第3章 勾股定理（單元測試·拔尖卷）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

第3章勾股定理（單元測試·拔尖卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．我國古代的數(shù)學(xué)家曾寫下了許多數(shù)學(xué)名著，這些數(shù)學(xué)著作是了解古代數(shù)學(xué)成就的豐富寶庫，其中有不少成就在世界范圍內(nèi)處于遙遙領(lǐng)先的地位.下列數(shù)學(xué)名著與其內(nèi)容搭配不正確的一項是（）A．《周髀算經(jīng)》勾股定理 B．《九章算術(shù)》負(fù)數(shù)的概念和正負(fù)數(shù)的運(yùn)算C．《海島算經(jīng)》三斜求積術(shù) D．《孫子算經(jīng)》

雞兔同籠2．在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．古希臘哲學(xué)家柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17…若此類勾股數(shù)的勾為（，m為正整數(shù)），則其弦（結(jié)果用含的式子表示）是（）A． B． C． D．3．如圖，與均為直角三角形，且，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則的長為（）

A． B． C．2 D．34．將一個等腰三角形紙板沿垂線段，進(jìn)行剪切，得到三角形①②③，再按如圖2方式拼放，其中與共線．若，則的長為（）A． B． C． D．75．有一個著名的希波克拉蒂月牙問題，如圖：以AB為直徑作半圓，點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓弧向點(diǎn)B方向運(yùn)動（與點(diǎn)A、B不重合），連接AC、BC，以AC、BC為直徑分別向外作半圓，將圍成兩個月牙形（陰影部分），面積分別為和，在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，與之和的變化情況是（）A．一直增大 B．一直減少 C．一直不變 D．先增大后減小6．如圖，已知長方形紙板的邊長，，在紙板內(nèi)部畫，并分別以三邊為邊長向外作正方形，當(dāng)邊、和點(diǎn)K、J都恰好在長方形紙板的邊上時，則的面積為（）A．6 B． C． D．7．如圖，BH是△ABC的角平分線，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分別是BH和AB上的任意一點(diǎn)，連接PA，PC，PD，CD．給出下列結(jié)論：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，則△APH的面積為12．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④8．小明發(fā)現(xiàn)墻上有四邊形涂鴉，如圖，，，，現(xiàn)在小明想用一個最小的圓形紙板對其完全遮蓋，則此圓形紙板的直徑為（）A． B． C． D．9．如圖是一個卡通頭像，其臉部是正方形，帽子右側(cè)是以為斜邊的，帽子左側(cè)是．若，則正方形的邊長為（）A． B． C．12 D．1310．中國古代稱直角三角形為勾股形，如果勾股形的三邊長為三個正整數(shù)，則稱三邊長叫“勾股數(shù)”；如果勾股形的兩直角邊長為正整數(shù)，那么稱斜邊長的平方叫“整弦數(shù)”對于以下結(jié)論：①20是“整弦數(shù)”；②兩個“整弦數(shù)”之和一定是“整弦數(shù)”；③若c2為“整弦數(shù)”，則c不可能為正整數(shù)；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均為正整數(shù)，則m與n之積為“整弦數(shù)”；⑤若一個正奇數(shù)（除1外）的平方等于兩個連續(xù)正整數(shù)的和，則這個正奇數(shù)與這兩個連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)”．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，是一塊等腰三角形空地示意圖量得，，若從點(diǎn)B向鋪設(shè)一條輸水管道，則管道的最小長度是m．

12．如圖，將兩個完全相同的含的直角三角板疊放在一起，已知每個三角板的面積為8，則．13．如圖，把四邊形EDFB紙片分別沿AB和DC折疊，恰好使得點(diǎn)E和點(diǎn)D、點(diǎn)F和點(diǎn)B重合，在折疊成的新四邊形ABCD中，，，則的面積是．14．如圖，在長方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AE，以AE為對稱軸作△ABE的軸對稱圖形△AB′E，延長EB′恰好經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為E，交AB′于點(diǎn)F，已知AB＝9，AD＝15，則EF＝．15．在矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，將矩形沿折疊，折疊后點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接并延長，分別交，于，兩點(diǎn)若，，，則的長為．

