2023年高考數(shù)學(xué)第51講 三角參數(shù)繁化簡

第51講三角參數(shù)繁化簡，柳暗花明觀勝景

一、知識聚焦

參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，在解析幾何對圓、橢圓、雙曲線問題的探究

中，如果引進(jìn)三角參數(shù)，可以把原來的多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，從而簡化解題過

程，出現(xiàn)柳暗花明的勝景.

圓、橢圓、雙曲線的參數(shù)方程，實(shí)質(zhì)也是三角換元法.

x=a+rcos6,(6為參數(shù),0,$0<21).

(1)圓(x—a)?+(y_8)2=r2

y=b+rsinO

(2)橢圓三+==1(。>。>0)={x=acos(。為參數(shù),0蒯6<2兀).

(x-h)2(v-k)2[x=h+acosO,

橢圓^~=+"J=l(a>"0)o《(6為參數(shù),0,W6<2%).

ab"+

(3)雙曲線j-==l(a〉0,b〉0)o《x=asec。，。為參數(shù),0,$。<2萬,。7々。7二).

a2b-[I22

雙曲線(1"-C'3=l(a>0,b>0)=戈="+as,。*(。為參數(shù),0髭。<2不,且

aby=k+/7tan6,

zi兀八3兀

0豐一、8豐——),

22

二、精講與訓(xùn)練

［核心例題】1⑴若實(shí)數(shù)x,y滿足V+丁一?-4y-1=0,求使x-y+m>G恒成立的實(shí)

數(shù)"？的取值范圍.

(2)如圖51-1所示，已知P是圓f+y2=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)42,0)的對稱點(diǎn)為Q.

點(diǎn)P繞圓心。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)］到達(dá)R點(diǎn),問當(dāng)點(diǎn)尸在圓上不同位置時(shí)，線段QR的長度的最大

值和最小值各是多少？一

圖51-1

(3)如圖51-2所示,已知圓0:/+丁=64,過圓內(nèi)一點(diǎn)P(3,4)作兩條相互垂直的射線與圓

0分別交于點(diǎn)Q,S,以PQ,PS為鄰邊作矩形PQRS，求矩形頂點(diǎn)R的軌跡.

圖51-2

【解題策略】

第(1)、第(2)問,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)已知圓上或它的軌跡是圓時(shí)，若所要解決的問題與最值或范圍

有關(guān),則可考慮運(yùn)用圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解.第(3)問，若用普通方程直接解,

多個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)使解題過程比較復(fù)雜，若將普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，將原問題轉(zhuǎn)化為三角問

題,通過三角變換就能較為順利地求出軌跡方程并判定其表示何種曲線.

解:(1)由于點(diǎn)(x,y)滿足圓方程，故可以考慮運(yùn)用圓的參數(shù)方程，

X2+y2-4x-4y-l=0可化為(X-2)2+(J-2)2=9.

實(shí)數(shù)7兩足—+J-1=0,可設(shè)1(0W夕＜24)

[y=2+3sin。

于是x-y+機(jī)＞0等價(jià)于/?i＞3sine-3cos

而35擊。一38$6=3五5布]。-5)當(dāng)機(jī)＞3＞/^時(shí),％-丁+機(jī)＞0恒成立.

即實(shí)數(shù)次的取值范圍為(3五,+8).

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(cossin6),0G[0,24)，由題意得點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4-cos。，一sin，)，

點(diǎn)R的坐標(biāo)為(一sin仇cos6).

.1QR1=J(4一cos0+sin夕[+(—sin，一cos夕尸=J18+8(sin6-cose)=Jl8+80sin(6一j

o

當(dāng)6=日時(shí),|QR1n1ax=J18+8亞=4+0;

當(dāng)/=彳時(shí)，|QR[u1n=J18-8我=4一0.

x=8cos。

⑶設(shè)圓的參數(shù)方程為\八(°4夕v2萬).

y=8sin6

設(shè)Q(8cosa,8sina),S(8cos0,8sinp)，頂點(diǎn)R(x,y),

則PQ=(8cosa-3,8sina-4),PS=(8cos3,8sin/?-4).

由四邊形PQRS為矩形，可知PQPS=U,

/.(8coscr-3)(8cosJ3-3)+(8sina-4)(8sin尸-4)=0,

64(sinasin/?+cosacos/?)-32(sina+sin尸)一24(cosa+cos/7)+25=0,①

又依的中點(diǎn)與QS的中點(diǎn)重合.

:有x+3=8cosa+8cosJ3=>cosa+cos，=一(x+3),②

y+4=8sina+8sin/?—>sina+sinQ=-(y+4),③

8

于是由(2>+(3次得cosacos/?+sinasin0=^^[(x+3)2+(y+4尸]-1,④

將②③④均代人①，得

g[(x+3)2+(y+4)2]—64—4(>+4)—3(x+3)+25=0,即/+/=103.

又當(dāng)射線PQ，x軸時(shí),4=±764-16=±748,乂=±J64-9=士屈.

即R(±A，土后)，此時(shí)|OR『=103,

「。_1無軸時(shí),同樣有|。?|2=103.

