福建莆田秀嶼下嶼中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題含解析

福建莆田秀嶼下嶼中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3．已知函數(shù)且，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.4．是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.5．已知集合，則（）A B.C. D.6．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.7．已知集合，，，則A. B.C. D.8．若，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.或C.或 D.9．已知在海中一孤島的周圍有兩個觀察站，且觀察站在島的正北5海里處，觀察站在島的正西方.現(xiàn)在海面上有一船，在點測得其在南偏西60°方向相距4海里處，在點測得其在北偏西30°方向，則兩個觀察站與的距離為A. B.C. D.10．設(shè)平面向量滿足，且，則的最大值為A.2 B.3C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．直線與直線的距離是__________12．扇形的半徑為2，弧長為2，則該扇形的面積為______13．若，且α為第一象限角，則___________.14．已知冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)_______15．已知冪函數(shù)（為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點，則__________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知，向量，，記函數(shù)，且函數(shù)的圖象相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有三個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.17．已知有半徑為1，圓心角為a（其中a為給定的銳角）的扇形鐵皮OMN，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁剪出一個矩形.方案1：如圖1，裁剪出的矩形ABCD的頂點A，B在線段ON上，點C在弧MN上，點D在線段OM上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點P，S分別在線段OM，ON上，頂點Q，R在弧MN上，并且滿足PQ∥RS∥OE，其中點E為弧MN的中點.（1）按照方案1裁剪，設(shè)∠NOC=，用表示矩形ABCD的面積S1，并證明S1的最大值為；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積S2的最大值，并與（1）中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.18．已知A(2,0)，B(0,2)，，O為坐標(biāo)原點（1），求sin2θ的值；（2）若，且θ∈(－π,0)，求與的夾角19．已知定義在R上的函數(shù)（1）若，判斷并證明的單調(diào)性；（2）解關(guān)于x的不等式.20．已知的內(nèi)角滿足，若，且，滿足：，，，為，的夾角，求21．已知.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)的最值并寫出取最值時自變量的值；（3）若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、C【解析】轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題分析【詳解】即分別畫出和的函數(shù)圖像，則兩圖像有4個交點所以，即故選：C2、D【解析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化簡已知條件，再結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】因為，由可得：，即，所以，所以，所以或，因為，，所以或，所以的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選：D.3、B【解析】易知函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，則可化為，則即可解得a的范圍.【詳解】函數(shù)，定義域為，滿足，∴，令，∴，∴為奇函數(shù)，，∵函數(shù)，在均為增函數(shù)，∴在為增函數(shù)，∴在為增函數(shù)，∵為奇函數(shù)，∴在為增函數(shù)，∴，解得.故選：B.4、C【解析】根據(jù)對數(shù)的運算法則，得到，結(jié)合偶函數(shù)的定義以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到自變量的大小，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性，得到函數(shù)值的大小，得到選項.【詳解】，而，因為是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，故選：C.5、D【解析】利用元素與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】由集合，即集合是所有的偶數(shù)構(gòu)成的集合.所以，，，故選：D6、A【解析】首先由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，所以因為在上單調(diào)遞增，所以即故選：A7、D【解析】本題選擇D選項.8、D【解析】判斷出，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】因，所以，即.所以，解得.故選：D【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了基本運算求解能力，屬于簡單題.9、D【解析】畫出如下示意圖由題意可得，，又，所以A,B,C,D四點共圓，且AC為直徑、在中，,由余弦定理得，∴∴（其中為圓的半徑）.