16．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關(guān)系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點(diǎn)M是DE上一個動點(diǎn)，則線段CM長的最小值為．17．在矩形ABCD中，M為BC中點(diǎn)，連結(jié)AM，將△ACM沿AM翻折至△AEM，連結(jié)CE，BE，延長AM交EC于F，若，則BE＝．18．四個全等的直角三角形按如圖方式拼成正方形，將四個直角三角形的短直角邊（如）向外延長，使得，連接得四邊形連接．已知是的中點(diǎn)，和的面積之比為，四邊形的面積為，則四邊形的面積是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．①求證：；②若，，求的長．（結(jié)果可以保留根號不化簡）20．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．(1)如圖1，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)C恰好落在AB邊上，求CD的長；(2)如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求證：AE＝AC；(3)如圖3，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱為點(diǎn)C′，是否存在異于圖1的情況的C′、B、D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請直接寫出BC′長；若不存在，請說明理由．21．（10分）【問題提出】數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我們繼續(xù)對“兩個直角三角形滿足一條直角邊和周長分別相等”的情形進(jìn)行研究．【問題解決】（1）如圖①，在和中，，，和的周長相等．求證．（Ⅰ）根據(jù)小紅的思考，請將小紅的解答過程補(bǔ)充完整；小紅的思考設(shè)，的周長的周長，．在中，根據(jù)勾股定理，得______，解得；同理可得．由此可得．又，根據(jù)______，可以知道．（Ⅱ）根據(jù)小明的思考，請繼續(xù)完成小明的證明；小明的思考如圖②，在和中，分別延長，至G，H，使得，，連接．【問題拓展】（2）如圖③，已知線段m，n．用直尺和圓規(guī)求作一個，使，，的周長為n．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（3）下列命題是真命題的有______．（填寫所有正確的選項）A、斜邊和周長分別相等的兩個直角三角形全等B、斜邊和面積分別相等的兩個直角三角形全等C、一個銳角和周長分別相等的兩個直角三角形全等D、斜邊和斜邊上的中線分別相等的兩個直角三角形全等22．（10分）閱讀材料：面積是幾何圖形中的重要度量之一，在幾何證明中具有廣泛應(yīng)用．出入相補(bǔ)原理是中國古代數(shù)學(xué)中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，它包含以下基本內(nèi)容：一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和．基于以上原理，回答問題：(1)把邊長為8的正方形按圖1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把圖形重新拼成圖2中長為13，寬為5的長方形；(2)如圖3，a，b，c分別表示直角三角形的三邊，比較大?。篴2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；(3)觀察圖4，寫出（ac＋bd）2與（a2＋b2）（c2＋d2）的大小關(guān)系：______．23．（10分）定義：一組對角互補(bǔ)，且對角線平分其中一個內(nèi)角，稱四邊形為余缺四邊形．如圖1，四邊形，，平分，則四邊形為余缺四邊形．【概念理解】(1)用（填序號）一定可以拼成余缺四邊形．①兩個全等的直角三角形，②兩個全等的等邊三角形；(2)如圖1，余缺四邊形，平分，若，，則；【初步應(yīng)用】如圖2，已知△ABC，∠BAC的平分線AP與BC的垂直平分線交于P點(diǎn)，連接PB、PC．(3)求證：四邊形ABPC為余缺四邊形；(4)若，，則的值為．【遷移應(yīng)用】(5)如圖3，，等腰的B、C兩點(diǎn)分別在射線上，且斜邊(P、A在兩側(cè))，若B、C兩點(diǎn)在射線、上滑動時，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變化，請說明理由；若變化，直接寫出面積的最大的值．24．（12分）已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如圖1：連AM，BN，求證：AOM≌BON；（2）若將RtMON繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，M，N恰好在同一條直線上時，如圖2所示，線段OH//BN，OH與AM交點(diǎn)為H，若OB＝4，ON＝3，求出線段AM的長；（3）若將MON繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)N恰好落在AB邊上時，如圖3所示，MN與AO交點(diǎn)為P，求證：MP2+PN2＝2PO2．參考答案1．C【分析】三斜求積術(shù)是宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出來的，由此判斷即可．解：∵《周髀算經(jīng)》勾股定理是正確的，∴A不符合題意；∵《九章算術(shù)》負(fù)數(shù)的概念和正負(fù)數(shù)的運(yùn)算是正確的，∴B不符合題意；∵三斜求積術(shù)是宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出來的，∴C符合題意；∵《孫子算經(jīng)》

