2023版高三一輪總復習數(shù)學新教材老高考人教版教案：第7章 第3節(jié)　空間直線、平面的平行

塞空間直線、平面的平行

［考試要求］從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空

間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明.

［走進教區(qū)2節(jié)實基礎］回顧知識?激活技能

?梳理?必備知識

1.線面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

判/〃a)

如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平

定aUa}0/〃

行，則該直線與此平面平行（簡記為“線線平行IdaJ

定心

臺線面平行”）

理a

性l//a]

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平

質

面與此平面相交,那么該直線與交線平行（簡記

定

為“線面平行今線線平行”）

理=^l//b

2.面面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內的兩條相交直線與B、

b〃B

判定另一個平面平行，則這兩個平

aCb=P>=a〃夕

定理面平行（簡記為“線面平行寺面

口aUa

面平行”）bua>

兩個平面平行，如果另一個平a//[i]

性質

面與這兩個平面相交,那么兩=>a〃〃

定理6n尸J

條交線平行不

［常用結論］

平行關系中的三個重要結論

（1）垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a_La,a16,則a〃4.

(2)若a〃夕，aUa,則a//

(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若a〃夕，(i//y,則a〃y.

?激活?基本技能

一、易錯易誤辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內的任一條直

線?()

(2)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.

()

(3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.

()

(4)若直線。與平面a內無數(shù)條直線平行，則?！╝.()

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)X

二'教材習題衍生

1.下列命題中正確的是()

A.若a,匕是兩條直線，且。〃兒那么。平行于經過匕的任何平面

B.若直線a和平面a滿足?！╝,那么。與a內的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個平面平行

D.若直線a,8和平面a滿足a〃匕，a//a,bQa,則Z?〃a

D［A錯誤，。可能在經過人的平面內；B錯誤，。與a內的直線平行或異

面；C錯誤，兩個平面可能相交.］

2.在正方體中，E是。。的中點，則與平面ACE的

位置關系為.

平行［如圖所示，連接交AC于尸，連接EE則EE是的中位

線,

：.EF//BD\,

又EFU平面ACE,

2

BDiQ平面ACE,

平面ACE.］

3.設a,夕，y為三個不同的平面，a,。為直線，給出下列條件：

①aUa,bu‘,a〃尸，b//a；②a〃%夕〃y；

③a_Ly,S_Ly；④a_La,b邛,a//b.

其中能推出a〃4的條件是.(填上所有正確的序號)

②④［①③中％尸可能相交也可能平行，②④中a〃尸」

4.如圖，在三棱錐A-8CO中，E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,D4的

中點，則

(1)當AC,80滿足條件時，四邊形EFG”為菱形；

(2)當AC,8。滿足條件時，四邊形EFG”為正方形.

(\)AC=BD(2)AC=B。且ACL8。［(I)、?四邊形EFG”為菱形，：.EF

=EH,：.AC=BD.

(2)V四邊形EFGH為正方形，；.EF=EH且EFLEH,

\'EF//AC,EH//BD,JLEF=^AC,EH=±BD,

.*.AC=3。且ACLBD］

［細研考點?突破題型］重難解惑直擊高考

I：考點一與線'面平行相關命題的判定《題組通關

1.a,4是兩個平面，〃?，〃是兩條直線，則下列命題中錯誤的是()

A.若機_L〃，m.Lafn］貝！Ja_L/?

B.若mUa,a//［i,則相〃夕

C.若aC0=l,m〃a,m///3,則〃2〃/

D.若機_L〃，m.La9〃〃夕，則a_L4

D［由a,4是兩個平面，陽，〃是兩條直線，知在A中，帆_L〃，n

工仇由面面垂直的判定得aJ_￡,故A正確；在B中，〃zu?a///3,由面面平

行的性質得加〃少故B正確；在C中，aC0=l,m//a9m〃}由線面平行的

3

性質得〃2〃/,故C正確；在D中，m-Ln,rn^-a,n//fi,得a與4相交或平行,

故D錯誤.］

2.（2021.湘豫名校聯(lián)考）《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一

部數(shù)學專著，是《算經十書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一

個面為梯形的五面體稱為“羨除”，下列說法：

①“羨除”有且僅有兩個面為三角形；

②“羨除”一定不是臺體；

③不存在有兩個面為平行四邊形的“羨除”；

④“羨除”至多有兩個面為梯形.

其中正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

C［如圖所示，AE〃8F〃CO,四邊形ACOE為梯形.對于①，由題意知“羨

除”有且僅有兩個面為三角形，故①正確；對于②，因為4石〃3尸〃?！辏?所以“羨

除”一定不是臺體，故②正確；對于③，假設四邊形和四邊形BCD尸為平

行四邊形，則尸〃CD,AE=BF=CD,則四邊形ACDE為平行四邊形，與

已知四邊形ACZJE為梯形矛盾，故假設不成立，故③正確；對于④，若AE,BF,

CO兩兩不相等，則“羨除”有三個面為梯形，故④錯誤，故選C.］

3.如圖所示，正方體ABCD-AiBi。。］的棱長為2,E,尸為A4i,AB的中

點，M點是正方形內的動點，若GM〃平面CDE,則M點的軌跡長度

為.

也［如圖所示，AB的中點“，85的中點G,連接G",C\H,C\G,EG,

HF.

4

可得四邊形EGCIQI是平行四邊形，，CiG〃。歸，又GGZ平面CDiE,D\E

u平面CDiE,可得GG〃平面CDiE.同理可得G”〃CFGH〃平面CDiE,又

CiHnCiG=Ci,...平面GG”〃平面CD1EYM點是正方形AB84內的動點，

CiM〃平面CDiE,.?.點M在線段GH上.

