)<0可知X>1；

當0<，"<1時，由/<勾>0可知m<x<l；由/'(x)<0可知x>l或0cx<m；

當〃?=1時，/,(x)<0；

當R>1時，由制x)>0可知I<x<a；由/'(x)<0可知或0cxe1.

綜上可得，當aMO時，“X)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,y)；

當0<加<1時，的單調遞增區(qū)間為(見1),單調遞減區(qū)間為(0,〃?)，(1,—)；

當，”=1時，f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,+8),無單調遞增區(qū)間；

當卬>1時,〃力的單調遞增區(qū)間為(1,溫)，單調遞減區(qū)間為(0,1),(門內).

(2)①當〃?=0時，/(x)=-x2+2x,令/(x)=0,得x=2或0,

又x>0,所以〃x)僅有1個零點；

②當m=l時，/(x)在(。,用)上單調遞減，又/(1)=3>0,〃4)=—21n4<0,

所以f(x)僅有1個零點：

③當0<“<1時，/(x)在(0,加)，(1,用)上單調遞減，在(見1)內單調遞增，

又/(，〃)=〃?+>0,/(2/T7+2)=-2wln(2w+2)<0,所以函數(shù)/(x)僅有1個零

點；

④當勿>1時，/(x)在(0,1),(皿3)上單調遞減，在(1,加)內單調遞增，又/(1)=2〃?+1>0,

/(2m+2)=-2m\n(2m+2)<0,所以/(x)僅有1個零點，

綜上可知，機±0時，函數(shù)/(X)有且僅有1個零點.

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做

的第一個題目計分.