綜上所述，矩形頂點(diǎn)R的軌跡為一個(gè)圓心在原點(diǎn),半徑為J而的圓，軌跡方程為

x2+y2=103.

變式訓(xùn)練

1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)A(2,0),曲線y=上動(dòng)點(diǎn)B,第一象限內(nèi)的點(diǎn)。，構(gòu)

成等腰Rt_A8C,且ZA=90°,則|OC|的最大值是.

變式訓(xùn)練

2已知矩形ABCD的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,4),點(diǎn)A在曲線f+J?=9(X..O,y>0)上移動(dòng)，

分別與x軸,y軸平行，求矩形面積的最小值，并求出面積取得最小值時(shí)

點(diǎn)A的坐標(biāo).

【核心例題】2(1)已知A(a,0),3(0,0)為橢圓=l(a>〃>0)的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),

P為橢圓上一點(diǎn)，直線Q4與y軸相交于點(diǎn)M，直線PB與X軸相交于點(diǎn)N.求

(2)已知A,B是橢圓;+r=1上的兩點(diǎn),且滿足SAOB=手,。為AB的中點(diǎn)，射線OD交

橢圓于點(diǎn)P,OP=MD，求正實(shí)數(shù);I的值.

【解題策略】

第(1)問，利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，再利用向量的三點(diǎn)共線知識并結(jié)合三角

式的運(yùn)算求解；第(2)問，利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，結(jié)合三角形面積的坐標(biāo)公式

5=｝西)，2-々Ml轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，通過三角恒等變形輕松得解.真可謂：三角參數(shù)繁

化簡，柳暗花明現(xiàn)勝景。

【解】⑴設(shè)A(a,0),8(0,份,P(acos0,hsin，),M(0,in),N(〃,0),

則AP=(6r(cos0-l),Z?sin0),AM=(一.

bsin0

由A,P,M三點(diǎn)共線得a/x(cos，—1)+aZ?sine=0,即m=------

1-COS0

。|sin。+cos。-11

BM|=

1-cos01一cos。

又BP=(acos&仇sin9fBN=(〃,—8)，

由B,P,N三點(diǎn)共線得Z?n(sin8—1)+abcos6=0,即〃=

acosOo|sinO+cosJ-l|

.1AN|=------------ci

1—sin。l-sin/9

f…?Z?|sinJ+cos夕一116f|sin^+cos0-l|八.

BM||AN|=---------------------Lx-----------------------=lab.

l-cos01-sin。

⑵設(shè)A(>/2cosa,sina、,cos0,sin/),

由SAOB=gki%一%2丁11得SAOS=等Isin(a—7?)1=乎，/.|sin(a-/7)|=

D孝(cosa+cos/),g(sina+sin/7),0尸=4。。.

(正2

/.P—2(cosa+cos/?),―(sina+sin/3)

代入x2+2_]得a2(cosa+cos￡尸+A2(sina+sin/?)2

T+>-4+4~

A2[2+2cos(a-/?)]=4(/1>0),

hi

由|sin(a-/?)|=—Wcos(a-/?)=±—.

若cos(a-/)=」，貝ij%2=3,即4=2;若cos(a-/?)=-』,則分=4,即;1=2.

23V32

,2

綜上,4=2,或2=-j=.

變式訓(xùn)練

x221

1.橢圓二+2=1上有兩點(diǎn)P,Q,O為原點(diǎn)，連接OPQQ,kOPkOQ=一一.

1644

⑴證明：|02|2+|。。|2等于定值.

(2)求線段P。中點(diǎn)M的軌跡方程.

變式訓(xùn)練

2已知耳，尸2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且NF|Pg=；7T，則橢圓和

雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）.

4石2百

A.------B.------C.3D.2

33

【核心例題】3（1）在雙曲線V—2y2=2上，求一點(diǎn)尸，使它到直線x+y=0的距離最短，

并求出這個(gè)最短距離.

⑵設(shè)尸為等軸雙曲線/一V=1上的點(diǎn)，耳，死為兩個(gè)焦點(diǎn)證明:忻周gpRw『

【解題策略】

第（1）問，對所給雙曲線進(jìn)行三角換元，即動(dòng)點(diǎn)P為三角形式，將點(diǎn)到直線距離所得等式

轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并用判別式法求d的最小值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；第（2）問，利用雙曲

線的參數(shù)方程F=sec?,（。為參數(shù)，0?。＜2加且夕工工，。二至），并對等式左、右兩

[y=tan?22

邊所得三角式化簡可證。

2

⑴解:設(shè)雙曲線，-＞2=]上一點(diǎn)p的坐標(biāo)為（及secatane）（O”。＜2萬且

亡上也.Iv2sectanIV2+sin

則它到直線x+y=0的距圖為d=------7=-----------=￡=----------,

V2V2|cos^|

從而d1-2+2夜sin?；sin9，整理得0+26/2^sin20+2后sin夕+2（1-d?）=0,

■.?sin6是實(shí)數(shù),,A=（2夜了—80-屋）（1+2屋）Q，解得cl當(dāng).

也時(shí)，sin。=2夜旦二。餐或主.

當(dāng)4=

22x1l+2x；2