選D10、C【解析】設(shè)，∵，且，∴∵，當(dāng)且僅當(dāng)與共線同向時等號成立，∴的最大值為．選C點睛：由于向量，且，因此向量確定，這是解題的基礎(chǔ)也是關(guān)鍵．然后在此基礎(chǔ)上根據(jù)向量模的三角不等式可得的范圍，解題時要注意等號成立的條件二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】12、2【解析】根據(jù)扇形的面積公式即可求解.【詳解】解：因為扇形的半徑為2，弧長為2，所以該扇形的面積為，故答案為：2.13、【解析】先求得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因為，又為第一象限角，所以，，故.故答案為：.14、-1【解析】利用冪函數(shù)的定義列出方程求出m的值，將m的值代入函數(shù)解析式檢驗函數(shù)的單調(diào)性【詳解】∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是冪函數(shù)∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1當(dāng)m=6時，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不滿足在（0，+∞）上為減函數(shù)當(dāng)m=﹣1時，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1滿足在（0，+∞）上為減函數(shù)故答案為m=﹣1【點睛】本題考查冪函數(shù)的定義：形如y=xα（其中α為常數(shù)）、考查冪函數(shù)的單調(diào)性與冪指數(shù)的正負(fù)有關(guān)15、3【解析】設(shè)，依題意有，故.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）.（2）【解析】（1）化簡的解析式，并根據(jù)圖象相鄰兩對稱軸間的距離求得.（2）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)零點分布的知識，列不等式組來求得的取值范圍.【小問1詳解】，由于函數(shù)的圖象相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，所以.【小問2詳解】，或，，，所以直線是的對稱軸.依題意，關(guān)于的方程在上有三個不相等的實數(shù)根，設(shè)，則，設(shè)，則的兩個不相等的實數(shù)根滿足①或②，對于①，，此時，由解得，不符合.對于②，，即.所以的取值范圍是.17、（1），證明見解析；（2），方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】（1）分別用含有的三角函數(shù)表示，寫出矩形的面積，利用三角函數(shù)求最值；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)對稱性知，矩形的最大面積為，然后利用作差法比較大小即可【小問1詳解】在圖1中，，，，，，，當(dāng)時，矩形最大面積為，得證.【小問2詳解】在圖（2）中，設(shè)與邊，分別交于點，，由（1）的結(jié)論，可得矩形的最大面積為，根據(jù)對稱性知，矩形的最大面積為.因為為銳角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形，其最大面積為.18、（1）；（2）【解析】分析：(1)先根據(jù)向量數(shù)量積得sinθ＋cosθ值，再平方得結(jié)果，(2)先根據(jù)向量的模得cosθ，即得C點坐標(biāo)，再根據(jù)向量夾角公式求結(jié)果.詳解：(1)∵＝(cosθ，sinθ)－(2,0)＝(cosθ－2，sinθ)，＝(cosθ，sinθ)－(0,2)＝(cosθ，sinθ－2)，＝cosθ(cosθ－2)＋sinθ(sinθ－2)＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ)＝－∴sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－1＝－.(2)∵＝(2,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴＋＝(2＋cosθ，sinθ)，∵|＋|＝，所以4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7，∴4cosθ＝2，即cosθ＝.∵－π＜θ＜0，∴θ＝－，又∵＝(0,2)，＝，∴cos〈，〉＝，∴〈，〉＝.點睛：向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，通過解三角求得結(jié)果.19、（1）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增；證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求出的值，即可得函數(shù)的解析式，利用作差法分析可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，，即，求出的取值范圍，按的取值范圍分情況討論，求出不等式的解集，即可得答案【小問1詳解】若，則a=3，，在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增；證明如下：任取，，且.則，根據(jù)單調(diào)遞增的定義可知在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增；【小問2詳解】由，即，即，得，當(dāng)a>1時，的解為；當(dāng)0<a<1時，的解為.綜上所述，當(dāng)a>1時，原不等式的解為；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解為.20、【解析】本題主要是考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)和三角函數(shù)中恒等變換的綜合運用．先利用得到cosB,然后結(jié)合向量的數(shù)量積公式以及兩角和的正弦公式得到結(jié)論.【詳解】解：由題意得：，即又又是的內(nèi)角，故可知又21、（1）；（2）當(dāng)