雞兔同籠是正確的，∴D不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)文化中的著作與典型知識點(diǎn)，熟練掌握數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)題意得為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．解：∵m為正整數(shù)，∴為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為，根據(jù)勾股定理得，，解得，∴弦是，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)勾股定理和已知條件可得，，證明，得出，求出，利用勾股定理求出，即可得出答案.解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，，設(shè)的延長線交于點(diǎn)F，如圖，則，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∴，則在直角三角形中，，∴；故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.4．B【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可以得到，設(shè)為，再運(yùn)用勾股定理得，代入解方程即可解題．解：如圖，設(shè)為，為，為，圖2中的余角為，為等腰三角形，，，，，，結(jié)合兩圖，可得，設(shè)為，根據(jù)勾股定理得，，解得：，，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，識別圖形找等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】利用+兩個半圓的面積作為總面積，則=總面積–大半圓面積，設(shè)的半徑分別為，將所求面積用總面積–大半圓面積表示出來后，再變形為與圓半徑關(guān)系最簡的式子即可判斷．解：如圖：設(shè)的半徑分別為，總面積為：，是直角三角形，，，=總面積–大半圓面積=（h為三角形AB邊上的高）在C運(yùn)動過程中有：h先增大后減小，故與之和的變化情況是先增大后減小，故選：D【點(diǎn)撥】本題考查用規(guī)則圖形表示不規(guī)則圖形的面積的方法，能靈活用各規(guī)則圖形表示總面積，再用總體面積減去已知圖形面積表示所求不規(guī)則圖形面積并變形為顯然的式子是關(guān)鍵．6．A【分析】延長CA與GF交于點(diǎn)N，延長CB與EF交于點(diǎn)P，設(shè)AC=b，BC=a，則AB=，證明△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，再利用長方形DEFG的面積=十個小圖形的面積和進(jìn)而求得ab=12，即可求解．解：延長CA與GF交于點(diǎn)N，延長CB與EF交于點(diǎn)P，設(shè)AC=b，BC=a，則AB=，∵四邊形ABJK是正方形，四邊形ACML是正方形，四邊形BCHI是正方形，∴AB=BJ，∠ABJ=90°，∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=∠JBP，∵∠ACB=∠BPJ=90°，∴△ABC≌△BJK（AAS），同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a，∵DE=10，EF=11，∴2b+a=10，2a+b=11，∴a+b=7，∴a2+b2=49-2ab，∵長方形DEFG的面積=十個小圖形的面積和，∴10×11=3ab+ab×4+a2+b2+()2，整理得：5ab+2(a2+b2)=110，把a(bǔ)2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110，∴ab=12，∴△ABC的面積為ab=6，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形和直角三角形．7．A【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可判定①，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷②，當(dāng)CD⊥AB時，PA+PD的值最小，求出CD的值即可③，如圖：過點(diǎn)P作PT⊥AB于T，再說明△PAT≌△PAH可得AT＝AH＝6、PT＝PH，設(shè)PT＝PH＝x，然后運(yùn)用勾股定理求得x，最后求得△APH的面積即可判定④．解：∵BA＝BC，BH是角平分線，∴BH⊥AC，AH＝CH，∴PA＝PC，故①正確，∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正確，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB時，即C，P，D共線時，PA+PD的值最小，最小值為CD，在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝＝＝8，∵?AB?CD＝?AC?BH，∴CD＝＝，∴PA+PD的最小值為，故③正確，如圖，過點(diǎn)P作PT⊥AB于T．在△PAT和△PAH中，，∴△PAT≌△PAH（AAS），∴AT＝AH＝6，PT＝PH，設(shè)PT＝PH＝x，在Rt△PTB中，則有（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴S△APH＝×AH×PH＝×3×6＝9，故④錯誤，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對稱最短問題、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，證明BH垂直平分線段AC以及靈活參數(shù)構(gòu)建方程解決問題成為解答本題的關(guān)鍵．