.?.M點的軌跡長度為G/7=^12+12=V2.］

畬反恩仁懵1.判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的

各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最

熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項.

2.(1)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷.

(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反

例否定結論或用反證法推斷命題是否正確.

，考點二直線與平面平行的判定與性質《多維探究

考向1直線與平面平行的判定

［典例1-1］如圖，P是平行四邊形A3CO所在平面外的一點，E,F分別

為AB,PO的中點，求證：Ab〃平面PCE./這!)

［四字解題］

讀相算思

取PC的中點M,證明

ABCD是平行四邊線面平線線平行

AF//EM轉化

形，E,F分別為A5,行的證

取CD的中點G,證明平化歸

PD的中點明方法面面平行

面AFG〃平面PCE

［解］法一：(應用線線平行的判定定理)如圖，設M為PC的中點，連接

EM,MF,

5

p

「E是AB的中點，

J.AE//CD,且AE=gc。,

又?：MEH3、且MF=；CO,

：.AE^FM,，四邊形AEM尸是平行四邊形,

J.AF//EM,

又..工網平面PCE,EMU平面PCE,

...AF〃平面PCE.

法二：（應用面面平行的性質定理）如圖，設G為CD的中點，連接EG,

AG,

F,G分別為PD,CO的中點,

...FG〃尸C.同理AG〃EC,

又FGQ平面PCE,AGQ平面PCE,

PCU平面PCE,ECU平面PCE,

...尸G〃平面PCE,AG〃平面PCE,

又EG,AGU平面APG,FGHAG=G,

，平面AFG〃平面PCE,又Abu平面AFG,

〃平面PCE.

考向2線面平行性質定理的應用

［典例1一2］如圖，在直四棱柱ABCD-AiBCiOi中，E為線段AO上的任意

一點（不包括A,。兩點），平面CEGA平面

6

AiA

證明：EG〃平面AAiBB.

［證明］在直四棱柱ABCD-AiBCiOi中，BB\//CC\,BBC平面BBiD,CCi

Q平面BB\D,

所以CG〃平面BB\D.

又CGu平面CECi,平面CECn平面8BiO=FG,所以CG〃FG.

因為〃CCi,所以BB\//FG.

而BBC平面AAiBB,EGQ平面A41B3,

所以EG〃平面AA\B\B.

畬反思領悟證明直線與平面平行的方法

(1)線面平行的定義：一條直線與一個平面無公共點(不相交).

(2)線面平行的判定定理：關鍵是找到平面內與已知直線平行的直線.常利

用三角形的中位線、平行四邊形的對邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作

一平面找其交線.

(3)面面平行的性質：①兩個平面平行，在一個平面內的任意一條直線平行

于另外一個平面，即a〃尸，aUa=a〃價②兩個平面平行，不在兩個平面內的

一條直線與其中一個平面平行，則這條直線與另一平面也平行，即a〃.，ada,

aQ￡,a〃a今a〃夕.

［跟進訓練］

1.如圖所示，已知四邊形ABC。是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線

段EP的中點.

(1)求證：AM〃平面BDE；

(2)若平面AOMC平面BDE=l,平面ABMA平面BDE=m,試分析I與m

的位置關系，并證明你的結論.

7

［解］(1)證明：如圖，記AC與80的交點為。，連接。￡

因為0,M分別為AC,Eb的中點，四邊形ACER是矩形，

所以四邊形A0EM是平行四邊形，所以AM〃0E.

又因為0EU平面BDE,平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)1〃m,明如下：

由(1)知AM〃平面BDE,

又AMU平面AOM,平面ADMn平面BDE=/,

所以1//AM,

同理，AM〃平面8DE,

又AMU平面平面平面8DE=〃z,

所以m//AM,所以/〃m.

□考點三平面與平面平行的判定與性質枷生共研

［典例2］如圖所示，在三棱柱ABC-AiB。中，E,F,G,”分別是AB,

AC,AiBi,4。的中點，求證:

⑴B,C,H,G四點共面；

⑵平面ERli〃平面BCHG.

［證明］(1)VG,H分別是AiB,AC的中點,

...GH是△A15C1的中位線,GH//B\C\.

義,：B\C\〃BC,

J.GH//BC,

：.B,C,H,G四點共面.

(2)在△ABC中，E,尸分別為AB,AC的中點,

：.EF//BC.

8

,?EE。平面BCHG,BCC平面BCHG,

.?.所〃平面BCHG.

,：A\G統(tǒng)EB,

，四邊形AiEBG是平行四邊形，則A\E//GB.

?；AiEQ平面BCHG,GBU平面BCHG,

.?.4E〃平面BCHG.

,：A}EC\EF=E,，平面￡7%〃平面BCHG.

［母題變遷］

1.在本例條件下，若點。為BG的中點，求證：HO〃平面ABiBA.

［證明］如圖所示，連接8。，HD,A\B,

?.?。為的中點，”為4G的中點,

：.HD//A\B.

又HIK平面AiBiBA,

AiBU平面AiBiBA,

:.HD〃斗曲4B1BA.K

2.在本例條件下，若。I,。分別為Bi。，8C的中點，求證：平面

〃平面AGD

［證明］如圖所示，連接AC交AG于點M,

?.?四邊形AiACCi是平行四邊形,

.?.M是AC的中點，連接

VD為的中點,

：.A\B//DM.

9

「AiBU平面AIBOI,DWQ平面A18D1,

〃平面

又由三棱柱的性質知，DiC僚BD,

，四邊形BDCiDi為平行四邊形，：.DC\//BD\.

又。。過平面AiBOi,

BDiU平面4801,二。?！ㄆ矫鍭iBDi.

又?.?OGAOM=O,DC\,OMU平面A。。，

二平面AiB￡>i〃平面AGD

畬反思領悟證明