經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》期末試卷一(含答案解析)

1/7《線性代數(shù)》期末試卷一一．選擇題（每題3分，共30分）1.如果行列式，則行列式（）A.B.C.D.【解答】由行列式的性質(zhì)可知，將中每行（或者每列）的公因子3提取出來(lái)即可得行列式，故的值為，選C.2.（）.A．1B．2C．-3D．0【解答】對(duì)于型的行列式，可直接套用公式于是直接計(jì)算可得本題答案為，故選C.3.設(shè)是階非零矩陣，為階單位矩陣.若，則（）.A.不可逆，不可逆B.不可逆，可逆C.可逆，可逆D.可逆，不可逆【解答】顯然，，故而選C.此題亦可從特征值入手：的特征值顯然均為0，故的特征值必均為，的特征值必均為，故而其均可逆.故選C.4.向量組線性相關(guān)的充要條件是（）A．存在一組數(shù)，使得成立.B．中至少有兩個(gè)向量成比例C．中至少有一個(gè)向量可以被其余個(gè)向量線性表示D．中任意一個(gè)部分向量組線性相關(guān)【解答】本題考察線性相關(guān)的定義.事實(shí)上，選項(xiàng)A中若添加條件“常數(shù)不全為零”，則變?yōu)榫€性相關(guān)的定義；選項(xiàng)B和選項(xiàng)D均為充分條件而非必要條件，即由其可推得該向量組線性相關(guān)，但反之不成立.故本題選C.5.已知向量組，，的秩為2，則數(shù)=（）.A.1B.2C.3D.4【解答】顯然，于是可知，故選C.6.若非齊次線性方程組有唯一解，則（）.A．或B.C.D.且【解答】對(duì)于方程數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的非齊次線性方程組，其有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)行列式非零，故計(jì)算其系數(shù)行列式可知選D.7.設(shè)為階實(shí)矩陣，且中某元素的代數(shù)余子式，則的基礎(chǔ)解系中所含向量個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.【解答】由于代數(shù)余子式，說(shuō)明有一個(gè)級(jí)子式非零，故其秩至少為，進(jìn)而由于可知秩為.故而的基礎(chǔ)解系中所含向量個(gè)數(shù)1.選A.8.設(shè)為三階矩陣，為可逆陣,滿足，則（）A.B.C.D..【解答】事實(shí)上，由于為對(duì)角矩陣可知，的列向量組必為的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且顯然依次分別為三個(gè)主對(duì)角線元素的特征向量，于是，故應(yīng)選B.9.矩陣與相似的充分必要條件是（）.A.B.為任意常數(shù)；C.D.為任意常數(shù).【解答】易知為對(duì)角陣，故與相似當(dāng)且僅當(dāng)與具有相同的特征值，即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)奶卣髦禐?易求得當(dāng)時(shí)，的特征矩陣滿足，即此時(shí)的特征值恰為，故選B.10.設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若矩陣滿足則二次型經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形（）.A.B.C.D.【解答】由可知的特征值必為.和.進(jìn)而可知標(biāo)準(zhǔn)形必形如.故選B.二．填空題（每題3分，共18分）1．多項(xiàng)式方程的根為【解答】本題并不需要將此行列式的值計(jì)算出來(lái).事實(shí)上，易知其為4次方程，故有4個(gè)根.一方面，顯然當(dāng)，即時(shí)，行列式前兩行對(duì)應(yīng)成比例，故值為零，即為其兩個(gè)根；另一方面，當(dāng)，即時(shí)，行列式后兩行對(duì)應(yīng)成比例，故值為零，即為其另兩個(gè)根.綜上可知，所求多項(xiàng)式之根為.2．矩陣的非零特征值為.【解答】由計(jì)算可知，或者（舍去）.于是答案為.3.二次型的矩陣是_______.【解答】應(yīng)當(dāng)注意到并非對(duì)稱(chēng)矩陣，因此不是該二次型的矩陣.將該二次型的表達(dá)式展開(kāi)，即可得出其矩陣為.4.設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，則的取值范圍是.【解答】利用配方法.，因?yàn)槎涡偷呢?fù)慣性指數(shù)為1，所以，即，故應(yīng)填.5.若二次曲面的方程經(jīng)正交變換化為，則=.【解答】本題等價(jià)于將二次型經(jīng)正交變換后化為，則二次型的特征值為1,4,0，二次型的矩陣，可知，得.故應(yīng)填.6.設(shè)階矩陣的各行元素之和為零，且的秩為，則線性方程組的通解為_(kāi)____.【解答】一方面由的秩為，可知的基礎(chǔ)解系中含向量個(gè)數(shù)為1，另一方面顯然有，故為其非零解，進(jìn)而構(gòu)成基礎(chǔ)解系，故答案為。三．解答題（1-4每題10分，第5題12分，共50分）1.設(shè)矩陣是的逆矩陣，求，其中為3階單位陣.【解答】,故..2.討論向量組,,的線性相關(guān)性.【解答】設(shè)矩陣,其行列式.(1)當(dāng)時(shí)，,其列向量組線性相關(guān);(2)當(dāng)時(shí)，,其列向量組線性無(wú)關(guān).3.設(shè)矩陣，，且方程組無(wú)解.(1)求的值；(2)求方程組的通解.【解答】(1)對(duì)方程組的增廣矩陣做初等行變換由于方程組無(wú)解，知，從而且，解得.(2)當(dāng)時(shí)，易知，此時(shí)對(duì)方程組的增廣矩陣做初等行變換如下：，其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的同解方程組為其基礎(chǔ)解系為.此時(shí)其對(duì)應(yīng)的非齊次方程組的同解方程組為其一個(gè)特解為，故方程組的通解為，其中.4.設(shè)二次型的正慣性指數(shù)為1,負(fù)慣性指數(shù)為2,試確定的取值范圍.【解答】二次型的矩陣為，由，得，因?yàn)槎涡偷恼?fù)慣性指數(shù)為1，2，所以5.設(shè)矩陣相似于矩