8．D【分析】過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出，再證明得，從而進(jìn)一步可得結(jié)論．解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，如圖，在中，，在中，，∴∵，∴設(shè)，則，∴解得，,∴,∴；在中，，在中，，設(shè)，則同理可得，，解得，，∴∴∴又，∴，∴，又，∴，∴，∴∵，∴最小的圓形紙板的直徑應(yīng)當(dāng)為才能完全遮蓋四邊形，故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．9．D【分析】過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，證明得，再跟進(jìn)三角形面積之和為60，得出的方程，求得，最后跟進(jìn)勾股定理求得結(jié)果．解：過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，即，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．10．C【分析】①根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解；②根據(jù)定義舉出反例即可求解；③根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解；④先求出m與n之積，再根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解；⑤先設(shè)一個正奇數(shù)（除1外）為2n+1（n為正整數(shù)），進(jìn)一步得到兩個連續(xù)正整數(shù)，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解．解：①∵∴20是“整弦數(shù)”，符合題意；②如5，2是“整弦數(shù)”，∵不是“整弦數(shù)”，∴兩個“整弦數(shù)”之和不一定是“整弦數(shù)”，不符合題意；③若，則，，c2為“整弦數(shù)”，則c為正整數(shù)”，不符合題意；④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均為正整數(shù)，∴m與n之積為“整弦數(shù)”，符合題意；⑤設(shè)一個正奇數(shù)（除1外）為2n+1（n為正整數(shù)），∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于兩個連續(xù)正整數(shù)的和，∴較小的正整數(shù)為2n2+2n，較小的正整數(shù)為2n2+2n+1，∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，∴這個正奇數(shù)與這兩個連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)”，符合題意．故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的綜合運(yùn)用，涉及數(shù)字類變化規(guī)律、整式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識，正確理解“整弦數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．11．【分析】過點(diǎn)D作，從點(diǎn)B向鋪設(shè)一條輸水管道，則管道的最小長度是的長，根據(jù)勾股定理，即可求解．解：過點(diǎn)D作，

從點(diǎn)B向鋪設(shè)一條輸水管道，則管道的最小長度是的長，∵∴在中，，在中，，∴，設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠明確點(diǎn)B向鋪設(shè)一條輸水管道，則管道的最小長度是的長．12．5【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，設(shè)，則，，由題意，得到，求出的面積，可得結(jié)論．解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，設(shè)，則，．∵，∴，∴．∵，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．13．【分析】先由勾股定理求出BD，DC的長，過點(diǎn)F作FHED交ED的延長線于H，再證，得到FH=AD=3，由SBEF=S四邊形BEDF-SEDF即可得到答案．解：∵ABD是由ABE折疊而成，BDC是由FDC折疊而成，∴BE=BD，EA=AD，BC=FC，BD=DF，∴BAED，DCBF，BE=BD=DF，，∵AD=3，AB=4，BC=，∴BD=，∴，∴BCD=DBC=45∴BDF=90，如圖，過點(diǎn)F作FHED交ED的延長線于H，∵ABD+ADB=90，F(xiàn)DH+ADB=90，∴ABD=FDH，∴在ABD和HDF中，∴，∴FH=AD=3，∴SBEF=S四邊形BEDF-SEDF=SEBD+SDBF-SEDF=．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的面積，正確的添加輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．14．5【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，然后根據(jù)勾股定理可得DB，BE的長，進(jìn)而可得EF的長．解：由軸對稱的性質(zhì)可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，在Rt△ADB′中，根據(jù)勾股定理，得DB′==12，∵BC=AD=15，∴EC=BC-BE=15-BE，在Rt△DEC中，DE=DB′+B′E=12+BE，DC=AB=9，根據(jù)勾股定理，得DE2=EC2+DC2，∴（12+BE）2=（15-BE）2+92，解得BE=3，∵EF⊥BC，AB⊥BC，∴EF∥AB，∴∠FEA=∠BAE，∵∠B′AE=∠BAE，∴∠FEA=∠B′AE，∴FA=FE，∴FB′=AB′-AF=9-FE，在Rt△EFB′中，根據(jù)勾股定理，得EF2=FB′2+EB′2，∴EF2=（9-FE）2+32，解得EF=5．故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，軸對稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．15．【分析】連接，證明，可得，設(shè)，在中，有，可解得，知，由矩形沿折疊，折疊后點(diǎn)與點(diǎn)重合，得，可得，，故，從而得到．解：連接，如圖：

四邊形是矩形，，將矩形沿折疊，折疊后點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，，設(shè)，則在中，，解得：，，，將矩形沿折疊，折疊后點(diǎn)與點(diǎn)重合，，//，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查矩形中的翻折變換，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．16．【分析】連接CE，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，首先證明，可推導(dǎo)，，再證明，在中，由勾股定理計算，然后借助三角形面積求出，根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)，即M、H重合時，線段CM的長取最小值，即可獲得答案．解：連接CE，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如下圖，∵，即，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，∴，，∵∠BAC=90°，∴，∴，即，∴在中，，∵，∴，即，解得，∵點(diǎn)M是DE上一個動點(diǎn)，則當(dāng)，即M、H重合時，線段CM的長取最小值，此時．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構(gòu)建全等三角形是解題關(guān)鍵．17．．【分析】根據(jù)四邊形是矩形，可知，，，由是的中點(diǎn)，可知，由折疊性質(zhì)可知，，即可證明，再利用三角形的內(nèi)角和，得到，根據(jù)，，可知垂直平分，即可得到，利用勾股定理得到，設(shè)，代入等式，即可求出的值，即可解決問題．解：四邊形是矩形，，，，是的中點(diǎn)，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，垂直平分，，，是的中點(diǎn)，，在中，，在中，，在中，，，，，設(shè)，則，解得：，，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，圖形的折疊，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識．18．【分析】根據(jù)四個全等的直角三角形，已知是的中點(diǎn)，可得，可得，在根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得，，設(shè)，，根據(jù)三角形的面積公式可求出的值，可求出的值，根據(jù)正方形的面積公式即可求解．解：四個全等的直角三角形，即，∴，，，∵，∴，∴，∵四個全等的直角三角形，∴，∵和的面積之比為，即，∴，，已知是的中點(diǎn)，∴在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，則，設(shè)，，∴，∴，，∴，解得，，∴在中，，∵四個全等的直角三角形按如圖方式拼成正方形，∴四個直角三角全等，圍成的四邊形是正方形，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，面積計算方法，勾股定理的綜合，掌握以上知識的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．19．(1)見分析；(2)①見分析；②【分析】（1）根據(jù)題意，易證，又因為，即可得到結(jié)論；（2）①先證，得到，接著證明，即可得到結(jié)論；②先證，然后通過求出，接著通過求出，即可得到結(jié)果．解：（1）；（2）①，在和中，，；②，，由勾股定理得在和中，在中由勾股定理得，，由勾股定理得．的長為．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，勾股定理等知識點(diǎn)，熟悉掌握以上知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．20．(1)；(2)見分析；(3)【分析】（1）首先勾股定理得AB=5，再由對稱性得AC'=AC=4，得BC'=1，在Rt△BC'D中，利用勾股定理列方程即可；（2）由翻折得∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，再根據(jù)∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，可得∠AEC=∠ACE，從而證明結(jié)論；（3）當(dāng)∠C'BD=90°時，過點(diǎn)A作AE⊥AC，交BC'延長線于點(diǎn)E，設(shè)BC'為x，則C'E=4-x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，（4-x）2+32=42，解方程從而解決問題．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，∵點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)C′恰好落在AB邊上，∴AC'=AC=4，∴BC'=1，在Rt△BC'D中，由勾股定理得，（3-CD）2=12+CD2，解得：CD=；（2）證明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，∵EB'∥AC，∴∠B'=∠B'CA=∠B，∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC；（3）存在，BC'=，∵∠ADC＞45°，∴∠BDC'不可能為90°，當(dāng)BC'⊥BC時，過點(diǎn)A作AE⊥AC，交BC'延長線于點(diǎn)E，∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，∴四邊形ACBE為矩形，設(shè)BC'為x，則C'E=4-x，∵△ACD翻折后得到△AC'D，∴AC'=AC=4，∵AE=BC=3，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，∴（4-x）2+32=42，解得：x=，∵x＜4，∴x=，即BC′長為．【點(diǎn)撥】本題是幾何變換綜合題，主要考查了翻折變換，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，運(yùn)用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．21．（1）（Ⅰ），；（Ⅱ）見分析；（2）見分析；（3）A，C【分析】（1）（I）根據(jù)勾股定理和直角三角形全等的判定可得結(jié)論；（II）先證明，再根據(jù)可證明兩三角形全等；（2）在線段上截取，過點(diǎn)B作，使得，連接，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)C，連接，即為所求；（3）根據(jù)三角形全等的判定方法一一判斷即可．解：（1）（I）設(shè)，的周長的周長，．∴，在中，根據(jù)勾股定理，得：，∴，解得；同理可得：．由此可得．又，根據(jù)，可以知道．故答案為：，；（II）∵，且和的周長相等，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∵，，∴；（2）如圖，即為所求；（3）A、斜邊和周長分別相等的兩個直角三角形全等，正確；B、斜邊和面積分別相等的兩個直角三角形全等，錯誤；C、一個銳角和周長分別相等的兩個直角三角形全等，正確；D、斜邊和斜邊上的中線分別相等的兩個直角三角形全等，錯誤．故答案為：A，C．【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．22．(1)不能；(2)＝；＞；(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2）【分析】（1）分別計算正方形的面積和長方形的面積，比較兩個圖形的面積大小即可得解；（2）如圖3中，分別計算左邊大正方形的面積和右邊大正方形的面積，即可得a2+b2=c2，再利用(a+b)2=a2+2ab+b2變形得；（3）如圖4，先由完全平方公式和整式的乘法計算得，，，進(jìn)而可得．（1）解：如圖1，圖2，∵S正方形=82=64，S長方形=5×13=65，∴S正方形S長方形，故答案為：不能；（2）解：如圖3中，左邊大正方形的面積：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右邊大正方形的面積：S大正方形=c2+4×ab=c2+2ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2，∵(a+b)2=a2+2ab+b2，∴a2+b2=(a+b)2-2ab，∵，∴，∴，故答案為：=，；（3）解：如圖4，，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式及勾股定理，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．23．(1)①；(2)3；(3)見詳解；(4)45；(5)變化；最大值是50【分析】（1）依題意畫出圖形分析是否滿足條件即可得到答案；（2）利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)，可得與等高，然后運(yùn)用面積比等于底邊長的比得到答案；（3）利用AP是角平分線構(gòu)造全等三角形證明即可；（4）運(yùn)用勾股定理可得，，然后運(yùn)用圖中等量關(guān)系將AG和BG轉(zhuǎn)化為AB與AC即可；（5）當(dāng)時面積取得最大值．解：（1）如圖4，將兩個全等的直角三角形沿斜邊拼在一起組成一個新的四邊形，則此四邊形滿足對角線平分一組對角；且一組對角互補(bǔ)兩個全等的直角三角形一定能拼成余缺四邊形；如圖5，將兩個全等的等邊三角形拼在一起組成一個新的